山東省日照市2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)模擬試卷（解析）

第頁(yè)，共頁(yè)高一下學(xué)期期中綜合測(cè)試（一）一?單選題1.已知，那么（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由已知條件利用誘導(dǎo)公式即可求解.【詳解】因?yàn)椋怨蔬x：B.2.已知向量，則與向量方向相反的單位向量是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)單位向量的定義求與向量方向相反的單位向量.【詳解】由題設(shè)，與向量方向相反的單位向量是.故選：D3.已知向量，，則下列結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)向量共線定理、數(shù)量積及模長(zhǎng)的坐標(biāo)運(yùn)算依次判斷各項(xiàng)的正誤.【詳解】A：由題設(shè)，不存在實(shí)數(shù)，使，故不共線，錯(cuò)；B：由，錯(cuò)；C：因?yàn)?，所以，即，?duì)；D：，錯(cuò).故選：C4.在梯形中，設(shè)，若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用向量的線性運(yùn)算求解.【詳解】因，所以，.故選：A.5.若，且為第三象限角，則（）A.7 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】逆用和角余弦公式可得，結(jié)合已知得，再由和角正切公式求.【詳解】由，所以，又為第三象限角，所以，故，所以.故選：A6.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，下列說(shuō)法不正確的是（）A.， B.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C.函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱 D.函數(shù)在上單調(diào)遞增【答案】B【解析】【分析】由圖象求出的解析式，再利用正弦函數(shù)性質(zhì)逐一分析判斷各選項(xiàng)即可得解.【詳解】對(duì)于A，由題意，，則，則，又在上，則，即，所以，則，又，所以，所以，即，，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，所以不是圖象的對(duì)稱軸，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，故D正確.故選：B.7.已知函數(shù)的最小正周期為T．若，把的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到偶函數(shù)的圖象，則（）A. B.2 C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)余弦型函數(shù)的圖象變換、奇偶性、周期性進(jìn)行求解.【詳解】由題知，把函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象．因?yàn)榕己瘮?shù)，所以，即．又，所以．因?yàn)榈淖钚≌芷跒?，所以，即，解得．所以，所以．故選：A．8.當(dāng)時(shí)，曲線與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A.3 B.4 C.6 D.8【答案】C【解析】【分析】分別畫出與在上的函數(shù)圖象，根據(jù)圖象判斷即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)最小正周期為，所以函數(shù)在上有1個(gè)周期的圖象，因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期為，所以函數(shù)在上有3個(gè)周期的圖象，在平面直角坐標(biāo)系中，作出兩函數(shù)在上的圖象，如圖所示：由圖可知，曲線與有6個(gè)交點(diǎn).故選：C.二?多選題9.下列命題正確的有（）A.函數(shù)的對(duì)稱中心是，B.在中，C.，，則在上的投影向量等于D.兩個(gè)非零向量，的夾角是銳角【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)正切函數(shù)的對(duì)稱中心判斷A；根據(jù)三角形的特點(diǎn)及正弦定理判斷B；根據(jù)平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示及投影向量的定義求解判斷C；舉特例判斷D.【詳解】對(duì)于A，函數(shù)的對(duì)稱中心是，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，在中，，故B正確；對(duì)于C，由，，得，，所以在上的投影向量為，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)，同向時(shí)，滿足，此時(shí)，的夾角為，故D錯(cuò)誤.故選：BC.10.計(jì)算下列各式的值，結(jié)果為2的有（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】利用和角的正切公式計(jì)算求值判斷A；利用二倍角的正弦公式計(jì)算可判斷B；運(yùn)用兩角和的正切公式計(jì)算判斷C；利用輔助角公式二倍角的正弦公式和誘導(dǎo)公式計(jì)算可判斷D.【詳解】對(duì)于A，，故A正確；對(duì)于B，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于，故C正確；對(duì)于D，，故D錯(cuò)誤.故選：AD.11.如圖所示，已知角，（）的始邊為軸的非負(fù)半軸，終邊與單位圓的交點(diǎn)分別為，，為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)為，記，則（）A.B.若，則C.點(diǎn)M的坐標(biāo)為D.若，則【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)定義可求的坐標(biāo)，再求，根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算公式結(jié)合兩角和差公式可得，判斷A，由兩邊平方，結(jié)合數(shù)量積的性質(zhì)及定義可求，判斷B，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求點(diǎn)M的坐標(biāo)，判斷C，求，代入并化簡(jiǎn)可得，設(shè)，證明，解方程求，推出矛盾，判斷D.【詳解】因?yàn)榻牵K邊與單位圓的交點(diǎn)分別為，，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，又點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，，因?yàn)辄c(diǎn)坐標(biāo)為，所以，所以，因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，所以，故，，所以，，所以，所以與不相等，A錯(cuò)誤，因?yàn)?，所以，又，，，所以，故，所以，又，所以，所以，B正確；因?yàn)?，，所以，，因?yàn)辄c(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，C正確；因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，所以，又，所以，若，又，所以，所以，所以，故，則，則，所以或（舍去），又，所以，所以，與矛盾，D錯(cuò)誤，故選：BC.三?填空題12.已知扇形的周長(zhǎng)為9cm，圓心角為，則該扇形的面積為_(kāi)__________.【答案】【解析】【分析】由扇形的弧長(zhǎng)及面積公式求解可得答案.【詳解】設(shè)扇形的半徑為，圓心角為，弧長(zhǎng)為，則由題意可得，解得，所以扇形的面積，故答案為：.13.在中，，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，則的最小值為_(kāi)_______．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)已知條件建立平面直角坐標(biāo)系，寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量的坐標(biāo)表示及向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，如圖所示由題意可知，設(shè)，所以，所以，，由二次函數(shù)的性質(zhì)知，當(dāng)時(shí)，取最小值為.故答案為：.14.把函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的函數(shù)是奇函數(shù)，則的值為_(kāi)_____________，若函數(shù)在區(qū)間上存在最大值2，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)______________.【答案】①5②.【解析】【分析】應(yīng)用輔助角公式得，結(jié)合圖象平移及正弦型函數(shù)的奇偶性有，即可求參數(shù)，再由正弦型函數(shù)的區(qū)間最值有，即可得范圍.【詳解】由題設(shè)，所以為奇函數(shù)，則，所以，又，故，所以，若，則，又函數(shù)在區(qū)間上存在最大值2，則.故答案為：5，四?解答題15.已知向量，滿足：，，.（1）求與的夾角的余弦值；（2）若，求實(shí)數(shù)的值.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）對(duì)展開(kāi)可得，再由向量夾角的余弦值公式即可求解；（2）由向量垂直性質(zhì)可得，化簡(jiǎn)后解方程即可求解實(shí)數(shù)的值.【小問(wèn)1詳解】由題可得，因?yàn)椋?，代入可得，，所以與的夾角的余弦值.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)椋?，化?jiǎn)可得，將，，代入可得，解得或.16.已知，且.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由兩邊同時(shí)平方，結(jié)合平方關(guān)系可求，再結(jié)合范圍確定的符號(hào)，再根據(jù)求結(jié)論，（2）由（1）可求，再求，代入可得結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋仁絻蛇呁瑫r(shí)平方可得，，所以，又，所以，又，所以，，所以，即；【小問(wèn)2詳解】由（1），，所以，，所以，，，所以，即.17.如圖，在中，M是邊BC的中點(diǎn)，N是線段BM的中點(diǎn)．（1）用和分別表示和；（2）若直線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，，求最小值.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算計(jì)算即可；（2）先將用表示，再根據(jù)三點(diǎn)共線，可得的關(guān)系，再根據(jù)基本不等式即可得解.【小問(wèn)1詳解】由題意，，；【小問(wèn)2詳解】由，得，，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以最小值為.18.中國(guó)數(shù)學(xué)家華羅庚倡導(dǎo)的“0.618優(yōu)選法”在各個(gè)領(lǐng)域應(yīng)用廣泛，0.618就是黃金分割比的近似值，這一數(shù)值也可以表示為.三倍角公式是把形如，等三角函數(shù)用單倍角三角函數(shù)表示的恒等式，廣泛應(yīng)用于數(shù)學(xué)、物理、天文等學(xué)科.（1）已知試證明此三倍角公式；（2）若角滿足，求的值（已知）；（3）試用三倍角公式并結(jié)合三角函數(shù)相關(guān)知識(shí)，求出黃金分割值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）根據(jù)兩角和余弦公式展開(kāi)，再利用二倍角公式及平方關(guān)系化簡(jiǎn)可得結(jié)論；（2）由（1）得，再通過(guò)三角恒等變換化簡(jiǎn)，并結(jié)合同角關(guān)系求結(jié)論；（3）根據(jù)，結(jié)合（1）及二倍角正弦公式和同角關(guān)系化簡(jiǎn)等式，解方程求得，由此可得結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】由，得證；【小問(wèn)2詳解】由（1）知，可得，而.【小問(wèn)3詳解】由，則，所以，則，所以，可得（負(fù)值舍），所以.19.已知函數(shù).（1）若為偶函數(shù)，設(shè).①求解析式；②若存在，使不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，設(shè)，若對(duì)任意的，總存在，使成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）①②（2）【解析】【分析】（1）由函數(shù)為偶函數(shù)得，結(jié)合已知即可得，從而可以得到函數(shù).再應(yīng)用三角恒等變換化簡(jiǎn)并確定區(qū)間值域，由不等式能成立有，即可求范圍；（2）根據(jù)已知得，將問(wèn)題化為，結(jié)