2019高中數(shù)學(xué)第1章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1.2導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算學(xué)案新人教B版.docx

1.2導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算1掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，并能利用這些公式求基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)2熟練運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則3正確地對(duì)復(fù)合函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，合理地選擇中間變量，認(rèn)清是哪個(gè)變量對(duì)哪個(gè)變量求導(dǎo)數(shù)1基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式表yf(x)yf(x)ycy0yxn(nN)y_，n為正整數(shù)yx(x0，0且Q)yx1，為有理數(shù)yax(a0，a1)y_ylogax(a0，a1，x0)y_ysin xy_ycos xy_(1)求導(dǎo)公式在以后的求導(dǎo)數(shù)中可直接運(yùn)用，不必利用導(dǎo)數(shù)的定義去求(2)冪函數(shù)的求導(dǎo)規(guī)律：求導(dǎo)冪減1，原冪作系數(shù)【做一做11】給出下列結(jié)論：若y，則y；若y，則y；若y，則y2x3；若yf(x)3x，則f(1)3；若ycos x，則ysin x；若ysin x，則ycos x其中正確的個(gè)數(shù)是()A3 B4 C5 D6【做一做12】下列結(jié)論中正確的是()A(logax) B(logax)C(5x)5x D(5x)5xln 52導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則(1)函數(shù)和(或差)的求導(dǎo)法則：設(shè)f(x)，g(x)是可導(dǎo)的，則(f(x)g(x)_，即兩個(gè)函數(shù)的和(或差)的導(dǎo)數(shù)，等于這兩個(gè)函數(shù)的_(2)函數(shù)積的求導(dǎo)法則：設(shè)f(x)，g(x)是可導(dǎo)的，則f(x)g(x)_，即兩個(gè)函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)等于第一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘上第二個(gè)函數(shù)，加上第一個(gè)函數(shù)乘上第二個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)由上述法則立即可以得出Cf(x)Cf(x)，即常數(shù)與函數(shù)之積的導(dǎo)數(shù)，等于常數(shù)乘以_(3)函數(shù)的商的求導(dǎo)法則：設(shè)f(x)，g(x)是可導(dǎo)的，g(x)0，則_.(1)比較：f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)，注意差異，加以區(qū)分(2)，且.(3)兩函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則，稱為可導(dǎo)函數(shù)四則運(yùn)算的求導(dǎo)法則(4)若兩個(gè)函數(shù)可導(dǎo)，則它們的和、差、積、商(商的分母不為零)必可導(dǎo)若兩個(gè)函數(shù)不可導(dǎo)，則它們的和、差、積、商不一定不可導(dǎo)例如，設(shè)f(x)sin x，g(x)cos x，則f(x)，g(x)在x0處均不可導(dǎo)，但它們的和f(x)g(x)sin xcos x在x0處可導(dǎo)【做一做2】下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是()A1B(log2x)C(3x)3xlog3eD(x2cos x)2xsin x3復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則對(duì)于兩個(gè)函數(shù)yf(u)和ug(x)，如果通過(guò)變量u，y可以表示成x的函數(shù)，那么稱這個(gè)函數(shù)為函數(shù)yf(u)和ug(x)的復(fù)合函數(shù)，記作yfg(x)如函數(shù)y(2x3)2是由yu2和u2x3復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)yfg(x)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)yf(u)，ug(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為yxyuux.即y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)等于y對(duì)u的導(dǎo)數(shù)與u對(duì)x的導(dǎo)數(shù)的乘積對(duì)于復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：(1)分清復(fù)合函數(shù)是由哪些基本函數(shù)復(fù)合而成的，適當(dāng)選定中間變量(2)分步計(jì)算的每一步都要明確是對(duì)哪個(gè)變量進(jìn)行求導(dǎo)的，而其中要特別注意的是中間變量的導(dǎo)數(shù)如(sin 2x)2cos 2x，而(sin 2x)cos 2x.(3)根據(jù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，求出各函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并把中間變量轉(zhuǎn)換成自變量的函數(shù)如求ysin的導(dǎo)數(shù)，設(shè)ysin u，u2x，則yxyuuxcos u22cos.(4)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)熟練后，中間步驟可省略不寫(xiě)【做一做3】函數(shù)yln(2x3)的導(dǎo)數(shù)為_(kāi)1如何看待導(dǎo)數(shù)公式與用定義法求導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系？剖析：導(dǎo)數(shù)的定義本身給出了求導(dǎo)數(shù)的最基本的方法，但由于導(dǎo)數(shù)是用極限定義的，因此求導(dǎo)數(shù)總是歸結(jié)到求極限，這在運(yùn)算上很麻煩，有時(shí)甚至很困難，利用導(dǎo)數(shù)公式就可以比較簡(jiǎn)捷地求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)2導(dǎo)數(shù)公式表中y表示什么？剖析：y是f(x)的另一種寫(xiě)法，兩者都表示函數(shù)yf(x)的導(dǎo)數(shù)3如何理解yC(C是常數(shù))，y0；yx，y1?剖析：因?yàn)閥C的圖象是平行于x軸的直線，其上任一點(diǎn)的切線即為本身，所以切線的斜率都是0；因?yàn)閥x的圖象是斜率為1的直線，其上任一點(diǎn)的切線即為直線本身，所以切線的斜率為1.題型一 利用公式求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)【例題1】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)yx；(2)y；(3)y；(4)ylog2x2log2x；(5)y2sin(12cos2)分析：熟練掌握常用函數(shù)的求導(dǎo)公式運(yùn)用有關(guān)的性質(zhì)或公式將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為基本初等函數(shù)后再求導(dǎo)數(shù)反思：通過(guò)恒等變形把函數(shù)先化為基本初等函數(shù)，再應(yīng)用公式求導(dǎo)題型二 利用四則運(yùn)算法則求導(dǎo)【例題2】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)yx43x25x6；(2)yxtan x；(3)y(x1)(x2)(x3)；(4)y.分析：仔細(xì)觀察和分析各函數(shù)的結(jié)構(gòu)規(guī)律，緊扣求導(dǎo)運(yùn)算法則，聯(lián)系基本函數(shù)求導(dǎo)公式，不具備求導(dǎo)法則條件的可適當(dāng)進(jìn)行恒等變形，然后進(jìn)行求導(dǎo)反思：對(duì)于函數(shù)求導(dǎo)問(wèn)題，一般要遵循先化簡(jiǎn)再求導(dǎo)的基本原則求導(dǎo)時(shí)，不但要重視求導(dǎo)法則的應(yīng)用，而且要特別注意求導(dǎo)法則對(duì)求導(dǎo)的制約作用在實(shí)施化簡(jiǎn)時(shí)，必須注意變換的等價(jià)性，避免不必要的運(yùn)算錯(cuò)誤題型三 求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)【例題3】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y(2x1)n(xN)；(2)y5；(3)ysin3(4x3)；(4)yxcos x2.分析：選擇中間變量是復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的關(guān)鍵必須正確分析復(fù)合函數(shù)是由哪些基本函數(shù)經(jīng)過(guò)怎樣的順序復(fù)合而成的，分清其間的復(fù)合關(guān)系要善于把一部分量、式子暫時(shí)當(dāng)作一個(gè)整體，這個(gè)暫時(shí)的整體就是中間變量求導(dǎo)時(shí)需要記住中間變量，注意逐層求導(dǎo)，不遺漏，其中還應(yīng)特別注意中間變量的關(guān)系，求導(dǎo)后，要把中間變量轉(zhuǎn)換成自變量的函數(shù)反思：對(duì)于復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)，要注意分析問(wèn)題的具體特征，靈活恰當(dāng)?shù)剡x擇中間變量易犯錯(cuò)誤的地方是混淆變量，或忘記中間變量對(duì)自變量求導(dǎo)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，通常稱為鏈條法則，因?yàn)樗矜湕l一樣，必須一環(huán)一環(huán)套下去，而不能丟掉其中的一環(huán)題型四 易錯(cuò)辨析易錯(cuò)點(diǎn)：常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則等，記憶不牢或不能夠靈活運(yùn)用，所以在求導(dǎo)時(shí)容易出錯(cuò)牢記公式、靈活應(yīng)用法則是避免求導(dǎo)出錯(cuò)的關(guān)鍵【例題4】求函數(shù)y(exex)的導(dǎo)數(shù)錯(cuò)解：y(exex)(ex)(ex)(exex)1下列各組函數(shù)中導(dǎo)數(shù)相同的是()Af(x)1與f(x)xBf(x)sin x與f(x)cos xCf(x)1cos x與f(x)sin xDf(x)x1與f(x)x12已知函數(shù)f(x)ax33x22，若f(1)4，則a的值為()A B C D3函數(shù)y的導(dǎo)數(shù)是()A Bsin xC D4設(shè)y(a是常數(shù))，則y等于()A BC D5已知拋物線yax2bx5(a0)，在點(diǎn)(2,1)處的切線方程為y3x7，則a_，b_.答案：基礎(chǔ)知識(shí)梳理1nxn1axln acos xsin x【做一做11】B由求導(dǎo)公式可知，正確【做一做12】D2(1)f(x)g(x)導(dǎo)數(shù)和(或差)(2)f(x)g(x)f(x)g(x)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(3)【做一做2】B由求導(dǎo)公式知，B選項(xiàng)正確.x(x1)1x21.(3x)3xln 3，(x2cos x)(x2)cos xx2(cos x)2xcos xx2sin x.【做一做3】y函數(shù)yln(2x3)可看作函數(shù)yln u和u2x3的復(fù)合函數(shù)，于是yxyuux(ln u)(2x3)2.典型例題領(lǐng)悟【例題1】解：(1)y(x)x1.(2)y(x4)4x414x5.(3)y()x1x.(4)ylog2x2log2xlog2x，y(log2x).(5)y2sin2sin2sincossin x，ycos x.【例題2】解：(1)y(x43x25x6)(x4)3(x2)5x64x36x5.(2)y(xtan x).(3)方法1：y(x1)(x2)(x3)(x1)(x2)(x3)(x1)(x2)(x1)(x2)(x3)(x1)(x2)(x2x1)(x3)(x1)(x2)(2x3)(x3)(x1)(x2)3x212x11.方法2：yx36x211x6，y3x212x11.(4)方法1：y.方法2：y1，y.【例題3】解：(1)y(2x1)nn(2x1)n1(2x1)2n(2x1)n1.(2)y54.(3)ysin3(4x3)3sin2(4x3)sin(4x3)3sin2(4x3)cos(4x3)(4x3)12sin2(4x3)cos(4x3)(4)y(xcos x2)xcos x2(cos x2)xcos x22x2sin x2.【例題4】錯(cuò)因分析：yex的求導(dǎo)錯(cuò)誤，yex由yeu與ux復(fù)合而成，因此其導(dǎo)數(shù)應(yīng)按復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則進(jìn)行正解：令yeu，ux，則yxyuux，所以(ex)(eu