福建省莆田市莆田第五中學(xué)2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷（解析）

第頁(yè)，共頁(yè)莆田第五中學(xué)2024—2025學(xué)年下學(xué)期高一數(shù)學(xué)期中考試卷一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合要求的）1.若復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的共軛復(fù)數(shù)（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由復(fù)數(shù)的幾何意義求得復(fù)數(shù)，然后由共軛復(fù)數(shù)相關(guān)概念求解即可．【詳解】由題可知，所以．故選：D2.的直觀圖如圖所示，其中軸，軸，且，則的面積為（）A. B.4 C. D.8【答案】B【解析】【分析】將直觀圖還原原圖，然后即可求解.【詳解】將直觀圖還原為原圖，如圖所示，則是直角三角形，其中，，故的面積為，故選：B．3.已知的邊BC上有一點(diǎn)D，且滿足，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由，結(jié)合平面向量的線性運(yùn)算法則，化簡(jiǎn)計(jì)算可得出的表達(dá)式.【詳解】由，得，故選：C.4.設(shè)是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是（）A.若，則 B.若，則C若，則 D.若，則【答案】A【解析】【分析】由面面平行的性質(zhì)可得A正確；由線面的位置關(guān)系可得B，C，D錯(cuò)誤.【詳解】對(duì)于A，若則由面面平行的性質(zhì)可得A正確；對(duì)于B，若則或者異面，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若則或，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若則或異面，故D錯(cuò)誤.故選：A5.在中，角的對(duì)邊分別是，若，則（）A.2 B.3 C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，由正弦定理化簡(jiǎn)得到，進(jìn)而得到，再由正弦定理，得到，即可求得的值.【詳解】因?yàn)椋烧叶ɡ?，可得，所以，又因?yàn)?，所以，所以，又由正弦定理，可得，即因?yàn)?，所?故選：A.6.已知向量，滿足，，則在上的投影向量的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用投影向量的計(jì)算公式，可得答案.【詳解】解：在上的投影向量的坐標(biāo)為故選：B.7.釋迦文佛塔，又稱廣化寺塔，位于福建省莆田市城廂區(qū)廣化寺東側(cè)，建造年代尚無法確定，但早于南宋乾道元年（1165年），是一座仿木樓鬧式石塔．如圖，某同學(xué)為測(cè)量雷鋒塔的高度，在廣化寺的正西方向找到一座建筑物，高約為15m，在地面上點(diǎn)E處（A，C，E三點(diǎn)共線）測(cè)得建筑物頂部B，雷鋒塔頂部D的仰角分別為和，在B處測(cè)得塔頂部D的仰角為，則廣化寺塔的高度約為（）A.25m B.31m C.30m D.44m【答案】C【解析】【分析】通過在不同的直角三角形中，根據(jù)已知的角度和邊長(zhǎng)，利用正切函數(shù)求出相關(guān)線段的長(zhǎng)度，進(jìn)而求出塔的高度．【詳解】已知在中，，．根據(jù)正切函數(shù)的定義，在中，，即．因?yàn)?，所以，解得?/p>

設(shè)，因?yàn)樵谥校?，根?jù)正切函數(shù)的定義，且，所以．

過點(diǎn)作于點(diǎn)，則四邊形ABFC是矩形，所以，，那么．在中，，，即．由三角函數(shù)的兩角差公式．所以，解得．

廣化寺塔的高度約為30m．故選：C．8.如圖，一個(gè)三階魔方由27個(gè)單位正方體組成，把魔方的中間一層轉(zhuǎn)動(dòng)了45°之后，表面積增加了（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】結(jié)合圖形可得新增了16個(gè)全等的小三角形面積，結(jié)合題意可得小三角形為等腰直角三角形，設(shè)其直角邊為x，由可得x，即可得答案.【詳解】由題設(shè)分析如下圖，轉(zhuǎn)動(dòng)了45°后，此時(shí)魔方相對(duì)原來多出了16個(gè)小三角形的面積，顯然小三角形為等腰直角三角形且周長(zhǎng)為3，設(shè)其直角邊為x，則斜邊為，則，解得．由幾何關(guān)系得1個(gè)小三角形的面積為，所以增加的面積為．故選：A二、多選題：本題共3小題，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分．部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知，，則下列敘述錯(cuò)誤的是（）A.若，則B.若，則C.的最小值為5D.若向量與向量的夾角為鈍角，則且【答案】BCD【解析】【分析】由向量平行和垂直的坐標(biāo)表示可得AB正誤；利用向量模長(zhǎng)運(yùn)算可知，由二次函數(shù)性質(zhì)可求得，知C錯(cuò)誤；利用向量夾角為鈍角，則數(shù)量積必定小于0，可判斷D.【詳解】對(duì)于A，若，則，解得：，A正確；對(duì)于B，若，則，解得：，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?，所以，則當(dāng)時(shí)，，，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若向量與向量的夾角為鈍角，則，解得，由上可知，此時(shí)兩向量不共線，D錯(cuò)誤.故選：BCD10.已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，則下列說法正確的是（）A.若，則B.若，，，則三角形有兩解C.若，則為等腰三角形D.若，則為鈍角三角形【答案】AD【解析】【分析】A：由大邊對(duì)大角可知結(jié)論；B：由正弦定理，結(jié)合大邊對(duì)大角，可得結(jié)論；C：解法一：利用余弦定理角化邊然后分解因式可得結(jié)論,解法二：利用正弦定理邊化角，利用二倍角公式化簡(jiǎn)，進(jìn)而利用三角函數(shù)的性質(zhì)得到結(jié)論；D：利用余弦定理得到,進(jìn)而得到結(jié)論.【詳解】由大邊對(duì)大角可知，故A正確；對(duì)于B：若，，，由正弦定理可知，∴，∴，∵，∴，∴角為銳角，∴角只有一解，∴只有一解，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：解法一：若，結(jié)合余弦定理可得，整理分解因式可得，∴或，∴或，∴為等腰三角形或直角三角形，故C錯(cuò)誤；解法二：∵，，∴，∴，∵，∴或，∴或，∴為等腰三角形或直角三角形，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：∵，結(jié)合余弦定理可得，又∵，則，∴為鈍角三角形，故D正確.故選：AD.11.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，為正方體的中心，為的中點(diǎn)，為側(cè)面正方形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且滿足平面，則（）A.動(dòng)點(diǎn)的軌跡是一條線段B.直線與的夾角為C.三棱錐的體積是隨點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)而變化的D.平面截正方體所得截面的面積為【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)于A，過做一個(gè)平面，使得該平面與平面平行，該平面與正方體左側(cè)面的交線段即為動(dòng)點(diǎn)的軌跡；對(duì)于B，或其補(bǔ)角為異面直線與的夾角，在三角形中求角即可；對(duì)于C，由A知平面，故點(diǎn)到平面的距離為定值，又的面積為定值，進(jìn)而體積為定值；對(duì)于D，取的中點(diǎn)，連接，則四邊形為為正方體的截面，計(jì)算邊長(zhǎng)即可求面積.【詳解】對(duì)于A，如圖：分別取的中點(diǎn)H，G，連接，，，．由正方體的性質(zhì)可得，且平面，平面，所以平面，同理可得：平面，且平面，所以平面平面，而平面，所以平面，所以點(diǎn)的軌跡為線段，故A正確；對(duì)于C，由A可知的軌跡為線段，平面平面，所以平面，所以點(diǎn)到平面的距離為定值，又的面積為定值，故三棱錐的體積是定值，不會(huì)隨點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)而變化，故C錯(cuò)誤；對(duì)于B，如圖：連接，，因?yàn)?，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以或其補(bǔ)角為異面直線與的夾角，因?yàn)闉檎襟w，，都為面對(duì)角線，所以，所以為等邊三角形，所以，故B正確；對(duì)于D，如圖：取的中點(diǎn)，連接，取的中點(diǎn)，連接，易知且，且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以且.同理可證四邊形也為平行四邊形，所以且，所以且.所以四點(diǎn)共面，即四邊形為為正方體的截面，，同理可求得四邊形為的其它邊長(zhǎng)也為，故該四邊形為為棱形，對(duì)角線，，故該棱形的面積為，故D正確.故選：ABD三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分．）12.已知復(fù)數(shù)z滿足，則________．【答案】【解析】【分析】先根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求解，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)定義及模長(zhǎng)公式求出模長(zhǎng).【詳解】復(fù)數(shù)z滿足，則，所以則．故答案為：.13.已知圓柱的下底面圓的內(nèi)接正三角形的邊長(zhǎng)為3，為圓柱上底面圓上任意一點(diǎn)，若三棱錐的體積為，則圓柱的外接球的體積___________．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)給定條件，由正三角形性質(zhì)求出圓柱底面圓半徑，利用錐體體積公式求出圓柱的高，再利用圓柱及外接球的結(jié)構(gòu)特征求出球半徑即可.【詳解】由圓內(nèi)接正的邊長(zhǎng)為3，得圓的半徑，，三棱錐的高即圓柱的高，由，解得，圓柱的兩底面圓是其外接球的兩個(gè)截面小圓，由這兩個(gè)截面小圓平行且全等，得該球球心到截面小圓距離，則球半徑，所以圓柱的外接球的體積為.故答案為：14.如圖，已知是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，D是AB的中點(diǎn)，E是BC的一個(gè)靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，連接DE并延長(zhǎng)至點(diǎn)F，連接AF交BC于點(diǎn)G．若，則的值是______；若，則的值是______．【答案】①.②.##0.4【解析】【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算表示出，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算求解，即可得第一空答案；過點(diǎn)作交于點(diǎn)，設(shè)，表示出，結(jié)合求出，即得，繼而推得，即可得第二空答案.【詳解】因?yàn)?，所以，所以．過點(diǎn)作交于點(diǎn)，設(shè)，則，，解得，所以，又，而，所以，解得，所以，所以，即得．故答案為：；四、解答題（本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．）15.已知復(fù)數(shù)（1）若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)的值；（2）已知是關(guān)于的方程的一個(gè)根，其中，，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)純虛數(shù)的知識(shí)列式，從而求得.（2）利用根與系數(shù)關(guān)系求得，進(jìn)而求得.【小問1詳解】若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則，解得.【小問2詳解】已知是關(guān)于的方程的一個(gè)根，則也是方程的根，所以，所以.16.如圖，已知三棱柱中，與交于點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，為中點(diǎn)，且平面.求證：（1）；（2）平面平面.【答案】（1）證明見解析.（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）由線面平行的性質(zhì)即可證明；（2）由（1）得為的中點(diǎn)，再證明，最后根據(jù)面面平行的判斷定理即可證明.【小問1詳解】由題意，因?yàn)槠矫?，且平面又因?yàn)槠矫嫫矫?，所以由線面平行的性質(zhì)得.【小問2詳解】由（1）可知，又因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，所以為的中點(diǎn)，即，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，即，又因?yàn)?所以，所以四邊形為平行四邊形，所以,又因?yàn)槠矫?平面，所以平面，又平面，，平面,平面，所以平面平面.17.設(shè)內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知，且．（1）求的面積；（2）若為角的平分線，交于，求的長(zhǎng)度．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由，，結(jié)合余弦定理化簡(jiǎn)得，再根據(jù)三角形面積計(jì)算公式計(jì)算即可；（2）根據(jù)及，化簡(jiǎn)計(jì)算即可.【小問1詳解】由余弦定理可得：，即，因?yàn)?，，所以，所以；【小?詳解】因?yàn)闉榻堑钠椒志€，所以因?yàn)?，所以，而，所?18.如圖，在四棱錐中，底面為等腰梯形，，，為與的交點(diǎn)，為上一點(diǎn)，且．（1）求證：平面；（2）若為正三角形，，求異面直線與所成角的余弦值；（3）若點(diǎn)到底面的距離為3，求三棱錐的體積．【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)，從而得到線線平行，從而可證線面平行；（2）取的中點(diǎn)，連接，，可知，將異面直線與所成的角轉(zhuǎn)化為，再解三角形即可；（3）運(yùn)用割補(bǔ)法可以求得結(jié)果.【小問1詳解】由及，可知，又，所以，所以在中有，又平面，而平面，所以平面；【小問2詳解】取的中點(diǎn)，連接，根據(jù)，可知，則異面直線與所成的角即為，又可得，則，所以，所以異面直線與所成角的余弦值為.【小問3詳解】分別過點(diǎn)作于，于，可得，所以四邊形的面積為，的面積為，由，可知到平面的距離為1，所以.19.古希臘數(shù)學(xué)家托勒密給出了托勒密定理，即圓的內(nèi)接凸四邊形的兩對(duì)對(duì)邊乘積的和等于兩條對(duì)角線的乘積.已知凸四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)圓的圓周上，是其兩條對(duì)角線.（1）若為凸四邊形外接圓直徑，，，，求與的長(zhǎng)度；（2）若，且為正三角形，求面積的最大值；（3）已知，且，，求的最大值【答案】（1），.（2）.（3）.【解析】【分析】（1）根據(jù)為外接圓的直徑得，再由同弧所對(duì)的圓周角相等得，最后由已知條件及正弦定理即可求解；（2）設(shè)的邊長(zhǎng)為a，由托勒密定理得，根據(jù)四點(diǎn)共圓得，然后由三角形面積公式及基本不等式求解即可；（3）構(gòu)造圓內(nèi)接四邊形，設(shè)，，，，構(gòu)造，在中由余弦定理得，再由托勒密定理得，然后利用三角形的面積公式，由列式求解即可.【小問1詳解】如圖①，因?yàn)闉橥饨訄A的直徑，所以，因?yàn)?，所?因?yàn)?，所以（同弧所?duì)的圓周角相等）.在中，，，所以，，.在中，，，由正弦定理，解得.【小問2