浙江省杭州市北斗聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期4月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析）

第頁(yè)，共頁(yè)2024學(xué)年第二學(xué)期杭州北斗聯(lián)盟期中聯(lián)考高二數(shù)學(xué)學(xué)科試題卷考生須知：1．本卷共4頁(yè)滿分150分，考試時(shí)間120分鐘；2．答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級(jí)、姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)及準(zhǔn)考證號(hào)并填涂相應(yīng)數(shù)字；3．所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無(wú)效；4．考試結(jié)束后，只需上交答題紙．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的．請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上．1.已知集合，，則（）．A.R B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)集合的交集計(jì)算和二次不等式以及指數(shù)函數(shù)的不等式解法即可求解.【詳解】,,,故選：B.2.已知復(fù)數(shù)，，則（）A. B.3 C. D.2【答案】D【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則求得，再求復(fù)數(shù)的模即可.【詳解】由題意，則.故選：D.3.已知直線，圓，則“”是“直線上存在點(diǎn)，使點(diǎn)在圓內(nèi)”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】由直線與圓相交可求得，則通過(guò)判斷與的關(guān)系可得答案.【詳解】由直線上存在點(diǎn)，使點(diǎn)在圓內(nèi)，得直線與圓相交，即1，解得，即，因?yàn)椴灰欢艿玫剑赏瞥?，所以?”是“直線上存在點(diǎn)，使點(diǎn)在圓內(nèi)”的必要不充分條件.故選：B4.北京有悠久的歷史和豐富的文化底蘊(yùn)，其美食也獨(dú)具特色．現(xiàn)有一名游客每天分別從北京烤鴨、炸醬面、糖火燒、豆汁、老北京涮羊肉、爆肚這6種美食中隨機(jī)選擇2種品嘗（選擇的2種美食不分先后順序），若三天后他品嘗完這6種美食，則這三天他選擇美食的不同選法種數(shù)為（）A.15 B.90 C.270 D.540【答案】B【解析】【分析】解法一：分析每天游客的選擇可能性，結(jié)合分步乘法計(jì)數(shù)原理運(yùn)算求解；解法二：利用分堆法，結(jié)合排列數(shù)、組合數(shù)運(yùn)算求解.【詳解】解法一：該游客第一天從6種美食中隨機(jī)選擇2種品嘗，有種選法；第二天從剩余的4種美食中隨機(jī)選擇2種品嘗，有種選法；第三天只能品嘗最后剩余的2種美食，有種選法．故該游客在這三天中選擇美食的不同選法種數(shù)為；解法二：先將6種美食平均分成3組，有種不同的分法，該游客每天選擇其中一組美食進(jìn)行品嘗，有種不同的選法，所以這三天他選擇美食的不同選法種數(shù)為．故選：B.5.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知條件得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個(gè)量的值，結(jié)合兩角和的余弦公式可求得結(jié)果.【詳解】由已知條件可得，解得，因此，.故選：D.6.函數(shù)在處的切線為，則（）A. B. C. D.1【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，求得，得到且，由在處的切線為，得到且，聯(lián)立得到，即可求得的值.【詳解】由函數(shù)，可得，則且，因?yàn)楹瘮?shù)在處的切線為，可得，且，所以，可得，所以.故選：A.7.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為為的左支上一點(diǎn)，與的一條漸近線平行.若，則的離心率為（）A.2 B. C.3 D.【答案】C【解析】【分析】由題意得，，由此建立方程即可求解.【詳解】因?yàn)榕c的一條漸近線平行，根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性，不妨設(shè)，又因?yàn)?，所以，注意到，所以，即，整理得，因?yàn)?，所以，解?故選：C.8.數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美的曲線．例如曲線：，當(dāng)時(shí)，是我們熟知的圓；當(dāng)時(shí)，曲線是形狀如“四角星”的曲線，稱為星形線，常用于超輕材料的設(shè)計(jì)．則下列關(guān)于曲線說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.曲線關(guān)于軸對(duì)稱B.曲線上的點(diǎn)到軸，軸的距離之積不超過(guò)C.曲線與有8個(gè)交點(diǎn)D.曲線所圍成圖形的面積小于2【答案】C【解析】【分析】對(duì)A，在方程中，以替代方程不變，可判斷；對(duì)B，由基本不等式求解判斷；對(duì)C，易得曲線在的內(nèi)部，作出圖象判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)；對(duì)D，易求圍成的正方形面積為2，又曲線在的內(nèi)部，得解.【詳解】對(duì)于A，在方程中，以替代方程不變，所以曲線關(guān)于軸對(duì)稱，同理，以；替代方程均不變，所以曲線關(guān)于軸，坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，如圖，故A正確；對(duì)于B，曲線上點(diǎn)到軸的距離為，到軸的距離為，由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，，故B正確；對(duì)于C，在第一象限內(nèi)，，所以曲線在直線的下方，所以兩者有4個(gè)交點(diǎn)，分別為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，如圖，圍成的正方形面積為，所以曲線圍成圖形的面積小于2，故D正確.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵是根據(jù)方程分析曲線在第一象限的性質(zhì).二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，則（）A. B.展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和是1C.展開(kāi)式中第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大 D.展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為240【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)之和得到，再根據(jù)二項(xiàng)式及展開(kāi)式通項(xiàng)、組合數(shù)、賦值法判斷各項(xiàng)的正誤.【詳解】A，由題設(shè)，二項(xiàng)式系數(shù)之和，A錯(cuò)；B，所以時(shí)各項(xiàng)系數(shù)之和為，B對(duì)；C，由組合數(shù)的性質(zhì)知，，即時(shí)二項(xiàng)式系數(shù)最大，C對(duì)；D，對(duì)于，則，，令，則常數(shù)項(xiàng)為，D對(duì).故選：BCD10.已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增B.若，且，則函數(shù)的最小正周期為C.若的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，則的最小值為3D.若在上恰有4個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為【答案】AD【解析】【分析】對(duì)于A，將代入求出的范圍，再結(jié)合圖象即可判斷；對(duì)于B，由可知一個(gè)為函數(shù)的最大值，一個(gè)為函數(shù)的最小值.又因?yàn)?，可知取得最大最小值最近的兩個(gè)點(diǎn)之間橫坐標(biāo)的距離即為半個(gè)周期，即可判斷.對(duì)于C，根據(jù)題給條件平移得到新的函數(shù)，再根據(jù)其關(guān)于軸對(duì)稱，令，此時(shí)的函數(shù)值應(yīng)為最值，對(duì)應(yīng)的，即可求得，再給賦值即可求得的最小值.對(duì)于D，整體代入得的范圍，再結(jié)合圖象即可判斷從而確定的取值范圍.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，則，由圖象可知在上單調(diào)遞增，A正確；對(duì)于B，由可知一個(gè)為函數(shù)的最大值，一個(gè)為函數(shù)的最小值.又因?yàn)?，則當(dāng)且僅當(dāng)，，函數(shù)的最小正周期為，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的函數(shù)解析式為，其圖象關(guān)于軸對(duì)稱，則，所以，又因?yàn)?，則的最小值為，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，，則，若在上恰有4個(gè)零點(diǎn)，則當(dāng)且僅當(dāng)，得，D正確.故選：AD.11.在正四棱柱中，，，是棱上一動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的有（）A.與所成角的余弦的最大值為B.C.若為棱的中點(diǎn)，則三棱錐外接球的表面積的最小值為D.若為棱上動(dòng)點(diǎn)，則三棱錐的體積為定值【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)A，由異面直線所成角可得與所成角即與所成角，即，在中，求出得解；對(duì)B，利用反證法，設(shè)，推理找出矛盾；對(duì)C，分別取的中點(diǎn)，由球的截面性質(zhì)可得球心在線段上，設(shè)，則，由可得，由此求出外接球半徑的得解；對(duì)D，由題可得的面積為定值，點(diǎn)到平面的距離為定值，可得解.【詳解】對(duì)于A，如圖，在正四棱柱中，因?yàn)椋耘c所成角即與所成角，則即為所求角，在中，，因?yàn)?，所以，即與所成角即與所成角的余弦的最大值為，故A正確；對(duì)于B，如圖，正四棱柱中，易得平面，則，若，又是平面內(nèi)的兩條相交直線，所以平面，又平面，則，可得側(cè)面為正方形，這與矛盾，故假設(shè)錯(cuò)誤，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，如圖，分別取的中點(diǎn)，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，易得，又，則是等腰直角三角形，則是外接圓圓心，而平面平面，所以由球的截面性質(zhì)可得球心在線段上，設(shè)，則，設(shè)三棱錐的外接球半徑為，，又，所以，即，解得，則，故三棱錐的外接球的表面積.故C正確；對(duì)于D，如圖，因?yàn)辄c(diǎn)在上，所以，又點(diǎn)在棱上，平面，所以點(diǎn)到平面的距離為1，即三棱錐的高為1，所以，故三棱錐的體積為定值，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知點(diǎn)在函數(shù)圖象上，點(diǎn)的坐標(biāo)是，那么的值是_____．【答案】【解析】【分析】先根據(jù)點(diǎn)在函數(shù)上得出點(diǎn)，再寫出向量坐標(biāo)進(jìn)而得出模長(zhǎng)即可.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在函數(shù)的圖象上，所以，所以，點(diǎn)的坐標(biāo)是，則，那么．故答案為：.13.斐波那契螺旋線被譽(yù)為自然界最完美的“黃金螺旋”，它的畫法是：以斐波那契數(shù)：1，1，2，3，5，8為邊的正方形拼成長(zhǎng)方形，然后在每個(gè)正方形中畫一個(gè)圓心角為的圓弧，這些圓弧所連起來(lái)的弧線就是斐波那契螺旋線.自然界存在很多斐波那契螺旋線的圖案，例如向日葵、鸚鵡螺等.如圖為該螺旋線的前一部分，如果用接下來(lái)的一段圓弧所對(duì)應(yīng)的扇形做圓錐的側(cè)面，則該圓錐的底面半徑為_(kāi)_______________.【答案】##【解析】【分析】首先發(fā)現(xiàn)斐波那契數(shù)的規(guī)律，并計(jì)算接下來(lái)的圓弧所在圓的半徑和圓弧長(zhǎng)，進(jìn)而可得所求圓錐的底面半徑.【詳解】由斐波那契數(shù)可知，從第3項(xiàng)起，每一個(gè)數(shù)都是前面兩個(gè)數(shù)的和，所以接下來(lái)的一段圓弧所在圓的半徑是，對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)是，設(shè)圓錐底面半徑是，，解得：.故答案為：.14.已知函數(shù)在上存在極值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再探討并求出極值點(diǎn)，列式求出范圍.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋髮?dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，無(wú)極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，由，得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則是函數(shù)的極值點(diǎn)，依題意，，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.已知在銳角中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且滿足（1）求；（2）若，點(diǎn)在延長(zhǎng)線上，且，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理將角化為邊，再用余弦定理即可求出角B的值（2）利用正弦定理先求出，進(jìn)而得到，再利用余弦定理即可求得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】由正弦定理，得，由余弦定理，得，所以．因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角，所以．【小問(wèn)2詳解】在中，由正弦定理，得，所以．因?yàn)闉殇J角三角形，所以．所以．在中，由余弦定理，得，所以，所以．所以．16.公差不為0的等差數(shù)列滿足：，且，，成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用等差，等比定義即可解題；（2）利用分類討論，并項(xiàng)求和，結(jié)合等差數(shù)列求和公式即可.【小問(wèn)1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，,因?yàn)?，所以可解得，?【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)楫?dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，．綜上所述：.17.如圖，在直四棱柱中，，，，，E，F(xiàn)分別為AD，AB的中點(diǎn).（1）求證：；（2）求證：平面平面；（3）若，P是線段上的動(dòng)點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值的最大值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析（3）.【解析】【分析】（1）求出，即可得到，結(jié)合，即可得到，從而得證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面、平面的法向量，即可證明；（3）設(shè)，即可表示出的坐標(biāo)，設(shè)直線與平面所成角為，利用向量法求出，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出的最大值.小問(wèn)1詳解】，，所以又，，又，，，.【小問(wèn)2詳解】在直四棱柱中，平面，又平面，所以，，，，兩兩垂直，以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，.，，，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，令，得，.設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，取.，又平面與平面不重合，平面平面.【小問(wèn)3詳解】當(dāng)時(shí)，為平面的一個(gè)法向量，，則，設(shè)，，，設(shè)直線與平面所成角為，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以直線與平面所成角的正弦值的最大值為.18.已知拋物線的準(zhǔn)線與橢圓相交所得線段長(zhǎng)為.（1）求拋物線方程；（2）設(shè)圓過(guò)，且圓心在拋物線上，是圓在軸上截得的弦.當(dāng)在拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，弦的長(zhǎng)是否有定值？說(shuō)明理由；（3）過(guò)作互相垂直的兩條直線交拋物線于、、、，求四邊形的面積最小值.【答案】（1）（2）有，理由見(jiàn)解析（3）【解析】【分析】（1）求出拋物線準(zhǔn)線與橢圓相交一個(gè)交點(diǎn)為，將該點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程，求出的值，即可得出拋物線的方程；（2）設(shè)在拋物線上，可知到軸距離為，可知，利用兩點(diǎn)間的距離公式結(jié)合勾股定理可求得的值；（3）分析可知，過(guò)點(diǎn)且相互垂直，且與拋物線都有交點(diǎn)的兩條直線的斜率都存在且不為零，設(shè)這兩條直線的方程分別為、，其中，設(shè)直線交拋物線于點(diǎn)、，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，利用拋物線的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式可求得，進(jìn)而可得出，再利用四邊形的面積公式結(jié)合基本不等式可求得四邊形面積的最小值.【小問(wèn)1詳解】解：由已知，拋物線的準(zhǔn)線與橢圓相交線段的一個(gè)端點(diǎn)坐標(biāo)是，把代入橢圓方程化簡(jiǎn)得，解得.所以拋物線的方程為.【小問(wèn)2詳解】解：假設(shè)在拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)弦的長(zhǎng)為定值，理由如下：設(shè)在拋物線上，可知到軸距離為，根據(jù)圓的弦長(zhǎng)公式可知：，由已知，，所以，則在拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)弦的長(zhǎng)的定值為.【小問(wèn)3詳解】解：若過(guò)點(diǎn)且相互垂直的兩條直線分別與兩條坐標(biāo)軸垂直，則其中與軸重合的直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，不合乎題意，設(shè)過(guò)的的兩條直線的方程分別為、，其中，設(shè)直線交拋物線于點(diǎn)、，由得，，由韋達(dá)定理可得，則，同理可得，所以，四邊形的面積，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即四邊形的面積的最小值為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求定值問(wèn)題常見(jiàn)的方法有兩種：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)；（2）