《IIR濾波器設計》PPT課件.ppt

第 4 章 IIR濾波器設計,葛青,4.1濾波器的概念及分類,數(shù)字濾波器：通過對數(shù)字信號的運算處理，改變信號頻譜，完成濾波作用的算法或裝置。數(shù)字濾波器具有穩(wěn)定、適應性強、線性相位等優(yōu)點,避免了模擬濾波器固有的電壓漂移、溫度漂移和噪聲等問題。,2.濾波原理,線性時不變系統(tǒng) 輸入輸出關系可用如下數(shù)學函數(shù)來描述 時域： 頻域：,幅頻特性：表示信號通過該濾波器后各頻率成分的衰減情況 相頻特性：反映各頻率成分通過濾波器后在時間上的延時情況（ 聯(lián)系無失真?zhèn)鬏敆l件）,2.濾波原理,濾波原理,2.濾波原理,濾波器的設計就是用一個因果穩(wěn)定的線性移不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)去逼近理想濾波器的性能。 數(shù)字濾波器設計:確定傳輸函數(shù)H(z)的過程。,濾波器的設計原理,表征濾波器頻率響應的特征參量（3個參量） （1）幅度平方響應：幅度的平方與頻率的關系 （2）相位響應 （3）群延遲響應（物理意義）:相位對角頻率的導數(shù)的負值。若濾波器通帶內群延遲響應=常數(shù)，則為線性相位濾波器，聯(lián)系無失真?zhèn)鬏攩栴}。,無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng),如果系統(tǒng)響應僅是輸入信號在時間上的延時和幅 度上的放大或縮小，就認為信號在傳輸過程中沒 有失真，這種系統(tǒng)稱為無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)。,無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng),3.濾波器的分類,經典濾波器：用于提取有用的信號，抑制不需要的干擾；或將信號分成不同的頻率成分； 現(xiàn)代濾波：信號檢測和信號估計,經典濾波器和現(xiàn)代濾波器,模擬和數(shù)字濾波器的理想幅頻特性曲線,模擬濾波器幅頻特性曲線,數(shù)字濾波器幅頻特性曲線,IIR(infinite impulse response): 有限沖激響應濾波器,單位沖激響應h(n)是無限長序列 FIR(finite impulse response): 無限沖激響應濾波器,單位沖激響應h(n)是有限長序列,數(shù)字濾波器的分類,IIR系統(tǒng)與FIR系統(tǒng),從系統(tǒng)函數(shù)的構造來區(qū)分 IIR系統(tǒng)：至少有一個極點。包括全極點系統(tǒng)（分子只有常數(shù)項）和零極點系統(tǒng)（分子不止常數(shù)項）；有反饋環(huán)路，采用遞歸型結構。 FIR系統(tǒng)：收斂域內無極點，是全零點系統(tǒng)。無反饋環(huán)路，多采用非遞歸結構。,IIR濾波器及FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù),有限沖激響應濾波器的傳輸函數(shù)為 無限沖激響應濾波器的傳輸函數(shù)為,不全為零,4.數(shù)字濾波器的性能要求,一個理想濾波器，要求所在通頻帶內幅頻響應是一常數(shù)；相位頻率相應為零或是頻率的線性函數(shù)。但一個實際的濾波器要是不可能得到上述幅頻和相頻響應。以低通濾波器為例，頻率響應有通帶、過渡帶及阻帶三個范圍。,4.數(shù)字濾波器的性能要求,p：通帶衰減,s：阻帶衰減,p：通帶截止頻率 s：阻帶截止頻率,p-s ：過渡帶,通帶允許的最大衰減 阻帶最小衰減：,4.數(shù)字濾波器的性能要求,式中假定 被歸一化為1,按設計任務，確定濾波器性能要求，制定技術指標 一個因果穩(wěn)定的離散LSI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)逼近此性能指標 利用有限精度算法實現(xiàn)此系統(tǒng)函數(shù)：如運算結構、字長的選擇等 實際技術實現(xiàn)：軟件法、硬件法或DSP芯片法,數(shù)字濾波器的設計過程,數(shù)字濾波器的設計,IIR濾波器設計主要內容包括： 巴特沃思、切比雪夫模擬低通濾波器設計； 脈沖響應不變法和雙線性變換法的數(shù)字化變換方法； 數(shù)字高通、帶通和帶阻濾波器的設計。 而FIR濾波器是直接采用的數(shù)字式設計方法。針對FIR濾波器特征，首先介紹了其線性相位的實現(xiàn)條件，然后介紹了窗函數(shù)法和頻率抽樣法的設計方法。,設計IIR數(shù)字濾波器一般有以下兩種方法： 1. 模擬濾波器:首先設計一個合適的模擬濾波器，然后將它轉換成滿足給定指標的數(shù)字濾波器，這種方法適合于設計幅頻特性比較規(guī)則的濾波器，例如低通、高通、帶通、帶阻等。 2.直接在頻域或者時域中進行數(shù)字濾波器設計，由于要聯(lián)立方程，設計時需要計算機作輔助設計。,4.2 IIR數(shù)字濾波器的設計,IIR濾波器以模擬低通濾波器為基礎的設計方法，為了設計其他的選頻濾波器（高通，帶通，帶阻等），需要對低通濾波器進行頻率轉換，在設計過程中有兩種不同的變換,頻帶變換和模擬/數(shù)字變換。根據這兩種變換的先后次序，引出兩種設計方法。,4.2 IIR數(shù)字濾波器的設計,其它非低通數(shù)字濾波器的設計過程,IIR的設計方法借用模擬濾波器,先設計一個合適的模擬濾波器，然后變換成滿足給定指標的數(shù)字濾波器。,設計步驟 將給定的數(shù)字濾波器的技術指標轉換為模擬濾 波器的技術指標； 根據轉換后的技術指標設計模擬原型濾波器； 按照一定規(guī)則將模擬濾波器轉換為數(shù)字濾波器。,4.2.1 模擬低通濾波器的設計,常用模擬低通濾波器及其特點 1.巴特沃思(Butterworth)濾波器: 特點是從通帶中心向兩邊幅頻特性單調下降； 2.切比雪夫型I(Chebyshev)濾波器:通帶內有等波紋幅頻特性函數(shù)，阻帶內有單調下降的幅頻特性函數(shù)； 3.切比雪夫型II(Chebyshev)濾波器:通帶內有單調下降的幅頻特性函數(shù)，阻帶內有等波紋幅頻特性函數(shù)； 4.橢圓濾波器(又稱考爾Cauer濾波器或雙切比雪夫濾波器):通帶和阻帶內均有等波紋幅頻特性； 5.貝塞爾(Bessel)濾波器（又稱最大平坦群時延濾波器）:在中心頻率附近逼近線性相位特性；,模擬濾波器的設計過程,（1）根據要求確定設計指標； （2）選擇濾波器類型； （3）計算濾波器階數(shù)； （4）通過查表或計算確定濾波器的系統(tǒng) 函數(shù)Ha(s); （5）綜合實現(xiàn)并裝配調試；,4.2.1 模擬低通濾波器的設計,1.巴特沃思低通濾波器 （1）基本性質 巴特沃思濾波器以巴特沃思函數(shù)來近似濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。巴特沃斯濾波器是根據幅頻特性在通頻帶內具有最平坦特性定義的濾波器。,N為濾波器階數(shù) c為3dB截止頻率,巴特沃思濾波器的低通模平方函數(shù)表示,巴特沃思低通濾波平方幅頻特性函數(shù),巴特沃斯濾波器的主要特征 a.對所有的N:,即,b. 是 的單調下降函數(shù)。,c. 隨著階次N的增大而更接近于理想低通濾波器。,歸一化原型濾波器是指截止頻率 已經歸一化成 的低通濾波器。對于截止頻率為 某個低通濾波器，則令 替歸一化原型濾波器系統(tǒng)函數(shù)中的 ， 對于其他高通、帶通、帶阻濾波器，可應用后面討論到的頻帶變換法，由其變換得出。,巴特沃斯低通濾波器的幅度平方函數(shù)為：,N為濾波器的階次， 為3dB截頻。,(2)巴特沃思低通濾波器設計過程,通帶最大衰減和阻帶最小衰減可由定義式求出: (設=0處幅度歸一化到1), 則:,(2)巴特沃思低通濾波器設計過程,1)求出N,Nmin應取向上取整。,2)如技術指標未給出 ，則可由下式計算： 或 采用上式求 ，阻帶指標有富裕量； 下式則通帶指標有富裕量。,查表求得歸一化傳輸函數(shù) , 令 代替歸一化原型濾波器系統(tǒng)函數(shù)中 的 , 即得到實際濾波器傳輸函數(shù)Ha(s)。,3)求系統(tǒng)函數(shù)Ha(s),低通巴特沃斯濾波器設計步驟：,（1）由 求濾波器階次N； （2）由N查表，求出歸一化傳輸函數(shù) ； （3）令 代入 ，得實際 濾波器傳輸函數(shù)Ha(s) 。,Nmin應取向上取整。,N及 計算,或,通帶邊頻: 通帶的最大衰減為: 阻帶邊頻為: 阻帶的最小衰減為:,例:設計一巴特沃思低通濾波器，使其滿足以下 指標:,解:根據濾波器技術指標,取N=4, 查表得四階巴特沃思多項式，得歸一化系統(tǒng)函數(shù)表達式,確定階次N,巴特沃斯歸一化低通濾波器參數(shù),巴特沃斯歸一化低通濾波器參數(shù),巴特沃斯歸一化低通濾波器參數(shù),代入,1.巴特沃思濾波器設計步驟：,(1)根據技術指標求 求出濾波器的階數(shù)N和3dB截止頻率,Nmin應取向上取整。,或,1.巴特沃思濾波器設計步驟：,(2)求系統(tǒng)函數(shù)Ha(s) 1)查表求 Ha(s) 查表求得歸一化傳輸函數(shù) ,令 代替歸一化原型濾波器系統(tǒng)函數(shù)中的 , 得到實際濾波器傳輸函數(shù)。,求濾波器的極點，并由s平面左半平面的極點構成 。 幅度平方函數(shù)極點為： 將s平面左半平面的N個極點分配給,2)極點法求系統(tǒng)函數(shù)Ha(s),例：已知fp=5kHz，p=2dB，fs=12kHz， s=30dB，設計巴特沃斯低通濾波器。 解：（1）確定階次N：,取N=5，其極點為（歸一化極點）,（2）查表求極點： P1,2=-0.3090j0.9511; p3,4=-0.8090 j0.5857; p0=-1.000 所以,（3）求c： 所以 s比題目中給出的指標小，過渡帶符合要求。,（4）去歸一化，求Ha(S) 將p=s/c代入Ha(P)，得：,切比雪夫濾波器引入原因： Butterworth濾波器頻率特性，無論在通帶與阻帶都隨頻率單調變化，因此如果在通帶邊緣滿足指標，則在阻帶內肯定會有富裕量，也就是會超過指標的要求，因此并不經濟。 更有效的方法是將指標的精度要求均勻的分布在通帶內，或均勻分布在阻帶內，或同時均勻分布在通帶與阻帶內，這時就可設計出階數(shù)較低的濾波器。這種精度均勻分布的辦法可通過選擇具有等波紋特性的逼近函數(shù)來完成。,4.2.2切比雪夫濾波器設計,通帶內等波紋，阻帶內單調-切比雪夫1型 通帶內單調，阻帶內等波紋-切比雪夫2型 切比雪夫1型的幅度平方函數(shù)：,是小于1的正數(shù)，稱為紋波參數(shù)，是表示通帶內紋波大小的一個參數(shù)， 愈大，紋波也愈大。 p稱為有效通帶截止頻率。 頻率通常對p歸一化，,在通帶內，在1和 之間起伏變化；在阻帶內是單調下降的； 當N為奇數(shù)時，濾波器在 處的幅度響應為1；當N為偶數(shù)時，濾波器 在 處的幅度響應為 。當 時，,4.2.2切比雪夫濾波器設計,基本性質,的確定,設允許的通帶紋波為，那么,階數(shù)N 的確定,(1)查表得 (2)查表得幅度平方函數(shù)的極點,其中,的確定,極點分布,2N個等角度間隔（間隔為/N）分布在 為長半軸， 為短半軸的橢圓 上的點。,切比雪夫濾波器的傳輸函數(shù),系數(shù)A由s=0時濾波器幅度響應的值確定: 當N為奇數(shù)時， 當N為偶數(shù)時，,去歸一化得到濾波器的傳輸函數(shù)Ha(s),切比雪夫低通濾波器的設計步驟,(1)由給定的設計指標確定切比雪夫濾波器的參數(shù)、N和p,(2)確定Ha(s) 1)查表求得歸一化傳輸函數(shù) ,令 代替歸 一化原型濾波器系統(tǒng)函數(shù)中的 ，即得到實際濾波 器傳輸函數(shù)。,切比雪夫低通濾波器的設計步驟,歸一化Chebyshev低通濾波器的傳輸函數(shù)為,切比雪夫低通濾波器的設計步驟,歸一化Chebyshev低通濾波器的傳輸函數(shù)為,為了得到單位峰值增益，一般選,切比雪夫低通濾波器的設計步驟,(2)確定Ha(s) 2）濾波器的極點，并由s平面左半平面的極點構成Ha(s)。,切比雪夫低通濾波器的設計步驟,系數(shù)A由s=0時濾波器幅度響應的值確定: 當N為奇數(shù)時， 當N為偶數(shù)時，,切比雪夫低通濾波器的設計步驟,去歸一化得到濾波器的傳輸函數(shù)Ha(s),切比雪夫濾波器是一種全極型濾波器，它是由切比雪夫多項式的正交函數(shù) 推導出來的，采用了在通帶內等波動，在通帶外單調衰減的準則去逼近理想特性。 它比巴特沃斯濾波器在通帶內有更均勻的特性，是在所有全極型濾波器中過渡帶最窄的最優(yōu)濾波器。,4.2.2切比雪夫濾波器設計,N=4,1,c,1/(1+2),(2)設計過程 1)根據要求的濾波器指標確定波紋參數(shù)和N。,濾波器的階數(shù)N的確定：,的確定：,待定參數(shù)可通過通帶內的最大衰減來求得,【例】 設計一個滿足下列指標的Chebyshev低通濾波器。當 時， ；當 時， 。 【解】 取N3,歸一化Chebyshev低通濾波器的傳輸函數(shù)為,歸一化Chebyshev低通濾波器的傳輸函數(shù)為,為了得到單位峰值增益，一般選,2)查表求得歸一化傳輸函數(shù) ,令 代替歸 一化原型濾波器系統(tǒng)函數(shù)中的 ，即得到實際濾波 器傳輸函數(shù)。,(2)設計過程,基本思路： 轉換要求： （1）確保穩(wěn)定性； （2）模仿的頻響特性基本一致,4.3 IIR數(shù)字濾波器的實現(xiàn),由模擬濾波器設計IIR數(shù)字濾波器,常用方法,工程上常用: 脈沖響應不變法 雙線性變換法,1.變換原理,數(shù)字濾波器的單位脈沖響應序列h(n)正好等于模擬濾波器的沖激響應ha(t)的采樣值，即 h(n)=ha(nT), T為采樣周期.如以 Ha(s) 及 H（z）分別表示 ha(t) 的拉氏變換及 h(n) 的Z變換，即,數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)h(n)的Z變換便是H(z)。,4.3.1脈沖響應不變法( Impulse Invariance ),下面我們分析從模擬濾波器到數(shù)字濾波器S平面和Z平面之間的映射關系。,抽樣信號的傅里葉變換,時域離散非周期信號,頻域連續(xù)周期的頻譜,抽樣信號的傅里葉變換,數(shù)字濾波器的頻率響應是模擬濾波器頻率響應的周期延拓?？赡苡谢殳B失真,-3S/2,沖激不變法s平面與z平面的映射關系,s平面到z平面的多值映射,但是，實際的模擬濾波器頻率響應都不是嚴格限帶的， 變換后就會產生周期延拓分量的頻譜交疊，即產生頻率響應的混疊失真。這時數(shù)字濾波器的頻響就不同于原模擬濾波器的頻響，而帶有一定的失真。 當模擬濾波器的頻率響應在折疊頻率以上處衰減越大、越快時，變換后頻率響應混疊失真就越小。這時，采用脈沖響應不變法設計的數(shù)字濾波器才能得到良好的效果。,脈沖響應不變法中的頻響混疊現(xiàn)象,1)濾波器指標以模擬域形式給出，此時,解決混疊的方法：,已確定，采樣頻率增加，令采樣時間間隔（T=1/fs）減小混疊減小。,2)濾波器指標以數(shù)字域形式給出，此時,未確定，但,已定，采樣頻率增加，為保證omegas,不變，必有,增加，增加濾波器的階數(shù)N，混疊減小。,脈沖響應不變法的基本思路,設模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)若只有單階極點，且分母的階數(shù)高于分子階數(shù) NM，則可表達為部分分式形式 其拉氏反變換為 對ha(t)采樣得到數(shù)字濾波器的單位脈沖響應序列,脈沖響應不變法模擬到數(shù)字的轉換,再對h(n)取Z 變換，得到數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù),脈沖響應不變法模擬到數(shù)字的轉換,（1）S平面的每一個單極點s=sk變換到Z平面上z=eskT處的單極點。 （2） Ha(s)與H(z)的部分分式的系數(shù)相同，都是Ak。 （3）如果模擬濾波器是因果穩(wěn)定的，則所有極點sk位于S平面的左半平面，即Resk0， 則變換后的數(shù)字濾波器 的全部極點在單位圓內，即|eskT|=eReskT1，因此數(shù)字濾波器也是因果穩(wěn)定的。,Ha(s)和H(z) 比較,練習：設模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為,試用脈沖響應不變法將Ha(s)轉換成IIR數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。,解 直接利用公式可得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為,設T=1，則有,沖激響應不變法的實現(xiàn)步驟 (1)確定數(shù)字濾波器的性能指標（ ) 和( ) (2)利用 ，將數(shù)字濾波器的性能指標變換 成模擬濾波器的性能指標( )和( ）(3)利用成熟的模擬濾波器設計方法設計模擬濾波器，求出 (4)將模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù) 轉變成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù),4.沖激響應不變法的優(yōu)缺點,優(yōu)點：一個線性相位的模擬濾波器可以映射成為一個線性相位的數(shù)字濾波器。 缺點：根據奈奎斯特抽樣定理，沖激響應不變法只適用于限帶的模擬濾波器，即只適用低通、帶通濾波器的設計，不適合高通、帶阻濾波器的設計，否則會出現(xiàn)混疊，而且 這種頻率混疊現(xiàn)象的出現(xiàn)不會因抽樣周期的減少而消失。,例: IIR低通濾波器的設計指標如下： 1）通帶截止頻率P0.1rad， 阻帶起始頻率s0.25rad 2）通帶最大衰減p=3dB， 阻帶最小衰減s=15dB,設計舉例,解：,1) 根據DF指標, 將DF指標轉換為歸一化LPF指標,1.巴特沃思濾波器設計步驟：,(1)根據技術指標求 求出濾波器的階數(shù)N和3dB截止頻率,Nmin應取向上取整。,或,4) 求H(z),（1）頻率坐標變換是線性的，數(shù)字濾波器在 無頻率混疊時能較好地重現(xiàn)原模擬濾波器的頻率特性； （2）由于數(shù)字域的沖激響應完全模仿模擬域的沖激響應，故時域特性逼近好； （3）存在頻率效應，對于非帶限的模擬濾波器不適用。,脈沖響應不變法的優(yōu)缺點,-3S/2,4.3.2 雙線性變換法,（ Bilinear Transformation method ） 為了克服脈沖響應不變法的頻譜混疊 現(xiàn)象，采用非線性頻率壓縮方法 -雙線性變換法。,從s到z平面的映射： 映射時應滿足的條件： 如原模擬濾波器是因果穩(wěn)定的，則 數(shù)字濾波器也應是因果穩(wěn)定的， 并且性能指標符合設計要求。,4.3.2雙線性變換法（Bilinear Transform),1.變換原理,s平面到z平面的映射關系 二次映射法S S1 Z 為了將S平面的j軸壓縮到S1平面j1軸上的 到 一段上，可通過以下的正切變換實現(xiàn)：,這里C是待定常數(shù)，下面會講到用不同的方法確定C 。,當 由 時, 由 經過變化到 ，即S平面的整個 軸被壓縮到S1平面的 一段. 將這一關系解析擴展至整個S平面， 則得到S平面到S1平面的映射關系： 再將 S1 平面通過標準變換關系映射到Z平面，即令,令,(1)整個s平面到s1平面上的轉換為：,(2)s1平面到z平面的變換則為：,(3)從s平面到z平面的變換為：,或,（）,（）,4.3.2 雙線性變換法,2.變換常數(shù)的選擇,常數(shù)的選擇可以使模擬濾波器的頻響特性和數(shù)字濾波器的頻響特性在不同的頻率范圍有對應的關系，起到調節(jié)二者頻帶間關系的作用。選擇的方法有兩種。,1)使模擬濾波器和數(shù)字濾波器的頻響特性在低頻部分有較確切的對應關系，即當 較小的時候，有,由此得,2)使數(shù)字濾波器的某一特定頻率(例如截止頻率 與模擬原型濾波器的特定頻率 嚴格對應，即,2.變換常數(shù)的選擇,由于在待定的模擬頻率和待定的數(shù)字頻率處頻率響應應嚴格相等，因而可以較準確的控制截止頻率位置。,3.雙線性變換可以消除頻率混疊的原因,S/2,-S/2,如令,則得,3. 模擬角頻率和數(shù)字角頻率的映射關系,3. 模擬角頻率和數(shù)字角頻率的映射關系,雙線性變換的頻率對應關系,雙線性變換法雖然避免了“頻率混疊效應”，但出現(xiàn)了模擬頻率與數(shù)字頻率為一種非線性的關系情形即：,可見：模擬濾波器與數(shù)字濾波器的響應在對應的頻率關系上發(fā)生了“畸變”，也造成了相位的非線性變化，這是雙線性變換法的主要缺點。具體而言，在上刻度為均勻的頻率點映射到上時變成了非均勻的點，而且隨頻率增加越來越密。,雙線性變換法除了不能用于線性相位濾波器設計外，仍然是應用最為廣泛的設計IIR數(shù)字濾波器的方法。,（1）確定數(shù)字低通技術指標： 通帶截止頻率 、通帶衰減 阻帶截止頻率 、阻帶衰減 （2）預畸變：將數(shù)字低通指標轉換成模擬低通指標（ 和 不變 ） 邊界頻率的變換關系：,4.雙線性變換法設計數(shù)字低通濾波器的步驟,4.雙線性變換法設計數(shù)字低通濾波器的步驟,（3）設計模擬低通濾波器傳輸函數(shù)Ha(s)； （4）將Ha(s)轉換成數(shù)字低通濾波器： 這里的采樣間隔T可任意選取， 通常取 T=1。,例：用雙線性變換法將圖示RC低通濾波器轉換成數(shù)字低通濾波器。,解： 傳輸函數(shù),數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)為：,例2：,設計數(shù)字低通濾波器，要求在通帶內頻率 低于0.2時，容許幅度誤差在1dB以內； 在頻率0.3到之間的阻帶衰減大于15dB。 解：（1）數(shù)字低通指標,（2）模擬低通指標：,（3）設計巴特沃斯模擬低通濾波器：,查表后，得,得模擬濾波器傳輸函數(shù)Ha(s),取N=6,通帶指標有富裕量,去歸一化,令,代入,（4）用雙線性變換法轉換成數(shù)字低通濾波器,例3:,用雙線性變換法和模擬低通巴