2025年初升高暑期數(shù)學專項講義：函數(shù)的單調(diào)性與最值 分層訓練（含答案）

2025年初升高暑期數(shù)學講義專題11函數(shù)的單調(diào)性與最值分層訓練(含答

案)專題11函數(shù)的單調(diào)性與最值

A組基礎鞏固

1.(2022?浙江?嘉興市第五高級中學高二期中)下列函數(shù)在(-00)上單調(diào)遞減的是()

A.y=——B.y=x2C.y=x3D.y=x

x

2.(2022.江蘇.高一)已知函數(shù)/(尤)=尤2-2^+4在［0,+oo)上是增函數(shù)，則實數(shù)。的取值范圍為(

A.(-oo,-l]B.[-l,+oo)C.[0,+co)D.(y,0]

3.(2022?江蘇?高一)已知y=在定義域(Ti)上是減函數(shù)，且"1“)<-1),則。的取值范圍為

()

A.(0.1)B.(-2,1)C.(0,V2)D.(0,2)

4(2022?江蘇高一)函數(shù)/Xx)=工的單調(diào)遞減區(qū)間是()

X

A.(-00,0),(0,+oo)B.(0,+00)C.(-oo,0)U(0,+°°)D.(-00,0)

—x<0

5.(2022?福建福州三中高三階段練習)已知函數(shù)/(%)=x-V-在R上單調(diào)遞減，則實

-x2—(a+1)%+2a,x>0

數(shù)。的取值范圍是()

A.(—1,0)B.[—1,0]C.1,+8)D.[―l,+oo)

2-ax+—x>l

6.(2022?江蘇,高一)若函數(shù)/(%)=x"-以+3％-在R上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍為()

(2a+2)%—5,%<1

A.1一1,1"]B.11。C.(一1,2]D.(一1,2)

7.(2022?河北滄州?二模)已知定義在R上的函數(shù)/(%)滿足了(%+2)=/(—可，且在區(qū)間(1,+8)上單調(diào)遞

增，則滿足/(I-￡>>/(x+3)的x的取值范圍為()

A.(-1,+co)B.(-oo,-l)

C.(-1,1)D.

8.(2022?北京市房山區(qū)房山中學高二期中)若函數(shù)/(x)=%2—如+10在(-2,1)上是增函數(shù)，則實數(shù)小的取

值范圍是（)

A.[2,+oo）B.[-4,+8）

C.（-co,2]D.（-oo,-4]

9.（2022?山西太原?二模（文））已知函數(shù)=L-一二，則（）

xx-2

A.〃力在（f,2）上單調(diào)遞增B.“X）在（2,+8）上單調(diào)遞減

C.y=/（x）的圖象關于直線對稱D,y=/（x）的圖象關于點（1,0）對稱

10.（2021.福建省德化第一中學高一階段練習）函數(shù)/'（X）在（f,—）上單調(diào)遞減，若/⑴=-1,

/（-1）=1,則滿足-1</（尤-2）（1的苫的取值范圍是（）

A.[-2,2]B.[-1,1]C.[1,3]D.[0,4]

11.（2021,浙江?玉環(huán)中學高一階段練習）若/（x）=竺擔在區(qū)間（1,+◎上是增函數(shù)，則實數(shù)。的取值范圍是

X-1

12.（2022?湖北武漢模擬預測）若*e1,2，使2丁-%+1<0成立，則實數(shù)力的取值范圍是

13.（2022?江蘇高一）已知函數(shù)八月=匕+2,-丁，丁在R上單調(diào)遞增，則實數(shù)0的取值范圍是

（8-tz）x+4,x>l

14.（2021?四川自貢?高一期中）若〃力是定義在（f,—）上的減函數(shù)，且/（2x+l）>/（5）.則x的取值

區(qū)間為______

15.（2022?江蘇高一）若函數(shù)/■。）=依2+2了-1在區(qū)間（y,6）上單調(diào)遞增，則實數(shù)。的取值范圍是

16.（202。黑龍江.哈爾濱市第一二二中學校高一期中）已知函數(shù)/（%）=，7+6\-丁,則的單調(diào)遞增

區(qū)間為.

17.（2020.黑龍江.雞西實驗中學高一階段練習）已知/（無）是定義在[0,+e）單調(diào)遞減函數(shù)，若

/（2?-l）>/W,則實數(shù)〃的取值范圍是.

_x0

八’一?八在R上為增函數(shù)，則實數(shù)〃

-1）工+〃一1,%>0

的取值范圍是.

f4x—2xW1

19.（2022?江蘇省響水中學高一開學考試）設函數(shù)〃x）=「?則滿足不等式

[log2（x+3）,x>l,

/（0+/。-5）>2的x的取值范圍是.

B組能力提升

20.（2022?山西運城?高二階段練習）（多選題）已知函數(shù)〃x）,VxeR,都有/（2-x）=/（x）成立，且任取

占,/e[l,+s）,"々）-"占）>0（而WX,）,以下結(jié)論中正確的是（）

x2-xl

A./（-I）>/（4）B.Vx￡R"（x）>/（l）

C./（a2-2a+3）>/（2）D.若/Q"）</（2）,貝1JO<m<2

21.（2022?浙江?高二階段練習）（多選題）下列關于函數(shù)〃無）=[.>">>，說法正確的是（）

[一%,x<0

A.函數(shù)/（x）的定義域為RB.不等式"x）<0的解集為卜|0<尤<1}

C.方程〃尤）=-1有兩個解D.函數(shù)F（x）在R上為增函數(shù)

22.（2022?江蘇?高一）（多選題）如圖所示是函數(shù)>=/（無）的圖象，圖中x正半軸曲線與虛線無限接近但是

永不相交，則以下描述正確的是（）

A.函數(shù)/（x）的定義域為[T,4）

B.函數(shù)/（X）的值域為[0,+8）

C.此函數(shù)在定義域內(nèi)是增函數(shù)

D.對于任意的yc（5,y）,都有唯一的自變量尤與之對應

23.（2021,廣東?化州市第三中學高一期末）（多選題）下列函數(shù)中，在區(qū)間（0,+8）上單調(diào)遞減的是

1

x

A.y=2-B?y=x^

cy=logixD.y=--x

2X

f%+2<1

24.（2022?貴州黔東南?高一期末）（多選題）已知函數(shù)，關于函數(shù)/（尤）=2；一「的結(jié)論正確的

1—x+3,x>1

是（）

A./W的最大值為3B.?=2

C.若危）=-1,則x=2D./U）在定義域上是減函數(shù)

x2—Ax+10,.x<l,

25.（2022.江蘇常州.高一期末）（多選題）已知函數(shù)/（無）="1是R上的減函數(shù)，則實數(shù)上的

-----,X>1

可能的取值有（）

A.4B,5

C.6D.7

2

26.（2022,山西太原五中高二階段練習）已知函數(shù)〃x）=x—-.

x

（1）判斷"X）在區(qū)間（。，+8）上的單調(diào)性，并用定義法證明；

⑵已知不等式/（4，+32）W[M4+1）恒成立，求本藜〃?的取值范圍.

27.(2022.湖南倜南中學高一階段練習)已知函數(shù)〃x)=x|x-4

⑴當。=2時，求〃x)的單調(diào)增區(qū)間；

2

⑵當xe[0,l]時，/(x)的最大值為?，求實數(shù)。的取值范圍.

28.(2022?浙江衢州?高二階段練習)已知函數(shù)〃x)=(x-2)|》-4+1.

(1)當。=4時，寫出無)的單調(diào)區(qū)間(不需要說明理由)；

⑵若存在xe[3,5],使得〃力＞5,求實數(shù)。的取值范圍.

29.(2022?貴州?遵義市南白中學高一期末)已知函數(shù)=4依.

⑴若函數(shù)"X)在xe［2,4］是增函數(shù)，求。的取值范圍；

⑵若對于任意的xe［2,+s),〃x)>T恒成立，求。的取值范圍.

30.(2021?江西省銅鼓中學高一階段練習)已知函數(shù)=xe［-U］

⑴證明：/(%)在［-M］上單調(diào)遞減，并求出其最大值與最小值：

⑵若/(%)在［-1,1］上的最大值為加,S.a+b=m(a>0,b>0),求工+工的最小值.

ab

31.（2022?江蘇?高一）已知函數(shù)危）=加+）且/⑴=31⑵=5.

x

⑴求/（X）解析式；

⑵判斷并證明函數(shù)4X）在區(qū)間（1,+?＞）的單調(diào)性.

32.（2021?陜西?西工大附中分校高一期中）已知函數(shù)〃尤）=無+,.

X

⑴請判斷函數(shù)/⑺在（0,1）和（1,+8）內(nèi)的單調(diào)性，并證明在（1,+8）的單調(diào)性；

（2）若存在xe，使得f一G+izo成立，求實數(shù)。的取值范圍.

33.（2022?廣東汕尾.高一期末）已知函數(shù).

⑴根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，證明/（X）在區(qū)間（0,1）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（L+⑹上單調(diào)遞增；

（2）令8（司=/+:2叫">|）,若對％,x2e1,2,都有心~伍）|成立，求實數(shù)上的取

值范圍.

34.（2021,湖北孝感?高一期中）已知函數(shù)/（尤）=『一一"二是增函數(shù)

ICUC+3,X<，

⑴求實數(shù)。的取值范圍；

⑵解不等式/（2m2-m-8）>/（m2-3m-5）

專題11函數(shù)的單調(diào)性與最值

A組基礎鞏固

1.(2022?浙江,嘉興市第五高級中學高二期中)下列函數(shù)在(-與。)上單調(diào)遞減的是

()

1,a

A.y=—B.y-x2C.y=;t3D.y=x

x

【答案】B

【解析】

【分析】

逐個判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可得到結(jié)果.

【詳解】

對于A,函數(shù)y=在區(qū)間(一”,0)上是增函數(shù)，故A不正確；

對于B,函數(shù)＞=/在區(qū)間(-8,0)上是減函數(shù)，故B正確；

對于C,函數(shù)/=/在(_*0)上是增函數(shù)，故C不正確；

對于D,函數(shù)，=了在(-8,0)上是增函數(shù)，故D不正確.

故選：B.

2.(2022?江蘇?高一)已知函數(shù)〃x)=x?-2冰+4在。內(nèi))上是增函數(shù)，則實數(shù)。的取值

范圍為()

A.(-oo,-l]B.[-l,+oo)C.[0,+8)D.

【答案】D

【解析】

【分析】

利用二次函數(shù)單調(diào)性，列式求解作答.

【詳解】

函數(shù)〃力=/-2依+4的單調(diào)遞增區(qū)間是3,+8),依題意，[0,+8)=[a,+s),

所以“V0,即實數(shù)〃的取值范圍是(-8,0].

故選：D

3.(2022?江蘇?高一)已知y=/(x)在定義域(-L1)上是減函數(shù)，且則

。的取值范圍為(

A.(0.1)B.(-2,1)C.(0,夜)D.(0,2)

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性進行求解即可.

【詳解】

因為y=在定義域(Ti)上是減函數(shù)，

-\<\-a<1

所以由</(4-1)=><T<，-1<1=>0<x<l,

1—a>/—1

故選：A

4(2022.江蘇高一)函數(shù)/(x)=工的單調(diào)遞減區(qū)間是()

x

A.(-oo,0),(0,+co)B.(0,+oo)C.(-<x>,0)U(0,+oo)D.(-℃,0)

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)得解；

【詳解】

解：因為“X)=工定義域為(-8,0)U(0,+8),函數(shù)在(f,0)和(0,+8)上單調(diào)遞減，

X

故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-8,0)和(0,+8);

故選：A

上x<0

5.(2022?福建福州三中高三階段練習)已知函數(shù)〃x)=,x-V在R上

—x~—(a+1)尤+2a,x>0

單調(diào)遞減，則實數(shù)。的取值范圍是()

A.1,0)B.[—1,0]C.(―1,+℃)D.[―1,+<?)

【答案】B

【解析】

【分析】

判斷當X40時，/(尤)=—1=1+—工單調(diào)遞減，故根據(jù)分段函數(shù)在R上單調(diào)遞減，列出

x-1x-1

相應的不等式，解得答案.

【詳解】

當尤40時，〃同=2=1+工單調(diào)遞減，

x-1x-1

?."(尤)在R上遞減，

<Ofi—>-02-(fl+l)x0+2a,

20-1''

解得—IWaWO,

故選：B.

6.(2022.江蘇.高一)若函數(shù)〃x)={“-“+萬*-在R上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范

(2a+2)x-5,x<1

圍為()

AB/-I,：C.(―1,2]D.(-1,2)

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)分段函數(shù)、二次函數(shù)、一次函數(shù)的單調(diào)性可建立不等式求解.

【詳解】

[色1

2o

由題意2a+2>0,解得

l-->2a-3

[2

故選：B

7.(2022河北滄州.二模)已知定義在R上的函數(shù)滿足〃x+2)=/(-x),且在區(qū)間

(1,+8)上單調(diào)遞增，則滿足了(l-x)>/(x+3)的x的取值范圍為()

A.(-1,+co)B.

C.(-L1)D.(f/)

【答案】B

【解析】

【分析】

先求出函數(shù)八刈的對稱軸，再根據(jù)單調(diào)性和對稱性可知，自變量離對稱軸越遠，其函數(shù)值

越大，由此結(jié)論列式可解得結(jié)果.

【詳解】

因為函數(shù)“X)滿足〃x+2)=〃f),所以“X)的圖象關于直線x=l對稱，

又在區(qū)間(1,y)上單調(diào)遞增，所以在(-吃1)上單調(diào)遞減，

因為〃l-x)>〃x+3),|(1-力一1|>|。+3)-1|,

即卜,>|x+2],平方后解得x<-L

所以無的取值范圍為(e,T).

故選：B.

8.(2022,北京市房山區(qū)房山中學高二期中)若函數(shù)/0)=好-“成+10在(-2,1)上是增函

數(shù)，則實數(shù)加的取值范圍是()

A.[2,+oo)B.[-4,+oo)

C.(-00,2]D.(-co,-4]

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到不等式，解得即可；

【詳解】

yyi

解：函數(shù)/(%)=Y一座+10的對稱軸為％=5，開口向上，

依題意可得X=￡?-2,解得“區(qū)-4,即%e(-8,-4];

故選：D

9.(2022?山西太原,二模(文))已知函數(shù)〃司=工-一二，則()

xx-2

A尤)在(F,2)上單調(diào)遞增B.〃尤)在(2,+8)上單調(diào)遞減

C.y=/(x)的圖象關于直線x=l對稱D,y=/(x)的圖象關于點(1,0)對稱

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)/(-2)>/(-I),可判斷A不正確；根據(jù)/(3)</(4),可判斷B不正確；根據(jù)

/(2-元)=/(元)恒成立，可判斷C正確；根據(jù)點(_2,-9關于點(1,0)的點(4二)不在函數(shù)

/(X)的圖象上，可判斷D不正確.

【詳解】

2

3

所以/(-2)>/(-I)，所以A不正確；

17

因為/(3)=4一1=一§,/(4)

所以〃3)<1(4),故B不正確;

所以y=〃x)的圖象關于直線對稱，故c正確；

在=--一二的圖象上取一點(-2一),則其關于點(1,0)的點為(4,9),

xx-244

因為7(4)=-;所以點(4,；)不在函數(shù)/(X)的圖象上，故y=〃x)的圖象不關于點

(1,0)對稱，故D不正確.

故選：C

10.(2021.福建省德化第一中學高一階段練習)函數(shù)/'(X)在(9,―)上單調(diào)遞減，若

/(1)=-1,“-1)=1,則滿足一147'("2)<1的工的取值范圍是()

A.[-2,2]B.[-1,1]C.[1,3]D.[0,4]

【答案】C

【解析】

【分析】

利用函數(shù)的單調(diào)性可得到不等式，求解即可.

【詳解】

因為函數(shù)于(x)為(ro,+co)上單調(diào)遞減，

則一1拶(x-2)1可變形為/(I)</(%-2)</(-I),

貝U-1VX-2WL

解得1WxW3,

所以》的取值范圍為[1,3],

故選：C

11.(2021,浙江玉環(huán)中學高一階段練習)若在區(qū)間(1,y)上是增函數(shù)，則實數(shù)

a的取值范圍是

【答案】?<-1

【解析】

【分析】

把函數(shù)f(x)解析式進行常數(shù)分離，變成一個常數(shù)和另一個函數(shù)g(x)的和的形式，由函數(shù)

g(x)在(1,")為增函數(shù)得出。+1<0,從而得到實數(shù)。的取值范圍.

【詳解】

后”1a(x-1)+\+a+l

角牛：函數(shù)/(x)=----=———------=a+——a，

x-1x-1x-1

由復合函數(shù)的增減性可知，若g(x)=±j在(1,+8)為增函數(shù)，

X-1

...a+l<0,a<—1,

故答案為：a<-\.

12.(2022?湖北武漢?模擬預測)若玉e；,2，使2/-入+1<0成立，則實數(shù)力的取值范

圍是.

【答案】(2在+8)

【解析】

【分析】

利用不等式的基本性質(zhì)分離參數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性求相應最值即可得到結(jié)論.

【詳解】

由2爐-Xx+1<0可得，Ax>2x2+1,

因為xe1,2］所以力>2X+L根據(jù)題意，A>|2x+-|即可，

1_2」xIxjmin

設〃x)=2x+二易知在單調(diào)遞減，在+，2單調(diào)遞增,

所以〃》)3=/［弓=2日

所以；1>2&,

故答案為：(20,+s)

13.(2022?江蘇,高一)已知函數(shù)小)=「:。+2"一:":在R上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的

(8-tz)x+4,x>l

取值范圍是.

【答案】［2,5］

【解析】

【分析】

根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性，列不等式組，即可求出。的范圍.

【詳解】

要使函數(shù)/⑺=「在R上單調(diào)遞增,

只需8-a>0,解得：2<a<5,

-l2+2（a-l）xl<（8-a）xl+4

所以實數(shù)a的取值范圍是[2,5].

故答案為：[2,5]

14.（2021?四川自貢高一期中）若〃無）是定義在（F,M）上的減函數(shù)，且

/（2x+l）>/（5）.則x的取值區(qū)間為

【答案】（—,2）

【解析】

【分析】

根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求解即可.

【詳解】

因為〃尤）是定義在（f,y）上的減函數(shù)，且/（2x+l）>〃5）,

所以2x+l<5,解得尤<2.

故答案為：（-j2）

15.（2022?江蘇?高一）若函數(shù)/0）=加+2工_1在區(qū)間（-0,6）上單調(diào)遞增，則實數(shù)。的取

值范圍是.

【答案】昌，。

O

【解析】

【分析】

按a值對函數(shù)/（A-）進行分類討論，再結(jié)合函數(shù)Ax）的性質(zhì)求解作答.

【詳解】

當a=0時，函數(shù)/（x）=2x-l在R上單調(diào)遞增，即Ax）在（f,6）上遞增，則a=0,

當。力0時，函數(shù)/（尤）是二次函數(shù)，又/（元）在（3,6）上單調(diào)遞增，由二次函數(shù)性質(zhì)知，

a<0,

—>61

則有<a,解得-入工。<0,

a<06

所以實數(shù)。的取值范圍是.

O

故答案為：

O

16.(202。黑龍江.哈爾濱市第一二二中學校高一期中)已知函數(shù)/(x)=j7+6x-/,則

〃x)的單調(diào)遞增區(qū)間為.

【答案】[T3]

【解析】

【分析】

根據(jù)復合函數(shù)單調(diào)性同增異減以及函數(shù)的定義域來求得/(%)額單調(diào)遞增區(qū)間.

【詳解】

7+6x-x2>0,x2-6x-7<0,(x-7)(%+l)<0,

解得一14x47.

函數(shù)y=-尤?+6x+7的對稱軸為x=3,開口向下，

根據(jù)復合函數(shù)單調(diào)性同增異減可知，f(%)的單調(diào)遞增區(qū)間為.

故答案為：[-1,3]

17.(202。黑龍江,雞西實驗中學高一階段練習)已知“X)是定義在[0,+⑹單調(diào)遞減函

數(shù)，若"20-則實數(shù)。的取值范圍是.

【答案】賢)

【解析】

【分析】

根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與定義域?qū)⒑瘮?shù)不等式轉(zhuǎn)化為自變量的不等式，解得即可；

【詳解】

門、2a-1<—

解：因為f(x)是定義在[。,+8)單調(diào)遞減函數(shù)，則Q等價于-3,解

['[2?-1>0

得;Wa<g，即“e；

故答案為：:彳]

_1<0

18.(2021?廣東?小欖中學高一階段練習)若函數(shù)"x)=c~，八在R上為增

[2a-l)x+a-l,x>0

函數(shù)，則實數(shù)。的取值范圍是.

【答案】?>1

【解析】

【分析】

由/*)在R上為增函數(shù)，結(jié)合一次函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)有°即可求參數(shù)的范

圍.

【詳解】

由題設，/。)=--在(-8,0]上單調(diào)遞增且值域為(7,0],

[2。一1>0

要使/(x)在R上為增函數(shù)，貝IJ,八,可得a"

故答案為：a>l.

14%—2x<]

19.(2022.江蘇省響水中學高一開學考試)設函數(shù)/(%)=1/：/1則滿足不等式

[log2(x+3),x>l,

/(尤)+/(%-5>2的x的取值范圍是.

7

【答案】(丁+8)

O

【解析】

【分析】

根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，然后分類討論求解.

【詳解】

易知y=4x-2是增函數(shù)，y=log2(x+3)是增函數(shù)，X4xl-2=log2(l+3),

所以/(x)在定義域內(nèi)是增函數(shù)，

1177

當xVl時，/(.X)+/(^--)=4X-2+4(X--)-2=8A--5>2,X>-,所以g<x41,

4488

當x>l時，/(x)>/(l)=2,/(X-7)>/(|)=4X1-2=1,所以

44444

/(x)+/(x-：)>2成立，

4

綜上，不等式的解集是｛x[x>3.

O

7

故答案為：（7，+°°）.

O

B組能力提升

20.(2022?山西運城?高二階段練習)(多選題)已知函數(shù)/(x),WxeR,都有

了(2-元)=/(元)成立，且任取玉,々€口,+與，/伍)一〃由)>0(西^了,),以下結(jié)論中正

x2—xi

確的是()

A./(-I)>/(4)B.VxeR,/(%)>/(I)

C./(?2-2?+3)>/(2)D.若/(附</(2),貝1JO<〃z<2

【答案】BCD

【解析】

【分析】

由已知條件可得函數(shù)/(X)的圖像關于直線x=l對稱，函數(shù)AM在工水功為增函數(shù)，然后逐

個分析判斷即可

【詳解】

由函數(shù)/(x)滿足/(2-x)=/(%),則函數(shù)/(%)的圖像關于直線x=1對稱，

又占,x,e[L+oo),"%)>0,(無尸/),則函數(shù)/(X)在口,+(?)為增函數(shù)，

x2―%]

對于選項A,因為1一1一"習4一1|所以/⑴>/(4),即A錯誤；

對于選項B,由已知有在(Fl]為減函數(shù),在[1,+⑹為增函數(shù)，即/(尤)1nto"⑴,即B

正確；

對于選項C,a2—2a+3=(tz—I)2+2>2,又/(%)在口,+°°)為增函數(shù)，所以

/(6Z2-2a+3)>/(2),即C正確；

對于選項D,f(m)<f(2),則|亡一1|>|2-1|,則0<憶<2,即D正確,

故選：BCD.

21.(2022?浙江?高二階段練習)(多選題)下列關于函數(shù)=說法正確的

是()

A.函數(shù)/(x)的定義域為RB.不等式”》)<0的解集為k|0<尤<1}

c.方程y(x)=-g有兩個解D.函數(shù)7'(力在R上為增函數(shù)

【答案】AC

【解析】

【分析】

根據(jù)函數(shù)的定義域、增函數(shù)的定義，結(jié)合分類討論思想進行判斷即可.

【詳解】

由函數(shù)的解析式可知函數(shù)的定義域為全體實數(shù)集，故選項A正確；

當了>0時，/（x）<0=>x-l<0=>x<l=>0<x<l,

當％<0時，/（工）<0--%2<0n%2而無<0,所以x<0,

因此不等式/（%）<。的解集為（0」）U（-8,0）,故選項B不正確；

當x>0時，===,

當xW0時，/（%）=———x2=――x1=—=>%=±-^-,

2222

ffnx<0,所以x=-,

2

因此/（尤）=-1有兩個解，故選項C正確；

因為/⑴=/（0）=。，所以函數(shù)〃尤）在R上不是增函數(shù)，因此選項D不正確，

故選：AC

22.（2022?江蘇?高一）（多選題）如圖所示是函數(shù)>=/（無）的圖象，圖中x正半軸曲線與虛

線無限接近但是永不相交，則以下描述正確的是（）

A.函數(shù)/（x）的定義域為［T,4）

B.函數(shù)Ax）的值域為［0,+8）

C.此函數(shù)在定義域內(nèi)是增函數(shù)

D.對于任意的ye（5,大?）,都有唯一的自變量尤與之對應

【答案】BD

【解析】

【分析】

利用函數(shù)的圖象判斷.

【詳解】

由圖象知：

A.函數(shù)Ax）的定義域為［-4,0］口［1,4）,故錯誤；

B.函數(shù)的值域為［0,+8）,故正確；

C.函數(shù)/（x）在［-4,0］,［1,4）上遞增，但在定義域內(nèi)不單調(diào)，故錯誤；

D.對于任意的ye（5,y）,都有唯一的自變量x與之對應，故正確；

故選：BD

23.（2021?廣東?化州市第三中學高一期末）（多選題）下列函數(shù)中，在區(qū)間（0,+巧上單調(diào)

遞減的是（）

1

A?y=2一］B.-y=x2

C.y=l°g|XD,y=L-X

2X

【答案】ACD

【解析】

【分析】

根據(jù)基本初等函數(shù)的單調(diào)性判斷即可；

【詳解】

解：對于A：y=2T=［g］在定義域R上單調(diào)遞減，故A正確；

對于B：>=1在定義域［0,+e）上單調(diào)遞增，故B錯誤；

對于C：y=l°g：x在定義域（0,+e）上單調(diào)遞減，故C正確；

對于D:因為y=-％與y」在（0,+8）上單調(diào)遞減，所以〉='-x在（0,+e）上單調(diào)遞減，

尤X

故D正確；

故選：ACD

fx+2xW1

24.（2022?貴州黔東南?高一期末）（多選題）已知函數(shù)，關于函數(shù)〃x）=2；一「

I—x+3,x>1

<x）的結(jié)論正確的是（）

A./W的最大值為3B./0）=2

C.若加）=-1,貝Ux=2D./（x）在定義域上是減函數(shù)

【答案】AB

【解析】

【分析】

根據(jù)分段函數(shù)的表達式分別進行判斷即可.

A：分別求xWl和x>l時加）的范圍即可；

B：代入危）=x+2計算即可；

C：分類討論危）=—1時x取值即可；

D：分別判斷xWl和時單調(diào)性即可.

【詳解】

當％,1時,/（x）=x+2是增函數(shù),則此時/（以，/⑴=3,

當無>1,/5）=一/+3為減函數(shù)，貝I］止匕時/（x）<-l+3=2,綜上/⑴的最大值為3,故A正

確；

/（0）=0+2=2,故B正確；

當為,1時，由/。）=一1時，得*+2=T,此時x=—3Wl,成立，故C錯誤；

當時，/（彳）=尤+2是增函數(shù)，故D錯誤，

故選：AB.

x2-Ax+10,x<l,

25.（2022?江蘇常州?高一期末）（多選題）已知函數(shù)〃尤）=%一1是R上的減函

---,X>1

、兀

數(shù)，則實數(shù)上的可能的取值有（）

A.4B.5

C.6D,7

【答案】ABC

【解析】

【分析】

根據(jù)函數(shù)/'（X）在R上是減函數(shù)，然后結(jié)合二次函數(shù)與反比例（型）函數(shù)的單調(diào)性即可求得

答案.

【詳解】

->1

2

因為函數(shù)"X）是R上的減函數(shù)，所以％-1>0^2<k<6,

l-k+10>k-l

故選：ABC.

2

26.（2022?山西?太原五中高二階段練習）已知函數(shù)”%）=尤——.

x

⑴判斷Ax）在區(qū)間（0,+8）上的單調(diào)性，并用定義法證明；

⑵已知不等式f（4l+3?2,）Wf（m-4,+1）恒成立,求本數(shù)〃，的取值范圍.

【答案】⑴單調(diào)遞增，證明見解析

「13）

（2）Y,+COJ-

【解析】

【分析】

（1）在所給區(qū)間內(nèi)取小%,作函數(shù)值之差即/（占）-/（々），對式子進行化簡，判斷

的正負即可得出結(jié)論；

（2）根據(jù)函數(shù)了⑺的單調(diào)性,將不等式轉(zhuǎn)化為4、+3-2*4”4,+1,分離參數(shù)，利用換元

法構(gòu)造函數(shù)s（f）,求解函數(shù)的最大值即可.

⑴

證明：Vxi，x2e（0,+oo）,且尤2,

,、2

由X],Xje（0,+co）,Xj-x2>0,1+—>0

又由X]<X?,傳X]—無2<。,

于是〃為）-/伍）＜0,BP/（^）＜/（X2）,

所以/（X）在區(qū)間（0,+8）上單調(diào)遞增.

⑵

因為/（4*+32）＜/（加⑷+1）恒成立，且4*+32＞0,“4'+1＞0,

由（1）得〃幻在區(qū)間（0,+8）上單調(diào)遞增，

故4，+32Ym⑷+1恒成立.

13

等價于一西5■+級+14機在xeR上怛成立，

令，=5,所以/?。，+°°）,

則有〃z2-/+3/+1在?e（0,+co）恒成立,

313

令5?）=-r+3/+1,fe（0,+oo）,貝卜⑺111ax

所以〃出一，所以正數(shù)〃2的取值范圍為丁，+8.

4L4)

27.(2022?湖南倜南中學高一階段練習)已知函數(shù)=(aeR).

⑴當。=2時，求f(x)的單調(diào)增區(qū)間；

2

⑵當xe[O,l]時，/(x)的最大值為亍，求實數(shù)。的取值范圍.

【答案】⑴增區(qū)間為(f，l)和(2,+s)

⑵[2夜-2,2]U卜2a一2}

【解析】

【分析】

(1)當。=2時，分x22和x<2兩種情況去絕對值，再根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間分析即

可；

(2)分和兩種情況去絕對值，再分aVO和“>0兩種情況，結(jié)合二次函數(shù)的最

值分析即可

（1）

x2—2x,x>2

當a=2時,/（尤）=巾-2|

2X—X2,X<2

因為"x)=/-2X=(X-1)2-1的對稱軸為x=l,當xN2時，此時函數(shù)單調(diào)遞增,

因為/(x)=2x-f=一。_])2+1對稱軸為x=1,當*<i時，此時函數(shù)單調(diào)遞增,

所以增區(qū)間：(一8,1)和(2,+8);

⑵

x1-ax,x>a

/（無）=x|x-a|="

at—無2,尤<a

（J）右a<0,貝U/（尤）max=/（I）=1—a==>a=—2—2>/2

②若a>0,則

22

(力當5>1時，即〃>2,所以/(X)max=/⑴=幺=>。-1=幺=>。=2,因為4〉2,所以

244

舍去；

當時，y(x)=x(x-a)x=,

⑻當時，即當ae[2a-2,2]時，f?max=/^=^,符合題意；

（位）當史〃時，即當0<〃<20—2時，

2

22

/（x）max=/⑴=1-“=?n。=-2±2四，所以無解，不符合題意，

綜上：a￡|^2>/2—2,2^2>/2—2j-.

28.（2022?浙江衢州?高二階段練習）已知函數(shù)〃x）=（x-2）卜-同+1.

（1）當"=4時，寫出，（無）的單調(diào)區(qū)間（不需要說明理由）；

⑵若存在xe[3,5],使得>5,求實數(shù)。的取值范圍.

【答案】⑴增區(qū)間為（f>，3）、（4,+s）,減區(qū)間為（3,4）

（2）a<^^a>6

【解析】

【分析】

（1）當。=4時，化簡函數(shù)〃x）的解析式，利用二次函數(shù)的單調(diào)性可得出函數(shù)〃x）的增

區(qū)間和減區(qū)間；

（2）由參變量分離法可知，a<x----^或。>犬+---^在無43,5]上有解，利用函數(shù)單調(diào)

x-2x-2

性或基本不等式可求得實數(shù)，的取值范圍.

⑴

解：當°=4時，?。?"-2）1尤-41+1=J

[一元+6x-7,x<4

所以，函數(shù)〃尤）的增區(qū)間為（9,3）、（4,內(nèi)），減區(qū)間為（3,4）.

⑵

解:因為存在xe[3,5],使得/（力>5,

等價于存在xe[3,5],使得（%-2）區(qū)一同>4成立，即卜-同>/不

x—2

44rT

所以，或在xw[3,5]上有解，

44ri

即av%-----或a>%H------在x￡[3,5]上有解，

x-2x-2

所以，a<\x一一I^a>\x+^—\,xe[3,5].

因為>=x、y=-士在[3,5]上均為增函數(shù)，則尸x-3在[3,5]上為增函數(shù),

x—2x—2

411

當xe[3,5]時,x-2e[l,3],

由基本不等式可得尤尤一2)+」^+222/(%-2>0一+2=6,

x-2'7x-2Vx-2

當且僅當x=4時，等號成立，則a>6.

綜上所述，。<：或。>6.

29.(2022?貴州,遵義市南白中學高一期末)已知函數(shù)〃x)=f-4辦.

⑴若函數(shù)Ax)在xe[2,4]是增函數(shù)，求。的取值范圍；

(2)若對于任意的xe[2,+e),〃力>-1恒成立，求〃的取值范圍.

【答案】(l)a<l

(2)a<-|

【解析】

【分析】

(1)由函數(shù)可知對稱軸為x=2a,由單調(diào)性可知2aW2,即可求解；

(2)整理問題為/-4依+1>0在尤42,+8)時恒成立，設8自卜％2^辦+1,則可轉(zhuǎn)化問

題為g(xL>。在xe[2,+e)時恒成立，討論對稱軸x=2a與x=2的位置關系，進而求解.

⑴

因為函數(shù)/(力=犬-4依，所以對稱軸為x=2“，

因為/(x)在xe[2,4]是增函數(shù)，所以2aW2,解得a￡L

⑵

因為對于任意的xe[2,+8),f(x)>-l恒成立，

即f_46>一1在xe[2,+功時恒成立，所以/_46+1>0在x