全國高中數(shù)學(xué)競賽模擬訓(xùn)練題集

全國高中數(shù)學(xué)競賽模擬訓(xùn)練題集

高一數(shù)學(xué)競賽練習(xí)卷六

1、已知數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列，且S5=28,S.O=36,則Sg等于()

(A)80(B)40(C)24(D)-48

2、若函數(shù)/(x)=11-8cosx-Zsin?x的最大值為a,最小俏為則~!■等于()

b

(A)18(B)6(C)5(D)0

3、對于xeR,函數(shù)/(x+2)+/(x—2)=/(x),則它是周期函數(shù)，這類函數(shù)的最小正

周期是(A)4(B)6(C)8(1))12()

4、函數(shù))，=/(幻的圖象為C,而C關(guān)于直線x=l對稱的圖象為C-將G向左平移1個

單后得到的圖象為。2,則。2所對應(yīng)的函數(shù)為()

(A)y=/(-x)(3)y=f(l-x)(C)y=f(2-x)(D)y=f(3-x)

5、方程式2+X-1=m'T+(/-1)乃'的解集為A(其中4為無理數(shù)，H=3.141--,x為實

數(shù))，則A中所有元素的平方和等于(A)0(B)1(C)2(D)4()

6、在AABC中，已知A3?4C=9,sinB=cosAsinC,SAAK=6,P為線段AB上的點，且

CP=Ay^,

則xy的最大值為(A)1(B)2(C)3(D)4)

7、若關(guān)于/的不等式f一以一6〃<0有解，且解集的區(qū)間長不超過5個單位，滿足上述

要求的。的最大值為M。、最小值為加“，則M”一也,等于()

(A)1(B)24(C)25(D)26

8、若實數(shù)x,y滿足y2x,x+yW2,x2m,且z=2x+y的最大值是最小值的2倍，則m的值

是(A)—(R)!(C.)—(D)1()

234

9、一張坐標紙對折一次后，點404)與點8(8,0)重疊,若點C(6,8)與點。。幾〃)重疊，

則相+〃=________O

10、已知向量。+3分與7。-5五垂直，。一痂與7。一2萬垂直，則向量。一五與萬的夾角為a

11、已知/(x)=tanx+cos(x+?n)為奇函數(shù),且m滿足m2?3m?10V0,則m=。

12、在A48C中，若tanA=4，tanB=-,且最長邊的長為1,則最短邊的長等于“

23

13、若關(guān)于x的方程理￡二二%只有一個實數(shù)解，則。的值等于____________。

X+1g4

14、設(shè)函數(shù)f(x)=lnx的定義域為(M,+8),且M>0,對于任意x,y,zG(M,+=°),

若x,y,z是直角三角形的三條邊長，且f(x),f(y),f(z)也能成為三角形的三條邊長,

則M的最小值為。

[3?！?5嗎為奇數(shù)

15、已知數(shù)列｛%｝的各項均為正整數(shù)，對于〃￡N*,有q+1=(〃I心爪，其中

才必為偶數(shù)

k為使%+]為奇數(shù)的正整數(shù)。當q=ll時，%()13=；若存在〃2￡N*,當n>m且?！?/p>

為奇數(shù)時，應(yīng)恒為常數(shù)P,則P的值為o

16、已知A=*"(x)=x｝,B=｛x\f[f(x)]=x｝.

(1)求證：AcB；

(2)若/(x)=a？-i(〃wR,xER),且A=8W。，求實數(shù)〃的取值范圍.

17、已知正項等比數(shù)列｛《｝的前n項和為工，滿足《=1,S4=5S2；物,｝的前n項和為％,

滿足仇=1,Tn=trbno

(1)求數(shù)列MJ、也｝的通項公式；

(2)令％=(S〃+1X汕〃-4)，若數(shù)列｛，,｝是單調(diào)遞減數(shù)列，求實數(shù)2的取值范圍。

18、定義在R上的函數(shù)/(x)滿足：/(0)=0；對任意x,yw(y,—l)5L+8),都有

1x+y

+/-=/:當時，都有

J+嘰

1)>/(；),其中〃wN二

求證」[司+/+...+/

5I/+7〃+11

74717t3乃v5rr—

答案：CBDBCCDA；——；120o一,一,---;---;100；y/2；19,1或5；

52225

16、

44

o

17、(1)a“=2'i,h=—=—

n(n+\)

2)

(2)c=T\%=2n+，——一A恒成立,

n〃+2J

In

八，--二一恒成立，所以

〃+2〃+1n~+3/1+23

⑶由4?+/（2卜/（°）；所以4M#/（3）

高中數(shù)學(xué)競賽（預(yù)賽）真題訓(xùn)練（六）

姓名：班級：分數(shù)：

一、填空題（本題滿分56分，每小題7分。）

1.已知復(fù)數(shù)機滿足用+,=1，則，〃之頤+—^二.

1Ji

2.設(shè)/（x）=—cos2x+^sinxcosx+2,xe[--,—],則/（x）的值域

2264

為?

3.設(shè)等差數(shù)列｛%｝的前〃項和為鼠，若%>0,516<0，則顯，9，…，皂中最大

4〃2/5

的是.

4.已知0是銳角△48C的外心，AB=6,4C=10,若元=不赤+），元，且

2x+1Oy=5,則cosZBAC=

5.已知正方體A8CD—A/]G3的棱長為1，。為底面48CD的中心，M,N分別是

棱4?！亢虲Ci的中點.則四面體O—MNB］的體積為.

6.設(shè)AUBUC={123,4,5,6},且AD8={1,2},{1,2,3,4}qBUC，則符合條件

的（AB,C）共有組.（注：A,5,C順序不同視為不同組.）

7.設(shè)y=sinx+cosx+tanx+cotx+secx+cscx,則|y\的最小值

為.

8.設(shè)p是給定的正偶數(shù)，集合2,={村2/'</<2〃"了=3〃7,〃?￡1\［}的所有元素的

和是.

二、解答題（本題滿分64分，第9題14分，第10題15分，第11題15分，第12題

20分。）

9.設(shè)數(shù)列{4}（〃20）滿足％=2,alll+n+am_n+n=（a2tn+a2n）,其中

m,neN,m>n.

（1）證明：對一切有勺+2=2〃”.［一。“+2；

（2）證明：—+—+???+—!—<1.

aa

\2“2009

10.求不定方程M+々+冗3+3匕+3%+54=21的正整數(shù)解的組數(shù).

11.已知拋物線C：y=g/與直線八），二心；-1沒有公共點，設(shè)點P為直線/上的動

點，過P作拋物線C的兩條切線，48為切點.

（1）證明：直線48恒過定點Q；

12.設(shè)。，"c,"為正實數(shù)，且a+〃+c+d=4.證明:

a2h2c2d2

—+—+—+——>4+(a-b)2.

bcda

湖北省黃岡中學(xué)高中數(shù)學(xué)競賽（預(yù)賽）真題訓(xùn)練（六）

參考答案

一、填空題（本題滿分56分，每小題7分。）

1.已知復(fù)數(shù)根滿足加+,=1,則加?0^f—o.

m加一009

2.設(shè)/（x）=geos?x+當sinXCOSX+2,xe[--,^],則J'（x）的值域為

3

[2,2-].

4

CCC

3.設(shè)等差數(shù)列｛凡｝的前〃項和為S”，若S15>0,S16<0,則一^」,…，一包中最大

4〃2a】s

的是盤.

4.己知。是銳角△ABC的外心，A“_6,AC_10,若AO=xAG十），AC,且

2x+1Oy=5,則cosZBAC=-.

3

5.已知正方體ABC?！?月GQ的棱長為1，。為底面八BCD的中心，M,N分別是

7

棱45和CG的中點.則四面體。―MN芯的體積為—.

48

6.設(shè)AU5UC={123,4,5,6},且-n8={1,2},{1,2,3,4}CUC，則符合條件

的(ARC)共有1600組.(注：A,區(qū)C順序不同視為不同組.)

7.設(shè)y=sinx+cosx+tanx+cotx+secx+cscx,則|y|的最小值為

25/2-1

8.設(shè)P是給定的正偶數(shù)，集合4，={犬|2/'</〈2/用/=3〃7,〃?￡]>[}的所有元素的

和是22kl_2?！?

二、解答題(本題滿分64分，第9題14分，第10題15分，第11題15分，第12題

20分。)

9.設(shè)數(shù)列{%}(〃20)滿足q=2，am+n+am_n-///+H=1(a2in+a2n),其中

m.nGN,/〃>n.

(1)證明：對一切rwN,有?！?2=2?！?]—+2；

(2)證明：—+—+???+—!—<1.

a\a2。2009

證明(1)在已知關(guān)系式4“+〃+《〃_〃一加+〃=5(。2,”+。2〃)中，令，〃=〃，可得

。0=°；

令〃=(),可得

ai,?=4%-2m①

令6=〃+2,可得

生“+2+。2-2=](。2〃+4+〃2”)②

由①得生〃+2=一2(〃+1),a2=4^1-2=6,a2n+4=4tzzl+2-2(〃+2),

4〃“—2n,

代入②,化簡得an+2=2an+l-4-2.7分

(2)由an+2=2。向一a”+2,得(an+2-an+l)=(4川一%)+2，故數(shù)歹U{。向一a”}

是首項為4一%=2,公差為2的等差數(shù)列，因此。用-4=2〃+2.

于是*=Z(4-=Z(2Q+°=〃5+l)?

因為—=-------=---------(zz>1),所以

an〃(〃+1)nn+1

II1

----F——+…+=............-)=1———<1.

%的“2009223200920102010

14分

10.求不定方程用+%+5+3匕+3鼻+5/=21的正整數(shù)解的組數(shù).

解令芭+%+與=X，匕+匕=)'，4=z，WJx>3,y>2,z>1.

先考慮不定方程工+3)，+52=21滿足冗之3,了之2「之1的正整數(shù)解.

x>3,y>2,z>1,/.5z=21-x-3y<12,:.1<z<2............................5分

當z=l時，有工+3y=16,此方程滿足xN3,yN2的正整數(shù)解為

(x,y)=(10,2),(7,3),(4,4).

當z=2時，有x+3y=ll,此方程滿足x23,y22的正整數(shù)解為(X,)，)=(5,2).

所以不定方程x+3)，+5z=21滿足x23,yN2,z21的正整數(shù)解為

(x,y,z)=(10,2,1),(7,3,1),(4,4,1),(5,2,2).--------------------------------------10分

又方程/+J=MxeN,x>3)的正整數(shù)解的組數(shù)為C；_,,方程

九4+匕=)'G'￡N,XN2)的正整數(shù)解的組數(shù)為C；T，故由分步計數(shù)原理知，原不定方程

的正整數(shù)解的組數(shù)為

C；C：I+C：C；+C；C；+Cf：Cl；=36+30+9+6=81.....................................15分

1、

11.已知拋物線C:)，=]/與直線/：y=人:-1沒有公共點，設(shè)點P為直線/上的動

點，過P作拋物線C的兩條切線，48為切點.

⑴證明：直線八8恒過定點a；

\PM\\QM\

⑵若點P與（1）中的定點。的連線交拋物線C于M,N兩點，證明：7=

兩例

證明⑴設(shè)4（X|,y）,則必=（占2.

由y=g/得V=工，所以了|/二X）.

于是拋物線C在A點處的切線方程為y-y=2（x-X[）,即y=x1x-凹.

設(shè)產(chǎn)（/次工-1），則有攵改）T=xoxl->,].

設(shè)8*2,%)，同理有5T=/%2一)'2.

所以48的方程為kxv-\=x()x-y,即xo(x-^)-(y-l)=0,

所以直線AB恒過定點。（七1）.---------------------------7分

（2）PQ的方程為），二"二2（》一6+1,與拋物線方程），=!一聯(lián)立，消去y,得

x廠k2

-52攵A）—4（2k--2）x（）—2Z

x~-------------/+-----------------------=0.

4-k4-k

設(shè)知（七，治），設(shè)（匕，%），則

2匕q-4Qk~—2)xo—2k

匕+匕=『=內(nèi)=x°-k①

要證曾二陷，只需證明上二%=匕），即

|尸兇\QN\%7。x「k

2X3X4-(k+X0)(X3+X4)+2kq)=0②

由①知，

-.2(2k~—2)x—4攵2Zrx)—4

②式r左邊=—-------?0-------(2+/)—22—+2攵%

%-kxQ-k

2(2&之-2)x-4k-(k+x)(2^-4)+2^(x-k)

=----------------0--------------------Q----------------------------0--------=U?

x°-k

故②式成立，從而結(jié)論成立.---------------------------15分

12.設(shè)為正丈數(shù)，￡La+〃+c、+。=4.證明:

a2b2c2d2,

—十—+—+—>4+(?-Z?)~.

bcda

證明因為a+〃+c+d=4,要證原不等式成立，等價于證明

a2〃c2d2,,A(a-b)2

—+—+—+—N〃+b+c+d+---------------

bcdaa+b+c+d

事實上，

a2b2c2d2

-----F---1---+-----(a+b+c-\-a)

bcda

2>22>2

=(—4-/?-26Z)4-(—+c-2/?)+(—+^-2c)+(—+6/-2t7)

bcda

=-(a-b)2+-(b-c)2+-(c-J)2+-(d-aY②-----------13分

bcda

由柯西不等式知

(a—b)~(b—c)~(c—d)~(d—a)~,,

[-----—+-----—+------—+-----二](a+b+c+d)

bcda

>(\a-b\+\b-c\+\c-d\+\d-a\)2③-----------15分

又由+-d|+|d-。以〃一。|知

(\a-h\-i\b-c\+\c-d\+\d-a\)2>4(a-b)2④

由②，③，④，可知①式成立，從而原不等式成立.......................2。分

加試模擬訓(xùn)練題

1、給定一個半圓周,其百行為圓心為O,一直線與半圓周相交千點日

與A3的延長線交于點其中。設(shè)A40CAB0。的外接圓

的第二個交點為K,證明NMK。是直角。

CMLfXKI3,p1+C/+/+----hq/7?+1.

2、設(shè)a>0,〃￡N,求證----------------「一>-----(5)

八?八51I/"T__

3、一個國際社團的成員來自六個國家，共有成員1978人.用1,2,3,1977,

1978編號，請證明，該社團至少有一個成員的編號數(shù)，與他的兩個同胞的編號數(shù)之和相等,

或是一個同胞的編號數(shù)的二倍.

4、設(shè)a、b、c為滿足不等式1VaVbVc的整數(shù)，且(abT)(bc-l)(caT)能被abc

整除，求所有可能數(shù)組(a,b,c).

加試模擬訓(xùn)練題(19)

1、給定一個半圓周，其直徑為A5,圓心為。，一直線與半圓周相交于點C,。，且

與48的延長線交于點M,其中。設(shè)A40C,AB0。的外接圓

的第二個交點為K,證明NMK。是直角。

證明法一連OO交OQ于點P,DO2交OO?于點Q,因為Qa_LOKJQ〃

00”且K在PQ上，所以只要證P,Q,M三點共線。由于0P是。。1的直徑，因此PA與

。。相切。同理尸C,Q8,QO也均與。。相切。過尸作Q。的平行線，與。。的延長線交

于點E,則NCEP=NMDQ=NECP,所以PE=PC=PA,即APAE與△Q3。均是

等腰三角形，且對應(yīng)邊平行，因此對應(yīng)頂點的連線交于一點，即P,Q,M三點共線。

法二設(shè)AC,BD交于點N,4/),8。交于點“，則，為ANA8的垂心。連

分別交AC,8。于點X,y,則N,C,X,A及為調(diào)和點列，所以是N關(guān)于

00的極線，于是ON_LM”。同理OM_LNH,且。是'HMN的垂心。由蒙日定理得0K

過點N,于是有MH10K“設(shè)NH與AB交于點T,則NH?NT=NC?NA=NK?N0,

所以K,O,r,H四點共圓，AHKO=ZHTO=90°,于是有M,K,〃三點共線。

法三延長。K至S,則NMK0=90。=/SKD+NQKM=90。o

/DBO+NDKM=90°o/DKM=NDAMu>K,A,M,D四點共圓

o/KAB=NCDK。因為C,A關(guān)于PO對稱，所以有

ZCDK=NCDB-/KDB=(180°-NCA8)-(180。-NK08)=ZK0B-ZCAB

=ZKCA-ZCAB=Z.0CA+Z0CK-Z.CAB=Z.0AC+ZKAO-NCAB=NKAB.

C八.,q1+…H+1..

2、設(shè)a>0,〃wN,求證------r-------――>---(5)

a+a+—+〃-"-n

1+a2+a"+…+a2nI

證明設(shè)數(shù)列｛為｝的通項公式為二、-------1——

a+a+…+a~n

1,1

=----；------；~~+a-1—.

4+4+…+a~”Tn

則%+「小

=__________1____________1__________1_________

~a+a5+--+aln~l+a2n+l"〃+la+a'+^-+rz2n-,0+〃

一〃1

=--------------------------------------------------------------------------------------+----------------

(〃+〃'+?..+〃2/t-l+〃2“+1)(4+〃3+…+〃2”-l)〃(〃+1)

由〃+43+...+(產(chǎn)T+a2川>(〃+校”不…〃2向二(〃+1"山.

。+“3+???+〃”"2術(shù)1a?/a""=nan.

2n+l1

得-----:-------;------------------------->----------

(。+〃'+…+產(chǎn)，〃叫m+〃3+…+(產(chǎn)T)〃(〃+i)

故s

所以數(shù)列｛%｝為單調(diào)遞增數(shù)列，又q=匕*_2=U62（）.

aa

1+〃2+/+???+/“〉n+\

所以a>0.即

n。+。"一+。"1-n

3、一個國際社團的成員來自六個國家，共有成員1978人.用1,2,3,1977,

1978編號，請證明，該社團至少有一個成員的編號數(shù)，與他的兩個同胞的編號數(shù)之和相等,

或是一個同胞的編號數(shù)的二倍.

【題說】第二十屆（1978年）國際數(shù)學(xué)奧林匹克題6.本題由荷蘭提供.

【證】用反證法，若命題不成立，則有性質(zhì)S：同一國的兩個成員的號碼之差不是該國成

員的號碼.

由于苧>329,根據(jù)油屜原則，必有一個國家A不少于330個成員.

0

設(shè)3是A國成員的最大號碼，用m減去其余A國成員的號碼，得到不少于329個數(shù)，根據(jù)

性質(zhì)S,它們都不是A國的號碼，因而是其余五國

的號碼.由于手〉65,由抽屜原則，必有一個國家B含有其中至少

66個號碼，記其中最大的為叫，用叫減去其余65個號碼，所得的65個號碼都不是B的號

碼，也不是A的號碼（對出、az￡A,（mi—a】）一（mi—az）=a1一az不是A的號碼）.

這65個號碼必屬于其余四國，其中必有一國C含有其中至少17個號碼，等等.如此下去，

最后會找到一個國家F,其中有兩個成員的號碼之差不是任何一國成員的號碼，這是不可能

的，這個矛盾就說明題目的斷言是正確的.

4、設(shè)a、b、c為滿足不等式1VaVbVc的整數(shù)，且（abT）（bc-1）（caT）能被abc

整除，求所有可能數(shù)組（a，b,c）.（1989年上海競賽試題）

解(abT)(bc-l)(ca-l)

=a'b2c~-abc(a+b+c)+ab+ac+bc-l,①

Vabc|(ab-1)(bc-1)(ca-1).

，存在正整數(shù)k,使ab+ac+bc-l=kabc,②

111111133

I1II1I

k=。bc<abc<abc<a<2r/.k=l.

247

aaAi+i+

若a23,此時1=?bc-abc<34560矛盾.

已知a>l.工只有a=2.

221224

—+——---+—=—

當a=2時，代入②中得2b+2cT=be,即l=bcbe<bbb

A0<b<4,知b=3,從而易得c=5.

高一數(shù)學(xué)競賽練習(xí)卷二

1.將正整數(shù)從1開始不間斷的寫成一行，第2006個數(shù)碼是（）

A、0B、5C、7D、以上都不正確

2.設(shè)log*2A：2十八-1）>]og,2-1,則人的取值范圍為（）

A.—<X<1B.X>—1C.x>\D.0<x<1

22

3.已知集合A=/5元一。工0},B={^6x-b>0}fa,beN,且AcBcN={2,3,4},

則整數(shù)對（。力）的個數(shù)為（）

A.20B.25C.30D.42

4.已知數(shù)列{/}滿足3%+J〃〃=4,且《=9,其前n項和為I,則滿足不等式

|S「n-6|<—!—的最小整數(shù)n是（）

125

A.5B.6C,7D.8

54

5.平面整點（縱、橫坐標都是整數(shù)的點）到直線），=；1十二的距離中的最小值是

35^

6.在AABC中，sinA（sinB+cosB）-sinC=0,sinB+cos2C=0,比較A、B、C的大小關(guān)系為

A.C>B>AB.A>B>CC.B>C>AD.C>A>B（）

7.已知點A（1,0）、B（2,1）及直線L：y=x,設(shè)點P是直線L上一點，則當彳A?而取

最小值時，而與而所成的夾角為.

8.函數(shù)/(x)=a/+/7s仙3戈+c?+dx+2滿足f(1)=7,f(-1)=9,且f(2)+f(-2)

=124,貝ijf(亞)+f(—&)=.

(X-11)5+15(I-11)=5

9.已知實數(shù)*、y滿足/八5八＜，則x+產(chǎn)_____.

(y-4)+!l5(cyZ-4)=-5'

10.若x、y為實數(shù)，且W+町，+V=3,則f-"+y2的最大值和最小值分別為.

11.若關(guān)于x的方程川-？=代+2恰有一個實根，則k的取值范圍是____.

Y--I-V-4-I

12.已知集合,任取。，仇ceM,以兄仇c為長度的線段都

x~+x+1

能構(gòu)成三角形，則實數(shù)k的取值范圍是.

13.在△18。中，內(nèi)角4B,C對邊的邊長分別是a,b,c,己知c=2,角C=60。。

(1)若△ABC的面積是求a,b的值；

(2)若sinC+sin(B-A)=2sin2A,求a：b的值。

14.己知數(shù)列｛%｝中，q=2,生=3,其前幾項和S“滿足S〃+I+S〃T=2S.+1(〃22,

N"O

(1)求數(shù)列｛0〃｝的通項公式；

(2)設(shè)a=4"+(-1)小九2冊(2為非零整數(shù)，/?GN*)，試確定X的值，使得對任意〃EN*,

都有2+i〉勿成立?

6TT

15.已知不等式J5(24+3)COS(6-X)T-2sin28<3a+6對于?！?,一

4sin夕+cos。2

恒成立，求a的取值范圍,

答案：ABCCBA；90°；40：15；9和1；1=±百或附>2：：

13、（1）a=b=2；（2）2或L；

2

14、（1）an=n+\；（2）-2<2<1：

15、a>3°

高中數(shù)學(xué)競賽（預(yù)賽）真題訓(xùn)練（五）

姓名：班級：分數(shù):

一、填空題（本題滿分64分，每小題8分。直接將答案寫在橫線上。）

1.數(shù)列｛〃〃｝滿足：q=I,%=3，且?！?2=1a〃+iI￡N"）.記｛4｝前〃項的和為S“，

則Sioo=-----------

2.在△A3C中，已知N6的平分線交力。于（若於2,。仁1,B/C=—,則△43C的

2

面積為.

3.設(shè)〃<100,則使得（Q+b）”的展開式中有連續(xù)三項的系數(shù)成等差數(shù)列的最大整數(shù)〃

為.

4.在小于20的正整數(shù)中，每次不重復(fù)地取出3個數(shù)，使它們的和能被3整除，不同的取法

種數(shù)為.

5.若x,y,z均為正實數(shù)，且/+）,2+z?=1,則S=（z-D的最小值為__________.

2xyz

2

6.設(shè)橢圓￡+）,2=1的左、右焦點分別為K，五2，M為橢圓上異于長軸端點的一點，

/RMFL29,AM片5的內(nèi)心為/,則|M/|cosd=.

7.對于一切不￡[—24],不等式0?一一+元+120恒成立，則實數(shù)〃的取值范圍

2

為.

8.將總和為200的1()個數(shù)放置在給定的一個圓周上，且任意三個相鄰的數(shù)之和不小于￡8.所

有滿足上述要求的10個數(shù)口最大數(shù)的最大值為.

二、解答題(本大題滿分56分，第9題16分，第10題20分，第11題20分)

9.已知數(shù)列｛%｝中.日%J"。?！?〃=2,3,4.…).

4〃一兄

(1)求數(shù)列｛*｝的通項公式；

n7

(2)求證：對一切〃wN",有Z〃；＜一.

t=i6

10.設(shè)尸=/+6/+1支2+3犬+31,求使尸為完全平方數(shù)的整數(shù)x的值.

X2y2

11.已知直線），=工與橢圓G-7+2—=1交于A8兩點，過橢圓。的右焦點尸、傾斜角

1611

為a的直線/交弦于點P,交橢圓C于點M,N.

（1）用。表示四邊形AMM5的面積；

（2）求四邊形MANB的面積取到最大值時直線/的方程.

湖北省黃岡中學(xué)高中數(shù)學(xué)競賽（預(yù)賽）真題訓(xùn)練（五）

詳細解答

一、填空題（本題滿分64分，每小題8分。直接招答案寫在橫線上。）

1.數(shù)列｛〃”｝滿足：%=1,%=3,且?！?2=1。〃+1（〃wN'）.記｛〃“｝前〃項的

和為S”，則Se=89.

2.在^ABC中，已知的平分線交力C于K.若除2,*1,BK=—,則^ABC

2

的面積為臣2.

16

3.設(shè)〃<1（）0,則使得（a+〃）〃的展開式中有連續(xù)三項的系數(shù)成等差數(shù)列的最大整數(shù)〃

為98.

4.在小于20的正整數(shù)中，每次不重復(fù)地取出3個數(shù)，使它們的和能被3整除，不同的

取法種數(shù)為327.

5.若x,y,z均為正實數(shù)，且，+y2+z2=i,則s=《il匚的最小值為

2xyz

3+2及

6.設(shè)橢圓二+），2=1的左、右焦點分別為K，尼，M為橢圓上異于長軸端點的一點,

-也.

^MF2=29,AM6鳥的內(nèi)心為/,則|M/|cos8=2

7.對于一切2,g],不等式0￥3一12+工+120恒成立，則實數(shù)。的取值范圍為

-10<r/<-l.

8.將總和為200的10個數(shù)放置在給定的一個圓周上，且任意三個相鄰的數(shù)之和不小

于58.所有滿足上述要求的1（）個數(shù)中最大數(shù)的最大值為26.

二、解答題（本大題滿分56分，第9題16分，第10題20分，第11題20分）

9.已知數(shù)列｛/｝中，％=1,e=,，且

4

W+I—5=2,3,4,…).

n一凡

（1）求數(shù)列｛4｝的通項公式;

〃7

（2）求證：對一切〃eM，有

?=16

解（1）由已知，對〃之2有一=------J=---------------

。，川（〃-1）。”（〃一1）凡〃一I

兩邊同除以〃，得——=------------------

叫+i（〃T）a〃n（n-\）

J1

即................4分

叫+i5—1)〃“

工口311W1。八1、

于是，>----------------=->----------=-(<--------)?

￡|_姐+1￡1攵-1k)”1

即-------------=41--—),H>2,

(n-l)aHa2n-1

所以一!—=--(I--—)=^^,an=—^—,n>2.

(〃一1)。“a2n-\n-\3〃一2

又〃=1時也成立，故?！岸?—N*.................8分

3〃一2

(2)當女22,有

a：=-----------<-----------------------=-(---------------------)

(3k—2)2(3A-4)(3J)33A-431

所以〃22時，有

S21s2I1/I、/1\z1

?【1+、」—[(萬”)+(二”…+(力3〃-1)

,1^.17

=14----------<1H—=—.

3(23M-ij66

7

又〃=1時，a[=1<-.

6

〃7

故對一切〃EN",有Z〃；<一.................16分

hi6

10.設(shè)夕=/+6/+1比2+3工+31,求使P為完全平方數(shù)的整數(shù)x的值.

解P=(X24-3X+1)2-3(X-1O).

所以，當大=10時，尸=13/是完全平方數(shù).................5分

下證沒有其它整數(shù)x滿足要求.

(1)當x>10時，有尸<(，+3X+1)2,

又2-(/+3幻2=2/+3%+31>0,所以夕>(—+3x)2,

從而(/+3x)2<P<(x2+3X+1)2.

又XGZ、所以此時P不是完全平方數(shù).................10分

(2)當x<10時，有尸>(12+3%+1)2.令尸=)，2,〉￡Z,

則3>|x2+3X+1I，即|y|-1>|x2+3x+l|,

所以y2-2|y|+l>(x2+3x+l)2,

即-3"—10)-2|工2+3工+1|+1之0.

解此不等式，得x的整數(shù)值為±2,±1?！?,-4,-5,-6,但它們對應(yīng)的P均不是完全平

方數(shù).

綜上所述，使戶為完全平方數(shù)的整數(shù)x的值為10...............20分

22

11.已知直線y=x與橢圓G版+言=1交于A8兩點，過橢圓C的右焦點尸、傾

斜角為a的直線/交弦48于點尸，交橢圓C于點M,N.

（1）用a表示四邊形AMM5的面積；

（2）求四邊形MANB的面積取到最大值時直線/的方程.

解（1）直線MN的傾斜角為。，記NMQO=0,則a+9=〃,

lab22加

|MN|二

cr_(rcos"aa~-c~cos20

而AB與MN所成的角為2+6,則四邊形MANB面積

4

S,w「l"|?|MN|sinG+e)=&|0A|."2?型尸?.........5分

24a--c~cos-0

而/=]6方=11,02=5,八點坐標為（耳1,土醇），且|必|二^^,

”「r352扃sin夕+COS0352亞sina-cosa

rfij，3NR~=?

916-5cos~0916-5cos2a

其中。〈人arctanr或arctan,….10分

4V33+9V54V33+9V5

■/---\

sina-coscr

(2)記f(a)=