2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：等式與不等式的性質(zhì)（解析版）

專題03等式與不等式的性質(zhì)

【命題方向目錄】

命題方向一：不等式性質(zhì)的應(yīng)用

命題方向二：比較數(shù)（式）的大小與比較法證明不等式

命題方向三：已知不等式的關(guān)系，求目標(biāo)式的取值范圍

命題方向四：不等式的綜合問題

命題方向五：糖水不等式

[2024年高考預(yù)測】

2024年仍將與集合運算結(jié)合重點考查一元二次不等式解法與分段函數(shù)不等式的解法,

基本不等式多在解析幾何、函數(shù)最值中考查，難度為基礎(chǔ)題或中檔題.

【知識點總結(jié)】

1、兩個實數(shù)比較大小的方法

a-b>0<^a>b,

作差法<a—6=0=。三"（a,beR））

a-b<0<^a<b.

2、等式的性質(zhì)

性質(zhì)1對稱性：如果a=6,那么Z?=a；

性質(zhì)2傳遞性：如果a==c,那a=c；

性質(zhì)3可加（咸）性：如果a=Z?,那么a±c=）土c；

性質(zhì)4可乘性：如果a=b,那么ac=bc-,

性質(zhì)5可除性：如果a=b,c/0,那0=2.

CC

3、不等式的性質(zhì)

性質(zhì)1對稱性：a>b=b<a：

性質(zhì)2傳遞性：a>b,b>c=>a>c；

性質(zhì)3可力口性：a>b<^a+c>b+c；

性質(zhì)4可乘性：a>b,c>0=ac>bc；a>b,cac<bc

性質(zhì)5同向可加性：a>b,c>dna+c>b+d；

性質(zhì)6同向同正可乘性：a>b>0,c>dac>bd；

性質(zhì)7同正可乘方性：a>b>O=>an>b'\n^N,n..2）.

【方法技巧與總結(jié)】

1、右cih〉0,且a>b—<一

ab

c什,八b-b+mb+m

2、^a>b>0M,m>0n---------------------；

aa

,,八八bb+m

右Z7?>a>0,根>0=>—>--------

aa+m

【典例例題】

命題方向一：不等式性質(zhì)的應(yīng)用

【通性通解總結(jié)】

1、判斷不等式是否恒成立，需要給出推理或者反例說明.

2、充分利用基本初等函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行判斷.

3、小題可以用特殊值法做快速判斷.

例1.（2023?北京?人大附中?？寄M預(yù)測）若實數(shù)〃、b滿足">從>0,則下列不等式中

成立的是（）

A.a>bB.T>2*

22

C.a>\b\D.log2a>log2b

【答案】D

【解析】由題意，a2>b2>0,所以log2a2>log?〃，故D正確；

當(dāng)。=一2,匕=-1時，〃>/>0,但a<6,2"<2"，。<同，故A,B,C錯誤.

故選：D.

例2.（2023?山東棗莊?統(tǒng)考模擬預(yù)測）若。，b,ceR,且。>>，則下列不等式一定成立

的是（）

2

A.a+c>b—cB.（tz—Z?）c2>0C.ac>bcD.------>0

a-b

【答案】B

【解析】若。=2,b=l,c=-2,滿足但a+c=0,b-c=3,。+。>/?一。不成

立，A選項錯誤；

a>b,c2>0,則有4/2^2,即（，一勾H之。，B選項正確；

a>b,當(dāng)cWO時，不成立，C選項錯誤；

當(dāng)＜?=0時,------=0,則D選項錯誤.

a-b

故選：B

例3.(2023?江西?統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知log5a>bg5"則下列不等式一定成立的是()

A.4a<4bB.log5(a-Z?)>0

C.D.aobc

【答案】C

【解析】由logsOAlogsb可知a>b>Q,所以夜>揚，所以A錯誤；

因為"b>0,但無法判定a-6與1的大小，所以B錯誤；

當(dāng)cWO時，ac<bc,故D錯誤；

因為。一6>0,所以5f>5°=1,故C正確.

故選：C.

變式1.(2023?全國?高三專題練習(xí))兩兩不同的不，々，工，%，%，為滿足：

占+%=%+%=毛+%且滿足芯<%，%<%，毛<%,占%+毛為=2%%>°.則下列一定

成立的是()

X

A.xl+x3>2X2B.jq+x3<2X2C.%龍3>；D.xtx3<x；

【答案】A

【解析】方法1：設(shè)條件①:網(wǎng)+%=々+%=%,+%，

②：不<%,馬<%,W<%,

③%％+x3y3=2x2y2>0,

由題設(shè)石+X=%+%=毛+%=%，

f^x)=x[k-x)=-x2+kx,

則再%=%("占)=/(%),

同理4%=/(/)，3％=/($)，

條件③轉(zhuǎn)化為了叫/⑷=/(%),

考慮到函數(shù)/'(X)為開口向下的二次函數(shù)，如圖所示：

它在定義域內(nèi)整體為上凸函數(shù),

因此〃xJ；〃X3)=〃xJ.

由條件①可得，%1<A±A=|(/=1,2,3),

且函數(shù)/(x)在卜8,g］上單調(diào)遞增,

因此/(%2)<%2<%；W，

即2X2<再+/恒成立，

故選：A.

方法2：由題設(shè)％1+>1=兄2+%=芯3+%=9,并令石=1,%=2,冗3=4,

則％=8,%=7,%=5,滿足條件,

則選項A,B,玉+%>2/Ol+4>2x2,故A正確，B不正確；

此時玉七>無；01x4=2?,故C,D均不正確，

故選：A.

變式2.(2023?湖北武漢?統(tǒng)考模擬預(yù)測)下列不等式正確的是()

A.若QC220c2,則。之。

B.若￡>，，則

ab

C.若〃+b>0,c-b>Q,貝！J"C

...1a+ma

D.右〃>0,Z?>0,m>0,且a<b,則----->—

b+mb

【答案】D

【解析】對于A,當(dāng)c=0,a=-l,b=2時滿足a/2人廿，但所以A錯誤;

對于B,當(dāng)c=—1,a=—2,b=—3時，滿足一>7,但a>b,所以B錯誤;

ab

3

對于C,由不等式的基本性質(zhì)易知a+。>0,當(dāng)〃=-1,b=3,c=2時滿足a+Z?>0,

。一/?〉0,但。<。，所以C錯誤;

^a+m)b-a(b+m)(b-a)m

,—a+ma所以/7+產(chǎn)m>aF，故D正確.

對于D‘初一馬>0,

(b+m)b[b+m)bb+mb

故選：D.

變式3.(2023?北京朝陽?統(tǒng)考一模)若〃>0>人則()

A.o'>b3B.\^\>\b\c-D.ln(tz-Z?)>0

【答案】A

【解析】?.,a>0>人，/.a3>0,b3<0,即偏〉//,故A正確;

取。=1]=-2,則時>網(wǎng)不成立，故B錯誤;

取4=1/=-2,則不成立，故C錯誤；

ab

取4=；,6=-1,則ln（a—Z?）=lnl=0,故D錯誤.

故選：A

命題方向二：比較數(shù)（式）的大小與比較法證明不等式

【通性通解總結(jié)】

比較數(shù)（式）的大小常用的方法有比較法、直接應(yīng)用不等式的性質(zhì)、基本不等式、利

用函數(shù)的單調(diào)性.

比較法又分為作差比較法和作商比較法.

作差法比較大小的步驟是：

（1）作差；（2）變形；（3）判斷差式與。的大??；（4）下結(jié)論.

作商比較大?。ㄒ话阌脕肀容^兩個正數(shù)的大?。┑牟襟E是：

（1）作商；（2）變形；（3）判斷商式與1的大??；（4）下結(jié)論.

其中變形是關(guān)鍵，變形的方法主要有通分、因式分解和配方等，變形要徹底，要有利

于0或1比較大小.

作差法是比較兩數(shù)（式）大小最為常用的方法，如果要比較的兩數(shù)（式）均為正數(shù)，

且是累或者因式乘積的形式，也可考慮使用作商法，作商法比較大小的原理是：

bbb

若貝！J—>1。人>4；—<\<=>b<a；—=lo/7=i；

aaa

bbb

若av0,Z?v0,則一一—=1<^>b=a.

aaa

例4.（2023?全國?高三專題練習(xí)）若0<。<"。+8=1,則將〃也；,2曲〃2+/?2從小到大排列

為.

【答案】a<2ab<-^<a2+b2<b

1?

【解析】???0vav》M+b=l,不妨令

則有4=§5,

.,.有Z?>+62>A>2ab>a,

22

艮Q<lab<^<a+b<b.

故答案為：a<2ab<^<a2+b2<b.

例5.（2023?全國?高三專題練習(xí)）設(shè)/=。+乃，s=a+b2+1,則s與f的大小關(guān)系是

【答案】s>t

【解析】,：s—t=a+b2+1-（。+2b）="-26+1=（b-l）22。，

:.s>t.

故答案為：s>t.

例6.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知M=3x,N=-3尤2+尤-3,則以，N的大小關(guān)系

是.

【答案】M>N

【解析】因為M=/—3x,N=—3f+x—3

所以M—N=（尤2_3x）_（_3尤2+x_3）=4f_4尤+3=4[尤+2>0

所以M>N.

故答案為：M>N.

變式4.（2023?全國高三專題練習(xí)）若“=殍，b=?，則。b（填">■“<”）.

【答案】<

【解析】易知a,b都是正數(shù)，-=—=^4=—=log89>l,所以。>a

故答案為：v

ba

變式5.（2023?高三課時練習(xí)）（1）已知a>6>0,c<d<0,求證：——<——；

a-co-d

（2）設(shè)龍，yeR,比較（尤2_y2）2與孫（尤-y）2的大小.

【解析】（1）由cVdVO,得一c>—d>0,a—c>b—d>0,從而得

八11

0<----<-----.

a-cb—d

hn

又a>b>0,所以——<-~

ci—cb—d

（2）因為-/J_近%一,）2=%4+,4_13,一盯3=%3（%一,）+,3（/一%）

332222

=（x-y^x-y）=（x-y）（x+xy+y）=（x-y）"5]+|/2當(dāng)且僅當(dāng)x=y時等

號成立，

所以當(dāng)了=>時，（X2_y2）2=孫（X_,）2；

當(dāng)尤wy時，(12—y2)2>盯(1_,)2.

變式6.(2023?全國?高三專題練習(xí))(1)試比較(尤+1)(兄+5)與(％+3『的大小;

(2)已知a>b,—<T?求證：ab>0.

ab

【解析】⑴由題意，(x+l)(x+5)-(x+3)2

—爐+6x+5—%2-6x-9——4<0,

所以(x+l)(x+5)<(%+3)2.

(2)證明：因為上<1，所以工一：<0,即號<0,

ababab

而a>b,所以b-Q<0,則〃匕>0.得證.

命題方向三：已知不等式的關(guān)系，求目標(biāo)式的取值范圍

【通性通解總結(jié)】

在約束條件下求多變量函數(shù)式的范圍時，不能脫離變量之間的約束關(guān)系而獨立分析每

個變量的范圍，否則會導(dǎo)致范圍擴大，而只能建立已知與未知的直接關(guān)系.

例7.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知YVa—cV—1,-1<4(7-C<5,9a-c的取值范圍

是_______________

【答案】[T,20]

【解析】設(shè)9o-c=租(a-c)+a(4a-c),gp9a-c=(m+4n)a-(m+n)c,

5

m=-

\m+4n=93

解得

+n=lo

9a-c=-§(q-c)+§(4。-c)

55/、20…

-4<a—c<—l,.—c)<—Q,

88,“、40^

V-l<4a-c<5,A--<-(4a-c)<—(2),

①+②，得—l〈9“-cW20,即9a-c的取值范圍[一1,20].

故答案為：[-1,20].

例8.(2023?四川成都?高三成都七中?？茧A段練習(xí))若實數(shù)x、y滿足-IVx+yWl,

l<x+2y<3,則x+3y的取值范圍是.

【答案】[1,7]

[m+n=l[m=—V.

【解析】設(shè)尤+3y="(x+y)+〃(x+2y),則解得所以

\m+2n=3〃=2

[-li!k+y1麴J-(尤+y)1

x+3y=—(x+y)+2(無+2y),由<遨L.〈所以啜J-(x+y)+2(x+2y)7,

[掇!k+2y3[2取必(x+2y)6

即啜女+3y7.

故x+3y的取值范圍是[1,7].

故答案為：[1,7].

例9.(2023?上海?高三專題練習(xí))x-y<0,x+y-l>0,貝！jz=x+2y的最小值是

3

【答案】1/1.5

jYi-1-72-1

【解析】設(shè)x+2y=〃z(x+y)+“(x-y)=(m+n)x+(m-〃)y,貝必解得

\m—n=Z

一3

m=-

<2

1,

n=——

[2

313

所以，z=x+2y=—(.r+y)-——,

3

因此，z=x+2y的最小值是萬.

3

故答案為：—■

變式7.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知實數(shù)x、了滿足-2<x+2y<3,-2<2x-y<0,

則3x-4y的取值范圍為.

【答案】[-7,2]

fm+2n=3{m-—1

【解析】設(shè)3x-4y=皿尤+2y)+〃(2x-y),貝IJ“，解得

\2m—n=—4[n—2

所以3x-4y=-(x+2y)+2(2x-y),

因為—2Wx+2y<3,—2<2x—y<0,

所以一34—(x+2y)42,-4<2(2%-y)<0,

所以-743尤-4y<2,

故答案為：[-7,2].

變式8.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知有理數(shù)a,b,c,滿足a>b>c,且a+b+c=0,

那么￡的取值范圍是.

a

【答案】-

a2

【解析】由于且a+b+c=0,

以a>0,c<0,b——ci—c,—a—c<a,2a>—c,—>一2,

a

_c1

—a—c>c,—ci>2G—<—,

a2

c1

所以一2v一<一不

a2

故答案為：-2<￡<-：

a2

變式9.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知0<e<g,貝的取值范圍是

【?答案心】匕兀，制5兀1

7T

【解析】因為0<&<彳，所以0<2戊<兀,

因為1<尸<兀，所以

2336

所以-g<2a-4咚,

336

,,,?71571?

故答案為：

變式10.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知-2<。<3,2<b<3,則/的取值范圍為

b

3

【答案】（-1,3

【解析】因為2<6<3,所以:<：<2，因為—2<“<3,

3b2

當(dāng)一2vav0時，0v—av2,所以0<----<1,所以一1<—<0;

bb

當(dāng)〃=0時，，=0;

b

a3

當(dāng)0vav3時，0<一<一；

b2

綜上可得一1v?<I,即:

b2b\2）

故答案為：

變式1L（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)/（%）=〃%2一人滿足

-4</(I)<-l,-l</(2)<5,貝l]/(3)的取值范圍是.

【答案】[T,20]

【解析】由題意得

f(2)=4a-b,

Cl一,

解得43

所以〃3)=9a_6=_3〃l)+§〃2),

因為

所以

因為一”/（2）<5,

所以-|?|〃2）理.

兩式相力口得一LW/（3）W20,

故/⑶的取值范圍是[T20].

,X

變式12.（2023?全國?高三專題練習(xí)）設(shè)x,y為實數(shù)，滿足3V孫2V8,4<<9,則不

y

的最小值是.

【答案】1

【解析】設(shè)?=（孫

y

即孫-3=1?y2m-"

m+2n=1m=-l

所以解得

n=l

所以j=(孫2)1

y

Y2

因為3(孫2<8,4<—<9,

y

1

所以孫2y<-

3

由不等式性質(zhì)可知（孫2；<3

y

即:當(dāng)且僅當(dāng),時取等號，解得二

y

綜上可知，W的最小值為;.

y2

故答案為：y-

變式13.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知三個實數(shù)a、b、c,當(dāng)c>0時，匕V2a+3c且

bc=a2,則^的取值范圍是.

b

【答案】（-8（

【解析】當(dāng)c>0時滿足：瓦2。+3c且人c=[2,

?0?—?+3c,BPa1—2ac—3c2<0,進(jìn)而（烏了一2.9-3,,0,解得一掇f3.

cCCC

所以￡c之：1或￡C4-1,

a3a

a-2cac-2c2cJcYc

=----2—=一一2-=/（一）'

baa\a）a

令上=t,tei+00|u（-oo-l],

al_3J

f（t）=-2t2+t=-2^t-^+|>

由于

車樂

所以〃。在t?（?，1]單調(diào)遞增，在'？筋？字單調(diào)遞減，

當(dāng)‘4時弓‘當(dāng)f=T時，〃T）=B

所以/⑴色

幺1

，u

故答案為：導(dǎo)?-9u

命題方向四：不等式的綜合問題

例10.（2023?全國?高三專題練習(xí)）若實數(shù)a,4c滿足3。+3&=3-J3a+3&+3。=3°血,,則

c的最大值為.

4

【答案】log3-

【解析】由基本不等式得：3"+3”22件行=2斤當(dāng)且僅當(dāng)3"=3J即時，等

號成立，

所以3"+匕2律或解得：y+b>4>

又因為3"+3"+3。=3a+b+c,所以3"+"+3。=3a+b+c=3a+b?3。，

化簡得：：=1一），

因為3""24,所以4,所以,即I'1,

所以3屋11,：,所以010,1叫1,

4

故。的最大值是1”3§.

4

故答案為：10g3§.

例11.（多選題）（2023?山東?校聯(lián)考二模）已知實數(shù)〃也。滿足〃>3>c,且a+b+c=0,

則下列說法正確的是（）

A.--—>—--B.a—c>2bC.a2>b1D.ab+bc>0

a-cb-c

【答案】BC

【解析】對于A,-：a>b>c,.\a-c>b-c>0,,A錯誤；

a-cb-c

對于B,\-a>b>c,Q+Z?+C=0,:.a>0,c<0,:.b+c=-a<0,a-b>0,

:.a-b>b+c,a—c>2b,B正確；

對于C,\-a-b>o,a-\-b=-c>0,.,.a2—b2=^a+b）^a-b）>Q,即c正確；

對于D,ab+bc=b^a+c）=-b1<0,D錯誤.

故選：BC.

例12.（多選題）（2023?廣東惠州?統(tǒng)考一模）若6。=2,6、3,則（）

人匕1-71

A.—>1B.ab<—

a4

11

C.Q9+b9<—D.b—a>一

25

【答案】ABD

【解析】因為6、3,6。=2,所以b=log63M=k）g62,則〃+。=1,

選項A,^=12g6|=iog23>log22=l,故A正確；

alog62

選項B,因為。+b=log63+log62=log66=l,且a>O,b>O,awb,所以"<("口2=；故

24

B正確；

選項C,因為Q?+Z?2=(Q+Z?)2—2ab=1—2〃/?>1—2x—=—,故C錯誤；

42

3lo243

選項D,H5(Z?-6?)=51og6-=g6>log66=1,故D正確，

故選：ABD.

變式14.（多選題）（2023?山東濰坊?統(tǒng)考二模）已知實數(shù)3>6>0,則（）

人bb+2-11八〃

A.-<------B.a+->b7+-C.ab>ba

aa+2ba

D],，+>:lg〃+lg>

g22

【答案】ABD

bb+2_2(b-a)b+2

【解析】A：正確;

aa+2a(a+2)。+2

B：ci-\b—=（Q—b）H-------=（Q—b）（ld）>0,則—>b~\—,正確；

baababba

ba

C：當(dāng)a=4,Z?=2時，a=bJ錯誤；

D：由手〉疝（注意等號取不到），則坨?>坨疑=坨.；-6,正確.

故選：ABD

變式15.（多選題）（2023?廣東深圳?深圳中學(xué)統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知a,b都是正實數(shù)，則下

列不等式中恒成立的是（）

A.（a+46）f9B.（a+《〉力*

【答案】AC

【解析】A選項，因為a,人都是正實數(shù)，故

4ba

當(dāng)且僅當(dāng)絲=?,即a=26時，等號成立，A正確；

ab

B選項，因為a,b者E是正實數(shù)，ft（o+Z?）f-+-^=l+-+-+l>2+2p^=4,

當(dāng)且僅當(dāng)f=2,即a=6時，等號成立，B錯誤;

ba

C選項，a2-3a+-=（a-^]+->->0,故恒成立，C正確；

2I2）44八

al

D選項，。是正實數(shù)，故迷_.+廣二T其中a+工2l\a=2,

QH---a\a

a

____。___=____I___<___I_=111

故1--1~，當(dāng)且僅當(dāng)。=—,即。=1時，等號成立，D錯誤.

a+——12a

a

故選：AC

變式16.（多選題）（2023?福建?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知"+1N/2“4>0,則下列結(jié)論正

b

確的是（）

A.b>2B.a>2C.ab>2D./+〃的最小值為

6

【答案】AC

4

【解析】A：^>-=>Z?2>4,因為b>0,所以622故A正確；

b

B：6=2,。=1顯然滿足條件，故B錯誤；

4

C：2a>-^ab>2,故C正確；

b

D：a2+b2>b2+b-l,由于+匕-1在[2,y）上為增函數(shù)，

故最小值為『（2）=5,D錯誤.

故選AC.

變式17.（2023?全國,高三專題練習(xí)）已知實數(shù)a,b,c滿足a+6+c=0,cr+b2+c2=1,則a

的最大值是

【答案】亞

3

222

【解析】Va+b+c=0fa+b-^-c=l,

b-^-c--a,b2-3t-c2=\-a2,

be=—?（2bc）=—[3+c）2-（b1+c2）]=a2--

222

:?b、。是方程：；=0的兩個實數(shù)根，

A>0

?2-4（tz2-1）>0

即a2<-

3

即a的最大值為逅

3

故答案為：逅.

3

變式18.(2023?全國?高三專題練習(xí))若x,yeR,設(shè)M=爐_2.+3/-丈+y,則M的最

小值為一.

【答案】-；/-0.25

4

【解析】因為加=九2-(2丁+1卜+3/+>=九2_(2>+1卜+9+>+；+3y2+y_y2_y_；

當(dāng)且僅當(dāng)y=o,x=g時取等號.

所以Af的最小值為一：.

4

故答案為：-T.

4

變式19.(多選題)(2023?遼寧?校聯(lián)考二模)已知正數(shù)x,y滿足V=y3<i,則下列結(jié)論

正確的是()

A.OvxvyvlB.0<y<x<l

C.|^-x|<—D.|^2-x2|<—

11271127

【答案】ACD

【解析】因為f=y3<i,x>0,y>0

所以0<y=f<l，0<fvl，

22/1A

所以)_%=九3_尤=%3]_%3〉0

\7

所以。<%vyvl,A正確，B錯誤；

22-1

令g(%)=|y—x|=y-%=xs—%，貝U=—i，

Q

當(dāng)0<x<2時，g，(x)>0,g(x)單調(diào)遞增，

Q

當(dāng)X>刀時,g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減,

所以gOjg即*,C正確；

令/l（x）=卜2一%2|=y2一%2=f一%2,則/一2%,

可知當(dāng)0＜尤＜堂時,〃（x）＞0,網(wǎng)力單調(diào)遞增，

當(dāng)X＞平時，〃（x）＜0,Mx）單調(diào)遞減，

所以"（天心匚彳半）=：，D正確，

故選：ACD.

命題方向五：糖水不等式

【通性通解總結(jié)】

糖水不等式：若a＞b＞0,m＞Q,則一定有或者”二＜w.

a+mab+mb

例13.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知如糖水中含有ag糖。＞。＞0）,若再添加，"g糖完

全溶解在其中，則糖水變得更甜了（即糖水中含糖濃度變大）.根據(jù)這個事實，下列不等式

中一定成立的是（）

aa+m°a+ma+2m

A.->-------B.-------<---------

bb+mb+mb+2m

21

C.^a+2mj[b+mj<^a+ni)(b+2m)D.------->------7

3"-1

【答案】B

a/7+w

【解析】對于A選項，由題意可知：＜產(chǎn)，A選項錯誤;

bb+m

對于B選項，作出函數(shù)y=2*與y=x的圖象如下圖所示:

由圖可知，當(dāng)兀>0時，2">x,TAn〉。，貝機〉加,

a+2m4+m_(。+2利)僅+相)一(。+間僅+2利)(。叫(…)”。

所以,

b+2mb+m僅+2機)伍+間(b+2m)(b+m)

即竺%<￡±二，B選項正確；

b+mb+2m

對于C選項,(6Z+2m)(&+m)-(d!+m)(Z2+2m)=m(Z2-6Z)>0,

所以，(tz+2m)(b+m)>(tz+m)(Z?+2m),C選項錯誤；

21I

對于D選項，取〃=1,b=2,則不-=-<l=—Y,D選項錯誤.

3—143

故選:B.

例14.(2023?四川涼山?統(tǒng)考一模)?？颂撬泻胸翱颂牵堑馁|(zhì)量與糖水的質(zhì)量比為

b

這個質(zhì)量比決定了糖水的甜度，如果再添加加克糖，生活經(jīng)驗告訴我們糖水會變甜,

a

h+h

對應(yīng)的不等式為----->—(a>b>0,根>0).若=log?2,x=log10,

a+ma215

%3=log4520,貝!J

A.xx<x2<x3B.芭v毛v%

C.x3<x1<x2D.x3<x2<xx

【答案】B

【解析】因為無i=bg32,x2=log1510,x3=log4520

陪上IglO一Ig2+lg5=21g2+lg5

'■lg3'2lgl5Ig3+lg5'321g3+lg5

h+ni,h

根據(jù)題意當(dāng)a>6>0,機>0時"絲>2成立，

a+ma

Xlg3>lg2>0,lg5>0,

Ig2+lg5lg221g2+lg521g2

“八坨3+坨5lg321g3+lg521g3

即：了2>玉，工3>玉，

_x=Ig2+lg521g2+lg5=Ig5(lg3-lg2)>0

乂%飛-電3+坨521g3+lg5-(lg3+lg5)(21g3+lg5)

所以%>三,

所以不<&<三，

故選：B.

例15.(2023?山西?統(tǒng)考一模)我們都知道一杯糖水中再加入一些糖，糖水會更甜.這句話

bb+m

用數(shù)學(xué)符號可表示為：—<2—,其中。>。，且a,b,meR+.據(jù)此可以判斷兩個分?jǐn)?shù)

aa+m

854366239854366236

的大小關(guān)系，比如（填“>，，，，<”）.

998763421998763418

【答案】>

【解析】令a=854366236,貝I」a+3=854366239,

令6=998763418,貝lJb+3=998763421,

匚854366239。+3854366236a

所以----------=-----,-----------=—

998763421b+3998763418b

854366236a〃+3854366239

根據(jù)題設(shè)知:-------------——<------

998763418bb+3998763421

故答案為：>

變式20.（2023?福建?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）若?？瞬伙柡吞撬泻?克糖，則糖的質(zhì)量

b

分?jǐn)?shù)為2,這個質(zhì)量分?jǐn)?shù)決定了糖水的甜度.如果在此糖水中再添加加克糖，生活經(jīng)驗告訴

a

我們糖水會變甜，從而可抽象出不等式空二>?（a>b>0,加>0）數(shù)學(xué)中常稱其為糖水

a+ma

不等式.依據(jù)糖水不等式可得出10g32log]510（用或“〉”填空）；并寫出上述

結(jié)論所對應(yīng)的一個糖水不等式____________.

In2+ln5In2

【答案】<------------>-----

In3+ln5In3

【解析】空1：因為0<1嗎2<1,所以可得:

1-,-八In2In10In2+ln5In2+In5In2

空2：由空1可得:log2<log10^—<------=-----即n-n------------>——.

315In15In3+ln5In3+ln5In3

In2+ln5In2

故答案為：<；------------>-----

In3+ln5In3

【過關(guān)測試】

一、單選題

1.（2023?天津?統(tǒng)考一模）設(shè)〃>0,b>0,則“。>8”是“工<4”的（）

ab

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】因為—皿由3國得則j>°，即

因此若a>0,&>0,則“。>人”是“5〈尹的充要條件.

故選：C.

2.(2023?江蘇南通?模擬預(yù)測)已知則4.-2。的取值范圍是

()

A.[1,5]B.[2,7]C.[1,6]D.[0,9]

【答案】B

【解析】設(shè)4a—2Z>=〃z(a-b)+”(a+6)=(〃?+〃)a-(〃L〃)b,

[m+n=4fm=3

所以c，解得,，

\m-n=2[n=l

所以4〃-2b=3(.-/?)+(〃+/?),

又〃-/?￡[0,1],4+/?￡[2,4],

所以3(a-6)￡[0,3],4a-2bw[2,7],故A,C,D錯誤.

故選：B.

3.(2023?湖南?模擬預(yù)測)已知正實數(shù)x,y滿足尤<V,設(shè)。=疣，+),b=yey+x,

c=yex+x(其中e為自然對數(shù)：ee2.71828…)，則〃，b,c的大小關(guān)系是()

A.a<c<bB.c<a<bC.c<b<aD.b<c<a

【答案】A

【解析】因為a=xe*+y,b=yey+x,c=ye1+x,所以6-c=y(e>,-e*)

又y>尤>0,e>l,所以e,Ae*,所以6>c；

Xc-a=(%-y)+(y-x)ex=(%-y)(l-eT),

A

又y>尤>。，e>1,所以c>a.

綜上，a<c<b.

故選：A.

4.(2023?全國?高三專題練習(xí))“x>>”的一個充分條件可以是()

A.2x~y>-B,x2>/

2

C.->1D.xt2>yt2

y-

【答案】D

【解析】由x>y,即無一y>0,所以

對選項A,2f>:n2">2'^x-y>-l,

所以x-y>-1不一定有無-y>0,故A不正確，

選項B,由貝gd-y?>0=(x+y)(x-y)>。,

(無+y>0或pr+y<0

則，故B項不正確,

［龍一y>0_［尤_y<0

選項C,二>1=3-1>0=2R>0=y(x-y)>0,

yyy

fy>0fy<0

則八或八，故c不正確，

［兀-y>0［%_y<0

選項D,由靖〉山2矢口戶>o,

所以無>y,成立，故D正確，

故選：D.

5.(2023?全國?高三專題練習(xí))若實數(shù)〃，b,c滿足。則下列結(jié)論一定成立的是

()

A.aob1B.ab1>cb1

C.4——>/?H—D.------>-------

abb-ca-c

【答案】D

【解析】對于A,若。=1*=0,c=-l,則團(tuán)<從，故A錯誤;

對于B,若。=11=0,c=—l,貝1」〃/=仍2,故B錯誤；

對于C,b=0時不能做分母，故C錯誤；

對于D,因為所以a-C>0M-。>0,所以

11a-c-(b-c\a-b11

}-------------=Ti―w—(=7]-w―T>0'所以=>一，故D正確.

b-ca-c\b-c)ya-c)yb-c)ya-c)b-ca-c

故選：D.

6.(20