物理習(xí)題-《中極值問題的數(shù)學(xué)求解方法》.docx

物理習(xí)題中極值問題的數(shù)學(xué)求解方法本文結(jié)合平常的習(xí)題教學(xué)，將高中物理習(xí)題中的極值問題解法歸納分類，以饗讀者。一、利用一元二次函數(shù)知識求極值設(shè)有二次函數(shù)若0則有極大值，當(dāng)時，若0則有極小值，當(dāng)時，例1：一輛汽車以10m/s的速度勻速直線行駛15s后，一輛摩托車從靜止開始，在同一地點(diǎn)出發(fā)，以1m/s2的速度作勻加速直線運(yùn)動追趕汽車，求二車何時相距最遠(yuǎn)？最遠(yuǎn)距離多大？解：設(shè)摩托車行駛t秒后二車相距S米，有10(t+15)1t2=S即：S=t2+10t +150題中“何時相距最遠(yuǎn)”實(shí)際就是t為何值時，有最大值Smax依一元二次函數(shù)知識可知：t =10(s)時，Smax=200(m)例1也可以借助如下方法進(jìn)行求解將S=t2+10t+150變形為t210t150S=0要使方程有解，則=(10) 24(150S)0得S200m，即S最大值Smax=200m二、利用一元二次方程根的判別式求極值應(yīng)用該方法，宜選擇適當(dāng)?shù)奈锢砹孔髯宰兞?，通過物理規(guī)律導(dǎo)出一個一元二次方程，利用=b240求解例2：如圖一，頂角為的光滑圓錐置于磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向豎直向下的勻強(qiáng)磁場中，現(xiàn)有一個質(zhì)量為m，帶電量為+Q的小球沿圓錐面在水平面內(nèi)作勻速圓周運(yùn)動，求小球作圓周運(yùn)動的最小半徑。解：以小球?yàn)檠芯繉ο螅苤亓g，彈力FN及洛侖茲力f的作用，如圖2建立坐標(biāo)系設(shè)：軌道半徑R在方向：在方向： 整理得：關(guān)于的一元二次方程中有實(shí)數(shù)解有=Q2B2R24m2gRCot0R4 m2gRCot/ Q2B2即Rmin=4m2gCot/ Q2B2三、利用三角函數(shù)的有界屬性求極值設(shè)有三角函數(shù)(或)在定義域內(nèi)一定有1y1即ymax=1 ymin=1例3：某人與一平直公路距離h=50m，一客車以速度v1=10m/s沿此公路勻速駛來，當(dāng)客車與人距離S=200m時，人開始追趕，求人能追上客車的最小奔跑速度。解：如圖3設(shè)該人沿OB方向以v2大小奔跑在B處追上客車在AOC中，Sin = 在AOB中，即 =可見當(dāng)Sin極大時，極小時，Sin=1圖3min= Sin=2.5m/s方向與OA垂直例4：質(zhì)量為m的物體放在水平桌面上，設(shè)物體與桌面之間的動摩擦因數(shù)為，現(xiàn)用力F拉物體，則F方向如何才能使物體加速度最大？最大加速度是多少？圖4解：以物體為研究對象，分析受力建立坐標(biāo)系如圖4根據(jù)F=0 得：Fcos +FN=mg由F=ma 得：FSinf =ma又f =FN整理得物理問題又轉(zhuǎn)化為上述函數(shù)問題，為值時取最大值,令=則Sin+可見當(dāng)取極大值1時，即時四、利用分式函數(shù)的值域求極值設(shè)分式，當(dāng)分母最大時有，當(dāng)分母最小時有例5：一個質(zhì)量為m1，速度為的物體與一個質(zhì)量為m2的靜止物體發(fā)生彈性正碰，求m2獲得的最大動能？設(shè)碰撞后m1m2的速度分別為與解：因碰撞動量守恒彈性碰撞得 獲得的動能=分子為定值，當(dāng)時分母最小為1所以例6：如圖5，有一半徑的圓形木板浮在深度H=5.3m的水池水面上。在木板圓心的正上方某一高度h處放置一個點(diǎn)光源。欲使池底影子的半徑R為最大，試問這個高度h應(yīng)為多少？另求影子的最大半徑？已知水的折射率解：設(shè)入射角為，折射角為根據(jù)折射定律得：又在SMO中在ONP中=圖5整理得：在r、H、h為定值條件下，顯然只有當(dāng)h=0時分母最小為（實(shí)際情況，只能是h0，7m）五、利用均值不等式知識求極值由數(shù)學(xué)知識可知（），當(dāng)且僅當(dāng)時取等號當(dāng)且僅當(dāng)時取等號例7：如圖6所示電路中，已知電源電動熱E=6V，內(nèi)阻r =1，R1=3，R2=3，R為5的滑動變阻器，當(dāng)滑片P滑到什么位置時電流表讀數(shù)最小？其值為多少？解：由閉合電路歐姆定律可知，當(dāng)外電阻R為最大時，干路中電流最小，設(shè)R上在a、p音電阻為Rap則R=（R1+Rap）（R2+R Rap）/ （R1+ R2+R）因（R1+Rap）+（R2+R Rap）= R1+ R2+R為定值當(dāng)（R1+Rap）=（R2+R Rap）即Rap = 3時，圖6Rmax =2.5所以Imin=例8：如圖7所示，小球在光滑的軌道上由A靜止開始運(yùn)動，其中半徑為R的環(huán)中段CD為缺口，問為何值時，小球完成ABCD路徑所需的離地面高度h最小，且最小值是多少？解：以小球?yàn)檠芯繉ο?，從AC過程滿足機(jī)械能守恒，選擇地面為重力勢能為零勢能面，有EA=EC 又小球在CD間做斜拋運(yùn)動，有水平方向： 圖7豎直方向： 整理得：h=R（1+）因是定值當(dāng)時 hmin=（1+）R例9：如圖8所示，帶電量均為+Q的點(diǎn)電荷相距為2L，MN是電荷連線的中垂線，求MN上場強(qiáng)的最大值。解：設(shè)P點(diǎn)的場強(qiáng)最大，PAO=則E=2（E1sin）=2k即圖8因定值所以當(dāng) 即時，E有最大值E六、利用，求極值由數(shù)學(xué)知識可知在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)或 一定有例10：質(zhì)量為m和M的二個粒子發(fā)生正碰，在碰撞過程中損失的動能為E。今要使碰撞前二粒子的總動能為最小，求碰前二粒子的速度。解：設(shè)碰撞前m1、m2速度分別為v1、v2碰撞后速度分別為v1、v2碰撞過程動量守恒m1v1+m2v2= m1v1+ m2v2碰撞過程能量守恒題中要求碰前總動能最小即要最小所以總動能最小的條件是有v1=v2=0將代入得v1= v2=七、利用幾何作圖法求極值例11：如圖9，質(zhì)量為m的小球放在傾角為的光滑斜面上，試分析擋板OA與斜面夾角多大時，OA所受壓力最小？解：以小球?yàn)檠芯繉ο?，受重力mg，斜面支持力F1，擋板OA的彈力F2的作用，處于平衡狀態(tài)，故有mg+ F1+ F2=0（矢量式）圖9由數(shù)學(xué)知識可知mg、F1、F2組成閉合矢量三角形，當(dāng)擋板與斜面的夾角由圖示位置變化時，mg大小方向不變，大F1大小改變方向不變，F(xiàn)2大小方向均改變，可作出一系列閉合三角形，由圖中不難看出當(dāng)F1F2時，即=時、八、利用數(shù)學(xué)定義域求極值有些習(xí)題，得出數(shù)學(xué)解析式后，單純從求數(shù)學(xué)知識無法求出極值或極值不存在，這時結(jié)物理知識確定自變量的定義域，進(jìn)而從數(shù)學(xué)角度求出極值。例12：如圖10所示電路，已知電源電動勢E=6.3V，內(nèi)阻r =0.5，固定電阻R1=2R2=3，R3是阻值為5的滑動變阻器，按下電鍵K，調(diào)節(jié)變阻器滑片，求通過電源電流的范圍。圖10圖11解：設(shè)間電阻為則外電路的總電阻根據(jù)閉合電路歐姆定律得整理得令易知當(dāng)時，從數(shù)學(xué)知識可知y不存在極小值，但是從物理知識可知的定義域?yàn)?5可作