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文檔簡介
第二章
2.1求下列函數(shù)的拉氏變換
232?、10-35
(1)(2)2S)=F~7
"二廣s+4
〃!~、6
(3)"(s)=(4)斤(s)=-----彳----------
(s+2)2+36
(5)(5)=(6)F(5)=-(^—+-)
F(7T772?+4s
(7)/⑸=——+5
5-2
2.2(1)由終值定理:/(oo)=limf(t)=limsF(s)=10
(2)F(5)=^—
s(s+l)ss+1
由拉斯反變換:/(z)=r'[F(5)]=10-10^
所以lim/(f)=10
2.3(1)八0)=limfu)=limsF(s)=-J=0
一。s+o(s+2)“
〃/()]二『f\t)e-stdt=S2F(S)-sf(O)-/(0)
limr『3「出=limrF(.0-^(0)-/(0)
£—J()5—
/(0)=limS2F(S)==1
ST2(s+2)2
(2)F(s)=一,,.,./?)=L-'[F(5)]=te~2t
(s+2/
/'(z)=e。一2re”又,/(0)=0,.,./(0)=1
2.4解:F(5)==—U7ff(t)e-xtdt
\-e5J()
=—(e~s,dt+—[2-e7dt
\-e-2xJo1一于2'J
1/1八1/j-
=--------T-(----------e)H-----丁(—e—e
1-essss
=—^?-(l-e-s)2
1i-e—2vs、/
2.5求下列函數(shù)的拉氏反變換
(1)/(/)=lsin2/(2)I
o
17“3,,
(3)(4)/“)=幻+-e
2255
(5)f(t)=2e~'cos3f+-e2tsin3t(6)f(t)=-te->+20T-2e
2.6(1)/⑺一⑺一〃z"=0
2
/n\£,、k&/、dy(t)_
(2),/(/)-—y(t)-=0
h+k?dt
2.7(1)G(s)=-3
53+3?+45+1
(2)G(s)=
?4-10.9+2
2.8解水的流量QI由調(diào)節(jié)控制閥的開度控制,流出量Q2則根據(jù)需要可通過負(fù)載閥來改
變,被調(diào)量H反映了。水的流入與流出之間的平衡關(guān)系。
設(shè)Qi為輸入水流量的穩(wěn)態(tài)值,AQ1為其增量;Q2輸出水流量的穩(wěn)態(tài)值,AQ2為其增量;A
為水槽底面積;R?為負(fù)載閥的阻力(即液阻)。在正常運(yùn)行時(shí)處于平衡狀態(tài),即Qi=Q?,
A/i=0o當(dāng)調(diào)節(jié)控制閥的開度時(shí),AQ1使液位隨之變化。在流出端負(fù)載閥開度不變的情況
下,液位的變化將是流出量改變流出量與液位高度的關(guān)系。
(2-1)
AQ.-AQ2=A—,
Ml
(2-2)
△。2
將式(2-1)代入式(2-2),得
AR^^-+Ae=A0,
221(2-3)
AQz(s)二1二1
所以G[(s)=其中,T=AR.
AQ/s)-AR2s+l-Ts+12
由式(2-1)也可得
T四
+A/i=AQn
GzQ處=,
2AQ,(s)Ts+1
dVdHf
Qn(^t)s—-(^—-AA()
水流量dtdt(式子中,v為水的體積;H為水位高度;A為容器底面
1tH(s)1
積)由上式有H⑴=A對上式進(jìn)行拉氏變換并整理得As
29(a)G(s)-2-(&G、+D(R]G,+1)
UrsR6+(R2Gs+1)(a+1)
2.10解,系統(tǒng)框圖如圖所示:
傳遞函數(shù)為器IGGGEG爹:康Gg+GG&
2.11當(dāng)只有R⑸作用,且N⑸=0時(shí)
C(s)_G(G2
~R(s)~\-G2H2+Gfi2H.
當(dāng)只有N(s)作用,且R(s)=O時(shí)
N(s)=G?(GM+D
C(5)~\-G2H2+Gfi2Hy
2.12⑴以R(s)為輸入,當(dāng)N(s)=O時(shí),
當(dāng)以C(s)為輸出時(shí),有G,(s)、手\"口
R(s)\+GlG2H
當(dāng)以Y⑸為輸出時(shí),有與⑸=^=點(diǎn)/
當(dāng)以B(s)為輸出時(shí),有6的=黑=「曾
R(s)1+GGH
當(dāng)以E(s)為輸出時(shí),WG£(5)=^=—1—
⑵以N⑸為輸入,當(dāng)R(s)=()時(shí)
當(dāng)以C(s)為輸出時(shí),有Gc(s)=1^=°;
N(s)\+G}GzH
當(dāng)以Y(s)為輸出時(shí),有Gy(s)、畿=-怨:
N(s)1+GQ?”
當(dāng)以B⑸為輸出時(shí),有4爪黯力
+GGH
當(dāng)以E⑸為輸出時(shí)?,有GM二黑=3
C(5)_G]G2G3G4
2.13G/s)=
―1一G@G3G4H3+G|G2G3”2-G2G3乩+G3G也
C⑸二GgG'+G,
2.14G(S)=
BR(s)1+(QG2G3+G4)4-G|G2G3兄乩
C(s)G|G,G$+G。2G3G4Gs
2.15G/,(s)=
R(s)l+GGH+(1+Gfi4)G}G2G5-G2G3H}
2.16(a)/]=—7――,L]=---7——,L=-------—,Ly=—--!—
2/(s+l)r2?(5+1)y-2(s+l)$2(s+i)
A1=1,A=1—(Zq+Z^H-L3)
G(S)=2型=_____W_____
,R(s)△2S3+7S2+K-2
(b)4=GQ2G3G4G”
4個(gè)單獨(dú)回路:L,=-G2H},L2=-G.H2,L.=-G4H3,L4=Gfifi.
4對回路互不接觸:L,L2=G2G聲用2;L{L.=G2G4H1H3;L2L.=Gfi4H.H2
44二一G2G3G4G6%;
一對三個(gè)互不接觸回路:L,L2Ly=-G2Gfi,H{H2H.
A=1—(L1+L2+k+LJ+(L]L[+LL3+LJa+LJ;}—LJ2L3,A1=1,
GG尸田
A
2.17解:由于G(s)=需=G:范j2)在單位階躍輸入時(shí),有MH=g,依題意
3s+21_121
'(s+2*s+/)sss+2+s+1
所以
,.121-2/r
c(t)=L1[C(5)]=L'(———+—)=l-2e+e
ss+2S+1
第三章
3.1略
3.2略
3.3略
3.4解:該系統(tǒng)的微分方程為:〃,(/1)=/£+/.(/),〃,(,)=1「力。
傳遞函數(shù)為G(s)=A2=4
U.(s)小+1
(I)單位階躍響應(yīng),c(r)=l-/7(z>0)
(2)單位脈沖響應(yīng):c(/)="e4
(3)單位斜坡響應(yīng):c(t)=t-T+Te^
3.5由拉斯變換得:2.5sY(s)+Y(s)=20X(5)
G(s)=」一單位脈沖響應(yīng)為:c⑺
.2+0.4
單位階躍響應(yīng)為:力⑺=20(1-1*)
比較c⑴和h⑴可得c(/)=/?’(/),〃(,)=「(/)小
3.6解:閉環(huán)傳遞函數(shù)函數(shù)為:G⑸
5~+5+1
得點(diǎn)=1,g=0.5,
”[一/=2.418s
-----------1=3.6285
Mp=e口x100%=16.3%
43
當(dāng)小=0.02,t=---=8s,當(dāng)八=0.05,t=---=6s
她犯
3.7W:Mz,=e^xlOO%=5%,J=0.69
4
當(dāng)△=0.02時(shí),rv=—,則以=2.889,
她
3效&
當(dāng)△=().()5時(shí),(=——,則以=2.174,將劣代入&=/驗(yàn)算,
得,q二2.889
3.8解(1)由二階系統(tǒng)的極點(diǎn)S].2=-10±/30,可以得到
S]2=一£%士%£2j=-10±j30o
由上述公式,可得到一血=70皿Ji—-=3。,
因而有e=0.316,G)tl=31.6=IOVIO/IOJ/so
系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)可寫為M(s)=------------------。
s2+20s+1000
(2)上述系統(tǒng)對應(yīng)的動態(tài)響應(yīng)指標(biāo)為
^,-cos-1£加一cos-10.316八c
tr=——.=-------/=0.063s,
%Jl-£23.16V1-0.3162
——=().105s,
0J一-
M〃=CQX100%=35%,
33
=0.3s,
s5%~g〃-0.316x31.6
44
=0.4s
町0.316x31.6
3.9解(1)對系統(tǒng)輸出作拉普拉斯變換,可得到系統(tǒng)輸出為
…1().21.2&X)
Y(s)=-+------------------=---------------------
s5+605+10s(s+60)(s+10)
系統(tǒng)輸入為單位階躍輸入,則
R(S)=L
s
因而,系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)表達(dá)式為
丫⑸二600600
M(s)=
R⑸一(5+60)(5+10)s2+705+600
⑵二階系統(tǒng)標(biāo)準(zhǔn)形式為
M(s)=
52+2^5+69;
特征多項(xiàng)式為Y+70s+6000
2g=70.
因而
4=600。
系統(tǒng)阻尼比J和無阻尼自然振蕩頻率4分別為
J=1.43,a)l1=24.5rad/s
K
3.1()G=^^
B/+K?Krs+K
1+'1+K/S)
則,CDn=4K,2
又,Mp=25%
二
104"
,7)22
所以,1+(
所以<y2=^--——=2.93=K
n尸(1—Q
K〃=2導(dǎo)株=0.47
3.11解:系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為:G(s)=,
?+352+25+^
令53+3『+2s+Z=0
?12
?3k
13*2—k
s------------
3
0k
由于系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài),則有:浮>。,得。心6
3.12由系統(tǒng)特征方程可排出勞斯表如下:
S6182016
S521216
4
S168輔助方程:S4+6S2+8=0,
S300求導(dǎo):4s3+12s=0
412
)
S"38
S14/3
S08
由勞斯表可知,第一列元素不變號,所以無右半S平面E勺根。但勞斯表有一行全部為
零,因此存在對稱根。解輔助方程是—+652+8=0,得5,2=±41j,53,4=±2/。
系統(tǒng)有兩對虛根,處于臨界穩(wěn)定。
3.13解(1)由系統(tǒng)特征方程可排出勞斯表如下:
4
S110K
s3222
s~9.9K
s12-2.2K
0
sK
由勞斯表可知,要滿足系統(tǒng)穩(wěn)定性條件,必須第一列元素全部大于零,因而有
2-2.2/T>0,
K>U.
解上述不等式方程,可以得到系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定的條件為()<K<0.91。
⑵由系統(tǒng)特征方程可排出勞斯表如下:
s30.11
s21K
s11-0.1K
s°K
由勞斯表可知,要使系統(tǒng)穩(wěn)定,必須第?列元素全部大于零,因而有
l-0.1AT>0,
'K>0.
解上述不等式方程,可以得到系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定的條件為OcKclO。
3.14解(1)系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為2s3+$2-35+10=0
由此可排出勞斯表如下:
S32-3
S2I10
-23
由勞斯表可見,第一列元素變號兩次,有兩個(gè)根在右半s平面上,系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定。
(2)系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為:S2-S-2=0注:閉環(huán)特征方程求解過程如下:
(s-1)_S+1_S+1
①(s)=其分母為零既是特征方程
1.1s-1(s-l)(s+l)+s-lS2+5-2
S-1s+i
S2+S-2=0
由此可排出勞斯表如下:
s21-2
s'10
s°-2
由勞斯表可見,第一列元素變號一次,有一個(gè)根在右半s平面上,系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定。
(3)系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為
S3+4S2+3S+12=0O
由此可排出勞斯表如下:
s313
s2412
s'E
s°12
由勞斯表可知,第一列元素不變號,所以無右半s平面的根。但是勞斯表有一行為0,
因而存在對稱根。解輔助方程4s2+12=0,得
S]2=±V3jo
系統(tǒng)有一對虛根,處于臨界穩(wěn)定。
3.15解:由于是單位反饋系統(tǒng),"外,且該系統(tǒng)為I型系統(tǒng),歸一
K5
化有,G?(s)=其增益為K/5;
s(s+l)(0.2s+l)
在斜坡函數(shù)輸入時(shí),e=—=0.01;K=500
“K
3.16解:先求當(dāng)R(s)=0,N(s)w0,即N(s)單獨(dú)用下的穩(wěn)態(tài)誤差
4v+1
在干擾作用下的輸出為X°N⑸=--------:-----------N。)
辦(3s+l)(4s+5)
由干擾產(chǎn)生的誤差為EN(S)=X,(S)-XW(S)=-XW(S)
所以
所以該誤差的穩(wěn)態(tài)值為"㈣與⑸』二£7
再求當(dāng)R(s)wO,N(s)=O時(shí),即R(S)單獨(dú)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差=
輸入作用下的傳遞函數(shù)為黑;號
輸入作用下的誤差Ex⑶=RG)-C($)二/R⑸
e=limSE(s)=-lims?---!——=-
則誤差的穩(wěn)態(tài)值為vvVY
nXioxD(4s+5)s5
根據(jù)線性系統(tǒng)疊加原理11八
4,=e$$N+exsx=_不+1=0
JJ
3.17解:開環(huán)增益,K=100,y1,系統(tǒng)為I型
1,
r(r)=2+4r+-xio;2
s=---+—+—=0+0.04+co=oo
1+K,,KvK"
因?yàn)樵撓到y(tǒng)為單位反饋系統(tǒng),所以
eas=£ss=co
3.18由于是單位反饋系統(tǒng),所以九二%
(1)k=10,v=0r(t)=l時(shí)、^=—
w10
r(t)=t時(shí),%=8
r(t)=〃時(shí),£ss=oo
(2)k=-,v=\r(t)=l時(shí),4=0
8
r(t尸t時(shí),晨V
r(t尸/時(shí),1=8
⑶k=8,y=2r(t)=l時(shí),q=0
r(t)=t時(shí),%=0
r(t尸/吐4V
第四章
_____5________150
(1)。
4.2解:G(j(o)=----22
30%+11+900(y-1+900(y
幅頻:"(網(wǎng)=癡)+1
相頻:NG(,3)=-arctan30(y
0.1
(2)G(J<y)=-------——=,M+OOll)
jco0.1汝+10.016?2+1
幅頻:IZG(J6?)|=—,
3/0.(W+l
相頻:Z-G(jco)=-arctan(^)
at
4.3解:⑴G(s)=K;'(K=10,N=1,2)。
201gK=201g10=20G?
當(dāng)N=)時(shí),G(s)=10/5,對應(yīng)的幅相頻率特性和對數(shù)頻率特性如圖4-3(a)所示。
當(dāng)N=2時(shí),G(5)=IO/?,對應(yīng)的幅相頻率特性和對數(shù)頻率特性如圖4-3(b)所示。
幅相頻率特性
一個(gè)積分環(huán)節(jié)
a)=0lR⑹
中=780°
幅相頻率特性
(a)
圖4-3幅頻相頻特性圖
10
⑵G(s)=
0.15±1
轉(zhuǎn)折頻率供=—=10,201gK=201g10=20dB0
?1
10
當(dāng)G(s)=時(shí),(<y)=-arctan(0.1。),對應(yīng)的幅相頻率特性和對數(shù)頻率特性如
O.Lv+l
圖4-4(a)所示。
當(dāng)GG)二君1時(shí),
創(chuàng)&)=-180°+arctan(O.l^),對應(yīng)的幅相頻率特性和對數(shù)撅率特
0.1s—1
性如圖4-4所示。
幅相頻率特性對數(shù)頻率特性
(a)慣性環(huán)節(jié)
(b)不穩(wěn)定的慣性環(huán)節(jié)
圖4-4幅頻相頻特性圖
C)=K$N(K=10,N=1,2)
201gK=201gl0=20dB
當(dāng)N=1時(shí),G(s)=10s,對應(yīng)的幅相頻率特性和對數(shù)頻率特性如圖4?5(a)所示。
當(dāng)N=2時(shí),G(S)=1()52,對應(yīng)的幅相頻率特性和對數(shù)頻率特性如圖4-5(b)所示。
jl@0=8
t
1,夕=90。
@二0,
0啊
幅相頻率特性對數(shù)頻率特性
(a)一個(gè)微分環(huán)節(jié)
___A=180°
&=8-==0°
幅相頻率特性對數(shù)頻率特性
(b)兩個(gè)微分環(huán)節(jié)
圖4-5幅頻相頻特性圖
(4)G(4)=10(0.15±l)
轉(zhuǎn)折頻率例=由=10,201g10=20dB
當(dāng)G(s)=10(0.1s+l)時(shí),(p(0)=amtan(0.1⑼,對應(yīng)的幅相頻率特性和對數(shù)頻率特性
如圖小6(a)所示。
當(dāng)G(s)=10(0.1s-1)時(shí),以⑼=180°-arctan(0.。),對應(yīng)的幅相頻率特性和對數(shù)頻率
特性如圖4?6(b)所示。
〃3)
0=00
J=0
-01。R(o)
幅相頻率特性
(a)一階比例微分環(huán)節(jié)
0二8
0
-100R?
幅相頻率恃性對數(shù)頻率特性
(b)不穩(wěn)定的一階比例微分環(huán)節(jié)
圖4-6幅頻相頻特性圖
61.5
(5)G(5)=
s"+4)s(,i)
4
轉(zhuǎn)折頻率電=4,201gK=201g1.5=35dB。
雙。)=-90°-arctan(69/4),對應(yīng)的幅相頻率特性和對數(shù)頻率特性如圖4-7所示。
I型二階系統(tǒng)
61.5
(6)G(s)=
(5+1)(5+4)(s+D(;+l)
轉(zhuǎn)折頻率例=1,。2=4,201gAT=201g1.5=3.5dB.
(p(co)=-arctan69-arctan(ry/4),對應(yīng)的幅相頻率特性和對數(shù)頻率特性如圖4-8所示。
//(0)
幅相頻率特性對數(shù)頻率特性
圖4-8二階系統(tǒng)幅頻相頻特性曲線圖
0.25(-+1)
(7)G(S)="~=J轉(zhuǎn)折頻率幼=5,3=20,20lgK=201g0.25=—1218。
(S+2U)/上訃
(p(a>)=arctan(0/5)-arctan(69/20),對應(yīng)的幅相頻率特性和對數(shù)頻率特性如圖4-9
所示。
力(①)
00.25R(?)
幅相頻率特性對數(shù)頻率特性
圖4-9具有零點(diǎn)的一階系統(tǒng)
(8)GO上史一=「五?轉(zhuǎn)折頻率電=0.01,如=0.1.201gA:=201gl0=20r/Bo
5(5+0.01)(S+
'o.oi>
奴3)=-90-arctan(^t)/0.01)+arctan(rt)/0.1),對應(yīng)的幅相頻率特性和對數(shù)頻率特性
如圖4-10所示。
對數(shù)頻率特性幅相頻率特性
圖4-10具有零點(diǎn)的二階系統(tǒng)
+葭+|
(9)G⑸7V(7="=(14,0.707)
當(dāng)丁=1,4=0.4時(shí),對應(yīng)的幅相頻率特性和對數(shù)頻率特性如圖4-Il(a)所示。
當(dāng)丁=10,g=0.707時(shí),對應(yīng)的幅相頻率特性和對數(shù)頻率特性如圖4-11(b)所示。
(a)二階振蕩環(huán)節(jié)
幅相頻率特性對數(shù)頻率特性
(b)二階振蕩環(huán)節(jié)
圖4-11二階系統(tǒng)幅頻相頻特性曲線圖
~、40(0.25+1)
(IO)GM=^——
+2s+l
轉(zhuǎn)折頻率9=1,@2=5,20lg/C=201g40=32dB
/、八、、/2。、4/、/2^Tco、
(p((o)=arctan《).2。)-arctan(-------)注:(p[a))="arctan(~■■—)
\-(o~1-T
2
°⑴=arctan(0.2)-arctan(----)=11.30-90"=-78.7"
1—1
8(3)=arctan(0.6)-arctan(j-^)=31°-143.1°=-112.1°
°(5)=arctan0)-arctan(J,)=450-157.30=-112.3"
1()
</)(10)=arctan(2)-arctan.)=63.4°-168.60=-105.2°
-100
100
0(50)=arctan(O)-arctan(■)=843°-177.70=-93.4°
1-2500
當(dāng)。由0->oo,9(3)變化趨勢由0--90°t-180°f—90°,對應(yīng)的幅相頻率特征和對
數(shù)頻率特征如圖4-12所示。
幅相頻率特性對數(shù)頻率特性
圖4-12具有零點(diǎn)的二階系統(tǒng)
K(7>+1)
4.4(7>(十心);
5(率+1)(與$+1)
這是一個(gè)I型3階最小相位系統(tǒng),開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。
開環(huán)頻率特性為…3+1)
7;+1)(加5+1)
幅頻特性為注:IZ,z2.....ZN1=1Z1IIz21....IzNI
KJ(COT.)2+\
&⑼=一/Y、
①.q(①TJ~+7(叫)+1
相頻特性為夕(0)=-90+arctancoTy-arctana)T}-arctancoT2
首先繪制開環(huán)幅相頻率特性,再應(yīng)用奈氏穩(wěn)定判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。
rz父.開
①當(dāng)0-0+時(shí),有G(j<y)=一=—e^即A(0+)=8,^(0J=-90\
jsco
〃(a>)
圖4-13系統(tǒng)奈氏曲線圖
當(dāng)0―>8時(shí),A(oo)=0?^>(oo)=—(n—m)x90°=—180°o
②因?yàn)?;>1+心,所以開環(huán)幅相頻率特性從第四到第三象限變化。開環(huán)幅相頻率特性與
負(fù)實(shí)軸無焦點(diǎn)。開環(huán)幅相頻率特性如圖5.20所示,由0到0+的增補(bǔ)特性如圖中虛線所示。
可以看出,當(dāng)3由0到8時(shí),開環(huán)幅相頻率特性不包圍(-1,/0)點(diǎn),所以,閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定
的。
③⑵G(s)=1-v——\
''')s(s+lX$+10)
這也是一個(gè)I型3階最小相位系統(tǒng),開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。開環(huán)頻率特性為
°(川)-洌9+1)(川.1。+1)
幅頻特性為注:IZ,z2..…ZN1=1Z,IIz21....IzNI
A(0)=------------2、=
collar+1?J(0.I。)?+1
相頻特性為
(p(co)=-90J-arctanco-arctan(0.16y)
首先繪制開環(huán)幅相頻率特性,再應(yīng)用奈氏穩(wěn)定判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。
①當(dāng)口.(T時(shí),A(0+)=oo,(^(0+)=-90\
②當(dāng)o->8時(shí),A(co)=0,0(oo)=-(〃-〃?)x90=-270,
③開環(huán)幅相頻率特性與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)。
開環(huán)幅相頻率特性與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)滿足曲)=-180,,即
-90-arctan69z-arctan(().1叼)二-180,
或arctar(0.169.)=90,-arctan叼
兩邊取正切tan[arctan(().)]=tan[9()-arctan叼]
”(?)
(0.134,M8一=0
0二0
圖4-14系統(tǒng)的開環(huán)特性圖
其中tan190-arctan<y]=cot(o)=---!---
LJiJtan(叼)
則有tan|arctan(0.1o;)]=-----------
L'tan(tan(6?p)
0.167.=—
叼
解得叫=Vio
代入幅頻特性,得
29
A(卬)=!—I----i——=>——=0.134
7VioVio+iVi+iV220
開環(huán)幅相頻率特性與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(一0.134,j0)。
開環(huán)幅相頻率特性如圖4-14所示,口由0到CT的幽補(bǔ)特性如圖中虛線所示。
可以看出,當(dāng)口由0到8時(shí),開環(huán)幅相頻率特性不包括(-1,j0)點(diǎn),所以,閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定
的。
仆(s+l(X))
⑶G(5)=———
s(s+2)
因?yàn)榉帜赣?s-1)項(xiàng),所以這是一個(gè)非常最小相位系統(tǒng),開環(huán)右極點(diǎn)數(shù)目P=l,開環(huán)頻率特
性為50OQ01…
加(J0.5O-1)
50
幅頻特性為…*舊
wJ(0.5⑼2+1
相頻特性為以。)=-90°-180°+arctan(0.5iv)+arctan(0.01w)
首先繪制開環(huán)幅相頻率特性,再應(yīng)用奈氏穩(wěn)定判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。
圖4-15開環(huán)幅相頻率特征
①當(dāng)”—時(shí),A(0)='X)^(0+)-270°o
②當(dāng)少一>8時(shí),A(oo)=0,^(GO)=-90°O
③開環(huán)幅相頻率特性與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn).
開環(huán)幅相頻率特性與負(fù)軸的交點(diǎn)滿足OCopn-lS",即
-90"-180°+arctan(0.5c。/)+arctai^O.Ol^)=-180
或aictanlp.5^)=90°-arctaiKp.Ol^)
兩邊取正切tan[arctan(o.50/)]=tan[90-arctan(O..01)叼]
有0.5例=------
J0.013,
解得=J20()
50x0^
代入幅頻特性,得A(。)==0.5,開環(huán)幅相頻率特性與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為
V200V5T
(-0.5,j0)
開環(huán)幅相頻率特性如圖4-23所示,啰由0至1O'的增補(bǔ)特性如圖中虛線所示。
由圖看出,當(dāng)”由。到co時(shí),開環(huán)幅相頻率特性不包圍(-1,jO)點(diǎn),所以,閉環(huán)系統(tǒng)是
不穩(wěn)定的。
下接(4)
?96?機(jī)械工程控制基礎(chǔ)(第四版)學(xué)習(xí)崎導(dǎo)與題解
圖(題4.14.3)
從上述二個(gè)系統(tǒng)的Bode圖看,.個(gè)系統(tǒng)具有相同的對數(shù)幅頻特性,但者的對數(shù)相頻特
件不同.其中(1)的所仃的極點(diǎn)與蹲點(diǎn)均在[4平面的左半平面,因此它具有最小的相位融
置,此系統(tǒng)為最小相位系統(tǒng)。
4.15試?yán)L出具有下列傳遞函數(shù)的系統(tǒng)的Bode圖:
⑴U')=U.2、+l;⑵(X.')=千;
⑶as)=10>;(4)a<)=iu、+2;
2.5(、+1U)
Q0-1-0.2.v(6)
,<(1).2$+1)*
10(0.1)2>-I-1)(5-h1)650r
(7)6(A)=(8)G(0=
K』+4、+1(JU)(0.04>+1)(0.454-1)*
2()、(、+5)(、+JU)u
⑼(10)G(.0=10e°
>(5+0.1){.S+20)2;
第囚替頻率特杵分析?97?
解(1)式頻率特性為(無0)=一~~7
該系統(tǒng)只包含一個(gè)?階慣性環(huán)節(jié),K轉(zhuǎn)折頻率為3=3=5、,
**?M
因此?其Bode圖如圖(題4.15.1)所示:
⑵其頻率特性為
該系統(tǒng)為一個(gè)比例環(huán)節(jié).?式比例系數(shù)A二三
因此.其Bode圖如圖(題,15.2)所示,
(3)其頻率特性為C;(j^)=Wj3
該系統(tǒng)由一個(gè)比例環(huán)節(jié)和一個(gè)微分環(huán)節(jié)組成?其中.比例系數(shù)Z-10
因此,其Bode圖如圖(題4?15.3)中實(shí)線所示°
跳電15Ml
3
圖(題,15.2)
圖(題4.15.3)圖1題4.15.4)
?98?機(jī)械工程控制基礎(chǔ)(第四版)學(xué)習(xí)崎導(dǎo)與題解
(4)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可以化為(;(>)=2(5>+1)
其頻率特性為ajW)=2(j53+1)
該系統(tǒng)由一個(gè)比例環(huán)節(jié)和一個(gè)一階微分環(huán)節(jié)組成?其中,比例環(huán)計(jì)的比例系數(shù)6=2;一階
微分環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率為a>=y=U,2s!o
因此,其Bode圖如圖(題4.15.4)中實(shí)線所示。
(5)其頻率特性為Uja?>=
它是一個(gè)不穩(wěn)定的-階慣件環(huán)節(jié),其對數(shù)幅頻特性它與相對應(yīng)最小相位系統(tǒng)的對數(shù)幅頻
特性圖相同。
對數(shù)相頻特性方程為
s)=ardariO.2o)
因此?其Rxk圖如圖(題J.15.5)所示二
(6)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可以化為U、)=小心-,
<(O.2.<4-1)
z./:、25(0.lj1)
其頻率特性為Ln1a))—~"T~"7T
(Jw)~(0.2jg+1)
該系統(tǒng)由一個(gè)比例環(huán)節(jié)(比例系數(shù)為£=25)、兩個(gè)枳分環(huán)打、?個(gè)一階慣性環(huán)心(曬=高
=5sI和個(gè)一階微分環(huán)i;(也=l(k1)組成,因此,共Bale圖如圖(題J.15.6)中實(shí)線
所示
圖(題415.5)
U.1(H.U2、+1)(卜+I)>1(陽
(7)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可以化為a.v)
,41十4$+100)
U.l(U.U2j山+1)(j&J+1)X1U0
其頻率特性為(又j卬)=
ja)(—<w"+4jOJ+l(MJ)
第四聾頻率特性分析?99?
該系統(tǒng)由個(gè)比例環(huán)節(jié)(比例系數(shù)為£=0.1)、?個(gè)積分環(huán)節(jié)、?個(gè)二階慣性環(huán)節(jié)(如二
10s?和兩個(gè)一階微分環(huán)節(jié)(幼二』=5心y=lsJ組成,因此,HBodc圖如圖(題
4.15.7)中實(shí)線所示。
(唧?頻率特性為時(shí)瑞犒5
該系統(tǒng)由一個(gè)比例環(huán)節(jié)(比例系數(shù)為A=65U)、兩個(gè)微分以打、和兩個(gè)一階慣性環(huán)節(jié)(“〃二
-L-=25s\on=(rT=2.5sJ組成。因此,式Hxle圖如圖(題J.15.8)中實(shí)線所示。
IUWU.2、+l)(U.U25s+I)
(9)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可以化為
>(HI'+1)(0.05?+1-
圖(題,15.7)
/、「、100(0.2jw+l)(j(MC5w+I)
上頻率特性為\.f\JU))—,,
juAjHlw+1)(jO.()5co+1)~
該系統(tǒng)由?個(gè)比例環(huán)節(jié)(比例系數(shù)為£=1UO)、-個(gè)積分環(huán)節(jié)、兩個(gè)?階微分環(huán)節(jié)(轉(zhuǎn)折頻
!
率分別為他=±=5s\W2=-—=4(lsi)和三個(gè)一階慣性環(huán)節(jié)(轉(zhuǎn)折頻率分別為3=3
=(l.lsI、四s==I)組成C因此,式RxL圖如圖(題4.15.9)中實(shí)線所示。
?loo?機(jī)械工程控制基砒《第四版)學(xué)習(xí)聾導(dǎo)與題觸
圖(題4.I5.Q)
(1。)其頻率特性為G(j^)=10e1,1,w出
該系統(tǒng)由個(gè)比例環(huán)節(jié)(比例系數(shù)為£=1U)和個(gè)‘為
延時(shí)環(huán)節(jié)(r=u.1s)組成:因此,其Bode圖如圖(成4.u
15.10)中實(shí)線所示
如果只需嚶繪制系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性圖.本題還可
以采用順序頻率法作圖:請課&參考例4.4的解法
山6代網(wǎng)小」一(八)二十.臺
Ri+RRR.
二F"八—而■年試?yán)L制a=1(),
30和T=1、時(shí)的Bode圖.RC網(wǎng)絡(luò)如圖(題4.
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