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數(shù) 值 分 析,韓 超 Email: ,參考書目 (Reference) 數(shù)值分析, 李慶揚編, 清華大學出版社 計算方法典型題分析解集, 封建湖編, 西北工業(yè)大學出版社 數(shù)值分析學習輔導習題解析, 李紅編, 華中科技大學出版社 Numerical Analysis (Third Edition) David Kincaid & Ward Cheney 數(shù)值分析（第三版）, 王國榮譯, 機械工業(yè)出版社,為什么學習數(shù)值計算方法？,解決實際問題的理想化過程,教 材 內 容 體 系,第一章 緒 論,第二章 線性方程組的直接解法,第三章 函數(shù)插值,第四章 函數(shù)逼近,第五章 數(shù)值積分法,第六章 線性方程組的迭代解法,第七章 非線性方程(組)的數(shù)值解法,第八章 數(shù)值最優(yōu)化,第九章 常微分方程的數(shù)值解法,第十章 矩陣特征值問題的數(shù)值解法,第一章 緒 論,1 課程研究的內容和構造算法的主要途徑,2 誤差,3 有效算法要具備的條件,4 靈敏度分析,5 向量范數(shù)與矩陣范數(shù),1 研究內容和構造算法的主要途徑,研究數(shù)學問題數(shù)值解的計算方法， 即研究算法的。,1 哪些數(shù)學問題？,大型線性方程組Ax=b求解; 矩陣A的特征值和特征向量計算; 非線性方程 的求解(求根); 積分 計算; 常微分方程初值問題求解; 函數(shù)逼近等,2 研究數(shù)值解的必要性,例1 常微分方程初值問題,其解析解(精確解)為:,要求計算,等近似值。,3 構造算法的主要思想,迭代法 以直線代替曲線（非線性問題線性化） 化整為零（離散化） 外推法（加速）,好算法的三個標準：,快 計算步驟少，收斂速度快 準 數(shù)值穩(wěn)定性好，計算結果可靠性高 省 節(jié)省計算機內存(大型稀疏矩陣問題),快:計算步驟少，收斂速度快,例2 多項式求值的Hornor算法(秦九韶算法P7),給定x的值，計算 的值。,算法1：按自然順序計算,乘法次數(shù),加法次數(shù) n,算法2: 嵌套算法（Hornor,秦九韶）,乘法次數(shù)加法次數(shù) n,例3 解線性方程組,算法1: Cramer法則,乘除法次數(shù)An,(萬年),算法2: Gauss消去法,乘除法次數(shù)：,耗時：,(秒),例5 計算積分的梯形公式與Simpson公式； 非線性方程求根，Newton法比二分法快。,例4 如FFT(快速傅立葉變換),零乘一個數(shù)省去,2. 準:數(shù)值穩(wěn)定性好，計算結果可靠性高,例6 求根 ，假設計算機有尾數(shù)為5位，,算法1:,算法2:,例7 計算積分,由分部積分法可得,取迭代初值,由遞推公式,計算得,算法1: 直接積分,算法不穩(wěn)定，結果不可靠。,而,可見遞推計算結果嚴重失真。,取,將迭代格式 變形成如下格式,計算結果相當好,算法2 易知,算法穩(wěn)定，結果可靠。,1) 穩(wěn)定性:,若一種算法的初始誤差和舍入誤差在運算 過程中不增長，則稱此算法是穩(wěn)定的。,2) 誤差分析,算法1,記,則,誤差逐漸增大，(*)式不穩(wěn)定,算法2,記,則,誤差沒有增大，算法穩(wěn)定.,所以,為了“準”，要注意的原則,1. 防止大數(shù)吃小數(shù),利用求根公式,在計算機內，109存為0.11010，1存為0.1101。做加法時，兩加數(shù)的指數(shù)先向大指數(shù)對齊，再將浮點部分相加。即1 的指數(shù)部分須變?yōu)?010，則：1 = 0.0000000001 1010，取單精度時就成為：109+1=0.100000001010+0.00000000 1010=0.10000000 1010,大數(shù)吃小數(shù), 算法1：,先解出 再利用,注：求和時從小到大相加，可使和的誤差減小。,2: 按從小到大、以及從大到小的順序分別計算 1 + 2 + 3 + + 40 + 109, 算法2：,如1: 在五位十進制計算機上計算,解,2. 防止相近的數(shù)相減,例9,解決辦法:, 通常情況下：,當 | x | 1 時：,3. 防止絕對值很小的數(shù)做分母,例10,2 誤差的來源和基本概念,模型誤差, 觀測誤差, 截斷誤差,舍入誤差,1 截斷誤差,也稱為方法誤差,涉及方法的收斂性.,2 舍入誤差,由計算機的浮點運算產生,涉及方法的穩(wěn)定性.,如：用3.14159近似代替,則產生的誤差 R =-3.14059=0.0000026為舍入誤差.,二 基本概念,假設x為準確值，x*為近似值，則,絕對誤差：,絕對誤差限：,相對誤差：,相對誤差限：,三 有效數(shù)字,例11,解,2位,2位,4位,3位,四 有效數(shù)字與誤差限的關系,1 有效數(shù)字與絕對誤差限的關系,2、有效數(shù)字與相對誤差的關系, 有效數(shù)字 相對誤差限,已知 x* 有 n 位有效數(shù)字，則其相對誤差限為, 相對誤差限 有效數(shù)字,已知 x* 的相對誤差限可寫為 則,可見 x* 至少有 n 位有效數(shù)字。,例13 為使 的相對誤差小于0.001%,至少應取幾位有效 數(shù)字？,解 假設 * 取到 n 位有效數(shù)字，則其相對誤差上限為,要保證其相對誤差小于0.001%，只要保證其上限滿足,已知 a1 = 3，則從以上不等式可解得 n 6 log6，即 n 6，應取 * = 3.14159。,只要取n3即可，即3位有效數(shù)字。,例14 要使 的近似值相對誤差小于0.1%，應取幾 位有效數(shù)字？,解,例15,有十個復根.,4 靈敏度分析,靈敏度分析是分析一個數(shù)學問題原始數(shù)據(jù)的微小變化對其解的擾動 情況。如果引起解發(fā)生較大的變化，則稱該問題是病態(tài)的，否則稱該 問題是良態(tài)的。它反映了解對原始數(shù)據(jù)的敏感程度。,抗干擾能力強 良態(tài)的方程組,抗干擾能力弱 病態(tài)的方程組,問題：如何估計誤差向量的大小