近似法在物理學(xué)中的運(yùn)用_學(xué)士學(xué)位論文

學(xué)士學(xué)位論文 s 文題目 近似法在物理學(xué)中的應(yīng)用 作者 姓名 孫浩欽 學(xué)號 2009112010120 所 在 院 系 物理與電子科學(xué)學(xué)院 學(xué)科 專業(yè)名稱 物理學(xué) 導(dǎo) 師 及 職 稱 王中元 副教授 論文答辯 時間 2013 年 5 月 12 日 編號 2013120120 研究類型 理論研究 分類號 湖北師范學(xué)院學(xué)士學(xué)位論文誠信承諾書 中文題目 ： 近似法在物理學(xué)中的應(yīng)用 外文題目： 學(xué)生姓名 孫浩欽 學(xué)生學(xué)號 2009112010120 院系專業(yè) 物理與電子科學(xué)學(xué)院 物理學(xué)學(xué)生班級 0901 學(xué) 生 承 諾 我承諾在學(xué)士學(xué)位論文（設(shè)計）活動中遵守學(xué)校有關(guān)規(guī)定，恪守學(xué)術(shù)規(guī)范，本人學(xué)士學(xué)位論文（設(shè)計）內(nèi)容除特別注明和引用外，均為本人觀點(diǎn)，不存在剽竊、抄襲他人學(xué)術(shù)成果，偽造、篡改實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的情況。如有違規(guī)行為，我愿承擔(dān)一切責(zé)任，接受學(xué)校的處理。 學(xué)生（簽名）： 2013 年 5 月 6 日 指導(dǎo)教師承諾 我承諾在指導(dǎo)學(xué)生學(xué)士學(xué)位論文（設(shè)計）活動中遵守學(xué)校有關(guān)規(guī)定，恪守學(xué)術(shù)道德規(guī)范，經(jīng)過本人核查，該生學(xué)士學(xué)位論文（設(shè)計）內(nèi)容除特別注明和引用外，均為該生本人觀點(diǎn)，不存在剽竊、抄襲他人學(xué)術(shù)成果，偽造、篡改實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的現(xiàn)象。 指導(dǎo)教師（簽名）： 2013 年 5 月 6 日 目 錄 . 1 . 1 . 1 研究物理問題過程中使用近似處理的方法 . 2 研究物理問題時對條件進(jìn)行近似處理的方法 . 3 建立物理模型時使用近似似處理的方法 . 5 物理學(xué)計算中進(jìn)行近似處理的方法 . 6 物理實(shí)驗(yàn)中進(jìn)行似處理的方法 . 8 . 10 . 11 近似法在物理學(xué)中的應(yīng)用 孫浩欽（指導(dǎo)老師，王中元 副教授） （ 湖北師范學(xué)院物理與電子科學(xué)學(xué)院 湖北 黃石 435002） 摘 要 : 物理學(xué)是一門定量的學(xué)科。 在描述物理模型、推導(dǎo)物理規(guī)律、求解物理問題和進(jìn)行物理實(shí)驗(yàn)等方面 ， 為了分析認(rèn)識所研究問題的本質(zhì)特性 ， 突出實(shí)際問題的主要方面 ， 忽略次要因素 , 只要抓住主要的矛盾，無需追求精確的結(jié)果， 往往會用近似的方法對物理問題做出相應(yīng)的處理。近似法是研究物理問題的基本思想方法之一 ， 在實(shí) 際中具有廣泛應(yīng)用。 關(guān)鍵詞 : 近似法；物理學(xué)；運(yùn)用 中圖分類號 : un （ of 35002） is a In of of in to of of to of so as to of of is of of in 北師范學(xué)院物理與電子科學(xué)學(xué)院 2013 屆學(xué)士學(xué)位論文 1 近似法在物理學(xué)中的應(yīng)用 孫浩欽（指導(dǎo)老師，王中元 副教授） （湖北師范學(xué)院物理與電子科學(xué)學(xué)院 湖北 黃石 435002） “近似法”是指在分析、處理和研究某些物理現(xiàn)象和問題時，根據(jù)所研究問題的需要，忽略研究對象和問題的次要因素，突出其主要矛盾和本質(zhì)特征，科學(xué)、合理地對所研究的問題進(jìn)行近似處理的方法 。近似法不僅是一種常用的解題方法和思維方法，而且也是物理學(xué)的重要研究方法之一。研究物理問題時，往往涉及許多物理模型，如結(jié)構(gòu)模型、運(yùn)動模型、相互作用模型等，對這些模型的數(shù)學(xué)描述如果追求精確，處理起來常常感覺很棘手，但如果采用近似法處理，可使描述和運(yùn)算簡單化。但是，并不是說所有問題都要用近似法來解決的。因此，在解決問題時要根據(jù)問題本身來選擇方法。 客觀世界中物體間的相互作用相當(dāng)復(fù)雜，所遇到物理問題通常也都很復(fù)雜，同時會有許多因素在里面起作用。我們研究這些問題時不可能面面俱到，而 只能側(cè)重研究其中一個或少數(shù)幾個主要的因素。如果要同時從各個方面、對各個起作用的因素都予以考慮，那么研究就很可能進(jìn)行不下去。因此，要研究并解決物理問題，就需要建立一個比實(shí)際情況簡單但與實(shí)際情況相似，且具有一些最主要特點(diǎn)的物理模型。建立了物理模型之后，就要對物理模型進(jìn)行處理，即對它賦予數(shù)學(xué)形式，進(jìn)行求解。在此過程中，有些數(shù)學(xué)形式太復(fù)雜，無法計算，這時就需要進(jìn)行各種近似，使問題簡單化，這樣才能得出明了簡潔的答案，暴露出所要研究問題中的最主要的物理規(guī)律和物理思想。 在研究物理問題 時，我們常常要用到各種各樣的近似法對來一些物理問題來進(jìn)行處湖北師范學(xué)院物理與電子科學(xué)學(xué)院 2013 屆學(xué)士學(xué)位論文 2 理。下面列舉一些物理學(xué)中常常用到的近似方法。 研究物理問題過程中使用近似處理的方法 物理學(xué)所研究的對象和過程，往往不是處于自然狀態(tài)的實(shí)際客體和實(shí)際現(xiàn)象，而是采用科學(xué)抽象方法適當(dāng)簡化后建立的理想模型和理想過程；又由于物理學(xué)是一門實(shí)驗(yàn)科學(xué)，在觀察和實(shí)驗(yàn)中，限于當(dāng)時儀器的精密程度、操作技術(shù)的準(zhǔn)確程度，從而不可避免地出現(xiàn)測量誤差。因此，反映各物理量之間關(guān)系的物理規(guī)律往往具有近似性，它們只能在一定精度范圍內(nèi)足夠真實(shí)但又近似地反映客觀世界。物理近 似方法主要指理想化方法，即在物理教學(xué)中通過想象建立模型和進(jìn)行實(shí)驗(yàn)的方法。通常的物理現(xiàn)象和物理過程相當(dāng)復(fù)雜，因此在分析物理現(xiàn)象和研究物理過程時，就要忽略次要因素，抓住主要矛盾，通過想象而抽象出一個與實(shí)體特點(diǎn)相似的物理模型，以便于研究、分析問題，此即理想化方法。自然界的物質(zhì)，從宇宙天體到分子、原子等基本粒子，從電磁場到引力場，無不處于永恒的運(yùn)動變化之中，將一些復(fù)雜的物理過程進(jìn)行分解、簡化，近似抽象為簡單的、易于理解的近似過程。利用這個理想化的近似過程，就能比較容易且相當(dāng)準(zhǔn)確地描述客觀世界中真實(shí)物體的運(yùn)動規(guī)律。 我們在研究物理規(guī)律，推導(dǎo)物理公式和結(jié)論時，如果完全依照實(shí)際情形推導(dǎo)，往往即繁又難。因此常常需要通過恰當(dāng)?shù)娜∩徇M(jìn)行近似處理，簡化推導(dǎo)討程。 試證明在雙縫干涉實(shí)驗(yàn)中，相鄰兩條亮紋或暗紋間的距離 為x 其中 為光的波長， 圖 1 雙縫干涉 證明 :如圖 1所示是雙縫干涉的示意圖， 1S 與 2S 是兩條離得很近的狹縫，它們間的距離為 d ； 與刻有雙縫的屏相互平行， O 為 21垂線上的點(diǎn)， 013 屆學(xué)士學(xué)位論文 3 的距離為 L?，F(xiàn)用單色激光束垂直照射雙縫， O 點(diǎn)處一定是明亮的，這是因?yàn)?S 等遠(yuǎn)，從 1S 和 2S 射出的光，到達(dá) O 點(diǎn)的路程相等，振動一定得到加強(qiáng)，因此是亮的。如果 點(diǎn)相鄰的亮條紋中心，那么 S 及 2S 間的距離 1r ，及 2r 間應(yīng)滿足關(guān)系 12 中 為這單色光的波長。從圖中可以看出， 2221 )2( ，2222 )2( 兩式相減得： 2)( 12122122 由于 l 遠(yuǎn)大于 d ， l 遠(yuǎn)大于 x ； 因此 21 ，所以 ，即 。 研究物理問題時對條件進(jìn)行近似處理的方法 力學(xué)中通常遇到的“光滑平面”、“不計空氣阻力”、“忽略摩擦阻力”等，實(shí)際上就隱含了研究條件的各種近似，通 常很難實(shí)現(xiàn)這種理想情況，這只是為了研究問題的方便而假想的。牛頓第一定律就是物理實(shí)驗(yàn)大師伽俐略由理想實(shí)驗(yàn)得出的偉大杰作。實(shí)驗(yàn)內(nèi)容是：把兩個斜面對接起來，讓靜止的小球沿一個斜面滾下來，小球?qū)L上另一個斜面。如果沒有摩擦，小球?qū)⑸仙皆瓉硪恢聲r的高度。如果減小第二個斜面的傾角，小球在這個斜面上仍然要達(dá)到原來的高度，但要通過更長的距離。繼續(xù)減小第二個斜面的傾角，最后使它成為水平面，小球不可能達(dá)到原來的高度，就要沿著水平面以恒定的速度持續(xù)運(yùn)動下去。伽俐略的理想實(shí)驗(yàn)，以可靠的事實(shí)為基礎(chǔ)，經(jīng)過抽象思維，抓住主要因素，忽略 了次要因素，從而更深刻地反映了牛頓第一定律這個自然規(guī)律 1。此外，在研究牛頓第二定律的演示實(shí)驗(yàn)中，當(dāng)小車的質(zhì)量遠(yuǎn)大于祛碼的質(zhì)量時，可以認(rèn)為小車所受的水平拉力的大小近似等于祛碼 (包括祛碼盤 )所受重力的大小，從而得出小車的加速度 a、力 也是物理實(shí)驗(yàn)對條件的一種近似。 伽利略忽略實(shí)際物體間存在的摩擦力這一事實(shí)，設(shè)計出的在可靠事實(shí)基礎(chǔ)之上的理想斜面實(shí)驗(yàn)，基本上得出了慣性定律，推翻了亞里士多德“力是維持物體運(yùn)動狀態(tài)的原因”的錯誤觀念，為牛頓力學(xué)體系的創(chuàng)立鋪平了道路；質(zhì)點(diǎn)模型的引入為萬有引力定 律、牛頓運(yùn)動定律及力學(xué)理論建立了基礎(chǔ)。 此外，“細(xì)繩”、“輕桿”、“輕彈簧”則隱含了研究中繩子、桿、彈簧的質(zhì)量可以忽略不計，只需重點(diǎn)分析題中最主要的研究對象 2。一般的振動是一種很復(fù)雜的過程，為了討論振動現(xiàn)象，并揭示其一般規(guī)律，我們對振動過程進(jìn)行簡化，不考慮摩湖北師范學(xué)院物理與電子科學(xué)學(xué)院 2013 屆學(xué)士學(xué)位論文 4 擦力和空氣阻力的影響，先研究其中最簡單、最基木的理想化振動形式，即簡諧運(yùn)動。彈簧振子所作的振動就近似看作簡諧運(yùn)動。簡諧振動是忽略了阻尼作用而簡化得到的一種等幅振動。熱學(xué)中的等壓變化、等溫變化、等容變化、絕熱過程等，也都是過程的理想的模型化 3。在討論 這些問題是都對其條件近似處理，忽略其他次要條件的影響。又如杠桿中“硬棒”的“硬”則說明不考慮棒的形變，把棒當(dāng)作剛體來研究。自由落體運(yùn)動是忽略了空氣阻力和高度變化對重力加速度的影響等次要因素的情況下提煉出來的理想運(yùn)動。 在熱學(xué)中，為了表征一定質(zhì)量氣體處在熱動平衡態(tài)時三個狀態(tài)參量 (P , V ,T )之間存在的關(guān)系，許多物理學(xué)家進(jìn)行了不懈的努力，從實(shí)驗(yàn)中總結(jié)出了玻意耳一馬略特定律、蓋呂薩克定律、查理定律這三條基本定律，并通過理想氣體模型，運(yùn)用邏輯思維把三個氣體的經(jīng)驗(yàn)定律統(tǒng)一起來，得到一般形式下的理想氣體狀態(tài)方程，從而為熱力學(xué)理論的發(fā)展奠定了基礎(chǔ) 4。 推導(dǎo)理想氣體的壓強(qiáng)公式時，忽略了氣體分子在兩個容器壁間運(yùn)動時與其它氣體分子的碰撞作用，并且忽略了氣體與器壁碰撞時的摩擦力作用而把這種碰撞認(rèn)為是完全彈性碰撞；彈性碰撞是忽略了物體間的相互摩擦而得到的一種理想化過程。再比如無限長螺線管 內(nèi)的均勻磁場是忽略了邊緣效應(yīng)而把磁感應(yīng)強(qiáng)度視為恒量的一種近似。在研究物理問題時，對其過程的近似處理，不但可以使問題得到簡化，提煉出物理現(xiàn)象的本質(zhì)規(guī)律，還可以加深學(xué)生對有關(guān)概念、規(guī)律的理解，有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性 5。 圖 2 雙電容法 如測量比荷置如圖 2所示，在真空管中由陰極 初速度可以忽略不計，此電子被陰極 間的電場加速后穿過屏障 1D 上的小孔，然后順序穿過電容器 1C ，屏障 2D 上的小孔和第二個電容器 2C 而射到熒光屏 極與陰極間的電勢差為 u ，在電容器 21間加有頻率為 f 的完全相湖北師范學(xué)院物理與電子科學(xué)學(xué)院 2013 屆學(xué)士學(xué)位論文 5 同的交流電， 21間距離為 L ，選擇頻率 證明電子的比荷為 22 /2/ ，其中 電子從 K 發(fā)出由于速度很小因此近似看作靜止的。在其運(yùn)動過程中忽略邊緣效應(yīng)，電子可以近似的看作沒受到其它外力的影響。由于 21加的是交變電壓，所以電子穿過 21，電壓要變化，不會總為一定值。但由于電子通過電容器的時間極短，所以在極短的時間內(nèi)，電壓可近似 看作不變，所以要想電子不偏轉(zhuǎn)。則電子通過 21兩極間的電壓應(yīng)為零，從而求解 子通過 21候兩級的電壓為 0，即 （ 子進(jìn)過 據(jù)動能定理有 221 故： 22 /2/ 建立物理模型時使用近似似處理的方法 所謂模型，就是人們?yōu)榱四撤N特定的目的而對研究對象、研究過程所作的一種簡化的描述?？陀^世界千頭萬緒，錯綜復(fù)雜，自然界中發(fā)生的一切物理現(xiàn)象和物理過程也是極其復(fù)雜的。近似法是建立物理學(xué)理論的基礎(chǔ)方法之一，它在物理學(xué)的產(chǎn)生和發(fā)展過程中發(fā)揮了重大作 用?？v觀物理學(xué)史，從宏觀天體的運(yùn)行到微觀粒子的運(yùn)動，無論是力學(xué)現(xiàn)象、熱學(xué)現(xiàn)象、光學(xué)現(xiàn)象還是電磁學(xué)現(xiàn)象，不論是原子物理，還是近代物理，物理學(xué)的一切理論無不是建立在一定的模型上的。而從前面的分析知道，物理模型或多或少總是與客觀實(shí)際之間存在著一定的差距，任何模型的建立都是具有近似性的。在一定的條件和目的下，可以事先建立一個物理模型，即抓住研究對象的主要特點(diǎn)和本質(zhì)因素，忽略次要因素，把研究對象抽象為一個簡單但足以表征其主要特征的理想化模型。盡管對條件進(jìn)行近似處理來建立物理模型，但利用這個與實(shí)際情況差距極小的理想化模 型對物理現(xiàn)象進(jìn)行研究，得到的物理規(guī)律卻是最能反映出實(shí)際研究對象行為的規(guī)律。 物理學(xué)中常把研究的客觀實(shí)體抽象為理想化實(shí)體模型，或把所研究的物理過程抽象為理想化過程模型。這種物理科學(xué)方法，能抓住研究對象、研究過程的主要特征，舍去大量具體細(xì)節(jié)，將研究對象、過程進(jìn)行簡化，即對研究對象或過程采用了近似處理的方法。根據(jù)近似的具體情況，對模型的近似處理可以是對研究對象本身的近似，即忽略研湖北師范學(xué)院物理與電子科學(xué)學(xué)院 2013 屆學(xué)士學(xué)位論文 6 究對象本身的次要因素，只考慮其主要因素。如 :力學(xué)中的質(zhì)點(diǎn)就是最簡單、最重要的理想化物理模型。如果在所研究的問題中物體的大小和形狀不起作用 或所起作用很小，就可以忽略它的大小和形狀，而用一個代表質(zhì)量的點(diǎn)來代替整個物體，這個點(diǎn)就稱為質(zhì)點(diǎn) 6。在研究地球的公轉(zhuǎn)時，我們就可以把地球視為質(zhì)點(diǎn)。 再如，力學(xué)中剛體的概念也應(yīng)用了近似處理的方法。剛體是一種理想化物理模型，無論它在多大外力的作用下，系統(tǒng)內(nèi)任意兩點(diǎn)間的距離始終保持不變。再比如點(diǎn)電荷模型也是科學(xué)近似的結(jié)果，實(shí)驗(yàn)表明，每個靜止的帶電體之間的作用力 (靜電力 )除了與電量及相對位置有關(guān)外，還依賴于帶電體的大小、形狀及電荷的分布情況。要用實(shí)驗(yàn)確立所有這些因素對靜電力的影響是困難的；但是，如果帶電體的線度比 帶電體之間的距離小得多，那么，靜電力基本上只取決于它們的電量及其之間的距離。這時，我們就可忽略帶電體的大小、形狀及電荷分布等次要因素，突出帶電體的電量及它們之間的距離這些主要因素，將帶電體視為只帶有一定電量的幾何點(diǎn)，即點(diǎn)電荷。這一模型的精確程度不僅取決于帶電體本身的大小，而且還取決于它們之間的距離以及討論問題所要求的精確程度。另外哥白尼對天體運(yùn)行的簡化模型 太陽系模型、盧瑟福對原子結(jié)構(gòu)的簡化模型 原子核模型，以及對點(diǎn)光源、薄透鏡、單擺、彈簧振子、輕繩等問題的處理時，均屬于對實(shí)體的近似處理。電磁學(xué)研究的很多理 論也借助了物理模型得以實(shí)現(xiàn)。如為了總結(jié)兩個靜止的帶電體間相互作用力的基本規(guī)律而引入的電荷模型，為庫侖定律的建立提供了條件，庫侖定律就是在點(diǎn)電荷模型條件下由庫侖通過扭秤實(shí)驗(yàn)總結(jié)出來的。而庫侖定律的建立又為電磁學(xué)理論的發(fā)展提供了理論基礎(chǔ)，隨后所建立起來的靜電場的環(huán)路定理、高斯定律等都是在庫倫定律的基礎(chǔ)上建立起來的 7。又如當(dāng)螺線管的管徑遠(yuǎn)比管長小時，可忽略螺線管的邊緣效應(yīng)，將管內(nèi)部的磁場視為勻強(qiáng)磁場。除此之外，光學(xué)、原子物理學(xué)、近代物理學(xué)等的理論也都是建立在一定的模型之上的。此外，在研究剛體運(yùn)動的力學(xué)規(guī)律時， 為簡化問題而抽象出來的理想化模型 剛體，即是在忽略在外力作用下物體所發(fā)生的微小形變而得到的；再如流體力學(xué)中沒有粘滯性、不可壓縮的“理想流體”；氣動理論中忽略分子體積和分子引力作用的“理想氣體”；電磁學(xué)中的理想變壓器模型等。 物理學(xué)計算中進(jìn)行近似處理的方法 物理學(xué)是一門定量科學(xué)，在分析解決物理問題時，數(shù)學(xué)成了一個必不可少的工具。在解決某些物理問題時，無需追求結(jié)果的精確性，只要抓住主要矛盾，對計算結(jié)果進(jìn)行合理的近似，就可反映出該物理問題的物理本質(zhì)，揭示出物理規(guī)律。在處理各種實(shí)際問湖北師范學(xué)院物理與電子科學(xué)學(xué)院 2013 屆學(xué)士學(xué)位論文 7 題時，除了采用適當(dāng)?shù)?模型以簡化問題外，往往還需要借助數(shù)學(xué)工具對模型進(jìn)行處理。由于數(shù)學(xué)與物理相互聯(lián)系，密不可分，要想學(xué)好物理知識，必須有扎實(shí)的數(shù)學(xué)知識作基礎(chǔ)。因此，數(shù)學(xué)近似方法也是物理中一種重要的處理問題 的方法。在對結(jié)果進(jìn)行近似處理時，可以根據(jù)具體情況，結(jié)合數(shù)學(xué)知識，采用不同的近似方法。比如利用泰勒級數(shù)或付里葉級數(shù)，可以求得許多函數(shù)的近似解；再比如用有限過程 (如取有限項(xiàng)、有限次 )代替無限過程 (無限項(xiàng)、無限次 )；或者忽略一些較小項(xiàng)對結(jié)果的影響，進(jìn)行數(shù)量級的估算等 8。在物理學(xué)處理上，也常常需要進(jìn)行近似處理。 如三角函數(shù)的近似在物 理學(xué)中的運(yùn)用，常見的三角函數(shù)近似公式有 : 222 s in=c o s ,c o s ,s ,時 1 ，相對誤差 小。所以，伏特表的內(nèi)阻大，而待測電阻小時，使用安培表外接較合適。 由以上分析可知用伏安法測電阻時，由于安培表和伏特表都有一定的內(nèi)阻，將它們接入電路后，就存在著接入誤差（系統(tǒng)誤差），所以測得的電阻值不是偏大就是偏小，兩個相比較，當(dāng) X 時，采用安培表外接電路有利。 應(yīng)說明的是，待測電阻的阻值大小是相對于所用儀表的內(nèi)阻來說的。量程大的安培計內(nèi)阻小，量程小的內(nèi)阻大；量程大的伏特計內(nèi) 阻大，量程小的內(nèi)阻小。但量程大的電表每小格表示的安培數(shù)或伏特數(shù)較大，對于很小的電流和電壓讀不出較準(zhǔn)確的值來。 除電表內(nèi)阻對測量結(jié)果的影響外，電表的準(zhǔn)確度不同級別對電阻測量也會帶來誤差。 在伏安法測電阻這個實(shí)驗(yàn)中，不但對電壓表和電流表都忽略了其內(nèi)阻進(jìn)行了近似的處理，還對實(shí)驗(yàn)中各式各樣的誤差進(jìn)行了近似的處理。 例如在“用油膜法測分子大小實(shí)驗(yàn)”中，需要測量出油膜分布的面積大小，一般將油膜分布的圖形在坐標(biāo)紙上的進(jìn)行投影，每格正方形大小為 21通正方形的方格來計算出油膜面積的大小。 分析 :先計算完整格的格數(shù)和不完整格的格數(shù)，將不完整的格數(shù)做近似處理：將面積等于或超過小正方體一半的格當(dāng)作一個，將面積不到一半的格子數(shù)忽略掉，再由格子湖北師范學(xué)院物理與電子科學(xué)學(xué)院 2013 屆學(xué)士學(xué)位論文 10 數(shù)目來計算出圖形面 積。如此作近似處理可以估算出油膜的面積。 從以上討論可以看出，近似法在物理學(xué)中有廣泛的應(yīng)用。通過近似處理的手段，抓住了所研究問題的本質(zhì)屬性，簡化了求解過程 有廣泛的應(yīng)用，善于對實(shí)際問題進(jìn)行合理的近似處理，是從事創(chuàng)造性研究應(yīng)培養(yǎng)的重要能