空間向量及其線性運算精講

1.1.1空間向量及其線性運算重點：空間向量的加減、數(shù)乘運算在空間幾何體中的應(yīng)用難點：空間幾何中向量的運算。一、空間向量的概念及幾類特殊向量1、空間向量的有關(guān)概念（1）空間向量的定義：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量。（2）空間向量的長度（模）：空間向量的大小叫做向量的長度或模。（3）表示法：=1\*GB3①幾何表示法：空間向量用有向線段表示；=2\*GB3②字母表示法：用字母a、b、c，…表示，若向量a的起點是A，終點是B，則向量a也可以記作AB，其模記為a或AB2、幾類特殊向量（1）零向量：長度為0或者說起點和終點重合的向量，記為。規(guī)定：與任意向量平行。（2）單位向量：長度為1的空間向量，即.（3）相等向量：方向相同且模相等的向量。（4）相反向量：方向相反但模相等的向量。（5）共線向量：如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量．平行于記作．（6）共面向量：平行于同一個平面的向量，叫做共面向量。二、空間向量的線性運算1、空間向量的加減法空間中任意兩個向量都是共面的，它們的加、減法運算類似于平面向量的加減法．（如下圖）．2、空間向量加減法運算律交換律：結(jié)合律：小結(jié)：空間向量加法的運算的小技巧（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點指向末尾向量的終點的向量，即：（2）首尾相接的若干向量若構(gòu)成一個封閉圖形，則它們的和為零向量，即：；3、空間向量的數(shù)乘運算（1）定義：實數(shù)λ與空間向量a的乘積λa當(dāng)λ>0時，λa與a方向相同；當(dāng)λ<0時，λa與a當(dāng)λ=0時，λaλa的長度是a的長度的|λ|（2）運算律：分配律：λa結(jié)合律：λμ三、向量共線定理1、空間向量共線的充要條件：對任意兩個空間向量a，b(b≠0)，a∥b2、直線的方向向量：如圖，O是直線l上一點，在直線l上取非零向量a，則對于直線l上任意一點P，存在實數(shù)λ，使得OP=λ與向量a平行的非零向量稱為直線l的方向向量.這樣，直線l任意一點都可以由直線l上的一點和它的方向向量表示，也就是說，直線可以由其上一點和它的方向向量確定。3、證明空間三點共線的三種思路：對于空間三點P、A、B可通過證明下列結(jié)論來證明三點共線（1）存在實數(shù)λ，使PA=λPB（2）對空間任一點O，有OP=（3）對空間任一點O，有OP=x四、空間向量共面定理1、定義：如圖，如果表示向量a的有向線段OA所在的直線OA與直線l平行或重合，那么稱向量a平行與直線l.如果直線OA平行于平面α或在平面α內(nèi)，那么稱向量a平行于平面α.平行于同一個平面的向量，叫做共面向量。2、向量共面的充要條件：如果兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x,y)，使p3、向量共面證明：（1）證明點P在平面ABC內(nèi)，可以用AP=xAB+y若用OP=xOA+y（2）判斷三個向量共面一般用p=x證明三線共面常用AP=x證明四點共面常用OP=xOA+y題型一空間向量的概念理解【例1】（2022秋·山西·高二校聯(lián)考期中）下列關(guān)于空間向量的說法中錯誤的是（）A．零向量與任意向量平行B．任意兩個空間向量一定共面C．零向量是任意向量的方向向量D．方向相同且模相等的兩個向量是相等向量【答案】C【解析】由已知，選項A，零向量方向是任意的，所以零向量任意向量平行，該選項正確；選項B，平面由兩個不平行的向量確定，任意兩個向量可通過平移形成相交，故一定可以確定一個平面，該選項正確；選項C，在直線上取非零向量，把與向量平行的非零向量稱為直線的方向向量，該選項錯誤；選項D，方向相同且模相等的兩個向量是相等向量，該選項正確.故選：C.【變式11】（2022秋·山東濟南·高二校考期中）下列關(guān)于空間向量的說法中正確的是（）A．方向相反的兩個向量是相反向量B．空間中任意兩個單位向量必相等C．若向量滿足，則D．相等向量其方向必相同【答案】D【解析】相反向量指的是長度相等，方向相反的向量，故A錯誤；單位向量指的是模為1的向量，方向未定，故B錯誤；向量不能比較大小，故C錯誤；相等向量其方向必相同，故D正確；故選：D.【變式12】（2022秋·廣東陽江·高二校聯(lián)考期中）（多選）以下關(guān)于向量的說法正確的有（）A．若＝，則＝B．若將所有空間單位向量的起點放在同一點，則終點圍成一個圓C．若＝－且＝－，則=D．若與共線，與共線，則與共線【答案】AC【解析】若＝，則和的大小相等，方向相同，故A正確；將所有空間單位向量的起點放在同一點，則終點圍成一個球，故B錯誤；若＝－，＝－，則＝－=，故C正確；若與共線，與共線，則當(dāng)時，無法判斷與的關(guān)系，故D錯誤.故選：AC.【變式13】（2022秋·浙江杭州·高二杭州四中?？计谥校ǘ噙x）如圖正四棱柱，則下列向量相等的是（）A．與B．與C．與D．與【答案】CD【解析】由正四棱柱可知，A：，但與方向相反，故A不符題意；B：，但與方向不同，故B不符題意；C：，且與方向相同，故C符題意；D：，且與方向相同，故D符題意.故選：CD.題型二空間向量的線性運算【例2】（2023春·江蘇連云港·高二校聯(lián)考期中）正方體中，化簡（）A． B． C． D．【答案】C【解析】.故選：C.【變式21】（2023秋·河北石家莊·高二石家莊二十三中校考期末）如圖，已知空間四邊形ABCD的對角線為AC，BD，設(shè)G是CD的中點，則等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】G是CD的中點，所以故選：A.【變式22】（2023秋·貴州銅仁·高二統(tǒng)考期末）如圖，在三棱錐中，點，分別是，的中點，是的中點，設(shè)，，，用，，表示，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為是的中點，，分別是，的中點，所以.故選：A【變式23】（2022秋·廣東佛山·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖所示，M是四面體OABC的棱BC的中點，點N在線段OM上，點P在線段AN上，且，，設(shè)，，，則下列等式成立的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因，所以選項錯誤；因.所以選項錯誤；因為，所以選項錯誤.因為，所以選項正確；故選：.題型三向量共線的判定與應(yīng)用【例3】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）若向量與不共線且，，，則（）A．，，共線B．與共線C．與共線D．，，共面【答案】D【解析】因為，即，即，又與不共線，所以共面，故D正確A錯誤；因為，所以與不共線，與不共線，故BC錯誤；故選：D【變式31】（2022·高二課時練習(xí)）已知向量，，不共面，，，．求證：B，C，D三點共線．【答案】證明見解析【解析】，而，所以，故B，C，D三點共線．【變式32】（2023春·福建莆田·高二?？茧A段練習(xí)）已知不共線向量，，，，，，則一定共線的三個點是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】若，則存在唯一實數(shù)使得，即，所以，無解，所以不共線，則三點不共線，若，則存在唯一實數(shù)使得，即，所以，無解，所以不共線，則三點不共線，，若，則存在唯一實數(shù)使得，即，所以，無解，所以不共線，則三點不共線，，所以，又點為兩向量的公共端點，所以三點共線.故選：D.【變式33】（2023春·高二課時練習(xí)）設(shè)是空間兩個不共線的非零向量，已知，，，且A，B，D三點共線，求實數(shù)k的值．【答案】.【解析】因為，，則有，又A，B，D三點共線，于是，即，而不共線，因此，解得，所以實數(shù)k的值是.題型四四點共面的判定與應(yīng)【例4】（2022秋·山東菏澤·高二?？计谀τ诳臻g一點O和不共線三點A，B，C，且有，則（）A．O，A，B，C四點共面 B．P，A，B，C四點共面C．O，P，B，C四點共面 D．O，P，A，B，C五點共面【答案】B【解析】由，得，即，故共面.又因為三個向量有同一公共點，所以共面.故選：B.【變式41】（2023春·上海閔行·高二上海市七寶中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知是空間中不共線的三個點，若點滿足，則下列說法正確的一項是（）A．點是唯一的，且一定與共面B．點不唯一，但一定與共面C．點是唯一的，但不一定與共面D．點不唯一，也不一定與共面【答案】A【解析】由空間向量的知識可知共面的充要條件為存在實數(shù)，使，因為，所以，所以共面，所以四點共面，因為，所以，所以點唯一.故選：A.【變式42】（2023秋·湖北黃岡·高二統(tǒng)考期末）是空間向量的一組基底，，，，已知點在平面內(nèi)，則______.【答案】3【解析】因為點在平面內(nèi)，所以，，共面，所以存在與使得,即，所以，解得.