2025年中考數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí)：有關(guān)圓的綜合題 高頻考點(diǎn)預(yù)測(cè)練（含解析）

2025年中考數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí)備考

有關(guān)圓的綜合題高頻考點(diǎn)預(yù)測(cè)練

1.如圖，在RtA4BC中，4cB=90。，點(diǎn)。在4C邊上，以4D為直徑作。。交5D的延長線于點(diǎn)E,且

CE=BC.

(1)求證：CE是。。的切線；

(2)若。。的直徑為12,tan〃BC=；,求N8的長.

2.如圖，”是。。的直徑，C,G是。。上的點(diǎn)，過點(diǎn)c的直線CD_LBG于點(diǎn)D,交的延長線于點(diǎn)E,BC與OD

交于點(diǎn)F,S.ZABC=ZCBD.

⑴求證：8是。。的切線；

(2)若若旁,求S的度數(shù)；

⑶連接3,在(2)的條件下，若CD=6,求4。的長.

3.如圖，V/BC內(nèi)接于0。，”為。。的直徑，。。上血交半圓弧于。，點(diǎn)。與點(diǎn)C分別在直徑的兩側(cè)，連接

8交”于E,過點(diǎn)B作CD的平行線交/C延長線于尸.

⑴求證：CF=CB.

⑵若4=4,BC=2,求CD的長.

4.已知，四邊形/BCD內(nèi)接于。。，對(duì)角線4GBD交于//,ZACD+^ZBOC=90\

圖1圖2圖3

(1)如圖1,求證：AC1BD.

(2)如圖2,作直徑BE交4c于點(diǎn)尸，連接DF,DF=DC,求證：AB=DB-

(3)如圖3,在(2)的條件下，在四上截取"=P0_L4)于點(diǎn)0,交AC于L,若DH=2相,AQ=6,求BC的

長.

5.如圖，以V/BC的邊"為直徑作0。，與BC相切于點(diǎn)C,與/E交于點(diǎn)D,連接B。并延長分別交。。于E、F,

連接CF,ZF=30°

⑴求證：CB=CF；

⑵若BE=2,求4D的長.

6.如圖，在半圓。中，”為直徑，即為弦，C為曲的中點(diǎn)，CE//BD.

EBOA

(1)求證：CE是。。的切線.

(2)若C?〃4B,OA=3.

①求EB的長；

②①的長是—(結(jié)果保留無).

7.如圖，”是。。的直徑，點(diǎn)C是。。上一點(diǎn)(與點(diǎn)A,B不重合)，過點(diǎn)C作直線MV,使得Z4CN=4BC.

(1)求證：直線肱V是。。的切線；

(2)過點(diǎn)A作4>_LMN于點(diǎn)D,交0。于點(diǎn)E,若。。的半徑為3,點(diǎn)E為就的中點(diǎn)，求圖中陰影部分(弓形)的面

積.

8.如圖1,C。是菱形。/BC的邊4B上的高，以點(diǎn)。為圓心，長為半徑畫圓.

(1)求證：8是。。的切線.

(2)若點(diǎn)8在。。上，如圖2.

①求NDCB的度數(shù)；

②已知菱形。4BC的邊長為6,求圖中陰影部分的面積.

9.如圖，正方形/BCD的邊長為2,。。經(jīng)過正方形上的點(diǎn)8,C,且與4D相切于點(diǎn)尸.

(1)正方形的內(nèi)切圓和外接圓的半徑分別為,;

(2)求。。的半徑；

(3)求圖中陰影部分的面積.(參考數(shù)據(jù)：sin53^0.8,叫53。~0.6)

10.課本再現(xiàn)

如圖1,AB=CD,OE1AB,OF1CD,垂足分別為E,F,OE與OF相等嗎？為什么？

(1)完成上述課本習(xí)題.

知識(shí)應(yīng)用

(2)如圖2,。。的弦4B,DC的延長線相交于點(diǎn)E,連接E。并延長.若4B=CD,求證：EO為4ED的平分

線.

菱形4BCZ)的邊長”是。。的直徑，。。與交于點(diǎn)E,尸是CD上一點(diǎn)，且DE=DF,連接BF

F

C

(1)求證：B尸是0。的切線；

⑵連接CE,若DE=1,BF=3,求CE的長.

12.如圖，4E為。。的直徑，點(diǎn)C在。。上,/4CB的平分線交0。于點(diǎn)D.過點(diǎn)。作OE〃/B,交CE的延長線于點(diǎn)

E.

D

⑴求證：是。。的切線；

(2)若4c=12,BC=5,求CD的長.

13.如圖，已知。是V/BC邊4E上的一點(diǎn)，以。為圓心、OB為半徑的。。與邊女相切于點(diǎn)D,且BC=C0,連接

OC,交。。于點(diǎn)E,連接班■并延長，交/C于點(diǎn)F.

⑴求證：BC是。。切線;

(2)求證：OA-AB=AD-AC-

⑶若4c=10,tanNB/C=g,求E。的長.

14.切割鋸(如圖1)是工人在工作中常用的工具,常用于切割木材、鐵制品等，給工作帶來了極大的便利,

我們根據(jù)生活中的切割鋸抽象出如圖2所示的圖形，”表示面板，。。表示鋸片，線段m可繞點(diǎn)B帶動(dòng)。。轉(zhuǎn)動(dòng),

BC=(2073-30)cm,當(dāng)。。恰好和相切時(shí)，ZB=60°.

⑴求。。的半徑;

(2)在切割過程中，點(diǎn)。繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，”和。。相交，肱v表示切割的長度.

①如圖3,OE1AB,當(dāng)OE=24cm時(shí)，求切割的長度MV為多少;

②當(dāng)BD旋轉(zhuǎn)到NB=30。時(shí)，切割鋸能否將寬度為50cm的木板切斷!

15.如圖，。。是V4BC的外接圓，BC是直徑，AC=5,AB=15,。是弦EC下方弧BC上的點(diǎn)(與8、。均不重

合).連接DC并延長交過力點(diǎn)的直線于后點(diǎn)，連接/D,使4E2=CE.DE.

(1)請(qǐng)直接寫出4BC的正切函數(shù)值，即tonZABC=；

⑵求證：4E是。。的切線；

(3)設(shè)/。與BC交于點(diǎn)尸，點(diǎn)尸在。。上(與。、C均不重合)，過F點(diǎn)作FGrC,垂足為G,CG=2.與4FC的

大小相關(guān)的三個(gè)結(jié)論：以尸。>45。，NAFC=45。，"FC<45。，你認(rèn)為哪個(gè)正確？請(qǐng)說明理由.

《2025年中考數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí)備考-有關(guān)圓的綜合題高頻考點(diǎn)預(yù)測(cè)練》參考答案

L(1)見解析

(2)875

【分析】本題考查切線的判定、等腰三角形的性質(zhì)、圓周角定理、解直角三角形等知識(shí)，熟練掌握切線的判

定和勾股定理是解答的關(guān)鍵.

(1)連接。E,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到==NCEB=NCBE,進(jìn)而得到NOEC=90。，根據(jù)切線的判

定可證得結(jié)論；

(2)連接4E,先推導(dǎo)出NZME=/DBC,進(jìn)而由正切定義得到/E=2DE,BC=2CD,根據(jù)勾股定理求得DE,進(jìn)而

求得"，BC,然后再利用勾股定理求解即可.

【詳解】(1)證明：連接。E,則OE=OD,

ZOED=/ODE=ZBDC,

?：CE=BC,

/CEB=ZCBE,

?.?NZC5=90°,

.-.ZC5￡+Z5DC=90°,

NCEB+ZOED=90°,即NOEC=90°,

???OE是。。的半徑,

???CE是OO的切線;

（2）連接4E,

???4）為0。直徑，

：.ZAED=90°,

:.ZDAE=90°-ZADE=90°-4BDC=ZDBC,

tan^DAE=tanZDBC=-,則匹

2'zAEBC2

：.AE=IDE,BC=2CD,

vOA=OD=—xl2=6,

2

/.由DE2+AE2=AD2得DE2+（2網(wǎng)2=122,

解得祝=竽（負(fù)值已舍去），

vCE=BC=2CD,OC=6+CD,

???由OE2+CE2=OC2得62+（28）2=e+時(shí),

解得8=4或8=0（舍去），

：.AC=AD+CD=16fBC=2CD=Sf

在RtA^5C中，AB=y/AC2+BC2=V162+82=875.

2.(1)證明見解析

(2)30°

⑶后

【分析】本題主要考查了切線的判定和性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，

正確的作出輔助線、構(gòu)造相似三角形和直角三角形是解答本題的關(guān)鍵.

(1)連接OC,由OC=O6,得到NOC5=NO8C,則可證明NOB=NC8G,可得OC〃BG結(jié)合CZ)_L3G即可證明；

(2)由。C〃BG可得AOCFSAEQFQEOCSAEBD,gp^==|,珠=器=］進(jìn)一步得到。C=：OE,最后解直角三

BuLF3BDBE32

角形即可得到答案；

(3)如圖2,過/作于解直角三角形得到4H=1,EH=y/3fDH=2#,,最后在我皿4"中應(yīng)用勾股定

理即可求得4。.

NOCB=/OBC,

?:NABC=NCBD

??.NOCB=NCBD,

.-.OC//BG,

\-CDlBGf

:.OCVCD,

??,oc是。。的半徑，

??.8是。。的切線；

(2)解:-OC//BG,

:.AOCFSADBFAEOCSAEBD,

GCCF2

,?商"萬=5'

.PCOE_2

：.OE=2OB,

???AB=2OB,

/.OE=AB,

：.OC=-AB=-OE,

22'

??ZOCE=90°,

OE2

.?.NE=30。；

:"EBD=60。,

ZCBD=-ZEBD=30°,

2，

vCD=73,

：.BD=—"—=3,

tanZCBD

.?.。石=-^-=3百，BE==6,

tanEsin￡

?：OE=OA+AE=AB=OA+OB,

AE=OA=OBf

：.AE=-BE=2,

3

/.AH=AE-sin￡"=1,EH=AE-cosE=百，

1.DH=DE-EH=2G

在RNDAH中，由勾股定理得4D=，W+D7/2=*+(2國=岳.

3.(1)見解析

⑵3萬

【分析】本題主要考查了解直角三角形，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)與判

定，圓的相關(guān)性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

Q)由圓周角定理得到NBCD=；NBOD=45。，則由平行線的性質(zhì)得到NCBF=/B3=45。，再證明NFCB=90。，則可

證明VECF是等腰直角三角形，則CF=CE；

(2)過點(diǎn)C作于"，由勾股定理得48=2石，解直角三角形得到sin4BC=￥，cos4BC=g,則可求出

CH==,07/=”^,證明AZ)E°SACEH,得到則=EH=：OH=與,最后利用

555UHUD391593

勾股定理求出CEQE的長即可得到答案.

【詳解】(1)證明：-ODVAB,

1,NBOD=900,

.-.ZBCD=-ZBOD=45°.

2

?：BF//CDf

???NCBF=/BCD=45。,

,??23為。。的直徑，

ZACB=90°,

ZFCB=180°-ZACB=90°,

是等腰直角三角形,

CF=CB；

（2）解：如圖所示，過點(diǎn)。作于〃，

在RtA^5C中，由勾股定理得AB=y]AC2+BC2=275，

../枚「AC2V5..BCV5

.?sin/ZBC==-----,cosABRCr==—,

AB5AB5

.?.在RLHBC中，CH=BC-sinZHBC=—,BH=BC-cosZHBC=竿,

???ZDOE=ZCHE=90°,ZDEO=ZCEH,

ADEOSKEH,

4石

：.EH=CH;三二4,

OEOD亞5

.prr44\/55Js

..EH=—OH=-----，EH=—OH=—，

91593

：.CE=-JEH2+CH2=—,DE=-JOD2+OE2=—,

33

4.(1)見解析

(2)見解析

【分析】(1)可推出NBDC=；NBOC,進(jìn)而得出N48+NBDC=90。，進(jìn)一步得出結(jié)論；

(2)設(shè)N2BE交于點(diǎn)G,可推出NBFC=4a?,進(jìn)而推出“HD+NFGD=180。，進(jìn)而得出“GQ=90。，根據(jù)垂徑定理

得出4G=DG,進(jìn)一步得出結(jié)論；

(3)作于憶可證明“QP”血山，從而以獷=4。=6,解直角三角形求得設(shè)==貝?。?/p>

BH=BD-DH=x-2^3,根據(jù)勾股定理得出網(wǎng)2+4斤=/無，列出關(guān)于》的方程，求得X的值，進(jìn)而根據(jù)

cosZCBD=cosNClD列出黑=喂，進(jìn)一步得出結(jié)果.

oCAU

【詳解】(1)證明：,就=55,

,\ZBDC=-ZBOC,

2

ZACD+-ZBOC=90°,

2

：.ZACD+ZBDC=90°f

:?NCHD=90°,

：.AC1BD；

（2）證明：如圖1,設(shè)4）,仍交于點(diǎn)G,

由（1）知，AC1BD,

???DF=DC,

FH=CH,

：.BF=BC,

/BFC=4CB,

'-"AB=ABf

/ADB=4BCF,

1,NBFC=4DB,

?；NBFC+NEFH=180。,

1,NFHD+NFGD=180。，

???Z.FHD=90°,

???NFGD=90°,

???直徑

AG=DG,

AB=BD?

（3）解：如圖2,作于憶

圖2

???4期=90。，

ZAHW+ZDAH=90°,

由（1）知，NAHD=90°,

.t.ZABD+ZHAW=90°f

/AHW=NADB,

由(2)知，AB=BD,

/BAD=ZADB,

:"BAD=ZAHW,

-PQVAD,

.?.N4。尸=90°,

,-.ZAQP=ZAWH,

?：AP=AH,

AAQP^AHWA(AAS),

：.HW=AQ=6,

.,.DW=y/DH2-HW2=J(2屈了-62=4,

DWDH

vcosZADH=-----=,

DHAD

4_2V13

：.AD=13,

???AH=ylAD2-DH2=3V13，

設(shè)43=3。=%,貝！=?！?X-2而,

?：ZAHB=90°,

222

BH+AH=ABf

13V13

:.BH=^l-2屈=巫,

44

CD=CD,

NCBD=NCAD,

cosZCBD=cosZCAD,

.BH_AH

???/一而，

5A/13

??.3屈,

BC~13

??.BC*.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理及其推論，垂徑定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義，等

腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形.

5.(1)見詳解

⑵然

【分析】(1)根據(jù)/C為。。直徑，與BC相切于點(diǎn)C,可推出4CB=90。，由OF=OC,4=30。，可得

ZF=ZOCF=30°,進(jìn)而得"C3=NOC尸+4CB=120。，NCB尸=/尸=30。，根據(jù)“等角對(duì)等邊”即可得結(jié)論；

（2）連接Z尸，DE,CE,證明△COE是等邊三角形，由RM60C中，/FBC=30。,得OC=；O5,OE=2=CE=OC,

EF=AC=OB=4,AF=2,用勾股定理求出5c=Og2_"2=26,AB=AC2+BC2=42+（2A/3）2=25/7,再證明△OBEs△尸切,

由普=槳及前面所求各線段的長即可求解.

DADr

【詳解】（1）證明：???"為G）。直徑，與BC相切于點(diǎn)C,

:.ACA_BCfZACB=90°f

'：OF=OC,ZF=30°,

/.NF=ZOCF=30°,

:.NFCB=NOCF+NACB=120°,

/.NCBF=ZF=30°,

/.CB=CF-

（2）解：連接的，DE,CE,

NCFB=30。，

/COE=ZAOF=60°,

AF=CE,

???OC=OE,

..△COE是等邊三角形，

RUBOC中,NFBC=30°,OC=；OB,

BE=2,

OE=2=CE=OC,EF=AC=OB=4,AF=2,

BC=OB2-OC2=2yfi,

AB=AC2+BC2=42+（2V3）2=277,

ZAFB+ZADE=ZADE+ZBDE=180°,

ZBDE=ZAFB,

?;NDBE=/FBA,

:ADBES^FBA,

,BE_BD叩2-AD

??位—而，即命—2+4，

.mSA/7

..AD=.

7

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)及勾股定理、圓心角

定理、圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)等性質(zhì)；熟知相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，準(zhǔn)確作出輔助線是正確解答此題的關(guān)鍵.

6.(1)詳見解析

(2)①3；②TT

【分析】(1)連接。C,根據(jù)垂徑定理得到。。工如，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到。CLCE,根據(jù)切線的判定定理得到

結(jié)論.

(2)①連接BC,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到BE=CD,求得BC=C￡>,得到NE=4CE,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)

得到結(jié)論；

②由①知，-EC。是等邊三角形，求得ZBOC=60。，根據(jù)弧長公式即可得到結(jié)論.

【詳解】(1)證明：連接。J

,??。為麗的中點(diǎn)，

??BC=CD,

：.OCLBD,

CE//BD,

：.OCVCE,

??,oc是半圓。的半徑，

???CE是。。的切線.

(2)解：①連接叱，如圖;

vCE//BD,CD//AB,

???四邊形HQCE是平行四邊形,

;.BE=CD,

??,c為麗的中點(diǎn)，

-,-BC=CD,

:.BC=CD,

:.BC=BE,

NE=/BCE,

VZ.OCE=90°,

NE+/COE=ZECB+NOCB=90°,

:,NCOB=NOCB,

BC=OB,

.-.BC=OB=BE=3；

②由①知，BC=OB,

VOC=OB,

OB=OC=BC,

aBCO是等邊二角形,

ZBOC=60°,且BO=3,

的長=5?的長=6°；、3=".

故答案為：兀.

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，垂徑定理，弧長的計(jì)算，等腰三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的

判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

7.(1)見解析

【分析】本題主要考查了切線的判定，求弓形面積，等邊三角形的性質(zhì)與判斷，圓周角定理等等：

(1)連接。C,根據(jù)圓周角定理可得4CE=90。，利用等腰三角形的性質(zhì)和已知條件可求得NOCN=90。，再根據(jù)

切線的判定定理可得結(jié)論；

(2)過點(diǎn)。作OF_L4E于尸，連接OE,根據(jù)已知和第(1)小題可得=由題意求得9=①=數(shù)，可

得404=60。，進(jìn)而判定△/OE是等邊三角形，求出Z4OE的度數(shù)，利用稀脾=可求出答案.

【詳解】(1)證明：連接。C,

”是。。的直徑,

T'N

ZACB=90°,

DOCB+E)OCA=90°,

,/OC=OA=OBf

：.ZOAC=ZOCA,ZOBC=ZOCB,

ZACN=/ABC,

ZACN+ZOCA=90°,艮|]ZOCN=90°,

OCVMN,

；OC是0。的半徑，

;直線MV是。。的切線；

(2)解：過點(diǎn)。作0F_L4E于F,連接。E,

M

：.4CW+NGW=90。，

由（1）得4CN+NOC4=90。,

NCAD=/OCA,

?/NCAO=ZOCA,

NCAD=/CAB,

.,?虎=8,

???點(diǎn)E為府的中點(diǎn)，

?*,AE=CE，

??AE=CE=BCf

ZAOE=ZCOE=ZBOC=-xl80°=60°,

3，

???OA=OE=3,

??△4。￡是等邊三角形，

???OF1AEf

13

/.AF=-AE=-

22't

OF=ylOA2-AF2=|V3,

.c_cc_60-7T-3213/r39rr

-S?=SmAOE-S^OE=-1^--x-^3=-^-^3.

8.(1)見解析

(2)①NDCB=30。，②竽

【分析】(1)根據(jù)菱形的性質(zhì)得C0="?,結(jié)合平行線的性質(zhì)得ND+NDCO=180。，因?yàn)?是菱形CMBC的邊”上

的高，得目。=90。，即NDCO=90。，即可作答.

(2)①根據(jù)四邊形。/BC為菱形，得BC=OC,證明△OBC為等邊三角形.再結(jié)合NDCO=90。，得ZDCB=30。，即可

作答.

②結(jié)合△OBC是等邊三角形，得ZBOC=60。，BC=OC=6.根據(jù)勾股定理得，求出&皿=3班"8=券，

因?yàn)?OB=NBOC=60。，得醺物產(chǎn)品闞.即可作答.

【詳解】(1)證明：、?四邊形。4BC是菱形,

：.CO=AO.

???點(diǎn)。在。。上，即。。是半徑.

???AB//OC,

.?.ZD+ZDCO=1SO0.

CD是菱形OABC的邊/B上的高,

.-.D￡>=90°.

?,.NDCO=90。,

即OC1DC.

???c。是半徑，

.?.CD是。。的切線.

(2)解：如圖，連接。B.

①???點(diǎn)B在。。上，

:.OB=0A=OC.

???四邊形35。為菱形，

：.BC=OC.

：.BC=OC=OB,

.??△O3C為等邊三角形.

:.ZBCO=60°.

又NDCO=90。,

ZDCB=30°.

②???△OBC是等邊三角形，

ZBOC=60°,BC=OC=6.

在RtAPBC中，DZ)=90°,ZDCB=30°,

：.BD=3,CZ)=762-32=373,

???S△血=；xB0xO)=；x3x3G=券.

-.-ZAOB=ZBOC=60°,

=

S&AOBSABOC,S扇形HOB=S扇形BOC,

§弓形=§弓形BC?

S陰影=S^DBC~~~~?

【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，切線的性質(zhì)與判定，等邊三角形的判定與性質(zhì)，不規(guī)則圖形的面積，勾股

定理，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.

9.(1)1,亞

(2)1.25

一、2657c3

⑶而北

【分析】此題主要考查了正多邊形和圓，內(nèi)心的性質(zhì)，扇形面積公式.

(1)由正方形的邊長、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑正好組成一個(gè)直角三角形，從而求得它們的長度；

(2)連接P。并延長，交于點(diǎn)E,連接。C.設(shè)。。的半徑為r,在RdOEC中，由勾股定理列式計(jì)算即可求解

(3)先求得NBOCN106。，再利用扇形面積公式即可求解.

【詳解】(1)解：如圖，過點(diǎn)。作。于點(diǎn)艮

4K-----------------KD

???正方形的邊長為2,

BC=2fOB=OC,ZBOC=90°f

：.BE=CE=\,

.?.OE=BE=CE=\,

?,?(?B=(?C=V12+12=V2,

即外接圓半徑為0,內(nèi)切圓半徑為1;

故答案為：1,血；

(2)解：如圖，連接尸。并延長，交BC于點(diǎn)E,連接OC.

.??40是O0的切線,

.-.OP1AD,

由正方形48C?？傻?/p>

.-.OE1BCf

,:BC=2,

：.EC=EB=\,

設(shè)。。的半徑為〃，則叁=2",

在RtZXOEC中，有0。2=。1+金，

.-.r2=(2-r)2+l,

解得〃=1.25；

(3)解:由(2)知，=L25,

.?.OE=0.75,

???cosNCOE=0.75+1.25=0.6,

/COEx53°,

連接

/BOC?106°,

10611x(9]

4_UJ2x0.75_265H3.

Q陰影-13扇形Boc-MBOC一記°2-576.4

10.(1)OE=OF,見解析；(2)見解析

【分析】本題主要考查了圓的基本概念，三角形全等的判定與性質(zhì)、角平分線的判定.

(1)證明"OB%CO￡>(SSS),根據(jù)OE_L4B于點(diǎn)E,。9_18于點(diǎn)尸，即可證明；

(2)過點(diǎn)。分別作。ONLCD,垂足分別為M,N.同理(1)即可得出結(jié)論.

【詳解】解：(1)OE=OF.理由如下：

在V4OB和△CW中，

-：AO=BO=CO=DO,AB=CD

:.^AOB^COD(SSS).

又???OELAB于點(diǎn)、E,OF_LS于點(diǎn)F,即。E,。尸分別是“。B/C。。邊/B,CD上的高,

OE=OF.

(2)證明：如圖，過點(diǎn)。分別作。ONLCD,垂足分別為M,N.

同理可得：ON=OM,

OMVAB,ONLCD,

，EO為N/ED的平分線.

11.(1)見解析

⑵取

【分析】(1)先由圓周角定理得2EB=90。，再結(jié)合菱形的性質(zhì)證明△4BEMaCBF(SAS),貝！]4BF=NCF8=90。，又

因?yàn)?B是。。的直徑，故B尸是O。的切線.

(2)先設(shè)CD=BC=X,再得CF=CD-OF=x-l,運(yùn)用勾股定理列式+0尸=B0,代入數(shù)值計(jì)算，得x=5,再結(jié)

合4D〃BC,得NEBC=〃EB=90。，則CE=辦爐+BC：=取,即可作答.

【詳解】(1)證明：如圖，連接班.

:.ZAEB=90°.

:四邊形/BC。是菱形，

AD=CD=AB=BC,ZA=ZBCD.

DE=DF

:.AE=CF.

在△力m和VC職中，

AB=BC

■ZA=ZBCF

AE=CF

.?.△4助包。3尸(SAS),

/.ZAEB=NCFB=90°.

???AB||CD,

ZABF=Z.CFB=90°.

又?.?ZB是OO的直徑，

???8廠是OO的切線.

(2)解：設(shè)CZ)=5C=%,

?;DE=1

:.DF=\,CF=CD-DF=x-\.

由(1)可知/CFB=90°,△ABEqKBF,

BE=BF=3,

在Rt-BCF中，由勾股定理得，BF2+CF2=BC2,

即32+(X-1)2=X2,

解得x=5,

BC=5.

AD||BC,

ZEBC=ZAEB=90°,

:.CE=』BE。+BC"=V32+52=734.

【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，圓周角定理，切線的判定與性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，

正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.

12.⑴見解析

(2)畀

【分析】本題主要考查了切線的判定和性質(zhì)，圓周角定理，角平分線的定義，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理,

連接經(jīng)過切點(diǎn)的半徑是解決此類問題常添加的輔助線，也是解題的關(guān)鍵.

(I)連接。。，利用角平分線的定義，圓周角定理和圓的切線的判定定理解答即可；

(2)根據(jù)圓周角定理得到4cB=90。，NADB=90。，根據(jù)勾股定理得到AB的值，根據(jù)角平分線的定義得到

NACD=NBCD,求得〃）=9=竽，過點(diǎn)2作瓦US于點(diǎn)R根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到跖=CF=?根

據(jù)勾股定理得到。尸，于是得到結(jié)論.

【詳解】（1）證明：連接。。，如圖，

???CD是，的平分線，

:"ACD=/BCD,

.-.ZAOD=ZBOD,

???”為。。的直徑，

ZAOD=ZBOD=-xl80°=90°,

2，

ODVAB,

DE//AB,

:.0DIDE,

?.?8為OO的半徑，

???加是。。的切線；

(2)解：連接”,助，

???”為。。的直徑，

,-.ZACB=90°,ZADB=9Q°,

?.?AC=n,BC=5,

:.AB=y]AC2+BC2=13,

???CD是//C8的平分線，

:.AACD=/BCD,

?'-AD=BD，

近130

/.AD=BD=—AB=^—f

22

過點(diǎn)5作mIC。于點(diǎn)尸，

?：BBCD=-DACB=45°.

2

5c

/.BF=CF=—BC=-41,

22

???DF=\lDB2-BF2=6>/2,

.-.CD=CF+DF=-42+6y/2=—^2.

22

13.⑴見詳解

(2)見詳解

【分析】本題考查切線的性質(zhì)與判定，三角形全等的判定與性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，勾股定理，解

直角三角形等知識(shí).在解圓的相關(guān)題型中，連接常用的輔助線是解題關(guān)鍵.

(1)連接由切線的性質(zhì)可知N8C=90。.證明28%。。C(SSS)得出NOBC=NODC=90。，即BCLC?,說明BC

是。。的切線；

(2)證明V4)OsV4BC得出怨=當(dāng)，整理得O43/DXC；

ACAD

(3)利用三角函數(shù)比得出BC=?B,利用勾股定理得出/C="B,求出超=6,BC=8,再利用以"+以"=邑武進(jìn)

而可求EO的長.

【詳解】(1)證明：連接。D,

?.TC與。。相切于點(diǎn)D,

..AC1OD,

在W)和△DOC中，

OB=OD

■BC=DC,

oc=oc

..△BOD咨ADOC(SSS),

ZOBC=ZODC=90°f

QOB是。。的半徑，且8CJLO8,

:EC是。。的切線；

(2)證明：vZADO=ZABC=90°fZA=ZA,

:.AADO^/\ABC,

.OAAD

'~AC~~AB"

:.OAAB=ADAC；

(3)解：-.—=tan^BAC=-

川十.AB3，9

4

...BC=-AB,

3，

AC=^JAB~+BC2=^AB2+AB^=*B.

vJC=10,

3

,c4

AB=6,BC=—x6=8,

3

?S^AOC+S^BOC=S4ABe9

:.-ACDO+-BCBO=-ABBC,

222

?/DO=BO=EO,

.*.-xl0￡O+-x8￡O=-x6x8,

222'

解得EO=|,

?“。的長是：

14.(l)30cm

(2)①36cm；②m旋轉(zhuǎn)到4=30。時(shí)，切割鋸不能將寬度為50cm的木板切斷

【分析】(1)設(shè)。。半徑為由三角函數(shù)得si?3解之即可；

r+2003—302

(2)①如圖1,連接ON,由勾股定理得EN=JON2—OE2=i8(cm),由垂徑定理得腔=加，最后根據(jù)MN=2EN,即

可求解；

②如圖2,當(dāng)即旋轉(zhuǎn)到4=30。時(shí)，OB=OC+BC=206(