2025年初升高暑期數(shù)學(xué)專項提升講義：因式分解（重難點突破）含答案

2025年初升高暑期數(shù)學(xué)講義專題02因式分解重難點突破（含

答案）專題02因式分解

因式分解是代數(shù)式的一種重要的恒等變形，它與整式乘法是相反方向的變形.在分式運

算、解方程及各種恒等變形中起著重要的作用.是一種重要的基本技能.因式分解的方法較

多，除了初中課本涉及到的提取公因式法和公式法（平方差公式和完全平方公式）外，還有公

式法（立方和、立方差公式）、十字相乘法和分組分解法等等.

一、知識結(jié)構(gòu)思維導(dǎo)圖

二、學(xué)法指導(dǎo)與考點梳理

1、公式法（立方和、立方差公式）

在第一講里，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了乘法公式中的立方和、立方差公式：

（a+—cib+Z?2）—Y+Z?3（立方和公式）

（a—+ab+Z?2）=Y.（立方差公式）

由于因式分解與整式乘法正好是互為逆變形，所以把整式乘法公式反過來寫，就得到：

+人3=（a+—ab+b?）

/—F=（4—/?）（/+ab+Z?2）

這就是說，兩個數(shù)的立方和（差），等于這兩個數(shù)的和（差）乘以它們的平方和與它們積的差

（和）.

2、分組分解法

從前面可以看出，能夠直接運用公式法分解的多項式，主要是二項式和三項式.而對于

四項以上的多項式，如〃m+7弘+加+”6既沒有公式可用，也沒有公因式可以提取.因此，

可以先將多項式分組處理.這種利用分組來因式分解的方法叫做分組分解法.分組分解法的

關(guān)鍵在于如何分組.

1.分組后能提取公因式

2.分組后能直接運用公式

3、十字相乘法

1./+（0+4）x+pq型的因式分解

2.一般二次三項式雙2+bx+c型的因式分解

三、重難點題型突破

重難點題型突破01公式法

例1.（1）（2022.山東.濟寧學(xué)院附屬中學(xué)三模）把多項式2/一8分解因式，結(jié)果正確的是

A.2(X2-4)B.2(x-2)2C.2(x+2)(x-2)

（2）.下列多項式能用完全平方公式因式分解的是（）

2B.X2-10X+25C.x2+y22

A.X+3X+9D.4X+X-1

【變式訓(xùn)練1-1】.（2021?全國?七年級專題練習(xí)）（多選題）下列各式不能寫成完全平方式

的多項式有（）

B.x2-xy+^y2

A.x2+xy+y2

C.x2+2xy+4y之

【變式訓(xùn)練1-2】?分解因式：2機2—12m+18=

重難點題型突破02分組分解法

例2.（2022.廣西北海?九年級期中）分解因式：a3-4a=

【變式訓(xùn)練2-1］、分解因式：a3-2a2+a=

【變式訓(xùn)練2-2】、（2022?湖南長沙市北雅中學(xué)二模）分解因式：2式一8》=

重難點題型突破03十字相乘法

例3.（2022?四川資陽?九年級期末）若夕是關(guān)于x的一元二次方程d+尤-1=0的兩個

實數(shù)根，則代數(shù)式a27?+a儼的值是.

【變式訓(xùn)練3-1】、(2022?廣西貴港?二模)下列因式分解正確的是()

A.2。一4"=2(a-2Z?)B.x?-9=(x+3)(x-3)

C.a2+4a-4=(a+2)2D.—x~-x+2=—2)

重難點題型突破04其它因式分解的方法

例4.⑴、（2022?四川自貢?中考真題）化簡：一生?一二1+2=

a+4a+4a-3a+2

⑵、（2022?江蘇南通?一模）若實數(shù)見〃滿足療+/+根2〃2+即切+9=0,貝IJ（機的

值為.

【變式訓(xùn)練4-1】.（2022?江蘇宿遷七年級期中）下列等式從左到右的變形，是因式分解的

是（）

A.(x+y)(x-y)=x2-y2B.X2-2X+1=(X-1)2

C.尤2+2x+2=(x+l)2+1D.12xy2=2x-6y2

例5、分解因式

(1)(m+n)2-6(m+z?)+9

(2)m2(a-3)+4(3-a)

⑶2/—1012

1m—9

例6、（2022?陜西,交大附中分校模擬預(yù)測）化簡：（1+—二）1/

m-3m-6m+9

例7、（2022?江蘇揚州二模）先化簡，再求值："匕"鏟+9,其中4=6+3.

Va-\Ja-1

例8、（2022?河北?石家莊市第四十一中學(xué)模擬預(yù)測）如圖：將一張矩形紙板按圖中所畫虛

線裁剪成九張小紙板，其中有兩張正方形的甲種紙板，邊長為。，有兩張正方形的乙種紙

板，邊長為4有五張矩形的丙種紙板，邊長分別為。，b（°>b）.

⑴觀察圖形，矩形紙板的面積可以用裁剪成的九張小紙板面積的和表示為,還可

以用兩邊的乘積表示為則利用矩形紙板面積的不同表達方式可以得到等式

（2）若矩形紙板中所有甲、乙兩種正方形紙板的面積和為90cm2,每個丙種矩形紙板的面積

為18cm2,求圖中矩形紙板內(nèi)所有裁剪線（虛線）的長度之和.

=專題02因式分解

因式分解是代數(shù)式的一種重要的恒等變形，它與整式乘法是相反方向的變形.在分式運

算、解方程及各種恒等變形中起著重要的作用.是一種重要的基本技能.因式分解的方法較

多，除了初中課本涉及到的提取公因式法和公式法（平方差公式和完全平方公式）外，還有公

式法（立方和、立方差公式）、十字相乘法和分組分解法等等.

四、知識結(jié)構(gòu)思維導(dǎo)圖

五、學(xué)法指導(dǎo)與考點梳理

1、公式法(立方和、立方差公式)

在第一講里，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了乘法公式中的立方和、立方差公式：

(q++“)=(立方和公式)

(a—b)(a?+ab+b~)=或—b*(立方差公式)

由于因式分解與整式乘法正好是互為逆變形，所以把整式乘法公式反過來寫，就得到：

=(a_|_b)(a1—ab+b")

ci—b*—(a—b)(a2+ab+b2)

這就是說，兩個數(shù)的立方和(差)，等于這兩個數(shù)的和(差)乘以它們的平方和與它們積的差

(和).

2、分組分解法

從前面可以看出，能夠直接運用公式法分解的多項式，主要是二項式和三項式.而對于

四項以上的多項式，如7W+〃而+W+他既沒有公式可用，也沒有公因式可以提取.因此，

可以先將多項式分組處理.這種利用分組來因式分解的方法叫做分組分解法.分組分解法的

關(guān)鍵在于如何分組.

1,分組后能提取公因式

2.分組后能直接運用公式

3、十字相乘法

1./+(p+q)x+pq型的因式分解

2.一般二次三項式依2+法+。型的因式分解

六、重難點題型突破

重難點題型突破01公式法

例1.（1）（2022.山東.濟寧學(xué)院附屬中學(xué)三模）把多項式2尤2_8分解因式，結(jié)果正確的是

（）

A.2（x?—4）B.2（x—2）2C.2（x+2）（x—2）D.2x]x—j

【答案】C

【解析】

【分析】

先提出公因式，再利用平方差公式進行解答，即可求解.

【詳解】

解：2X2-8

=2（X2-4）

=2（x+2）（x-2）

故選：C

【點睛】

本題主要考查了多項式的因式分解，熟練掌握多項式的因式分解方法是解題的關(guān)鍵.

（2）.下列多項式能用完全平方公式因式分解的是（）

22222

A.X+3X+9B.%-10x+25C.%+jD.4x+x-1

【答案】B

【分析】

根據(jù)完全平方式的結(jié)構(gòu)3+2ab+B或/二勿汁下的形式，即可作出判斷.

【詳解】

解：A、尤2+3%+9不是完全平方式，故不符合題意；

B、X2-10X+25=（X-5）2,是完全平方式，故符合題意；

C、f+y2不是完全平方式，故不符合題意；

D、4爐+%-1不是完全平方式，故不符合題意；

故選B.

【點睛】

本題考查了完全平方式的結(jié)構(gòu)，正確理解結(jié)構(gòu)是判斷的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練1-1】.（2021?全國七年級專題練習(xí)）（多選題）下列各式不能寫成完全平方式

的多項式有（）

22

A.x2+xy+y2B.x-xy+^y

24

C.x+2xy+4y2D.—x-x+1

4

【答案】ACD

【解析】

【分析】

根據(jù)完全平方公式的結(jié)構(gòu)特點判斷即可.

【詳解】

解：A、/+移+y2,不符合完全平方公式的結(jié)構(gòu)特點，符合題意；

B、f-孫+!丁=（無一:大符合完全平方公式的結(jié)構(gòu)特點，不符合題意；

C、x2+2xy+4y2,不符合完全平方公式的結(jié)構(gòu)特點，符合題意；

D、一尤+1,不符合完全平方公式的結(jié)構(gòu)特點，符合題意；

故選：ACD.

【點睛】

本題考查了完全平方公式，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練1-21.分解因式：2加-12祖+18=.

【答案】2（m-3）2

【分析】

先提公因式，再運用完全平方公式.

【詳解】

解：原式=2（m-6/77+9）

故答案為：2（m-3）2.

【點睛】

本題考查了整式的因式分解，掌握提公因式法和因式分解的完全平方公式是解決本題的關(guān)

鍵.

重難點題型突破02分組分解法

例2.（2022?廣西北海,九年級期中）分解因式：d_4〃=.

【答案】a（o+2（a-2）

【解析】

【分析】

根據(jù)因式分解的方法，先用提公因式法因式分解，再根據(jù)公式法因式分解即可.

【詳解】

解:a3-4a

=—4)

=。(。+2)(。-2),

故答案為：a(a+2(a-2).

【點睛】

本題考查因式分解，熟練掌握因式分解的兩種方法：提公因式法因式分解和公式法因式分

解是解決問題的關(guān)鍵.

32

【變式訓(xùn)練2-1］、分解因式：a-2a+a=.

【答案】a(a-l)2.

【分析】

觀察所給多項式有公因式13,先提出公因式，剩余的三項可利用完全平方公式繼續(xù)分解.

【詳解】

解：原式-2a+l),

故答案為：a(a—1)2.

【點睛】

本題考查了用提公因式法和公式法分解因式，要求靈活使用各種方法對多項式進行因式分

解，一般來說，有公因式要先提公因式，再考慮運用公式法分解，注意一定要分解到無法

分解為止.

【變式訓(xùn)練2-2］、(2022?湖南?長沙市北雅中學(xué)二模)分解因式：2尤3_版=.

【答案】2x(x+2)(x-2)

【解析】

【分析】

先提取公因式，再運用平方差公式分解因式即可；

【詳解】

解：2d-8x=2x(*2—4)=2x(x+2)(x-2),

故答案為：2x(x+2)(x-2);

【點睛】

本題考查了提公因式和公式法分解因式，掌握平方差公式片-62=(a+6)g—6)是解題關(guān)

鍵.

重難點題型突破03十字相乘法

例3.(2022?四川資陽?九年級期末)若［、夕是關(guān)于x的一元二次方程/+犬-1=0的兩個

實數(shù)根，則代數(shù)式a鄧+a"的值是.

【答案】工

【解析】

【分析】

l

根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系&+〃=必=-1,再將1al3+a/因式分解

并代入計算即可.

【詳解】

解：???根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，

可知a+￡=-2=-1=-1,a/3------1,

a1a1

''*cc~13+a0--a/3(a+0)—(—1)x(—1)=1

故答案為：1.

【點睛】

本題主要考查了一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系，是一元二次方程的重點知識，解題關(guān)鍵是

熟練掌握一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系公式.

【變式訓(xùn)練3-1】、(2022?廣西貴港二模)下列因式分解正確的是()

A.2。-4a6=2(a-28)B.x2-9=(x+3)(%-3)

C.+4a-4=(a+2)~D.—x2—x+2=—(x+l)(x—2)

【答案】B

【解析】

【分析】

直接根據(jù)因式分解的定義及方法判斷每個選項即可得出答案.

【詳解】

A.由提取公因式得2a-4他=2“(1-2份，故A錯誤，不符合題意；

B.由平方差公式得￡-9=(X-3)(X+3),故B正確，符合題意；

C.由完全平方公式得a?+4a+4=(a+2)2,故C錯誤，不符合題意；

D.由十字相乘法得-犬-x+2=-(x+2)(x-1),故D錯誤，不符合題意.

故選：B.

【點睛】

本題考查因式分解的方法，熟練掌握各種運算方法是解題的關(guān)鍵.

重難點題型突破04其它因式分解的方法

例4.(1)、(2022?四川自貢中考真題)化簡：，“一3―土二1+旦=

a~+4a+4a-3a+2

【解析】

【分析】

根據(jù)分式混合運算的順序，依次計算即可.

【詳解】

a-3a2-42

-5----------1----

a+4a+4a-34+2

---ci-—-3---ft-z-+-2-)-(c-i—--2)-1--2-

(a+2/ci—3Q+2

a—22a

=---1---=---

Q+2Q+2Q+2

故答案為T

【點睛】

本題考查了分式的混合運算，熟練掌握約分，通分，因式分解的技巧是解題的關(guān)鍵.

⑵、(2022?江蘇南通?一模)若實數(shù)小，ram2+n2+m2n2+Smn+9=0,貝U(機-“J的

值為.

【答案】12

【解析】

【分析】

首先將8〃z〃變形為2:加7+,然后分組，分別把+〃2+2〃"7和//+6機〃+9因式分

解，進一步利用非負數(shù)的性質(zhì)得出租+”和〃〃，的值，然后再將變形為

2

(m+n)-4mn.最后將〃?+"和機〃的值代入計算即可.

【詳解】

解：m2+n2+zn2n2+8rm+9=0,

m2+rT+m2n2+2mn+6mn+9=0,

(m2+2mn+”2)+(m2n2+6mn+9)=0,

?二(m+n)2+(mn+3)2=0,

?1-m+n=0,wz=—3,

(m—n)2

=m2—2mn+n2

=m2+2mn+zz2-4-mn

2

=(m+n)—4m幾

=02-4x(-3)

=12.

故答案為：12.

【點睛】

本題考查利用完全平方公式進行因式分解，非負數(shù)的性質(zhì)，代數(shù)式求值等知識，運用了整

體代入的思想方法.利用完全平方公式將代數(shù)式變形是解決本題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練4-1】.(2022?江蘇宿遷?七年級期中)下列等式從左到右的變形，是因式分解的

是()

A.(x+y)(x-y)=尤?-,2B.x2-2.r+l=(x-1)2

C.x2+2x+2=(x+l)2+1D.12xy2=2x-6y2

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)分解因式就是把一個多項式化為幾個整式的積的形式的定義判斷，逐一判斷即可.

【詳解】

解：A.從左邊到右邊的變形不屬于因式分解，故本選項不符合題意；

B.從左邊到右邊的變形屬于因式分解，故本選項符合題意；

C.從左邊到右邊的變形不屬于因式分解，故本選項不符合題意；

D.左邊不是多項式，不屬于因式分解，故本選項不符合題意；

故選：B.

【點睛】

本題考查了因式分解的意義，這類問題的關(guān)鍵在于是否正確應(yīng)用分解因式的定義來判斷.

【變式訓(xùn)練4-2】.(2021?山東濰坊七年級期末)(多選題)下列從左到右的變形，是因式

分解的是()

A.x2-9=(x+3)(尤-3)B.(y+1)(y-3)=(3-y)(y+1)

C.4yz-2y2z+z=2y(2z-zy)+zD.-8x2+8x-2=-2(2x-1)-

【答案】AD

【解析】

【分析】

根據(jù)因式分解的定義，以及提公因式法和公式法進行判斷求解.把一個多項式化為幾個整

式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解，也叫做分解因式.

【詳解】

解：A.N-9=(x+3)(x-3),把一個多項式化為幾個整式的積的形式，是因式分解；

B.(y+1)(y-3)片(3-y)(y+1)；

C.4yz-2Vz+z=2y(2z-zy)+z,等式的右邊不是幾個整式的積的形式，不是因式分解；

D.-8x2+8x-2=-2(2x-l)2,把一個多項式化為幾個整式的積的形式，是因式分解；

故選AD.

【點睛】

本題主要考查了因式分解的定義，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握因式分解的定義.

例5、分解因式

(1)(m+ri)~-6(m+n)+9

(2)tn~(tz—3)+4(3—d)

⑶2九2—IO%—12

【答案】(1)(m+,7-3)2，?⑵(。-3)(機+2)(加—2);⑶2(x-6)(x+l).

【分析】

(1)利用完全平方公式進行分解因式；

(2)先提公因式再利用平方差公式分解因式；

(3)先提公因式再利用十字相乘法進行分解因式.

【詳解】

解：(1){m+n)2-6{m+n)+9-(m+n-3)2

(2)tn~(tz—3)+4(3—d)

—tn-(a—3)—4(。—3)

=(a—3)(療—4)

=(a-3)(m+2)(m-2);

⑶2必—10%—12

=2(x2-5x-6)

=2（尤一6）（尤+1）.

【點睛】

本題考查分解因式，涉及提公因式、平方差公式、完全平方公式等知識，是重要考點，難

度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵.

例6、（2022.陜西.交大附中分校模擬預(yù)測）化簡：（1+-^-）1

m-3m-6m+9

【答案】m-3

【解析】

【分析】

利用通分，約分，因式分解等方法化簡即可.

【詳解】

m-3m2—6m+9

/m—2(m—3)2

(x

m-3m-2

=m-3.

【點睛】

本題考查了分式的化簡，熟練掌握分式化簡的基本技巧如約分，因式分解等式解題的關(guān)

鍵.

6

例7、（2022.江蘇揚州二模）先化簡，再求值：（2-空-2T9，其中。=6+3.

Va-\）a-1

【答案】空，1+4百

〃一33

【解析】

【分析】

直接根據(jù)分式混合運算法則即可得出答案

【詳解】

(a—])(〃+1)

解：原式=

3—3)2

a+1

a—3

昌3+1

代入a=百+3得

A/3+3-3

【點睛】

本題考查分式的化簡求值，解題的關(guān)鍵