2025屆高考數(shù)學(xué)強(qiáng)化練習(xí)：橢圓及其性質(zhì)

2025屆高考數(shù)學(xué)第一輪專項復(fù)習(xí)—橢圓及其性質(zhì)

目錄

01考情透視?目標(biāo)導(dǎo)航....................................................................2

02知識導(dǎo)圖?思維引航....................................................................3

03考點突破?題型探究....................................................................4

知識點1：橢圓的定義...................................................................4

知識點2：橢圓的方程、圖形與性質(zhì).......................................................4

解題方法總結(jié)...........................................................................6

題型一：橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程...........................................................6

題型二：橢圓方程的充要條件.............................................................7

題型三：橢圓中焦點三角形的周長與面積及其他問題.........................................8

題型四：橢圓上兩點距離的最值問題.......................................................9

題型五：橢圓上兩線段的和差最值問題....................................................10

題型六：離心率的值及取值范圍..........................................................11

方向1：利用橢圓定義去轉(zhuǎn)換.............................................................11

方向2：利用。與c建立一次二次方程不等式...............................................12

方向3：利用最大頂角。滿足singWeVl..................................................................................................12

方向4：坐標(biāo)法.........................................................................13

方向5：找?guī)缀侮P(guān)系，利用余弦定理......................................................13

方向6：找?guī)缀侮P(guān)系，利用正弦定理......................................................14

方向7：利用基本不等式.................................................................14

方向8：利用焦半徑的取值范圍為[a—c,a+c]........................................................................................15

方向9：利用橢圓第三定義...............................................................15

題型七：橢圓的簡單幾何性質(zhì)問題........................................................16

題型八：利用第一定義求解軌跡..........................................................18

題型九：橢圓的實際應(yīng)用................................................................19

04真題試卷練習(xí)?命題洞見...............................................................22

05課本典例?高考素材...................................................................23

06易錯分析?答題模板...................................................................24

易錯點：橢圓焦點位置考慮不周全........................................................24

答題模板：求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程............................................................25

1/25

考點要求考題統(tǒng)計考情分析

2024年H卷第5題，5分

橢圓是圓雉曲線的重要內(nèi)容，高考主

2023年甲卷（理）第20題，12分

（1）橢圓的定義及其標(biāo)要考查橢圓定義的運用、橢圓方程的求法

2023年I卷H卷第5題，5分

準(zhǔn)方程以及橢圓的簡單幾何性質(zhì)，尤其是對離心

2023年北京卷第19題,15分

（2）橢圓的幾何性質(zhì)率的求解，更是高考的熱點問題，因方法

2023年甲卷（理）第12題，5分

多，試題靈活，在各種題型中均有體現(xiàn).

2022年甲卷（理）第10題，5分

復(fù)習(xí)目標(biāo)：

（1）理解橢圓的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程.

（2）掌握橢圓的簡單幾何性質(zhì)（范圍、對稱性、頂點、離心率）.

（3）掌握橢圓的簡單應(yīng)用.

2/25

匐2

橢圓及其性質(zhì)

3/25

老占室硒?廊相再宙\

知識點1:橢圓的定義

平面內(nèi)與兩個定點耳，月的距離之和等于常數(shù)2a(2a>|^|)的點的軌跡叫做橢圓，這兩個定點叫

做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫做橢圓的焦距，記作2c,定義用集合語言表示為：

{P\\PFl\+\PF21=2a(2a>|g|=2c>0)}

注意：當(dāng)2a=2c時，點的軌跡是線段；

當(dāng)2a<2c時，點的軌跡不存在.

【診斷自測】已知點/(TO),5(1,0),動點尸(x,y)滿足|尸/|+|尸B|=l,則動點尸的軌跡是()

A.橢圓B.直線C.線段D.不存在

知識點2：橢圓的方程、圖形與性質(zhì)

橢圓的方程、圖形與性質(zhì)所示.

焦點的位

焦點在X軸上焦點在〉軸上

置

圖形4VOAA

W

fV2

標(biāo)準(zhǔn)方程%+/l(a>b>0)

統(tǒng)一方程mx2+ny2=l(m>0,n>0,加w〃)

\x=acos6、，..」、[x=acos0、，/、

參數(shù)方程,6為參M數(shù)z(?！闧0,2刈)，。為參數(shù)(?！闧0,2口)

[y=bsin0[y=bsin6

第一定義到兩定點的距離之和等于常數(shù)2。，即|町|+1%|=2a(2a>|耳瑪|)

范圍-a<x<a^-b<y<b-b<x<bS.-a<y<a

A1(-a,0)、A2(a,0)A/0,-a)、A2(0,6!)

頂點

B](O,-6)、B2(O,6)B"—"0)、B2(6,0)

軸長長軸長=2Q,短軸長=26長軸長=2Q,短軸長=2b

4/25

對稱性關(guān)于X軸、了軸對稱，關(guān)于原點中心對稱

焦點耳（-G。）、鳥（c,0）片(O,-c)、月(O,c)

焦距閨閶=2c(c2=i2-b2)

J22

_C_la-b

離心率eaYa2N(0<e<l)

a2\

準(zhǔn)線方程

c

>1［外>11外

點和橢圓2222

-X-。-J--o-=10點(%,%)在橢圓上-%--J---。=10點（小,%）在橢圓,上

的關(guān)系a2b2a1b2

<1［內(nèi)<1［內(nèi)

%-=1（（%,%）為切點）駕+=1（（/Jo）為切點）

了"b2ab

切線方程

對于過橢圓上一點（x0,%）的切線方程，只需將橢圓方程中V換為/換為

為了可得

切點弦所

在的直線警+券=1（點際%）在橢圓外）誓+邛=1（點（％,%）在橢圓外）

abab

方程

①cos8=（5為短軸的端點）

1?八726

②S"g二2外弓sm〃=btan—=<

J

J

焦點三角O

形面積

、［當(dāng)尸點2

在長軸端點時，（rr2)min=b

2

當(dāng)尸點在短軸端點時，。r2)max=tz

考點三角）衫中一般要用到的關(guān)系是

WJ+IMF2\=2a（2a>2c）

，尸產(chǎn)工|sin//

<SAP廣百=年2)

2

PFJ+\PF2\-2|PFX\\尸月|ccs/月尸片

上焦半徑：MF^=a-ey0

左焦半徑：\MFt\=a-i-氣

焦半徑

下焦半徑：MFt\=a+ey0

又焦半徑：\MFt\=a-9。

5/25

焦半徑最大值a+c,最小值a-c

過焦點且垂直于長軸的弦叫通徑：通徑長工（最短的過焦點的弦）

通徑=2

a

設(shè)直線與橢圓的兩個交點為力（國,必），B（x2,y2）,kAB=k,

則弦長4同=J1+左?W_即=J1+左之_%）2-4x^2

弦長公式

=_%）2=']+左2^^

（其中Q是消V后關(guān)于X的一元二次方程的X2的系數(shù)，A是判別式）

【診斷自測】一個橢圓的兩個焦點分別是片（-3,0）,7^（3,0）,橢圓上的點P到兩焦點的距離之和等

于8,則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

A-22

B.乙+2=1C—TD

6428167169-

解題方法總結(jié)

（1）過橢圓的焦點與橢圓的長軸垂直的直線被橢圓所截得的線段稱為橢圓的通徑，其長為生.

a

①橢圓上到中心距離最小的點是短軸的兩個端點，到中心距離最大的點是長軸的兩個端點.

②橢圓上到焦點距離最大和最小的點是長軸的兩個端點.

距離的最大值為a+c,距離的最小值為a-c.

（2）橢圓的切線

22

①橢圓J+與=1（a>6>0）上一點尸（七,%）處的切線方程是誓+岑=1；

abab

22

②過橢圓「+5=1（a>6>0）外一點尸（x0,%）,所引兩條切線的切點弦方程是岑+浮=1；

abab

22

③橢圓三+多=1（。>6>0）與直線及+sy+c=o相切的條件是/2/+爐/=,2.

ab

題型一：橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程

【典例1-1】（2024?全國?預(yù)測）過四點（0,1）,D,/1-fj中的三點的一個橢圓標(biāo)準(zhǔn)方

程可以是—，這樣的橢圓方程有一個.

【典例1-2】已知與，￡是橢圓C的兩個焦點，尸是C上的一點，若PFJPF2,且|尸聞尸口=2:5,

則C的長軸長與焦距的比值為（）

V29「7729

729

6/25

【方法技巧】

（1）定義法：根據(jù)橢圓定義，確定。2萬的值，再結(jié)合焦點位置，直接寫出橢圓方程.

（2）待定系數(shù)法：根據(jù)橢圓焦點是在X軸還是y軸上，設(shè)出相應(yīng)形式的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后根據(jù)條件列

出°,仇c的方程組，解出力,/,從而求得標(biāo)準(zhǔn)方程.

注意：①如果橢圓的焦點位置不能確定，可設(shè)方程為加+獷=1（/>0,8>0,/*8）.

2222

②與橢圓—+—=1共焦點的橢圓可設(shè)為X+^--=1（左>-m,k>-n,mw〃）.

mnm+kn+k

2222

③與橢圓5+2=l（a>b>0）有相同離心率的橢圓，可設(shè)為斗+斗=左（/>0,焦點在x軸上）或

abab

fv2

）+4=左2（耳>Q,焦點在y軸上）.

ab

【變式1-1】方程J（x-3）2+j?+J（X+3）2+7=10表示的曲線是,其標(biāo)準(zhǔn)方程是.

【變式1-2］已知橢圓C的焦點在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過/（-6,-2）和3（-2百,1）兩點，則橢圓。的標(biāo)準(zhǔn)方

程為—.

【變式1-3］已知橢圓C?+方=1（°>6>0）的左、右焦點為片（-1,0）,8（1,0）,且過點尸［1,則橢圓

標(biāo)準(zhǔn)方程為.

22

【變式1-4］（2024?高三?廣東揭陽?期末）已知橢圓E：三+看=1（°>6>0）,尸是￡的左焦點，過

ab

E的上頂點工作/E的垂線交E于點A若直線的斜率為一百，A/B尸的面積為噂，則￡的標(biāo)準(zhǔn)方

程為—.

【變式1-5］過點（右,-G）,且與橢圓］+：=1有相同的焦點的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程是—.

【變式1-6］（2024?山西太原?三模）已知點可，匕分別是橢圓C的左、右焦點，尸（4,3）是C上一點，

△購片的內(nèi)切圓的圓心為/（見1）,則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）

27222222

A.——+—=1B.——+—=1C.——+—=1D.——+—=1

2427282152136412

題型二：橢圓方程的充要條件

【典例2-1】（2024?山西呂梁?二模）若函數(shù)了=log〃（尤-2）+1伍>0,且"1）的圖象所過定點恰好在橢

22

圓土+匕=1（加>0,〃>0）上，則機(jī)+〃的最小值為（）

mn

A.6B.12C.16D.18

22

【典例2-2】方程^+二」=1表示橢圓的充要條件是（）

4+m2-m

A.-4<w<-1B.m>-\

7/25

C.-4<m<2D.-4<切<一1或一1（沈<2

【方法技巧】

22

土+匕=1表示小t圓的充要條件為：m>O,n>O,mw幾；

mn

二+2=1表示雙曲線方程的充要條件為：加〃<0；

mn

22

土+匕=1表示圓方程的充要條件為.加=〃>0

mn

【變式2-1］（2024?全國?預(yù)測）命題“實數(shù)pe（l,3）”是命題“曲線（3-0/+5-1）/=（3-05-1）表

示橢圓”的一個（）

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

【變式2-2］（2024?高三?遼寧大連?期末）已知曲線“。：（四”2024）/+（108〃2024）/=1表示焦點在？軸

上的橢圓”的一個充分非必要條件是（）

A.0<a<bB.\<a<b

3

C.—<a<bD.\<b<a

2

【變式2-3】對于方程/+小出夕=1|?€一封］表示的曲線c,下列說法正確的是（）

A.曲線C只能表示圓、橢圓或雙曲線B.若a為負(fù)角，則曲線C為雙曲線

C.若c為正角，則曲線C為橢圓D.若C為橢圓，則其焦點在x軸上

題型三：橢圓中焦點三角形的周長與面積及其他問題

22

【典例3-1】已知雙曲線Cj/一%=］僅>0）與橢圓。2：亍+/=1（。>⑹有公共的焦點與，F(xiàn)2,

且G與G在第一象限的交點為〃，若△町工的面積為1,則4的值為一.

22

【典例3-2】（2024?廣東惠州?預(yù)測）已知橢圓的方程為二+乙=1,過橢圓中心的直線交橢圓于/、B

94

兩點，月是橢圓的右焦點，則的周長的最小值為（）

A.8B.6+273C.10D.8+2行

【方法技巧】

焦點三角形的問題常用定義與解三角形的知識來解決，對于涉及橢圓上點到橢圓兩焦點將距離問題

常用定義，即|P￡|+|%|=2a.

22

【變式3-1］（2024?高三?廣東深圳?期中）已知耳匕分別為橢圓上+2=1的左、右焦點，P為橢圓上

1810

一點且|尸片|二2|尸閭，貝IJ△坨月的面積為.

8/25

22

【變式3-2】該橢圓C：土+匕=1的左右焦點為公名，點尸是。上一點，滿足/々P尸,=90。，則

369

△G時的面積為.

【變式3-3］（2024?云南昆明?昆明市第三中學(xué)?？碱A(yù)測）已知橢圓。:［+，=1（0<6<3）的左、右焦

點分別為用月,P為橢圓上一點，且NEP工=60。，若耳關(guān)于4尸月平分線的對稱點在橢圓。上，則

△片耳；的面積為（）

A.673B.3gC.273D.V3

【變式3-4］（2024?河北唐山?統(tǒng)考三模）已知橢圓c：］+「=l的兩個焦點分別為耳此，點M為。上

異于長軸端點的任意一點，/耳/叫的角平分線交線段片與于點N,則因=（）

1B.叵

A.-Lr.-4-1-

552

22

【變式3-5］（2024?高三?河北秦皇島?開學(xué)考試）已知橢圓。:二+匕=1的上頂點為A,左焦點為片,

43

線段的中垂線與C交于兩點，貝曙/MN的周長為

【變式3-6】設(shè)耳月分別是離心率為日的橢圓的左、右焦點,過點耳的直線

交橢圓C于48兩點，且機(jī)團(tuán)=3國用,則cos/4/^S=()

AB.2D

-150I-I

題型四：橢圓上兩點距離的最值問題

【典例】（?陜西安康?預(yù)測）已知為橢圓。:=+

4-12024Pg=l（Q〉b>0）上一點，若C的右焦點尸的

a

坐標(biāo)為（3,0）,點M滿足|可可=1,PM.FM^O,若|巨叫|的最小值為20,則橢圓。的方程為（）

A."=122

B.-土------+1-->-------11

49403627

——22

cD.土+匕=1

1672516

【典例5已知s是橢圓9十八1的上頂點,點/是橢圓上的任意一點，則|九圓的最大值為（）

3后

A.2B.272C.D-1

【方法技巧】

利用幾何意義進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

9/25

【變式4-1】如果點尸是橢圓］+［=1上一個動點，片是橢圓的左焦點，那么|尸耳|的最大值是_,

最小值是—.

【變式4-21已知動點尸（x,y）在橢圓：+，=1上，過點尸作圓（x+3y+/=；的切線，切點為〃，

則|尸M的最小值是—.

【變式4-3］（2024?山東濰坊?二模）如圖，菱形架/BCD是一種作圖工具，由四根長度均為4的直桿

用錢鏈?zhǔn)孜策B接而成.已知4C可在帶滑槽的直桿/上滑動；另一根帶滑槽的直桿?！ㄩL度為4,且

一端記為另一端用錢鏈連接在。處，上述兩根帶滑槽直桿的交點尸處有一栓子（可在帶滑槽的

直桿上滑動）.若將3固定在桌面上，且兩點之間距離為2,轉(zhuǎn)動桿如，則點P到點3距離的最

大值為_____.

【變式4-41點P在圓Y+（y-2）2=；上移動，點。在橢圓，+4y=4上移動，則線段|尸口的最大值

為一

【變式4-5】已知點出0,4）,尸是橢圓￡：片+工=1上的動點，貝小尸”的最大值是—.

22

【變式4-6】:（x+5）+/=1,C2:（x-5）+/=225，動圓C滿足與G外切且。2與內(nèi)切，

若M為q上的動點，且西?可？=0，則|兩|的最大值為（）

A.2亞B.3>/7D-2A/42

題型五：橢圓上兩線段的和差最值問題

【典例5-21已知橢圓￡=1的右焦點為尸，點￡（0,2）,點尸是C上的動點，則附|+閥的

最小值為（）

B.10-275D.10+2百

【方法技巧】

在解析幾何中，我們會遇到最值問題，這種問題，往往是考察我們定義.求解最值問題的過程中,

如果發(fā)現(xiàn)動點尸在圓錐曲線上，要思考并用上圓錐曲線的定義，往往問題能迎刃而解.

【變式5-1】設(shè)橢圓。：片+匕=1的右焦點為尸，動點尸在橢圓C上，點A是直線4x-5y-12=0上的

43

動點，則IFT和的最小值為（）

A16741?16741「16V4?.口，16741

41414141

【變式5-2】已知橢圓方程[+]=1,尸是其左焦點，點/。,1）是橢圓內(nèi)一點，點尸是橢圓上任意一

點，割尸a+歸口的最大值為4M最小值為二，那么。max+4in=（）

A.4百B.4C.8D.873

【變式5-3]設(shè)M是橢圓，+：=1上一點，p,。分別是兩圓（》+3丫+/=1和（X-3）2+V=I上的點,

則叼+|阿的最小值、最大值分別為（）

A.8,11B.8,12C.6,10D.6,11

題型六：離心率的值及取值范圍

方向1：利用橢圓定義去轉(zhuǎn)換

22

【典例6-1】（2024?高三?江蘇南京?開學(xué)考試）已知尸是橢圓C：W+3=15>6>0）上一點，片，6是

C的兩個焦點，西?銀=0,點。在4尸月的平分線上，。為原點，OQ//PF,,且1001=26.則C

的離心率為（）

A.—B.-C.—D.-

6633

22

【典例6-2】橢圓G：二+彳=1（。>6>0）與雙曲線G有公共的焦點與、月，G與q在第一象限內(nèi)交

ab

35

于點”，△9g是以線段九名為底邊的等腰三角形，若橢圓G的離心率的范圍是7，-，則雙曲

線。2的離心率取值范圍是（）

「3」「3J「48]「31

A.-,5B.-,5C.D.2，+C0J

丫21,2L

【變式6-1】橢圓C：一+七=l（a>6>0）的左、右焦點分別為耳、與，直線/:3bx+y+加=0過片

ab

且與橢圓交于/、8兩點（/在8左側(cè)），若（即+五瓦）?亞=0,則C的離心率為（）

2323

A.-B.-C.-D.一

5577

22

【變式6-2】已知。為坐標(biāo)原點，尸為橢圓C：1r+方=1（。>6>0）的右焦點，若C上存在一點尸，

使得△尸OP為等邊三角形，則橢圓C的離心率為—.

11/25

方向2：利用。與c建立一次二次方程不等式

22

【典例7-11（2024?高三?河北承德?開學(xué)考試）已知橢圓T：j=1（。>6>0）的左、右焦點分別為

ab

G，E，T上一點A滿足瑞|=26,若N/"則T的離心率為（）

A.1B.-C.—D.—

3233

【典例7-2】（2024?陜西銅川?預(yù)測）已知&月是橢圓E:[+J=l（a>6>0）的左、右焦點，若E上

存在不同的兩點48,使得冗2=6率,則￡的離心率的取值范圍為（）

A.（0,V2-l）B.（0,V2-l]C.（3-2A/2,1）D.[3-272,1）

22

【變式7-1】已知直線/過橢圓C：3+a=l（a>6>0）的一個焦點與。交于MN兩點，若當(dāng)/垂直于x

軸時Ww|=￡,則C的離心率為（）

22

【變式7-2】已知片，月分別是橢圓￡0+方=1（°>6>0）的左、右焦點，。是坐標(biāo)原點，尸是橢圓

￡上一點，2片與>軸交于點M.若|0尸|=|0曰，|阿|=9,則橢圓E的離心率為（）

0

5T5B.g或巫351

A.g或&C.

34

方向3：利用最大頂角。滿足sing<e<l

【典例8-1】（2024?四川成者B?高三樹德中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知耳、匕是橢圓的兩個焦點，滿足

砥?研=0的點/總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率的取值范圍是（）

A.0,--B.[0,-C.（0,1）D.-^-,1

IJ'」LJ

22_________.

【典例8-2】設(shè)耳、鳥是橢圓會+方=1（。>6>0）的左、右焦點，若橢圓外存在點尸使得麗?用=0,

則橢圓的離心率的取值范圍.

【變式8-1】已知耳，匕分別是某橢圓的兩個焦點，若該橢圓上存在點尸使得/片Pg=2。

JT

（0<0<j,e是已知數(shù)），則該橢圓離心率的取值范圍是.

【變式8-2]（2024?廣東?廣州市真光中學(xué)高三開學(xué)考試）已知橢圓鼻+2=1（°>6>0）的左、右焦點

ab

12/25

2

分別為耳，F(xiàn)2,若橢圓上存在一點尸使得/片”=；兀，則該橢圓離心率的取值范圍是

方向4：坐標(biāo)法

7Q

【典例9-1】焦點在x軸橢圓中截得的最大矩形的面積范圍是-b2,-b2,則橢圓離心率的范圍是

()

V34V69

〒，丁

22

【典例9-2】（2024?陜西安康?預(yù)測）已知橢圓C:=+與=1（°>6>0）的左、右焦點分別為耳，匕，以巴

ab

為圓心的圓交>軸正半軸于點。，交x軸于4N兩點，線段。片與C交于點若△耳"N的面積為

氐2（c為橢圓的半焦距），則C的離心率為（）

A.V2-1B.2-V2C.V3-1D.2-73

22

【變式9-1］（2024?烏魯木齊三模）設(shè)跖N,尸是橢圓,芯=1伍>6>0）上的三個點，O為坐標(biāo)

原點，且四邊形為正方形，則橢圓的離心率為—；

22

【變式9-2］（2024?山東泰安?預(yù)測）已知橢圓C：下方=1伍>6>0）的左，右焦點分別為月㈠⑼，

___2

B（c,0）,點/,N在C上，且滿足月M〃gN且乎/=2￡N,若帶而+\_=店外「，則。的離心

率為.

方向5：找?guī)缀侮P(guān)系，利用余弦定理

22

【典例10-1］（2024?湖南?三模）已知仁心是橢圓C$+4=l（a>6>0）的左、右焦點，。是坐標(biāo)原

點，過耳作直線與C交于48兩點，若M名|=|/切，且△。盟的面積為也從，則橢圓C的離心率

6

為（）

口C

AV3R百「百

A.?JJ?I_/?\_）?

12632

22

【典例10-21（2024?河南洛陽?預(yù)測）已知尸為橢圓C:①4=l（a>6>0）上一點,耳、耳分別為其左、

ab

右焦點，。為坐標(biāo)原點，|尸且盧耳卜|尸四=32,則C的離心率為《）

A.—B.|C.—D.-

4422

22

【變式10-1】（2024?江蘇泰州?預(yù)測）已知與，鳥分別是橢圓C：a+}=1（。>6>0）的左、右焦點，

13/25

過月的直線與C交于點A,與y軸交于點B,9祈=0,甌=4可，則C的離心率為（）

A.巫B.?C.2D.3

52055

方向6：找?guī)缀侮P(guān)系，利用正弦定理

22

【典例11-1】已知耳，B分別為橢圓E5+方=1（。>6>0）的兩個焦點，P是橢圓￡上的點，

PFJPE，且sinB"《=3sinD刊笆，則橢圓E的離心率為（）

AV10V10「石小V5

A,-----DR,-----C.D.

2424

22

【典例11-2】已知橢圓與+a=l（a>b>0）的左、右焦點分別為Fi,F2,且RF2|=2C,若橢圓上存

在點M使得△孫與中，些也退=任幺超透則該橢圓離心率的取值范圍為（

ac)

A.(0,V2-1)B.c.D.(72-1,1)

22

【變式11-1】過橢圓§+方=1（。>6>0）的左、右焦點耳，耳作傾斜角分別為2和（的兩條直線4,

4.若兩條直線的交點尸恰好在橢圓上，則橢圓的離心率為（）

A.—B.V3-1

2

CV3—1D#-1

?2?2

【變式11-2]（2024?江蘇連云港?預(yù)測）已知橢圓的左、右焦點分別為耳，耳，其右頂點為4若橢

圓上一點尸，使得/尸片B=15。，/PF2A=75。,則橢圓的離心率為（）

A.-B.—C.—D.—

2233

方向7：利用基本不等式

22

【典例12-1】（2024?安徽馬鞍山?預(yù)測）已知耳耳是橢圓C:1y+%=l（a>b>0）的兩個焦點，點M在

C上,且|阿卜|”劇49,16],則橢圓C的離心率是（）

A.|B.—C.—D.-

4444

22

【典例12-2】設(shè)橢圓C:=+}=l（a>6>0）的右焦點為尸，橢圓。上的兩點A,3關(guān)于原點對你，且

ab

滿足⑸.麗=0，閥4附工西陽，則橢圓。的離心率的取值范圍為（）

14/25

A.[制B.悍Bl]C.p-1,1）D.惇？

22

【變式12-1】設(shè)耳、耳分別是橢圓E：會+方=1（。>6>0）的左、右焦點，M是橢圓E準(zhǔn)線上一點,

ZFJ明的最大值為60。，則橢圓E的離心率為（）

AV12R6rV2「而

2222

22

【變式12-2】（2024?山西運城?高三期末（理））已知點A為橢圓>為=1（°>6>0）的左頂點，。為

坐標(biāo)原點，過橢圓的右焦點尸作垂直于x軸的直線/,若直線/上存在點尸滿足//尸。=30。，則橢圓

離心率的最大值.

方向8：利用焦半徑的取值范圍為[a-c,a+c]

22

【典例13-1】在平面直角坐標(biāo)系xS中，橢圓〉方=1（°>6>0）上存在點尸，使得阿|=3颶|,

其中耳、耳分別為橢圓的左、右焦點，則該橢圓的離心率取值范圍是.

22

【典例13-2】（2024?廣西南寧?二模（理））已知橢圓會+=/。%〉。）的左、右焦點分別為不尸"

若橢圓上存在一點產(chǎn)使|3|=e|尸用，則該橢圓的離心率e的取值范圍是.

22

【變式13-1】已知尸為橢圓[+當(dāng)=1（°>6>0）上一點，耳