內蒙古土默特左旗金山學校2024-2025學年數學高二第二學期期末質量跟蹤監(jiān)視試題含解析

內蒙古土默特左旗金山學校2024-2025學年數學高二第二學期期末質量跟蹤監(jiān)視試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在復平面內，復數對應向量（為坐標原點），設，以射線為始邊，為終邊逆時針旋轉的角為，則，法國數學家棣莫弗發(fā)現棣莫弗定理：，，則，由棣莫弗定理導出了復數乘方公式：，則（）A． B． C． D．2．已知命題若實數滿足，則或，，，則下列命題正確的是()A． B． C． D．3．已知函數，則A．是奇函數，且在R上是增函數 B．是偶函數，且在R上是增函數C．是奇函數，且在R上是減函數 D．是偶函數，且在R上是減函數4．在極坐標系中，圓的圓心的極坐標為（）A． B． C． D．5．設函數，則“”是“有4個不同的實數根”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件6．拋物線的焦點到雙曲線的漸近線的距離為（）A． B． C．1 D．7．在平面直角坐標系中，不等式組x+y≤0x-y≤0x2+y2≤r2(rA．－1B．－5C．13D．－8．現對某次大型聯考的1.2萬份成績進行分析，該成績服從正態(tài)分布，已知，則成績高于570的學生人數約為（）A．1200 B．2400 C．3000 D．15009．已知α，β是相異兩個平面，m，n是相異兩直線，則下列命題中正確的是（）A．若m∥n，m?α，則n∥α B．若m⊥α，m⊥β，則α∥βC．若m⊥n，m?α，n?β，則α⊥β D．若α∩β=m，n∥m，則n∥β10．在復平面內，復數對應的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限11．設則=（）A． B． C． D．12．橢圓的長軸長為（）A．1 B．2 C． D．4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設，是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，有下列五個命題：①若，與平面，都平行，則；②若，，，則；③若，，則；④若，，則；⑤若，，，則.其中所有真命題的序號是________.14．在直角坐標系中，若直線（為參數）過橢圓（為參數）的左頂點，則__________．15．在平行六面體（即六個面都是平行四邊形的四棱柱）中，，，，又，則的余弦值是________．16．已知某商場在一周內某商品日銷售量的莖葉圖如圖所示，那么這一周該商品日銷售量的平均數為________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設函數，．（1）若函數f（x）在處有極值，求函數f（x）的最大值；（2）是否存在實數b，使得關于x的不等式在上恒成立？若存在，求出b的取值范圍；若不存在，說明理由；18．（12分）已知二項式的展開式中各項的系數和為.（1）求；（2）求展開式中的常數項．19．（12分）設函數.（1）化簡：；（2）已知：，求的表達式；（3），請用數學歸納法證明不等式.20．（12分）已知橢圓的離心率為，點在橢圓上.（1）求橢圓的方程；（2）過橢圓的右焦點作互相垂直的兩條直線、，其中直線交橢圓于兩點，直線交直線于點，求證：直線平分線段.21．（12分）已知函數(1)若不等式的解集為，求實數的值；(2)若不等式對一切實數恒成立，求實數的取值范圍.22．（10分）已知函數.（I）當時，求曲線在處的切線方程；（Ⅱ）若當時，，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

將復數化為的形式，再利用棣莫弗定理解得答案.【詳解】本題考查復數的計算，意在考查學生的閱讀能力，解決問題的能力和計算能力.2、C【解析】由題意可知，p是真命題，q是假命題，則是真命題.本題選擇C選項.3、A【解析】分析：討論函數的性質，可得答案.詳解：函數的定義域為，且即函數是奇函數，又在都是單調遞增函數，故函數在R上是增函數．故選A.點睛：本題考查函數的奇偶性單調性，屬基礎題.4、A【解析】

先將圓的極坐標方程化為直角坐標方程，找到此時的圓心再化為極坐標.【詳解】可化簡為：根據極坐標與直角坐標的互化公式可得：化簡可得：即：圓心為：故圓心的極坐標為：故選：A.本題主要考查了極坐標和直角坐標的互化和圓的極坐標方程，考查了分析能力和計算能力，屬于基礎題.5、B【解析】分析：利用函數的奇偶性將有四個不同的實數根，轉化為時，有兩個零點，利用導數研究函數的單調性，結合圖象可得，從而可得結果.詳解：是偶函數，有四個不同根，等價于時，有兩個零點，時，，，時，恒成立，遞增，只有一個零點，不合題意，時，令，得在上遞增；令，得在上遞減，時，有兩個零點，，，得，等價于有四個零點，“”是“有4個不同的實數根”的必要不充分條件，故選B.點睛：本題考查函數的單調性、奇偶性以及函數與方程思想的應用，所以中檔題.函數的性質問題以及函數零點問題是高考的高頻考點，考生需要對初高中階段學習的十幾種初等函數的單調性、奇偶性、周期性以及對稱性非常熟悉；另外，函數零點的幾種等價形式：函數的零點函數在軸的交點方程的根函數與的交點.6、B【解析】拋物線的焦點為：，雙曲線的漸近線為：.點到漸近線的距離為：.故選B.7、D【解析】作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖所示，由題意，知14πr2=π，解得r=2．因為目標函數z=x+y+1x+3=1+y-2x+3表示區(qū)域內上的點與點P(-3,2)連線的斜率加上1，由圖知當區(qū)域內的點與點P的連線與圓相切時斜率最?。O切線方程為y-2=k(x+3)，即8、A【解析】

根據正態(tài)分布的對稱性，求得的值，進而求得高于的學生人數的估計值.【詳解】，則成績高于570的學生人數約為.故選A.本小題主要考查正態(tài)分布的對稱性，考查計算正態(tài)分布指定區(qū)間的概率，屬于基礎題.9、B【解析】

在A中，根據線面平行的判定判斷正誤；在B中，由平面與平面平行的判定定理得α∥β；在C中，舉反例即可判斷判斷；在D中，據線面平行的判定判斷正誤；【詳解】對于A，若m∥n，m?α，則n∥α或n?α，故A錯；對于B，若m⊥α，m⊥β，則由平面與平面平行的判定定理得α∥β，故B正確；對于C，不妨令α∥β，m在β內的射影為m′，則當m′⊥n時，有m⊥n，但α，β不垂直，故C錯誤；對于D，若α∩β=m，n∥m，則n∥β或n?β，故D錯．故選：B．本題考查命題真假的判斷，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間中線線、線面、面面間的位置關系的合理運用．10、B【解析】

化簡復數，找出對應點得到答案.【詳解】對應點為在第二象限故答案選B本題考查了復數的化簡，屬于簡單題.11、D【解析】分析：先根據復數除法法則求，再根據共軛復數定義得詳解：因為所以選D.點睛：首先對于復數的四則運算，要切實掌握其運算技巧和常規(guī)思路，如.其次要熟悉復數相關基本概念，如復數的實部為、虛部為、模為、對應點為、共軛為12、D【解析】

由橢圓方程得出即可【詳解】由可得，即所以長軸長為故選：D本題考查的是由橢圓的方程得長軸長，較簡單二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、②⑤【解析】

根據相關定義、定理進行研究，也可借助長方體、正方體等進行驗證【詳解】①當時，與不一定平行，故①錯誤；③當垂直于與交線時，才垂直于，故③錯誤；④可能在上，故④錯誤；故②⑤正確本題考查利用性質、定理判斷直線與直線、直線與平面、平面與平面間的位置關系14、.【解析】分析：直接化參數方程為普通方程，得到直線和橢圓的普通方程，求出橢圓的左頂點，代入直線的方程，即可求得的值.詳解：由已知可得圓（為參數）化為普通方程，可得，故左頂點為，直線（為參數）化為普通方程，可得，又點在直線上，故，解得，故答案是.點睛：該題考查的是有關直線的參數方程與橢圓的參數方程的問題，在解題的過程中，需要將參數方程化為普通方程，所以就需要掌握參數方程向普通方程的轉化-----消參，之后要明確橢圓的左頂點的坐標，以及點在直線上的條件，從而求得參數的值.15、【解析】

先由題意，畫出平行六面體，連接，，用向量的方法，根據題中數據，求出，，再根據余弦定理，即可求出結果.【詳解】由題意，畫出平行六面體，連接，，則，因為，，，，所以，又，所以.故答案為：.本題主要考查空間向量的方法求夾角問題，熟記空間向量的運算法則，以及余弦定理即可，屬于?？碱}型.16、【解析】

直接計算平均數得到答案.【詳解】.故答案為：.本題考查了莖葉圖的平均值，意在考查學生的計算能力.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）函數f（x）的最大值為（2）存在，詳見解析【解析】

（1）函數f（x）在處有極值說明（2）對求導，并判斷其單調性?！驹斀狻拷猓海?）由已知得：，且函數f（x）在處有極值∴，∴∴，∴當時，，f（x）單調遞增；當時，，f（x）單調遞減；∴函數f（x）的最大值為．（2）由已知得：①若，則時，∴在上為減函數，∴在上恒成立；②若，則時，∴在[0，+∞）上為增函數，∴，不能使在上恒成立；③若，則時，，當時，，∴在上為增函數，此時，∴不能使在上恒成立；綜上所述，b的取值范圍是．本題主要考查了函數的極值，以及函數單調性的討論，在解決此類問題時關鍵求導，根據導數判斷單調性以及極值。屬于難題。18、（1）8；（2）.【解析】

⑴觀察可知，展開式中各項系數的和為，即，解出得到的值⑵利用二次展開式中的第項，即通項公式，將第一問的代入，并整理，令的次數為，解出，得到答案【詳解】（1）由題意，得，即＝256，解得n＝8.（2）該二項展開式中的第項為Tr＋1＝，令＝0，得r＝2，此時，常數項為＝28.本題主要考的是利用賦值法解決展開式的系數和問題，考查了利用二次展開式的通項公式解決二次展開式的特定項問題。19、（1）；（2）；（3）證明見解析.【解析】

（1）利用組合數公式化簡后可得出結果；（2）由（1）得出，令可得，化簡得出，代入函數的解析式，利用二項式定理進行化簡得出，于此可得出的表達式；（3）先由（2）中的結論，結合組合數的性質得出，然后再用數學歸納法證明出不等式成立即可.【詳解】（1）；（2）由（1）得，令可得，即，所以，，因此，；（3），所以，，即，①，②①②得，，下面用數學歸納法證明.（i）當時，則有，結論成立；（ii）假設當時，，那么當時，，所以當時，結論也成立.根據（i）（ii）恒成立.本題考查組合數的性質與計算、以及二項式定理的逆向應用，同時也考查了利用數學歸納法證明數列不等式，證明時要適當利用放縮法進行證明，考查推理能力，綜合性較強，屬于難題.20、(1)(2)見證明【解析】

（1）利用，得到，然后代入點即可求解（2）設直線，以斜率為核心參數，與橢圓聯立方程，把兩點全部用參數表示，得出的中點坐標為，然后再求出直線的方程，代入的中點即可證明成立【詳解】（1）由得，所以由點在橢圓上得解得，所求橢圓方程為（2）解法一：當直線的斜率不存在時，直線平分線段成立當直線的斜率存在時，設直線方程為，聯立方程得，消去得因為過焦點，所以恒成立，設，，則，所以的中點坐標為直線方程為，，可得，所以直線方程為，滿足直線方程，即平分線段綜上所述，直線平分線段（2）解法二：因為直線與有交點，所以直線的斜率不能為0，可設直線方程為，聯立方程得，消去得因為過焦點，所以恒成立，設，，，所以的中點坐標為直線方程為，，由題可得，所以直線方程為，滿足直線方程，即平分線段綜上所述，直線平分線段本題考查求橢圓標準方程，以及證明直線過定點問題，屬于中檔題21、（1）.(2).【解析】分析：（1）根據二次不等式的解集與二次方程的根的關系可得參數；（2）這個不等式恒成立，首先討論時，能不能恒成立，其次在時，這是二次不等式，結合二次函數的性質可求解．詳解：（1）的解集為，則的解為和2，且，∴，解得．（2）由，得，若a=0，不等式不對一切實數x恒成立，舍去，若a≠0，由題意得，解得：，故a的范圍是：點睛：三個二次（一元二次方程、一元二次不等式、二次函數）之間的關系是我們必須掌握的知識：判別式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函數y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有兩相異實根x1，x2(x1<x2)有兩相等實根x1＝x2＝－沒有實數根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1或x>x2}{x|x≠x1}Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}??22、（1）（2）【解析】試題分析：（Ⅰ）先求的定義