云南省昭通市第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題含解析

云南省昭通市第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．離散型隨機(jī)變量X的分布列為，，2，3，則（）A．14a B．6a C． D．62．在的展開式中，項(xiàng)的系數(shù)為（）A． B．40 C． D．803．已知，記，則M與N的大小關(guān)系是()A． B． C． D．不能確定4．證明等式時(shí)，某學(xué)生的證明過程如下（1）當(dāng)n=1時(shí)，，等式成立；（2）假設(shè)時(shí)，等式成立，即，則當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，等式也成立，故原式成立.那么上述證明（）A．過程全都正確 B．當(dāng)n=1時(shí)驗(yàn)證不正確C．歸納假設(shè)不正確 D．從到的推理不正確5．定積分等于()A． B． C． D．6．設(shè)，則在下列區(qū)間中，使函數(shù)f(x)有零點(diǎn)的區(qū)間是（）A．[0,1]B．[1,2]C．[-2,-1]D．[-1,0]7．用數(shù)學(xué)歸納法證明：“”，由到時(shí)，等式左邊需要添加的項(xiàng)是（）A． B．C． D．8．已知函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A．1 B．3 C．4 D．69．設(shè)函數(shù)，若實(shí)數(shù)分別是的零點(diǎn)，則（）A． B． C． D．10．已知盒中裝有大小形狀完全相同的3個(gè)紅球、2個(gè)白球、5個(gè)黑球.甲每次從中任取一球且不放回，則在他第一次拿到的是紅球的前提下，第二次拿到白球的概率為（）A． B． C． D．11．已知是定義在上的偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)，設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．12．若復(fù)數(shù)是虛數(shù)單位），則的共軛復(fù)數(shù)（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．觀察下列數(shù)表：如此繼續(xù)下去，則此表最后一行的數(shù)為_______（用數(shù)字作答）.14．用反證法證明命題“如果，那么”時(shí)，假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)為_____．15．函數(shù)的最小正周期為__________．16．若，，則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，直三棱柱中，，，，為的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段上的一點(diǎn).(1)若，求證:;(2)若，異面直線與所成的角為30°，求直線與平面所成角的正弦值.18．（12分）已知橢圓C：與圓M：的一個(gè)公共點(diǎn)為．（1）求橢圓C的方程；（2）過點(diǎn)M的直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，且A是線段MB的中點(diǎn)，求的面積．19．（12分）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求的最小值.20．（12分）若展開式中第二、三、四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列.（1）求的值及展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；（2）此展開式中是否有常數(shù)項(xiàng)，為什么？21．（12分）如圖，在四棱錐中，平面，底面是菱形，，，，分別是棱的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值.22．（10分）某中學(xué)開設(shè)了足球、籃球、乒乓球、排球四門體育課程供學(xué)生選學(xué)，每個(gè)學(xué)生必須且只能選學(xué)其中門課程.假設(shè)每個(gè)學(xué)生選學(xué)每門課程的概率均為，對于該校的甲、乙、丙名學(xué)生，回答下面的問題.（1）求這名學(xué)生選學(xué)課程互不相同的概率；（2）設(shè)名學(xué)生中選學(xué)乒乓球的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

由離散型隨機(jī)變量X的分布列得a+2a+3a＝1，從而，由此能求出E（X）．【詳解】解：∵離散型隨機(jī)變量X的分布列為，，∴，解得，∴．故選：C．本題考查離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．2、D【解析】

通過展開二項(xiàng)式即得答案.【詳解】在的展開式中,的系數(shù)為，故答案為D.本題主要考查二項(xiàng)式定理，難度很小.3、B【解析】

作差并因式分解可得M-N=，由，∈（0，1）可作出判斷．【詳解】由題意可得M-N====，∵，b∈（0，1），∴（b-1）∈（-1，0），（-1）∈（-1，0），∴（b-1）（-1）＞0，∴M＞N

故選B.本題考查作差法比較式子大小，涉及因式分解，屬基礎(chǔ)題．4、A【解析】分析：由題意結(jié)合數(shù)學(xué)歸納法的證明方法考查所給的證明過程是否存在錯誤即可.詳解：考查所給的證明過程：當(dāng)時(shí)驗(yàn)證是正確的，歸納假設(shè)是正確的，從到的推理也是正確的，即證明過程中不存在任何的問題.本題選擇A選項(xiàng).點(diǎn)睛：本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法的概念及其應(yīng)用，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.5、B【解析】

由定積分表示半個(gè)圓的面積，再由圓的面積公式可求結(jié)果?！驹斀狻坑深}意可知定積分表示半徑為的半個(gè)圓的面積，所以，選B.1．由函數(shù)圖象或曲線圍成的曲邊圖形面積的計(jì)算及應(yīng)用，一般轉(zhuǎn)化為定積分的計(jì)算及應(yīng)用，但一定要找準(zhǔn)積分上限、下限及被積函數(shù)，且當(dāng)圖形的邊界不同時(shí)，要討論解決．(1)畫出圖形，確定圖形范圍；(2)解方程組求出圖形交點(diǎn)坐標(biāo)，確定積分上、下限；(3)確定被積函數(shù)，注意分清函數(shù)圖形的上、下位置；(4)計(jì)算定積分，求出平面圖形的面積．2．由函數(shù)求其定積分，能用公式的利用公式計(jì)算，有些特殊函數(shù)可根據(jù)其幾何意義，求出其圍成的幾何圖形的面積，即其定積分．有些由函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)的定積分。6、D【解析】試題分析：函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上有零點(diǎn)，需要f（x）在此區(qū)間上的圖像連續(xù)且兩端點(diǎn)函數(shù)值異號，即f（a）f（b）≤0，把選擇項(xiàng)中的各端點(diǎn)值代入驗(yàn)證可得答案D．考點(diǎn)：零點(diǎn)存在定理7、D【解析】

寫出時(shí)，左邊最后一項(xiàng)，時(shí)，左邊最后一項(xiàng)，由此即可得到結(jié)論【詳解】解：∵時(shí)，左邊最后一項(xiàng)為，時(shí)，左邊最后一項(xiàng)為，∴從到，等式左邊需要添加的項(xiàng)為一項(xiàng)為故選：D．本題考查數(shù)學(xué)歸納法的概念，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于基礎(chǔ)題．8、C【解析】

令,可得,解方程,結(jié)合函數(shù)的圖象,可求出答案.【詳解】令,則,令,若,解得或,符合;若,解得,符合.作出函數(shù)的圖象,如下圖,時(shí),;時(shí),;時(shí),.結(jié)合圖象,若,有3個(gè)解;若,無解;若,有1個(gè)解.所以函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為4個(gè).故選:C.本題考查分段函數(shù)的性質(zhì),考查了函數(shù)的零點(diǎn),考查了學(xué)生的推理能力,屬于中檔題.9、A【解析】由題意得，函數(shù)在各自的定義域上分別為增函數(shù)，∵，又實(shí)數(shù)分別是的零點(diǎn)∴，∴，故．選A．點(diǎn)睛：解答本題時(shí)，先根據(jù)所給的函數(shù)的解析式判斷單調(diào)性，然后利用判斷零點(diǎn)所在的范圍，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求得的取值范圍，其中借助0將與聯(lián)系在一起是關(guān)鍵．10、D【解析】

設(shè)“第一次拿到的是紅球”為事件A,“第二次拿到白球”為事件B，分別計(jì)算出，的值，由條件概率公式可得，可得答案.【詳解】解：設(shè)“第一次拿到的是紅球”為事件A,“第二次拿到白球”為事件B，可得：，,則所求事件的概率為：,故選：D.本題主要考查條件概率與獨(dú)立事件的計(jì)算，屬于條件概率的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵.11、B【解析】

由函數(shù)為的偶函數(shù)，得出該函數(shù)在上為減函數(shù)，結(jié)合性質(zhì)得出，比較、、的大小關(guān)系，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得出、、的大小關(guān)系．【詳解】由函數(shù)為的偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)，則該函數(shù)在上為減函數(shù)，且有，則，，，，且，，由于函數(shù)在上為減函數(shù)，所以，，因此，，故選B．本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性比較大小，考查中間值法比較指數(shù)式和對數(shù)式的大小關(guān)系，再利用函數(shù)單調(diào)性比較函數(shù)值大小時(shí)，要結(jié)合函數(shù)的奇偶性、對稱性、周期性等基本性質(zhì)將自變量置于同一單調(diào)區(qū)間，結(jié)合單調(diào)性來比較大小關(guān)系，考查分析問題的能力，屬于中等題．12、D【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算法則可化簡復(fù)數(shù)得，由共軛復(fù)數(shù)定義可得結(jié)果.【詳解】本題正確選項(xiàng)：本題考查共軛復(fù)數(shù)的求解，關(guān)鍵是能夠利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則化簡復(fù)數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2816【解析】

觀察數(shù)表可知，每一行的首尾兩項(xiàng)數(shù)字的和成等比數(shù)列，由于最后一行的數(shù)字等于倒數(shù)第二行兩項(xiàng)的和，所以只要根據(jù)規(guī)律求出第9行的首尾兩項(xiàng)之和即可.【詳解】由題意可知最后一行為第10行，第一行首尾兩項(xiàng)的和為11，第二行首尾兩項(xiàng)的和為22，第三行首尾兩項(xiàng)的和為44，，則第9行首尾兩項(xiàng)的和為，所以第十行的數(shù)字是，故答案是：.該題考查的是有關(guān)歸納推理的問題，涉及到的知識點(diǎn)有根據(jù)題中所給的條件，歸納出對應(yīng)的結(jié)論，屬于簡單題目.14、或【解析】假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)是否定結(jié)論，由否定后為.15、【解析】

直接利用三角函數(shù)的周期公式求出函數(shù)的最小正周期.【詳解】由題得函數(shù)的最小正周期.故答案為本題主要考查正弦型函數(shù)的最小正周期的求法，意在考查學(xué)生對該知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】當(dāng)m=0時(shí)，符合題意．當(dāng)m≠0時(shí),，則0<m<4，則0?m<4答案為：.點(diǎn)睛：解本題的關(guān)鍵是處理二次函數(shù)在區(qū)間上大于0的恒成立問題，對于二次函數(shù)的研究一般從以幾個(gè)方面研究：一是，開口；二是，對稱軸，主要討論對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系；三是，判別式，決定于x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)；四是，區(qū)間端點(diǎn)值.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析(2)【解析】

（1）取中點(diǎn)，連接，，易知要證，先證平面；（2）如圖以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，為軸?軸?軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量及直線的方向向量，即可得到結(jié)果.【詳解】(1)證明:取中點(diǎn)，連接，，有，因?yàn)?，所以，又因?yàn)槿庵鶠橹比庵云矫嫫矫?，又因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面，又因?yàn)槠矫妫杂忠驗(yàn)?，，平面，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)椋?(2)設(shè)，如圖以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，為軸?軸?軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由(1)可知，，所以，故，，，，，對平面，，，所以其法向量為.又，所以直線與平面成角的正弦值.本題主要考查線面垂直的證明、中位線定理以及利用空間向量求線面角的正弦值，考查了學(xué)生空間想象能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．18、(1)；(2)【解析】

（1）將公共點(diǎn)代入橢圓和圓方程可得a，b，進(jìn)而得到所求橢圓方程；（2）設(shè)過點(diǎn)M（0，﹣2）的直線l的方程為y＝kx﹣2，聯(lián)立橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，以及三角形的面積公式可得所求值．【詳解】（1）由題意可得1，（b2﹣1）2，解得a2＝3，b2＝2，則橢圓方程為1；（2）設(shè)過點(diǎn)M（0，﹣2）的直線l的方程為y＝kx﹣2，聯(lián)立橢圓方程2x2+3y2＝6，可得（2+3k2）x2﹣12kx+6＝0，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2，x1x2，A是線段MB的中點(diǎn)，可得x2＝2x1，解得k2，x12，可得△OAB的面積為?2?|x1﹣x2|＝|x1|．本題考查了橢圓方程的求解，考查了直線與圓錐曲線位置關(guān)系，其中聯(lián)立直線方程和圓錐曲線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，是解題的常用方法．19、（1）；（2）【解析】

（1）求出公差，根據(jù)通項(xiàng)公式即可求出；（2）由（1）可寫出，則數(shù)列是等差數(shù)列.根據(jù)通項(xiàng)公式求出使得的的最大值，再根據(jù)前項(xiàng)和公式求出（或根據(jù)前項(xiàng)和公式求出，再根據(jù)二次函數(shù)求最值，求出的最小值）.【詳解】（1）方法一：由，又因?yàn)?，所?所以數(shù)列的公差，所以.方法二：設(shè)數(shù)列的公差為.則..得.所以.（2）方法一：由題意知.令得解得.因?yàn)?，所?所以的最小值為.方法二：由題意知.因?yàn)椋詳?shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列.所以.所以當(dāng)時(shí)，數(shù)列的前項(xiàng)和取得最小值，最小值為.本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力.20、（1）第四項(xiàng)為第五項(xiàng)為.（2）無常數(shù)項(xiàng).【解析】分析:(1)先根據(jù)題意得到，解方程即得n=7.二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第四項(xiàng)和第五項(xiàng)，求第四項(xiàng)和第五項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)即得解.(2)假設(shè)展開式中有常數(shù)項(xiàng)，求出r的值，如果r有正整數(shù)解，則有，否則就沒有.詳解：（1）由題意可得，解得.所以展開式有8項(xiàng)，所以第四項(xiàng)和第五項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，第四項(xiàng)為第五項(xiàng)為.（2）展開式的通項(xiàng)公式為，令，解得（舍去），故展開式無常數(shù)項(xiàng).點(diǎn)睛：（1）本題主要考查二項(xiàng)式定理的二項(xiàng)式系數(shù)，考查特定項(xiàng)的求法，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和基本運(yùn)算能力.(2)二項(xiàng)式通項(xiàng)公式：（）,其中叫二項(xiàng)式展開式第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，而二項(xiàng)式展開式第項(xiàng)的系數(shù)是字母冪前的常數(shù).21、（1）見解析（2）【解析】

（1）依據(jù)線面平行的判定定理，在面中尋找一條直線與平行，即可由線面平行的判定定理證出；(2)建系，分別求出平面，平面的法向量，根據(jù)二面角的計(jì)算公式即可求出二面角的余弦值．【詳解】（1）證明：如圖，取中點(diǎn)為，連結(jié)，則，所以與平行與且相等，所以四邊形是平行四邊形，所以平面，平面，所以平面.（2）令，因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以平面，以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，在菱形中，，所以，，在中，，則，，，，，設(shè)平面的法向量為，所以，所以可取，又因平面的法向量，所以.由圖可知二面角為銳二面角，所以二面角的余弦值為.本題主要考查線面平行的判定定理應(yīng)用以及二面角的求法，常見求二面角的方法有定義法，三