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文檔簡介
2025年初升高暑期數(shù)學講義專題11函數(shù)的單調(diào)性與最值分層訓練(含答
案)專題11函數(shù)的單調(diào)性與最值
A組基礎鞏固
1.(2022?浙江?嘉興市第五高級中學高二期中)下列函數(shù)在(-00)上單調(diào)遞減的是()
A.y=——B.y=x2C.y=x3D.y=x
x
2.(2022.江蘇.高一)已知函數(shù)/(尤)=尤2-2^+4在[0,+oo)上是增函數(shù),則實數(shù)。的取值范圍為(
A.(-oo,-l]B.[-l,+oo)C.[0,+co)D.(y,0]
3.(2022?江蘇?高一)已知y=在定義域(Ti)上是減函數(shù),且"1“)<-1),則。的取值范圍為
()
A.(0.1)B.(-2,1)C.(0,V2)D.(0,2)
4(2022?江蘇高一)函數(shù)/Xx)=工的單調(diào)遞減區(qū)間是()
X
A.(-00,0),(0,+oo)B.(0,+00)C.(-oo,0)U(0,+°°)D.(-00,0)
—x<0
5.(2022?福建福州三中高三階段練習)已知函數(shù)/(%)=x-V-在R上單調(diào)遞減,則實
-x2—(a+1)%+2a,x>0
數(shù)。的取值范圍是()
A.(—1,0)B.[—1,0]C.1,+8)D.[―l,+oo)
2-ax+—x>l
6.(2022?江蘇,高一)若函數(shù)/(%)=x"-以+3%-在R上單調(diào)遞增,則實數(shù)的取值范圍為()
(2a+2)%—5,%<1
A.1一1,1"]B.11。C.(一1,2]D.(一1,2)
7.(2022?河北滄州?二模)已知定義在R上的函數(shù)/(%)滿足了(%+2)=/(—可,且在區(qū)間(1,+8)上單調(diào)遞
增,則滿足/(I-£>>/(x+3)的x的取值范圍為()
A.(-1,+co)B.(-oo,-l)
C.(-1,1)D.
8.(2022?北京市房山區(qū)房山中學高二期中)若函數(shù)/(x)=%2—如+10在(-2,1)上是增函數(shù),則實數(shù)小的取
值范圍是()
A.[2,+oo)B.[-4,+8)
C.(-co,2]D.(-oo,-4]
9.(2022?山西太原?二模(文))已知函數(shù)=L-一二,則()
xx-2
A.〃力在(f,2)上單調(diào)遞增B.“X)在(2,+8)上單調(diào)遞減
C.y=/(x)的圖象關于直線對稱D,y=/(x)的圖象關于點(1,0)對稱
10.(2021.福建省德化第一中學高一階段練習)函數(shù)/'(X)在(f,—)上單調(diào)遞減,若/⑴=-1,
/(-1)=1,則滿足-1</(尤-2)(1的苫的取值范圍是()
A.[-2,2]B.[-1,1]C.[1,3]D.[0,4]
11.(2021,浙江?玉環(huán)中學高一階段練習)若/(x)=竺擔在區(qū)間(1,+◎上是增函數(shù),則實數(shù)。的取值范圍是
X-1
12.(2022?湖北武漢模擬預測)若*e1,2,使2丁-%+1<0成立,則實數(shù)力的取值范圍是
13.(2022?江蘇高一)已知函數(shù)八月=匕+2,-丁,丁在R上單調(diào)遞增,則實數(shù)0的取值范圍是
(8-tz)x+4,x>l
14.(2021?四川自貢?高一期中)若〃力是定義在(f,—)上的減函數(shù),且/(2x+l)>/(5).則x的取值
區(qū)間為______
15.(2022?江蘇高一)若函數(shù)/■。)=依2+2了-1在區(qū)間(y,6)上單調(diào)遞增,則實數(shù)。的取值范圍是
16.(202。黑龍江.哈爾濱市第一二二中學校高一期中)已知函數(shù)/(%)=,7+6\-丁,則的單調(diào)遞增
區(qū)間為.
17.(2020.黑龍江.雞西實驗中學高一階段練習)已知/(無)是定義在[0,+e)單調(diào)遞減函數(shù),若
/(2?-l)>/W,則實數(shù)〃的取值范圍是.
_x0
八’一?八在R上為增函數(shù),則實數(shù)〃
-1)工+〃一1,%>0
的取值范圍是.
f4x—2xW1
19.(2022?江蘇省響水中學高一開學考試)設函數(shù)〃x)=「?則滿足不等式
[log2(x+3),x>l,
/(0+/。-5)>2的x的取值范圍是.
B組能力提升
20.(2022?山西運城?高二階段練習)(多選題)已知函數(shù)〃x),VxeR,都有/(2-x)=/(x)成立,且任取
占,/e[l,+s),"々)-"占)>0(而WX,),以下結(jié)論中正確的是()
x2-xl
A./(-I)>/(4)B.Vx£R"(x)>/(l)
C./(a2-2a+3)>/(2)D.若/Q")</(2),貝1JO<m<2
21.(2022?浙江?高二階段練習)(多選題)下列關于函數(shù)〃無)=[.>">>,說法正確的是()
[一%,x<0
A.函數(shù)/(x)的定義域為RB.不等式"x)<0的解集為卜|0<尤<1}
C.方程〃尤)=-1有兩個解D.函數(shù)F(x)在R上為增函數(shù)
22.(2022?江蘇?高一)(多選題)如圖所示是函數(shù)>=/(無)的圖象,圖中x正半軸曲線與虛線無限接近但是
永不相交,則以下描述正確的是()
A.函數(shù)/(x)的定義域為[T,4)
B.函數(shù)/(X)的值域為[0,+8)
C.此函數(shù)在定義域內(nèi)是增函數(shù)
D.對于任意的yc(5,y),都有唯一的自變量尤與之對應
23.(2021,廣東?化州市第三中學高一期末)(多選題)下列函數(shù)中,在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞減的是
1
x
A.y=2-B?y=x^
cy=logixD.y=--x
2X
f%+2<1
24.(2022?貴州黔東南?高一期末)(多選題)已知函數(shù),關于函數(shù)/(尤)=2;一「的結(jié)論正確的
1—x+3,x>1
是()
A./W的最大值為3B.?=2
C.若危)=-1,則x=2D./U)在定義域上是減函數(shù)
x2—Ax+10,.x<l,
25.(2022.江蘇常州.高一期末)(多選題)已知函數(shù)/(無)="1是R上的減函數(shù),則實數(shù)上的
-----,X>1
可能的取值有()
A.4B,5
C.6D.7
2
26.(2022,山西太原五中高二階段練習)已知函數(shù)〃x)=x—-.
x
(1)判斷"X)在區(qū)間(。,+8)上的單調(diào)性,并用定義法證明;
⑵已知不等式/(4,+32)W[M4+1)恒成立,求本藜〃?的取值范圍.
27.(2022.湖南倜南中學高一階段練習)已知函數(shù)〃x)=x|x-4
⑴當。=2時,求〃x)的單調(diào)增區(qū)間;
2
⑵當xe[0,l]時,/(x)的最大值為?,求實數(shù)。的取值范圍.
28.(2022?浙江衢州?高二階段練習)已知函數(shù)〃x)=(x-2)|》-4+1.
(1)當。=4時,寫出無)的單調(diào)區(qū)間(不需要說明理由);
⑵若存在xe[3,5],使得〃力>5,求實數(shù)。的取值范圍.
29.(2022?貴州?遵義市南白中學高一期末)已知函數(shù)=4依.
⑴若函數(shù)"X)在xe[2,4]是增函數(shù),求。的取值范圍;
⑵若對于任意的xe[2,+s),〃x)>T恒成立,求。的取值范圍.
30.(2021?江西省銅鼓中學高一階段練習)已知函數(shù)=xe[-U]
⑴證明:/(%)在[-M]上單調(diào)遞減,并求出其最大值與最小值:
⑵若/(%)在[-1,1]上的最大值為加,S.a+b=m(a>0,b>0),求工+工的最小值.
ab
31.(2022?江蘇?高一)已知函數(shù)危)=加+)且/⑴=31⑵=5.
x
⑴求/(X)解析式;
⑵判斷并證明函數(shù)4X)在區(qū)間(1,+?>)的單調(diào)性.
32.(2021?陜西?西工大附中分校高一期中)已知函數(shù)〃尤)=無+,.
X
⑴請判斷函數(shù)/⑺在(0,1)和(1,+8)內(nèi)的單調(diào)性,并證明在(1,+8)的單調(diào)性;
(2)若存在xe,使得f一G+izo成立,求實數(shù)。的取值范圍.
33.(2022?廣東汕尾.高一期末)已知函數(shù).
⑴根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義,證明/(X)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減,在區(qū)間(L+⑹上單調(diào)遞增;
(2)令8(司=/+:2叫">|),若對%,x2e1,2,都有心~伍)|成立,求實數(shù)上的取
值范圍.
34.(2021,湖北孝感?高一期中)已知函數(shù)/(尤)=『一一"二是增函數(shù)
ICUC+3,X<,
⑴求實數(shù)。的取值范圍;
⑵解不等式/(2m2-m-8)>/(m2-3m-5)
專題11函數(shù)的單調(diào)性與最值
A組基礎鞏固
1.(2022?浙江,嘉興市第五高級中學高二期中)下列函數(shù)在(-與。)上單調(diào)遞減的是
()
1,a
A.y=—B.y-x2C.y=;t3D.y=x
x
【答案】B
【解析】
【分析】
逐個判斷函數(shù)的單調(diào)性,即可得到結(jié)果.
【詳解】
對于A,函數(shù)y=在區(qū)間(一”,0)上是增函數(shù),故A不正確;
對于B,函數(shù)>=/在區(qū)間(-8,0)上是減函數(shù),故B正確;
對于C,函數(shù)/=/在(_*0)上是增函數(shù),故C不正確;
對于D,函數(shù),=了在(-8,0)上是增函數(shù),故D不正確.
故選:B.
2.(2022?江蘇?高一)已知函數(shù)〃x)=x?-2冰+4在。內(nèi))上是增函數(shù),則實數(shù)。的取值
范圍為()
A.(-oo,-l]B.[-l,+oo)C.[0,+8)D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用二次函數(shù)單調(diào)性,列式求解作答.
【詳解】
函數(shù)〃力=/-2依+4的單調(diào)遞增區(qū)間是3,+8),依題意,[0,+8)=[a,+s),
所以“V0,即實數(shù)〃的取值范圍是(-8,0].
故選:D
3.(2022?江蘇?高一)已知y=/(x)在定義域(-L1)上是減函數(shù),且則
。的取值范圍為(
A.(0.1)B.(-2,1)C.(0,夜)D.(0,2)
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性進行求解即可.
【詳解】
因為y=在定義域(Ti)上是減函數(shù),
-\<\-a<1
所以由</(4-1)=><T<,-1<1=>0<x<l,
1—a>/—1
故選:A
4(2022.江蘇高一)函數(shù)/(x)=工的單調(diào)遞減區(qū)間是()
x
A.(-oo,0),(0,+co)B.(0,+oo)C.(-<x>,0)U(0,+oo)D.(-℃,0)
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)得解;
【詳解】
解:因為“X)=工定義域為(-8,0)U(0,+8),函數(shù)在(f,0)和(0,+8)上單調(diào)遞減,
X
故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-8,0)和(0,+8);
故選:A
上x<0
5.(2022?福建福州三中高三階段練習)已知函數(shù)〃x)=,x-V在R上
—x~—(a+1)尤+2a,x>0
單調(diào)遞減,則實數(shù)。的取值范圍是()
A.1,0)B.[—1,0]C.(―1,+℃)D.[―1,+<?)
【答案】B
【解析】
【分析】
判斷當X40時,/(尤)=—1=1+—工單調(diào)遞減,故根據(jù)分段函數(shù)在R上單調(diào)遞減,列出
x-1x-1
相應的不等式,解得答案.
【詳解】
當尤40時,〃同=2=1+工單調(diào)遞減,
x-1x-1
?."(尤)在R上遞減,
<Ofi—>-02-(fl+l)x0+2a,
20-1''
解得—IWaWO,
故選:B.
6.(2022.江蘇.高一)若函數(shù)〃x)={“-“+萬*-在R上單調(diào)遞增,則實數(shù)的取值范
(2a+2)x-5,x<1
圍為()
AB/-I,:C.(―1,2]D.(-1,2)
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)分段函數(shù)、二次函數(shù)、一次函數(shù)的單調(diào)性可建立不等式求解.
【詳解】
[色1
2o
由題意2a+2>0,解得
l-->2a-3
[2
故選:B
7.(2022河北滄州.二模)已知定義在R上的函數(shù)滿足〃x+2)=/(-x),且在區(qū)間
(1,+8)上單調(diào)遞增,則滿足了(l-x)>/(x+3)的x的取值范圍為()
A.(-1,+co)B.
C.(-L1)D.(f/)
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出函數(shù)八刈的對稱軸,再根據(jù)單調(diào)性和對稱性可知,自變量離對稱軸越遠,其函數(shù)值
越大,由此結(jié)論列式可解得結(jié)果.
【詳解】
因為函數(shù)“X)滿足〃x+2)=〃f),所以“X)的圖象關于直線x=l對稱,
又在區(qū)間(1,y)上單調(diào)遞增,所以在(-吃1)上單調(diào)遞減,
因為〃l-x)>〃x+3),|(1-力一1|>|。+3)-1|,
即卜,>|x+2],平方后解得x<-L
所以無的取值范圍為(e,T).
故選:B.
8.(2022,北京市房山區(qū)房山中學高二期中)若函數(shù)/0)=好-“成+10在(-2,1)上是增函
數(shù),則實數(shù)加的取值范圍是()
A.[2,+oo)B.[-4,+oo)
C.(-00,2]D.(-co,-4]
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到不等式,解得即可;
【詳解】
yyi
解:函數(shù)/(%)=Y一座+10的對稱軸為%=5,開口向上,
依題意可得X=£?-2,解得“區(qū)-4,即%e(-8,-4];
故選:D
9.(2022?山西太原,二模(文))已知函數(shù)〃司=工-一二,則()
xx-2
A尤)在(F,2)上單調(diào)遞增B.〃尤)在(2,+8)上單調(diào)遞減
C.y=/(x)的圖象關于直線x=l對稱D,y=/(x)的圖象關于點(1,0)對稱
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)/(-2)>/(-I),可判斷A不正確;根據(jù)/(3)</(4),可判斷B不正確;根據(jù)
/(2-元)=/(元)恒成立,可判斷C正確;根據(jù)點(_2,-9關于點(1,0)的點(4二)不在函數(shù)
/(X)的圖象上,可判斷D不正確.
【詳解】
2
3
所以/(-2)>/(-I),所以A不正確;
17
因為/(3)=4一1=一§,/(4)
所以〃3)<1(4),故B不正確;
所以y=〃x)的圖象關于直線對稱,故c正確;
在=--一二的圖象上取一點(-2一),則其關于點(1,0)的點為(4,9),
xx-244
因為7(4)=-;所以點(4,;)不在函數(shù)/(X)的圖象上,故y=〃x)的圖象不關于點
(1,0)對稱,故D不正確.
故選:C
10.(2021.福建省德化第一中學高一階段練習)函數(shù)/'(X)在(9,―)上單調(diào)遞減,若
/(1)=-1,“-1)=1,則滿足一147'("2)<1的工的取值范圍是()
A.[-2,2]B.[-1,1]C.[1,3]D.[0,4]
【答案】C
【解析】
【分析】
利用函數(shù)的單調(diào)性可得到不等式,求解即可.
【詳解】
因為函數(shù)于(x)為(ro,+co)上單調(diào)遞減,
則一1拶(x-2)1可變形為/(I)</(%-2)</(-I),
貝U-1VX-2WL
解得1WxW3,
所以》的取值范圍為[1,3],
故選:C
11.(2021,浙江玉環(huán)中學高一階段練習)若在區(qū)間(1,y)上是增函數(shù),則實數(shù)
a的取值范圍是
【答案】?<-1
【解析】
【分析】
把函數(shù)f(x)解析式進行常數(shù)分離,變成一個常數(shù)和另一個函數(shù)g(x)的和的形式,由函數(shù)
g(x)在(1,")為增函數(shù)得出。+1<0,從而得到實數(shù)。的取值范圍.
【詳解】
后”1a(x-1)+\+a+l
角牛:函數(shù)/(x)=----=———------=a+——a,
x-1x-1x-1
由復合函數(shù)的增減性可知,若g(x)=±j在(1,+8)為增函數(shù),
X-1
...a+l<0,a<—1,
故答案為:a<-\.
12.(2022?湖北武漢?模擬預測)若玉e;,2,使2/-入+1<0成立,則實數(shù)力的取值范
圍是.
【答案】(2在+8)
【解析】
【分析】
利用不等式的基本性質(zhì)分離參數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性求相應最值即可得到結(jié)論.
【詳解】
由2爐-Xx+1<0可得,Ax>2x2+1,
因為xe1,2]所以力>2X+L根據(jù)題意,A>|2x+-|即可,
1_2」xIxjmin
設〃x)=2x+二易知在單調(diào)遞減,在+,2單調(diào)遞增,
所以〃》)3=/[弓=2日
所以;1>2&,
故答案為:(20,+s)
13.(2022?江蘇,高一)已知函數(shù)小)=「:。+2"一:":在R上單調(diào)遞增,則實數(shù)a的
(8-tz)x+4,x>l
取值范圍是.
【答案】[2,5]
【解析】
【分析】
根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性,列不等式組,即可求出。的范圍.
【詳解】
要使函數(shù)/⑺=「在R上單調(diào)遞增,
只需8-a>0,解得:2<a<5,
-l2+2(a-l)xl<(8-a)xl+4
所以實數(shù)a的取值范圍是[2,5].
故答案為:[2,5]
14.(2021?四川自貢高一期中)若〃無)是定義在(F,M)上的減函數(shù),且
/(2x+l)>/(5).則x的取值區(qū)間為
【答案】(—,2)
【解析】
【分析】
根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求解即可.
【詳解】
因為〃尤)是定義在(f,y)上的減函數(shù),且/(2x+l)>〃5),
所以2x+l<5,解得尤<2.
故答案為:(-j2)
15.(2022?江蘇?高一)若函數(shù)/0)=加+2工_1在區(qū)間(-0,6)上單調(diào)遞增,則實數(shù)。的取
值范圍是.
【答案】昌,。
O
【解析】
【分析】
按a值對函數(shù)/(A-)進行分類討論,再結(jié)合函數(shù)Ax)的性質(zhì)求解作答.
【詳解】
當a=0時,函數(shù)/(x)=2x-l在R上單調(diào)遞增,即Ax)在(f,6)上遞增,則a=0,
當。力0時,函數(shù)/(尤)是二次函數(shù),又/(元)在(3,6)上單調(diào)遞增,由二次函數(shù)性質(zhì)知,
a<0,
—>61
則有<a,解得-入工。<0,
a<06
所以實數(shù)。的取值范圍是.
O
故答案為:
O
16.(202。黑龍江.哈爾濱市第一二二中學校高一期中)已知函數(shù)/(x)=j7+6x-/,則
〃x)的單調(diào)遞增區(qū)間為.
【答案】[T3]
【解析】
【分析】
根據(jù)復合函數(shù)單調(diào)性同增異減以及函數(shù)的定義域來求得/(%)額單調(diào)遞增區(qū)間.
【詳解】
7+6x-x2>0,x2-6x-7<0,(x-7)(%+l)<0,
解得一14x47.
函數(shù)y=-尤?+6x+7的對稱軸為x=3,開口向下,
根據(jù)復合函數(shù)單調(diào)性同增異減可知,f(%)的單調(diào)遞增區(qū)間為.
故答案為:[-1,3]
17.(202。黑龍江,雞西實驗中學高一階段練習)已知“X)是定義在[0,+⑹單調(diào)遞減函
數(shù),若"20-則實數(shù)。的取值范圍是.
【答案】賢)
【解析】
【分析】
根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與定義域?qū)⒑瘮?shù)不等式轉(zhuǎn)化為自變量的不等式,解得即可;
【詳解】
門、2a-1<—
解:因為f(x)是定義在[。,+8)單調(diào)遞減函數(shù),則Q等價于-3,解
['[2?-1>0
得;Wa<g,即“e;
故答案為::彳]
_1<0
18.(2021?廣東?小欖中學高一階段練習)若函數(shù)"x)=c~,八在R上為增
[2a-l)x+a-l,x>0
函數(shù),則實數(shù)。的取值范圍是.
【答案】?>1
【解析】
【分析】
由/*)在R上為增函數(shù),結(jié)合一次函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)有°即可求參數(shù)的范
圍.
【詳解】
由題設,/。)=--在(-8,0]上單調(diào)遞增且值域為(7,0],
[2。一1>0
要使/(x)在R上為增函數(shù),貝IJ,八,可得a"
故答案為:a>l.
14%—2x<]
19.(2022.江蘇省響水中學高一開學考試)設函數(shù)/(%)=1/:/1則滿足不等式
[log2(x+3),x>l,
/(尤)+/(%-5>2的x的取值范圍是.
7
【答案】(丁+8)
O
【解析】
【分析】
根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性,然后分類討論求解.
【詳解】
易知y=4x-2是增函數(shù),y=log2(x+3)是增函數(shù),X4xl-2=log2(l+3),
所以/(x)在定義域內(nèi)是增函數(shù),
1177
當xVl時,/(.X)+/(^--)=4X-2+4(X--)-2=8A--5>2,X>-,所以g<x41,
4488
當x>l時,/(x)>/(l)=2,/(X-7)>/(|)=4X1-2=1,所以
44444
/(x)+/(x-:)>2成立,
4
綜上,不等式的解集是{x[x>3.
O
7
故答案為:(7,+°°).
O
B組能力提升
20.(2022?山西運城?高二階段練習)(多選題)已知函數(shù)/(x),WxeR,都有
了(2-元)=/(元)成立,且任取玉,々€口,+與,/伍)一〃由)>0(西^了,),以下結(jié)論中正
x2—xi
確的是()
A./(-I)>/(4)B.VxeR,/(%)>/(I)
C./(?2-2?+3)>/(2)D.若/(附</(2),貝1JO<〃z<2
【答案】BCD
【解析】
【分析】
由已知條件可得函數(shù)/(X)的圖像關于直線x=l對稱,函數(shù)AM在工水功為增函數(shù),然后逐
個分析判斷即可
【詳解】
由函數(shù)/(x)滿足/(2-x)=/(%),則函數(shù)/(%)的圖像關于直線x=1對稱,
又占,x,e[L+oo),"%)>0,(無尸/),則函數(shù)/(X)在口,+(?)為增函數(shù),
x2―%]
對于選項A,因為1一1一"習4一1|所以/⑴>/(4),即A錯誤;
對于選項B,由已知有在(Fl]為減函數(shù),在[1,+⑹為增函數(shù),即/(尤)1nto"⑴,即B
正確;
對于選項C,a2—2a+3=(tz—I)2+2>2,又/(%)在口,+°°)為增函數(shù),所以
/(6Z2-2a+3)>/(2),即C正確;
對于選項D,f(m)<f(2),則|亡一1|>|2-1|,則0<憶<2,即D正確,
故選:BCD.
21.(2022?浙江?高二階段練習)(多選題)下列關于函數(shù)=說法正確的
是()
A.函數(shù)/(x)的定義域為RB.不等式”》)<0的解集為k|0<尤<1}
c.方程y(x)=-g有兩個解D.函數(shù)7'(力在R上為增函數(shù)
【答案】AC
【解析】
【分析】
根據(jù)函數(shù)的定義域、增函數(shù)的定義,結(jié)合分類討論思想進行判斷即可.
【詳解】
由函數(shù)的解析式可知函數(shù)的定義域為全體實數(shù)集,故選項A正確;
當了>0時,/(x)<0=>x-l<0=>x<l=>0<x<l,
當%<0時,/(工)<0--%2<0n%2而無<0,所以x<0,
因此不等式/(%)<。的解集為(0」)U(-8,0),故選項B不正確;
當x>0時,===,
當xW0時,/(%)=———x2=――x1=—=>%=±-^-,
2222
ffnx<0,所以x=-,
2
因此/(尤)=-1有兩個解,故選項C正確;
因為/⑴=/(0)=。,所以函數(shù)〃尤)在R上不是增函數(shù),因此選項D不正確,
故選:AC
22.(2022?江蘇?高一)(多選題)如圖所示是函數(shù)>=/(無)的圖象,圖中x正半軸曲線與虛
線無限接近但是永不相交,則以下描述正確的是()
A.函數(shù)/(x)的定義域為[T,4)
B.函數(shù)Ax)的值域為[0,+8)
C.此函數(shù)在定義域內(nèi)是增函數(shù)
D.對于任意的ye(5,大?),都有唯一的自變量尤與之對應
【答案】BD
【解析】
【分析】
利用函數(shù)的圖象判斷.
【詳解】
由圖象知:
A.函數(shù)Ax)的定義域為[-4,0]口[1,4),故錯誤;
B.函數(shù)的值域為[0,+8),故正確;
C.函數(shù)/(x)在[-4,0],[1,4)上遞增,但在定義域內(nèi)不單調(diào),故錯誤;
D.對于任意的ye(5,y),都有唯一的自變量x與之對應,故正確;
故選:BD
23.(2021?廣東?化州市第三中學高一期末)(多選題)下列函數(shù)中,在區(qū)間(0,+巧上單調(diào)
遞減的是()
1
A?y=2一]B.-y=x2
C.y=l°g|XD,y=L-X
2X
【答案】ACD
【解析】
【分析】
根據(jù)基本初等函數(shù)的單調(diào)性判斷即可;
【詳解】
解:對于A:y=2T=[g]在定義域R上單調(diào)遞減,故A正確;
對于B:>=1在定義域[0,+e)上單調(diào)遞增,故B錯誤;
對于C:y=l°g:x在定義域(0,+e)上單調(diào)遞減,故C正確;
對于D:因為y=-%與y」在(0,+8)上單調(diào)遞減,所以〉='-x在(0,+e)上單調(diào)遞減,
尤X
故D正確;
故選:ACD
fx+2xW1
24.(2022?貴州黔東南?高一期末)(多選題)已知函數(shù),關于函數(shù)〃x)=2;一「
I—x+3,x>1
<x)的結(jié)論正確的是()
A./W的最大值為3B./0)=2
C.若加)=-1,貝Ux=2D./(x)在定義域上是減函數(shù)
【答案】AB
【解析】
【分析】
根據(jù)分段函數(shù)的表達式分別進行判斷即可.
A:分別求xWl和x>l時加)的范圍即可;
B:代入危)=x+2計算即可;
C:分類討論危)=—1時x取值即可;
D:分別判斷xWl和時單調(diào)性即可.
【詳解】
當%,1時,/(x)=x+2是增函數(shù),則此時/(以,/⑴=3,
當無>1,/5)=一/+3為減函數(shù),貝I]止匕時/(x)<-l+3=2,綜上/⑴的最大值為3,故A正
確;
/(0)=0+2=2,故B正確;
當為,1時,由/。)=一1時,得*+2=T,此時x=—3Wl,成立,故C錯誤;
當時,/(彳)=尤+2是增函數(shù),故D錯誤,
故選:AB.
x2-Ax+10,x<l,
25.(2022?江蘇常州?高一期末)(多選題)已知函數(shù)〃尤)=%一1是R上的減函
---,X>1
、兀
數(shù),則實數(shù)上的可能的取值有()
A.4B.5
C.6D,7
【答案】ABC
【解析】
【分析】
根據(jù)函數(shù)/'(X)在R上是減函數(shù),然后結(jié)合二次函數(shù)與反比例(型)函數(shù)的單調(diào)性即可求得
答案.
【詳解】
->1
2
因為函數(shù)"X)是R上的減函數(shù),所以%-1>0^2<k<6,
l-k+10>k-l
故選:ABC.
2
26.(2022?山西?太原五中高二階段練習)已知函數(shù)”%)=尤——.
x
⑴判斷Ax)在區(qū)間(0,+8)上的單調(diào)性,并用定義法證明;
⑵已知不等式f(4l+3?2,)Wf(m-4,+1)恒成立,求本數(shù)〃,的取值范圍.
【答案】⑴單調(diào)遞增,證明見解析
「13)
(2)Y,+COJ-
【解析】
【分析】
(1)在所給區(qū)間內(nèi)取小%,作函數(shù)值之差即/(占)-/(々),對式子進行化簡,判斷
的正負即可得出結(jié)論;
(2)根據(jù)函數(shù)了⑺的單調(diào)性,將不等式轉(zhuǎn)化為4、+3-2*4”4,+1,分離參數(shù),利用換元
法構(gòu)造函數(shù)s(f),求解函數(shù)的最大值即可.
⑴
證明:Vxi,x2e(0,+oo),且尤2,
,、2
由X],Xje(0,+co),Xj-x2>0,1+—>0
又由X]<X?,傳X]—無2<。,
于是〃為)-/伍)<0,BP/(^)</(X2),
所以/(X)在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增.
⑵
因為/(4*+32)</(加⑷+1)恒成立,且4*+32>0,“4'+1>0,
由(1)得〃幻在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增,
故4,+32Ym⑷+1恒成立.
13
等價于一西5■+級+14機在xeR上怛成立,
令,=5,所以/?。,+°°),
則有〃z2-/+3/+1在?e(0,+co)恒成立,
313
令5?)=-r+3/+1,fe(0,+oo),貝卜⑺111ax
所以〃出一,所以正數(shù)〃2的取值范圍為丁,+8.
4L4)
27.(2022?湖南倜南中學高一階段練習)已知函數(shù)=(aeR).
⑴當。=2時,求f(x)的單調(diào)增區(qū)間;
2
⑵當xe[O,l]時,/(x)的最大值為亍,求實數(shù)。的取值范圍.
【答案】⑴增區(qū)間為(f,l)和(2,+s)
⑵[2夜-2,2]U卜2a一2}
【解析】
【分析】
(1)當。=2時,分x22和x<2兩種情況去絕對值,再根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間分析即
可;
(2)分和兩種情況去絕對值,再分aVO和“>0兩種情況,結(jié)合二次函數(shù)的最
值分析即可
(1)
x2—2x,x>2
當a=2時,/(尤)=巾-2|
2X—X2,X<2
因為"x)=/-2X=(X-1)2-1的對稱軸為x=l,當xN2時,此時函數(shù)單調(diào)遞增,
因為/(x)=2x-f=一。_])2+1對稱軸為x=1,當*<i時,此時函數(shù)單調(diào)遞增,
所以增區(qū)間:(一8,1)和(2,+8);
⑵
x1-ax,x>a
/(無)=x|x-a|="
at—無2,尤<a
(J)右a<0,貝U/(尤)max=/(I)=1—a==>a=—2—2>/2
②若a>0,則
22
(力當5>1時,即〃>2,所以/(X)max=/⑴=幺=>。-1=幺=>。=2,因為4〉2,所以
244
舍去;
當時,y(x)=x(x-a)x=,
⑻當時,即當ae[2a-2,2]時,f?max=/^=^,符合題意;
(位)當史〃時,即當0<〃<20—2時,
2
22
/(x)max=/⑴=1-“=?n。=-2±2四,所以無解,不符合題意,
綜上:a£|^2>/2—2,2^2>/2—2j-.
28.(2022?浙江衢州?高二階段練習)已知函數(shù)〃x)=(x-2)卜-同+1.
(1)當"=4時,寫出,(無)的單調(diào)區(qū)間(不需要說明理由);
⑵若存在xe[3,5],使得>5,求實數(shù)。的取值范圍.
【答案】⑴增區(qū)間為(f>,3)、(4,+s),減區(qū)間為(3,4)
(2)a<^^a>6
【解析】
【分析】
(1)當。=4時,化簡函數(shù)〃x)的解析式,利用二次函數(shù)的單調(diào)性可得出函數(shù)〃x)的增
區(qū)間和減區(qū)間;
(2)由參變量分離法可知,a<x----^或。>犬+---^在無43,5]上有解,利用函數(shù)單調(diào)
x-2x-2
性或基本不等式可求得實數(shù),的取值范圍.
⑴
解:當°=4時,?。?"-2)1尤-41+1=J
[一元+6x-7,x<4
所以,函數(shù)〃尤)的增區(qū)間為(9,3)、(4,內(nèi)),減區(qū)間為(3,4).
⑵
解:因為存在xe[3,5],使得/(力>5,
等價于存在xe[3,5],使得(%-2)區(qū)一同>4成立,即卜-同>/不
x—2
44rT
所以,或在xw[3,5]上有解,
44ri
即av%-----或a>%H------在x£[3,5]上有解,
x-2x-2
所以,a<\x一一I^a>\x+^—\,xe[3,5].
因為>=x、y=-士在[3,5]上均為增函數(shù),則尸x-3在[3,5]上為增函數(shù),
x—2x—2
411
當xe[3,5]時,x-2e[l,3],
由基本不等式可得尤尤一2)+」^+222/(%-2>0一+2=6,
x-2'7x-2Vx-2
當且僅當x=4時,等號成立,則a>6.
綜上所述,。<:或。>6.
29.(2022?貴州,遵義市南白中學高一期末)已知函數(shù)〃x)=f-4辦.
⑴若函數(shù)Ax)在xe[2,4]是增函數(shù),求。的取值范圍;
(2)若對于任意的xe[2,+e),〃力>-1恒成立,求〃的取值范圍.
【答案】(l)a<l
(2)a<-|
【解析】
【分析】
(1)由函數(shù)可知對稱軸為x=2a,由單調(diào)性可知2aW2,即可求解;
(2)整理問題為/-4依+1>0在尤42,+8)時恒成立,設8自卜%2^辦+1,則可轉(zhuǎn)化問
題為g(xL>。在xe[2,+e)時恒成立,討論對稱軸x=2a與x=2的位置關系,進而求解.
⑴
因為函數(shù)/(力=犬-4依,所以對稱軸為x=2“,
因為/(x)在xe[2,4]是增函數(shù),所以2aW2,解得a£L
⑵
因為對于任意的xe[2,+8),f(x)>-l恒成立,
即f_46>一1在xe[2,+功時恒成立,所以/_46+1>0在x
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