小學數(shù)學“運算教學”存在問題以及改進策略

[摘"要]在小學數(shù)學“數(shù)的運算”教學中，教師要正“法則之理”、釋“法則之義”、思“法則之微”、用“法則之道”，讓學生深刻地理解法則、巧妙地表達法則、靈動地反思法則、智慧地運用法則。培養(yǎng)學生的運算能力，關鍵在于培養(yǎng)學生選擇運算法則、運算律的策略。學生只有善于選擇運算法則，才能有效提升“數(shù)的運算”能力，發(fā)展“數(shù)的運算”素養(yǎng)。[關鍵詞]運算教學;改進策略;小學數(shù)學當前小學數(shù)學“運算教學”存在的突出問題是部分教師只注重培養(yǎng)學生程序性的計算技能，而忽視“算理”以及運算策略的教學。什么是“運算能力”？運算能力不僅是“會運算”，更是“巧運算”“會解釋”“會運用”（吳仲和語）?！读x務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（以下簡稱新課標）將“運算能力”界定為：根據(jù)法則和運算律進行正確運算的能力。新課標一方面要求學生能根據(jù)法則進行運算，另一方面要求學生能根據(jù)運算律進行運算。對于運算法則、運算律，教師不應機械地理解為識記教材中的運算法則、運算律，而更應理解為“根據(jù)數(shù)據(jù)特征選擇運算法則、運算律進行計算”。因此，培養(yǎng)學生的運算能力，關鍵在于培養(yǎng)學生選擇運算法則、運算律的策略。一、正“法則之理”，讓學生深刻理解法則法則是運算的方法，具有可操作性。由于法則的這一特質，部分教師在運算教學中過度注重法則的陳述性內(nèi)容、程序性過程，忽略了法則應用的巧妙性、策略性。這樣的教學導致學生在計算過程中對不能簡算的算式“亂簡算”，對于能簡算的算式“不簡算”。為此，在運算教學中，教師不僅要引導學生建構算法法則，還要引導學生認識、理解、把握算法產(chǎn)生的根源、必然性、合理性，洞察算法背后的算理等。以“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”的教學為例，教材呈現(xiàn)了一個場景：幼兒園購進12箱南瓜，每箱24個，一共多少個？此題的計算通常有兩種策略：一是先算2箱有多少個南瓜，再算6個2箱有多少個南瓜，也就是算12箱有多少個南瓜;二是先算10箱有多少個南瓜，再算2箱有多少個南瓜，最后算12箱有多少個南瓜。部分教師雖然利用情境圖進行了情境解釋，但是在切入“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”的豎式計算時太快，沒有引導學生充分經(jīng)歷“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”的探索過程。因此，教師在教學“策略一”時應總結提煉“拆積”的策略，并發(fā)散學生的思維：還可以怎樣拆積？如此，學生就會將“12×24”拆成“24×3×4”“12×4×6”“12×3×8”等;教學“策略二”時，教師應總結提煉“拆和”的策略，并發(fā)散學生的思維：還可以怎樣拆和？如此，學生就會將“12×24”拆成“24×3+24×9”“24×4+24×8”等。然后，教師要引導學生比較“拆積”與“拆和”，讓學生認識到同樣是“拆”，要最簡便才好。此外，教師還可以通過引入“點子圖”助推學生對“拆積”“拆和”的認識、理解。在此基礎上，教師引導學生計算“23×17”，讓學生認識、體驗“拆積”策略的局限性、“拆和”策略的普適性。當學生認識“拆和”方法的普適性特質之后，教師再將“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”寫成“豎式計算”形式，使他們理解“兩位數(shù)乘兩位數(shù)法則”背后的算理。其中，學生對于“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”豎式計算中的每一步，都能有清晰的認知：這一步計算的是幾箱南瓜？一共計算了多少個？這樣的“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”法則的計算教學，讓學生的計算步步有據(jù)，并讓學生靈活、智慧地根據(jù)法則進行計算。正“法則之理”是讓計算法則背后的算理“立”起來，讓“算理”得到真正的凸顯。在引導學生運算的過程中，教師不僅要讓學生的運算“有法可依”，更要讓學生的運算“有根可尋”。教師要從法則背后的算理入手，讓學生理解運算法則“如此這般”的必然性，使運算法則深深扎根于學生的心靈。學生只有深刻地理解法則，才能智慧地應用法則。二、釋“法則之義”，讓學生巧妙地表達法則培養(yǎng)學生的運算能力，教師不僅要引導學生建構、創(chuàng)造法則，還要引導學生解釋算法法則的精義。巧妙智慧地表達算法法則是學生算法法則內(nèi)化的確證與表征：一方面，教師要引導學生將運算法則、定律與生活相結合，用現(xiàn)實原型來解釋算法模型;另一方面，教師要引導學生將運算法則、定律等與圖形結合，充分發(fā)揮“數(shù)形結合”的思想，用圖形來釋數(shù)、釋算。正如數(shù)學教育家華羅庚所說：“數(shù)形結合百般好，隔離分家萬事休?！北热?，在教學“減法的性質”時，對于“a-b-c=a-（b+c）”以及“a-（b-c）=a-b+c”，教師要鼓勵學生以各種方式對法則、算律進行“屬己”詮釋。比如在詮釋“a-b-c=a-（b+c）”這一“減法的性質”時，有的學生借助小棒操作詮釋，即“從a根小棒中先拿掉b根，再拿掉c根，就相當于將b根小棒和c根小棒直接捆起來一起拿走”;有的學生借助畫圖詮釋;有的學生借助生活事理來詮釋，“先吃掉b個，再吃掉c個，就相當于一共吃了（b+c）個”。在詮釋“a-（b-c）=a-b+c”這一“減法的性質”時，學生用生活事理來詮釋：一個人有a元，付了b元，營業(yè)員找回c元，這個人事實上付了（b-c）元，還剩下“a-（b-c）”元。學生用這樣的生活事理來解釋，讓相關的運算法則、定律、性質等融入其日常生活情境之中，從而讓抽象的、符號化的法則、定律、性質等得到生動、直觀、形象的詮釋。在運算教學中，教師要創(chuàng)建一個“解釋場”“表達場”，讓學生對算理、算法的解釋呈現(xiàn)出來，促進學生深刻理解算理、算法。如果教師賦予抽象化、符號化的運算定律、法則以直觀化、形象化的意義，就能讓純粹的運算變得鮮活起來。教師要注重挖掘運算法則、定律背后的生活原型、生活背景、生活事理等，以便讓學生借助這些生活原型、背景、事理等來理解算法的要義、精義。釋“法則之義”，讓學生巧妙地表達法則，不僅能讓學生獲得“學業(yè)智力”，而且能讓學生獲得“工作智力”;不僅能發(fā)展學生的“學業(yè)思維”，而且能發(fā)展學生的“實踐思維”。在運算教學中，教師不僅要引導學生“算”，更要引導學生“運”;教師要將“運算”放置在二維體系中，讓學生智慧地、深刻地“運”，進而讓學生靈巧地、智慧地“算”。實踐證明，學生“運”的能力越強，“算”的方法就越巧。三、思“法則之微”，讓學生靈動地反思法則在改進小學數(shù)學“運算教學”的過程中，教師要引導學生反思法則。反思不僅指運算之后的“后思”，還包括運算過程中的審視、思考。對法則的反思，一方面是讓學生體認法則的合理性、必然性，另一方面是讓學生反思法則的精微性、精妙性。教師可以引導學生比較、辨析、反思、審視運算的方法、法則等，幫助學生積累豐富的“數(shù)的運算”經(jīng)驗，生成“數(shù)的運算”智慧;幫助學生養(yǎng)成一絲不茍、嚴謹求實的數(shù)學精神，發(fā)展“數(shù)的運算”觀念，提升“數(shù)的運算”能力，培養(yǎng)“數(shù)的運算”素養(yǎng)。以教學“十幾減9”為例，教材呈現(xiàn)了一個對話情境圖：一共有13個桃子，小猴子購買了9個桃子，還剩幾個桃子？探究時，教師可以引導學生操作，讓學生經(jīng)歷從“實物操作”到“表象操作”再到“符號操作”的過程。學生先用小棒代替桃子，通過擺弄小棒建構、創(chuàng)造“破十法”“平十法”等;然后，反思操作過程，進行表象建構，積累表象操作經(jīng)驗;最后，結合具體的算式進行符號操作，從而理解多樣化的算法，如“13-9=13-3-6”“13-9=10-9+3”“13-9=13-10+1”“9+4=13，13-9=4”等。多樣化的算法能激發(fā)學生的運算思維，讓學生形成“簡算”意識。在此基礎上，教師引導學生學習“十幾減8”“十幾減7”等便水到渠成。在反思過程中，學生能不斷比較算法、選擇算法、改進算法、優(yōu)化算法等。比如，有的學生發(fā)現(xiàn)“平十法”計算比較巧妙，“破十法”計算比較普遍，“算減想加法”計算比較快捷，“湊十法”計算比較智慧等。在反思過程中，學生會積極主動地對算法進行評價，從而深刻感受、體驗“法則特征”，對各種“算法”的優(yōu)勢、劣勢都有所認知。學生通過反思運算法則，運算經(jīng)驗得以鞏固，運算智慧得以生長，運算品質得以提升。對運算過程的反思，不僅指向學生對運算法則、定律的理解、掌握，還指向學生運算質量、運算品質的提升。在“數(shù)的運算”教學中，教師既要引導學生經(jīng)歷運算法則、定律的誕生過程，又要引導學生反思運算法則、定律的誕生過程。經(jīng)歷有助于學生積累、積淀運算法則、定律的探索經(jīng)驗，而反思則有助于學生積累、積淀運算法則、定律的理解經(jīng)驗、解釋經(jīng)驗、表達經(jīng)驗。實踐證明，反思是學生積累運算經(jīng)驗的重要過程，也是學生生成運算智慧的重要方式。四、用“法則之道”，讓學生智慧地運用法則在學生深刻理解法則的基礎上，教師要引導學生熟諳法則的“運用之道”，讓學生智慧地、巧妙地、靈活地應用法則。在教學中，教師要喚醒學生的“簡算”意識，讓學生在運算過程中“想偷懶”“會偷懶”“智慧地偷懶”。算式的簡算策略不是唯一的，而是多樣化的，因此，教師要引導學生比較簡算的策略，讓學生的簡算策略在多樣化的基礎上“最優(yōu)化”。此外，教師要培養(yǎng)學生簡便運算的證據(jù)意識、反思意識，讓學生能在運算過程中自我發(fā)問：我這樣算對嗎？我這樣算巧嗎？還有比這樣的運算更簡便的策略嗎？通過自我發(fā)問，學生會不斷增強運算中自我察覺、自我調節(jié)、自我監(jiān)控的能力。從“元認知”理論視角來看，這就是培養(yǎng)學生運算的元認知意識，提升學生運算的元認知技能的過程。比如“小數(shù)乘法”的一道習題36×0.25，學生呈現(xiàn)了多種簡算方法：“30×0.25+6×0.25”“40×0.25-4×0.25”“9×4×0.25”“（36÷4）×（0.25×4）”等。教師要引導學生比較算法、辨析算法、篩選算法、優(yōu)化算法，比如“算法一”和“算法二”采用了“乘法分配律”，“算法三”采用了“乘法結合律”，“算法四”根據(jù)“積的變化規(guī)律”進行運算。學生通過比較、思辨算法，能認識、領會算法中蘊含的算理、算序、算律，并在運用運算法則、定律的時候做到“最優(yōu)化”。當然，在這個過程中，教師要收集學生的錯誤算法，并將典型的錯誤算法呈現(xiàn)出來，引導學生剖析錯誤成因。比如，有的學生這樣計算：“4×9×0.25=4×0.25+9×0.25”，這是混淆了“乘法分配律”和“乘法結合律”的典型表現(xiàn)。在教學中，教師還可以引導學生對各種算法進行評價，讓學生選擇自己喜歡的方法。比如，有的學生喜歡“（36÷4）×（0.25×4）”是因為比較巧妙;有的學生喜歡“（36÷4）×（0.25×4）”可以直接“化除為乘”，即36×0.25就表示36的四分之一，將36平均分成4份，因此“36×0.25=36÷4”。在運算教學中，教師要引導學生評價算法、鑒賞算法，讓學生能深刻理解算法、巧妙應用算法。教師要引導學生用“法則之道”，讓學生在運算過程中遵循正確、簡便、靈活、巧妙之道，讓學生在運算過