統(tǒng)計物理與熱力學(xué)課程（陳培鋒）第五講.ppt

第五講 經(jīng)典熱力學(xué)量的統(tǒng)計表達(dá)式 物理量的漲落,一、經(jīng)典熱力學(xué)量統(tǒng)計表達(dá)式,導(dǎo)出一般的經(jīng)典熱力學(xué)量統(tǒng)計表達(dá) 從中看出熱力學(xué)量的微觀含義 適用于一般氣體和定域子系統(tǒng),由MB統(tǒng)計分布,1、內(nèi)能的統(tǒng)計表達(dá)式,內(nèi)能是系統(tǒng)中粒子無規(guī)運動總能量的統(tǒng)計平均值,已知,得,引入配分函數(shù),有,得,只與系統(tǒng)狀態(tài)有關(guān),考慮分子系統(tǒng)的三維平動運動,2、外界對系統(tǒng)的廣義作用力,一般來說,粒子的能量l是外參量y的函數(shù) 定義與外參量y共軛的外界施加在處于能級l粒子上的廣義力為 外界施加在系統(tǒng)上的廣義力,外界作用力中的一個重要例子是,考慮分子系統(tǒng)的三維平動運動,外界對系統(tǒng)做機(jī)械功為-pdV,外參量V的變化導(dǎo)致能級l的變化,相當(dāng)于對每個粒子做功,3、外界對系統(tǒng)所作的功,在無窮小的準(zhǔn)靜態(tài)可逆過程中,廣義力Y作用于系統(tǒng),外參量變化dy,外界力Y對系統(tǒng)所作的功為,特例,外界對系統(tǒng)的作用引起內(nèi)能的變化,外參量(例如V)變化時,系統(tǒng)的能量將發(fā)生變化,系統(tǒng)在變化過程中可以通過功和熱量與外界交換能量 W可以寫成Ydy形式,dy是外參量的改變量 最典型的形式是外界做功-pdV,Yp,y-V 那Q呢？,4、系統(tǒng)的吸熱,在無窮小的準(zhǔn)靜態(tài)可逆過程中,外參量變化dy,外界對系統(tǒng)所作的功為,考慮無窮小的準(zhǔn)靜態(tài)過程中內(nèi)能的變化,對內(nèi)能求全微分,第一項粒子分布不變外參量導(dǎo)致能級變化,對應(yīng)外界做功。 第二項能級不變粒子數(shù)分布變化,對應(yīng)從外界吸收熱量 從外界吸收的熱量引起粒子數(shù)的重新分配,熱量是熱現(xiàn)象特有的宏觀量,沒有與之對應(yīng)的微觀量,系統(tǒng)吸熱的微觀含義,Q是微觀量 的統(tǒng)計平均值,這表明吸熱與al的改變相關(guān)聯(lián),5、熵全微分,Z1是、Y的函數(shù),由=1/kT,有,推導(dǎo)過程注意,熵,熵的統(tǒng)計意義,6、,玻爾茲曼關(guān)系 某個宏觀狀態(tài)對應(yīng)的微觀狀態(tài)數(shù)越多,熵越大,越混亂 求出Z1,就確定了宏觀熱力學(xué)參數(shù),熵的微觀意義,粒子出現(xiàn)在空間l處單位體積的概率為,平均值,則,體系的熵與粒子出現(xiàn)在空間單位體積的概率的對數(shù)lnp的統(tǒng)計平均值成正比,熵與概率有關(guān),出現(xiàn)在空間l處l體積的概率,7、經(jīng)典統(tǒng)計理論中Z1,8、單原子分子理想氣體Z1和物態(tài)方程,容器內(nèi)的質(zhì)點運動,無外場,三維平動,理想氣體的物態(tài)方程,9、一般情況下氣體非簡并,時,FD和BE分布都近似可用MB分布表示 上式相當(dāng)于,當(dāng)每個單粒子態(tài)被占據(jù)的概率很小時,MB分布適用,經(jīng)典極限條件或非簡并條件,因l0,el/kT1;且通常1/kT1,e1/kT1因此,為使對所有l(wèi)(l=1,2,)而言上式都成立,就要求 在這條件下MB分布式適用，,7.2.6,一般情況下氣體滿足經(jīng)典極限條件,n愈小,T愈大,m愈大,愈滿足經(jīng)典條件 氣體分子極低溫度下形成玻色愛因斯坦凝聚 金屬中自由電子、光子不滿足,二、系統(tǒng)是如何變成最概然態(tài),從非最概然宏觀分布變成最概然宏觀分布的途徑,無法從等概率原理和最概然分布原理得到 這種趨勢與熵增加原理一致,不論最初狀態(tài)如何,最后一定穩(wěn)定在熵最大的狀態(tài),也就是概率最大的宏觀狀態(tài)分布,作業(yè),1、一個晶體樣品處于均勻的外磁場中,用電磁波照射這樣品時,功率吸收的最大值出現(xiàn)在100兆周處,功率吸收導(dǎo)致質(zhì)子自旋取向反轉(zhuǎn),自旋反轉(zhuǎn)需要吸收能量h的光子。試求溫度300K時,自旋的分?jǐn)?shù)極化強(qiáng)度,N和N分別為自旋平行與反平行與磁場方向的質(zhì)子數(shù),2、根據(jù)麥克斯韋速度分布律,求速率倒數(shù)的平均值 它等于速率平均值的倒數(shù) 嗎？ 3、設(shè)氣體分子的總數(shù)為N,試證明速度的x分量大于某一給定值vx的分子數(shù)為,為誤差函數(shù),4、北方的冬天寒風(fēng)凜冽。風(fēng)大,表示空氣分子速度大；寒表示溫度低,即空氣分子的速度小。這矛盾嗎？ 5、試解釋為什么氫氣在地面的含量(占空氣的百分比)比高處低？ 6、文獻(xiàn)中常有”等離子體中的電子溫度為Te,離子溫度為Ti”的說法,且TeTi。為什么二者可以不同？,傳熱、溫度、熱量、局域溫度、,三、物理量的漲落,實際物理量的數(shù)值在平均值附近由于熱運動引起的不斷變化,稱為熱力學(xué)漲落 純量子效應(yīng)引起的漲落為量子漲落 在溫度極低時熱力學(xué)漲落極小,量子漲落顯現(xiàn) 熱力學(xué)漲落是隨機(jī)的,服從一定的概率分布,熱力學(xué)漲落是圍繞平衡態(tài)的漲落,令S0和0代表平衡態(tài)的熵和宏觀概率,平衡態(tài)附近的展開,設(shè)熵依賴于一個宏觀量X,其平均值,取,平衡態(tài)x=0處S極大,泰勒展開,物理量漲落的平均值和方差,S與兩變量X1、X2有關(guān),關(guān)鍵是將S表達(dá)為獨立狀態(tài)參量(V,T)的函數(shù),作二級泰勒展開,V是一定數(shù)目的分子所占體積的漲落,反之一定體積內(nèi)的分子數(shù)目的漲落為N,定溫定壓條件下,物理量的相對漲落 與粒子數(shù)平方根 成反比,能量、溫度、粒子數(shù)、體積、密度等物理量都是粒子分布的平均值,既然粒子分布存在相對漲落,那么這些物理量也存在相對漲落。 當(dāng)涉及大量粒子時,漲落現(xiàn)象很微弱,以致可以忽略 這同樣說明了當(dāng)N時,最概然分布可以代表真實分布,作業(yè),7.1試根據(jù)公式 證明,對于非相對論粒子 有 7.4試證明,對于遵從玻耳茲曼分布的定域子系統(tǒng),熵表為 ,其中P