勾股定理01講核心

勾股定理的簡單應(yīng)用1．勾股定理的適用范圍勾股定理只適用于直角三角形．或一個(gè)三角不是直角三角形，必須添加輔助線構(gòu)造直角三角形才能用勾股定理．2．勾股定理簡單應(yīng)用形式（1）已知直角三角形任意兩邊，求第三邊；（2）已知直角三角形任意一邊，確定另外兩邊的數(shù)量關(guān)系；（3）構(gòu)造方程或方程組計(jì)算與直角三角形有關(guān)的長度、高度、距離、面積等問題；（4）證明含有平方關(guān)系的幾何問題；1.已知中，，若，，則的面積為（）A.9 B.18 C.24 D.36【答案】A【解析】【分析】根據(jù)勾股定理求得，根據(jù)題意可知，進(jìn)而根據(jù)完全平方公式變形求得的值，即可求解．【詳解】∵，∴，又，∴，解得，∴，∴的面積為，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，完全平方公式變形求值，求得的值是解題的關(guān)鍵．2.如圖是一張直角三角形的紙片，兩直角邊cm，cm，將折疊使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，折痕為，則的長為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用勾股定理求出，利用折疊的性質(zhì)和勾股定理求解即可．【詳解】解：∵cm，cm，∴，∵折疊，∴，設(shè)，則：由勾股定理得：，解得：；∴；故選B．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理和折疊的性質(zhì)．熟練掌握折疊的性質(zhì)和勾股定理是解題的關(guān)鍵．3.如圖直線上有三個(gè)正方形，若的面積分別為5和11，則的面積為（）A.16 B.6 C.4 D.5【答案】A【解析】【分析】運(yùn)用正方形邊長相等，再根據(jù)同角的余角相等可得，然后證明，再結(jié)合全等三角形的性質(zhì)和勾股定理來求解即可．【詳解】解：標(biāo)記字母如圖，由于都是正方形，所以；∵，即，在和中，，∴，∴；在中，由勾股定理得：，即故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理，解題的關(guān)鍵是證明．4.如圖，已知中，，，，P、Q是邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其中點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿方向運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿方向運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒，它們同時(shí)出發(fā)，設(shè)出發(fā)的時(shí)間為t秒．（1）出發(fā)2秒后，求的長；（2）當(dāng)點(diǎn)Q在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，出發(fā)幾秒鐘后，能形成等腰三角形？（3）當(dāng)點(diǎn)Q在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求能使成為等腰三角形的運(yùn)動(dòng)時(shí)間．【答案】（1）（2）出發(fā)秒后，能形成等腰三角形；（3）當(dāng)t為11秒或12秒或13.2秒時(shí)，為等腰三角形．【解析】【分析】（1）先求出和的長，則可求得的長，然后利用勾股定理計(jì)算即可；（2）用t分別表示出和，根據(jù)為等腰三角形可得到，則可得關(guān)于t的方程，解方程即可；（3）用t分別表示出和，利用等腰三角形性質(zhì)可分、和三種情況，分別得到關(guān)于t的方程，可求得t的值．【小問1詳解】解：當(dāng)時(shí)，則，，∵，∴，∴；【小問2詳解】解：由題意可知，，∵，∴，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，則有，即，解得，即出發(fā)秒后，能形成等腰三角形；【小問3詳解】解：①當(dāng)時(shí)，如圖1所示，則，∵，∴，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴秒；②當(dāng)時(shí)，如圖2所示，則，∴秒；③當(dāng)時(shí)，如圖3所示，過B點(diǎn)作于點(diǎn)E，則，∴，∴，∴，∴秒，綜上所述：當(dāng)t為11秒或12秒或13.2秒時(shí)，為等腰三角形．【點(diǎn)睛】本題為三角形的綜合應(yīng)用，涉及勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)、等積法、方程思想及分類討論思想等知識(shí)．用時(shí)間t表示出相應(yīng)線段的長，化“動(dòng)”為“靜”是解決這類問題的一般思路，注意方程思想的應(yīng)用．【練經(jīng)典】5.如圖，中，，，則的長為（）A.2 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)勾股定理求出即可．【詳解】解：在中，，，所以．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，掌握定理是解題的關(guān)鍵.即直角三角形的兩直角邊為a，b，斜邊為c，則．6.如圖，在中，，，的面積為90，則AC的長是（）A.9 B.12 C. D.24【答案】D【解析】【分析】先利用三角形面積公式求出，再利用勾股定理解求出，即可求解．【詳解】解：的面積為90，，，解得，在中，，，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查三角形面積公式、勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握勾股定理，即直角三角形兩條直角邊的平方的和等于斜邊的平方．7.如圖，在中，，，，平分，則的長度是______．【答案】【解析】【分析】過點(diǎn)作交于點(diǎn)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，得出，再根據(jù)勾股定理，得出的長，然后設(shè)，則，再根據(jù)等面積法，列出方程并解出，即可得出的長度．【詳解】解：過點(diǎn)作交于點(diǎn)，∵平分，∴，又∵，，，∴，設(shè)，則，∵，∴，解得：，∴．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)、勾股定理、等面積法，解本題的關(guān)鍵是根據(jù)等面積法，列出方程并求解．8.如圖，中，，，若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C開始，按C→A→B→C的路徑運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒1cm，設(shè)出發(fā)的時(shí)間為t秒．（1）出發(fā)2s后，求的周長；（2）求出t為何值時(shí)，為等腰三角形；（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到任意一條角平分線上時(shí)（不與頂點(diǎn)A，B，C重合），直接寫出t的值．【答案】（1）的周長為：；（2）t為或或或時(shí)為等腰三角形；（3）滿足條件的t的值為或或．【解析】【分析】（1）利用勾股定理得出cm，進(jìn)而表示出的長，由勾股定理求出，進(jìn)而得出答案；（2）利用分類討論的思想和等腰三角形的特點(diǎn)及三角形的面積求出答案；（3）分三種情況討論，當(dāng)點(diǎn)P恰好在的角平分線上時(shí)，利用角平分線的性質(zhì)以及勾股定理得出方程，解方程即可；當(dāng)點(diǎn)P恰好在的角平分線上時(shí)，利用面積法求得，據(jù)此可求解；當(dāng)點(diǎn)P恰好在的角平分線上，同理利用角平分線的性質(zhì)以及勾股定理得出方程，解方程即可．【小問1詳解】解：∵，，∴由勾股定理得，由題意得，出發(fā)2秒后，則，那么．

∵，∴由勾股定理得．∴的周長為：；【小問2詳解】解：若P在邊上時(shí)，，此時(shí)用的時(shí)間為，故時(shí)為等腰三角形；若P在AB邊上時(shí)，有三種情況：①，此時(shí)，P運(yùn)動(dòng)的路程為，所以用的時(shí)間為，故時(shí)為等腰三角形；②若，過C作斜邊AB的高，根據(jù)面積法，，∴，

根據(jù)勾股定理求得，

所以P運(yùn)動(dòng)的路程為，∴所以用的時(shí)間為，故時(shí)為等腰三角形；③若時(shí)，則，∵，∴，∴，∴，∴P的路程為，所以時(shí)間為，故時(shí)為等腰三角形．∴t為或或或時(shí)為等腰三角形；【小問3詳解】解：點(diǎn)P恰好在的角平分線上時(shí)，如圖所示，過點(diǎn)P作于點(diǎn)G，∴．在與中，，∴，∴，∴．設(shè)，則，在中，，即，解得：，∴當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P恰好在的角平分線上；當(dāng)點(diǎn)P恰好在的角平分線上時(shí)，作于E，于F．∵平分，∴，∴，∴，∴P的路程為，∴當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P恰好在的角平分線上；當(dāng)點(diǎn)P恰好在的角平分線上，過P作，∵點(diǎn)P恰好在的角平分線上，且，∴，∴，∴．設(shè)，則，∴中，，即，解得，∴P的路程為，∴當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P恰好在的角平分線上；綜上所述，滿足條件的t的值為或或．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、三角形面積的計(jì)算；本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握等腰三角形的判定與性質(zhì)，進(jìn)行分類討論是解決問題的關(guān)鍵．【練易錯(cuò)】易錯(cuò)點(diǎn)：沒有明確斜邊與直角邊導(dǎo)致錯(cuò)誤9.在中，已知兩邊長為3、4，則斜邊的長為______【答案】5或##或5【解析】【分析】分兩種情況考慮：若4為直角邊，可得出3也為直角邊，第三邊為斜邊，利用勾股定理求出斜邊，即為第三邊；若4為斜邊，可得3和第三邊都為直角邊，利用勾股定理即可求出第三邊．【詳解】解：若4為直角邊，可得3為直角邊，第三邊為斜邊，根據(jù)勾股定理得第三邊為；若4為斜邊，3和第三邊都為直角邊，根據(jù)勾股定理得第三邊為，則第三邊長為5或．故答案為：5或．【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理，熟知在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方是解答此題的關(guān)鍵．勾股定理逆定理的簡單應(yīng)用1．勾股定理逆定理適用范圍以數(shù)判形，由三角形三邊的長度來判斷三角形的形狀；2．勾股定理逆定理應(yīng)用步驟（1）首先確定最大邊（如）．（2）驗(yàn)證與是否具有相等關(guān)系．若，則△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，則△ABC不是直角三角形．備注：當(dāng)時(shí)，此三角形為鈍角三角形；當(dāng)時(shí)，此三角形為銳角三角形，其中為三角形的最大邊．3．勾股定理逆定理應(yīng)用形式（1）已知三角形三邊的長度，判斷三角形的形狀；（2）在圖形中尋找與已知兩點(diǎn)構(gòu)成直角三角形的點(diǎn)；（3）在網(wǎng)格中判斷直角或直角三角形；（4）求某些不規(guī)則圖形的面積；10.已知的三條邊分別為a，b，c，下列條件不能判斷是直角三角形的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)勾股定理逆定理以及三角形內(nèi)角和定理對(duì)各項(xiàng)逐一判斷即可.【詳解】解：A.，此三角形是直角三角形；故A選項(xiàng)不符合題意；B.設(shè)，則：，，，解得：，此三角形不是直角三角形；故B選項(xiàng)符合題意；C.，且，，，此三角形是直角三角形；故C選項(xiàng)不符合題意；D.由得：，此三角形是直角三角形；故D選項(xiàng)不符合題意；故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形的判定，如果有邊長，則可利用勾股定理的逆定理進(jìn)行判定；如果有角度相關(guān)條件，則利用有一個(gè)角是的三角形是直角三角形進(jìn)行判定.11.如圖所示，在的正方形網(wǎng)格中，的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用勾股定理求出三邊長，再依據(jù)勾股定理逆定理判斷出即可得出答案．【詳解】解：由勾股定理可得：，，，∵，，∴，∴，故B、C、D都正確，不符合題意，∵，，∴，∴，∴，故A錯(cuò)誤，符合題意．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理和其逆定理，運(yùn)用勾股定理求出三邊長，是解題的關(guān)鍵．12.如圖是由單位長度均為1的小正方形組成的網(wǎng)格，A，B，C，D都是網(wǎng)格線的交點(diǎn)，由其中任意三個(gè)點(diǎn)連接而成的三角形是直角三角形的個(gè)數(shù)為（）A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【答案】B【解析】【分析】由勾股定理求出線段、、、、、的平方，由勾股定理的逆定理即可得出結(jié)果．【詳解】解：由勾股定理得：，，，，，，，、直角三角形，∴任意三個(gè)點(diǎn)連接而成的三角形是直角三角形的個(gè)數(shù)為2個(gè)，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、勾股定理的逆定理；熟練掌握勾股定理，由勾股定理的逆定理得出直角三角形是解決問題的關(guān)鍵．13.若一個(gè)三角形的三邊之比為5：12：13，且周長為60cm，則它的面積為___________..【答案】120cm【解析】【分析】設(shè)三邊的長是，，，根據(jù)周長即可求得x的值，則三角形的三邊的長即可求得，然后利用勾股定理的逆定理判斷三角形是直角三角形，然后利用面積公式求解．【詳解】設(shè)三邊的長是，，，則，解得：，則三邊長是10cm，24cm，26cm．∵∴三角形是直角三角形，∴三角形的面積是（cm）故答案為：120cm【點(diǎn)睛】考查勾股定理逆定理的理解與運(yùn)用，熟練掌握勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．14.如圖，點(diǎn)D在△ABC中，∠BDC＝90°，AB＝6，AC＝BD＝4，CD＝2，則圖中陰影部分的面積為______．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)勾股定理和，，，可以先求出的長，然后根據(jù)勾股定理的逆定理可以判斷的形狀，從而可以求出陰影部分的面積．【詳解】解：，，，，，，，是直角三角形，，陰影，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的逆定理、勾股定理、三角形的面積，解題的關(guān)鍵是求出的長．15.已知：如圖，四邊形中，，求四邊形的面積．【答案】．【解析】【分析】連接，先根據(jù)勾股定理求出的長度，再根據(jù)勾股定理的逆定理判斷出的形狀，再利用三角形的面積公式求解即可．【詳解】解：如圖所示，連接．∵∴，在中，，∴是直角三角形，∴，，．故四邊形ABCD的面積為．【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理的逆定理及三角形的面積，能根據(jù)勾股定理的逆定理判斷出的形狀是解答此題的關(guān)鍵．【練經(jīng)典】16.下列各組數(shù)中，能作為直角三角形三邊長的是（）A.1，2，3 B.6，8，10 C.，， D.4，5，6【答案】B【解析】【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理，逐項(xiàng)分析即可．【詳解】解：A、∵，∴不能構(gòu)成直角三角形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；B、∵，∴能構(gòu)成直角三角形，故本選項(xiàng)正確，符合題意；C、∵，∴不能構(gòu)成直角三角形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；D、∵，∴不能構(gòu)成直角三角形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意．故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理，掌握運(yùn)用勾股定理逆定理來判定一個(gè)三角形是否為直角三角形是解本題的關(guān)鍵．17.如圖，在以下四個(gè)正方形網(wǎng)格中，各有一個(gè)三角形，不是直角三角形的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷即可．【詳解】解：A、三邊長分別為，∵，∴不是直角三角形，故本選項(xiàng)符合題意；B、三邊長分別為，，∴是直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；C、三邊長分別為，∵，∴是直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；D、三邊長分別為，∵，∴是直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三邊長滿足，那么這個(gè)三角形就是直角三角形是解題關(guān)鍵．18.如圖，在由25個(gè)邊長為1的小正方形拼成的網(wǎng)格中以為邊畫，使點(diǎn)C在格點(diǎn)上，滿足這樣條件的點(diǎn)C共_____個(gè)．【答案】8【解析】【分析】如圖，在5×5的正方形網(wǎng)格中，以為邊畫直角，使點(diǎn)C在格點(diǎn)上，即可解得滿足這樣條件的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)．【詳解】解：根據(jù)題意可得以為邊畫直角，使點(diǎn)C在格點(diǎn)上，滿足這樣條件的點(diǎn)C共8個(gè)．故答案為8【點(diǎn)睛】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，解題時(shí)要注意找出所有符合條件的點(diǎn)．19.在中，，，上的高長為，則的面積為______．【答案】或【解析】【分析】分情況討論，①當(dāng)是銳角三角形時(shí)，在中，根據(jù)勾股定理可得的長，在中，根據(jù)勾股定理可得的長，可求出的長，即可得的面積，②當(dāng)是鈍角三角形時(shí)，在中，根據(jù)勾股定理可得的長，在中，根據(jù)勾股定理可得的長，可得的長，即可得的面積．【詳解】解：①當(dāng)是銳角三角形時(shí)，如圖所示，在中，根據(jù)勾股定理得，，在中，根據(jù)勾股定理得，，∴，∴的面積為：，②當(dāng)是鈍角三角形時(shí)，如圖所示，在中，根據(jù)勾股定理得，，在中，根據(jù)勾股定理得，，∴，∴的面積為：，綜上，的面積為或，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，三角形的面積，解題的關(guān)鍵是掌握勾股定理，分情況討論．20.筆直的河流一側(cè)有一旅游地點(diǎn)，河邊有兩個(gè)漂流點(diǎn)、，且點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到點(diǎn)的距離．近階段由于點(diǎn)到點(diǎn)的路線處于維修中，為方便游客決定在河邊新建一個(gè)漂流點(diǎn)（點(diǎn)在同一條直線上），并新建一條路，測得，，．（1）判斷的形狀，并說明理由；（2）求原路線的長．【答案】（1）是直角三角形，理由見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)勾股定理的逆定理解答即可；（2）根據(jù)題意，得出，再根據(jù)（1）可知是直角三角形，然后設(shè)，則，再根據(jù)勾股定理，列出關(guān)于的方程，解出即可得出的長．【小問1詳解】解：是直角三角形，理由如下：∵，，，∴，∴，∴是直角三角形；【小問2詳解】解：∵點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到點(diǎn)的距離，∴，∵由（1）易知是直角三角形，設(shè)，則，在中，，，，∵，∴，解得：，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理及其逆定理的應(yīng)用，解本題的關(guān)鍵在熟練掌握勾股定理的逆定理．【練易錯(cuò)】易錯(cuò)點(diǎn)：使用勾股定理逆定理時(shí)，沒有考慮最長邊而導(dǎo)致對(duì)直角作出錯(cuò)誤判斷．21.已知中，，，（n為大于2的整數(shù)），則∠_____．【答案】【解析】【分析】先計(jì)算，再計(jì)算，再利用勾股定理的逆定理進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵，，，∴∴．∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理的逆定理的應(yīng)用，整式的乘法運(yùn)算，熟練的利用勾股定理的逆定理判定直角三角形是解本題的關(guān)鍵．勾股定理與折疊問題1．折疊問題的解題思路環(huán)節(jié)2．最短路徑問題的方法①解決立體圖形中最短距離問題的關(guān)鍵是把立體圖形平面化，即把立體圖形沿著某一條線展開，轉(zhuǎn)化為平面問題后，借助“兩點(diǎn)之間，線段最短”或“垂線段最短”，進(jìn)而構(gòu)造直角三角形，借助勾股定理求解．②平面圖形的最短路徑通常是作軸對(duì)稱變換，轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間線段最短”的模型來解決問題．3．最短路徑常見的模型常見的有圓柱體的展開、長方體的展開、樓梯的展開、繞繩的展開和將軍飲馬模型、“造橋選址”模型、費(fèi)馬點(diǎn)等，2．折疊問題中常見的幾何模型22.如圖，在長方形中（），點(diǎn)E在邊上，且，將沿折疊，若點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在矩形的邊上，，則的長度為_____．【答案】2【解析】【分析】設(shè)，由，在中，利用勾股定理列方程可得的長，設(shè)，在中，利用勾股定理列方程可得的長．【詳解】解：如圖：設(shè)，由翻折變換可知，CE＝，DE＝CD－CE＝，在Rt△中，，∴，解得，或（舍去），∴AB＝，設(shè)AD＝BC＝y(tǒng)，則，，在Rt△中，，∴，解得y＝2，∴BC＝2，故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查折疊問題、勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)題意找到目標(biāo)三角形，根據(jù)勾股定理列方程是解題的關(guān)鍵．23.如圖，中，，，，點(diǎn)D在上，將沿折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)處，與相交于點(diǎn)E，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先利用勾股定理求出，然后確定取最大值時(shí)最小，然后利用垂線段最短解決問題．【詳解】∵中，，，，∴，∵，，∴當(dāng)最小時(shí)，最大，當(dāng)時(shí)最小，而，∴的最小值為，∴的最大值為．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換，靈活運(yùn)用勾股定理及翻折不變性是解題關(guān)鍵．24.如圖1，分別以長方形的邊，所在直線為x軸、y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，已知點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1）直接寫出=_________；=____________;（2）如圖2，點(diǎn)E在線段上，以直線為軸，把翻折，點(diǎn)O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D恰好落在線段上．直接寫出的長，并求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）P是x軸上的一動(dòng)點(diǎn)，是否存在以A，P，E為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）10，8（2），（3）存在，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或或或【解析】【分析】（1）由點(diǎn)B的坐標(biāo)為結(jié)合矩形的性質(zhì)即可求解；（2）設(shè),在中，根據(jù)勾股定理列方程可得x的長，得點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（3）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)分類討論可得點(diǎn)P的坐標(biāo)．【小問1詳解】解：如圖1，由，，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，∴=10，=8，故答案為：10；8【小問2詳解】解：如圖2，由折疊得：，中，，∴，∵，∴，設(shè)，則，由勾股定理得：，∴，解得：，∴；【小問3詳解】解：①當(dāng)時(shí)，∵軸，，∴，∴；②當(dāng)時(shí)，由勾股定理得：＝，∴或，∴或；③當(dāng)時(shí)，設(shè)：則，由勾股定理得：，∴，解得∴，綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或或或．【點(diǎn)睛】本題是矩形綜合題，考查翻折的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，學(xué)會(huì)用方程的思想思考問題，屬于中考?jí)狠S題．【練經(jīng)典】25.如圖，在矩形中，，，將矩形沿折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)處，則重疊部分的面積為（）

A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，由折疊的性質(zhì)得到，得到，根據(jù)等腰三角形的判定定理得到，根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可．【詳解】解：四邊形是矩形，，，由折疊的性質(zhì)可知，，，，在中，，即，解得，，則的面積，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查的是矩形的性質(zhì)、翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，翻轉(zhuǎn)變換是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等．26.如圖，的紙片中，，點(diǎn)D在邊上，以為折痕將折疊得到，與邊交于點(diǎn)，若為直角三角形，則的長為______________．【答案】7或【解析】【分析】由勾股定理可以求出的長，由折疊可知對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等，當(dāng)為直角三角形時(shí)，可以分為兩種情況進(jìn)行考慮，分別利用勾股定理可求出的長．【詳解】解：在中，，∴，（1）當(dāng)時(shí)，如圖1，過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，則可得四邊形為矩形，所以，，由折疊得：，，設(shè)，則，，中，由勾股定理得：，即：，解得：（舍去），，因此，．（2）當(dāng)時(shí)，如圖2，此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合，由折疊得：，則，設(shè)，則，，在中，由勾股定理得：，解得：，因此．故答案為：7或．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，掌握直角三角形的分類討論，正確作出相應(yīng)圖形是解題的關(guān)鍵．分類討論思想的應(yīng)用注意分類的原則是不遺漏、不重復(fù)．27.如圖，將長方形紙片沿直線折疊，使點(diǎn)C落在邊的中點(diǎn)處，點(diǎn)B落在點(diǎn)處，其中，求的長．【答案】5【解析】【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，再由為邊的中點(diǎn)，可得，設(shè)，則，，在中，由勾股定理，即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得：，，∵為邊的中點(diǎn)，∴，設(shè)，則，，在中，，∴，解得：，即．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，圖形的折疊，熟練掌握勾股定理，圖形的折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．勾股定理與最短路徑問題1．最短路徑問題的解題思路環(huán)節(jié)28.如圖，正方體的棱長為，A是正方體的一個(gè)頂點(diǎn)，B是側(cè)面正方形對(duì)角線的交點(diǎn)，一只螞蟻在正方體的表面上爬行，從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B的最短路徑長是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】將正方體的右側(cè)面與前面展開，構(gòu)成一個(gè)長方形，用勾股定理求出距離即可．【詳解】解：如圖，將正方體的右側(cè)面與前面展開，構(gòu)成一個(gè)長方形，過作于，如圖所示：由題意得：，，．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了最短路徑問題，勾股定理，二次根式的化簡，解題的關(guān)鍵是將平面展開，組成一個(gè)直角三角形．29.圓柱的底面圓的周長是12，高是8，螞蟻從下底面的點(diǎn)A沿側(cè)面爬到點(diǎn)B，最短路徑的長是（）A.6 B.7 C.9 D.10【答案】D【解析】【分析】將圓柱體展開，利用勾股定理進(jìn)行求解即可．【詳解】解：將圓柱體展開，如圖，兩點(diǎn)之間線段最短．∵圓柱體的底面周長為12，則．∵，∴．故螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點(diǎn)C的最短路程是10．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用．正確的將圓柱體展開，利用勾股定理求解是解題的關(guān)鍵．30.如圖，在等腰中，，平分，平分分別為射線上的動(dòng)點(diǎn)，若，則的最小值為（）A.4 B.6 C.8 D.10【答案】A【解析】【分析】如圖，作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，則，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)最短即，當(dāng)時(shí)最短，過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，即與點(diǎn)重合時(shí)最短，過點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)等面積法求得，即可求解．【詳解】解：如圖，作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，∴，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)最小即，當(dāng)時(shí)最短，即為所求，∵，是等腰直角三角形，∴是等腰直角三角形，∴∵平分，∴∵，設(shè)，則在中，∵∴解得∴∵∴故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，軸對(duì)稱的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，勾股定理，作出輔助線是解題的關(guān)鍵．31.如圖，長方形中，，線段在邊上左右滑動(dòng)，若，則的最小值為_______．【答案】【解析】【分析】取，作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，得出四邊形是平行四邊形，繼而可得，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最小，最小值為，勾股定理即可求解．【詳解】解：如圖，取，作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，

∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴，∴當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最小，最小值為，此時(shí)，在中，,即的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，軸對(duì)稱求線段和的最值問題，掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【練經(jīng)典】32.如圖，長方體的底面邊長分別為和，高為．如果用細(xì)線從點(diǎn)A開始經(jīng)過4個(gè)側(cè)面繞一圈到達(dá)B點(diǎn)，那么所有的細(xì)線最短需要（）．A.10 B. C.14 D.15【答案】A【解析】【分析】將長方體的側(cè)面展開，連接，根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，利用勾股定理計(jì)算即可．【詳解】解：如圖，將長方體的側(cè)面展開，連接，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知為所需細(xì)線的最短距離，∵，，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，把長方體的側(cè)面展開“化立體為平面”，用勾股定理解決．33.如圖，一個(gè)圓柱形花瓶上下底面圓上有相對(duì)的A，B兩點(diǎn)，現(xiàn)要用一根金色鐵絲裝飾花瓶，金色鐵絲沿側(cè)面纏繞花瓶一圈，并且經(jīng)過A，B兩點(diǎn)．若花瓶高16cm，底面圓的周長為24cm，則需要金色鐵絲的長度最少為（）A.20cm B. C. D.40cm【答案】D【解析】【分析】將圓柱體展開如圖，點(diǎn)A為展開圖長方形一邊的中點(diǎn)，BC為底面圓周長的一半，再運(yùn)用勾股定理求出AB即可得到解答．【詳解】解：將圓柱體展開如圖，點(diǎn)A為展開圖長方形一邊的中點(diǎn)，BC為底面圓周長的一半，∴，在中，，∴，∴需要金色鐵絲的長度最少為，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了圓柱體的展開圖和勾股定理的應(yīng)用，準(zhǔn)確的計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵．34.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，AB=5，BD平分∠ABC，點(diǎn)M，N分別是BD，BC上的動(dòng)點(diǎn)，連接CM，MN，則CM+MN的最小值是()A.3 B.5C.4 D.2.4【答案】D【解析】【分析】過點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MN⊥BC于N，則CE即為CM+MN的最小值，再根據(jù)三角形的面積公式求出CE的長，即為CM+MN的最小值．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MN⊥BC于N，∵BD平分∠ABC，ME⊥AB于點(diǎn)E，MN⊥BC于N，∴MN=ME，∴CM+MN的最小值=CM+ME=CE，∵AC=3，AB=5，∠ACB=90°，∴，∵，∴解得：CE=2.4．故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱——最短路線問題，關(guān)鍵是畫出符合條件的圖形，題目具有一定的代表性，是一道比較好的題目．（2022·陜西·無八年級(jí)期中）35.如圖，臺(tái)階階梯每一層高，寬，長，一只螞蟻從A點(diǎn)爬到B點(diǎn)，最短路程是______．【答案】【解析】【分析】將階梯的表面展開，形成一個(gè)矩形；根據(jù)勾股定理求解即可；【詳解】解：如圖，階梯的表面展開，形成一個(gè)矩形；∵臺(tái)階階梯每一層高，寬，長∴（）故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的實(shí)際應(yīng)用；將螞蟻行進(jìn)過程中的多個(gè)平面展開形成一個(gè)矩形是解題的關(guān)鍵．勾股定理與方向角問題（1）方向角問題的思路畫圖→標(biāo)出方向角→尋找或構(gòu)造直角三角形→用勾股定理求解．（2）方向角常見的模型36.如圖，在“慶國慶，手拉手”活動(dòng)中，某小組從營地A出發(fā)，沿北偏東方向走了1200m到達(dá)B點(diǎn)，然后再沿北偏西方向走了500m到達(dá)目的地C點(diǎn)，此時(shí)A，C兩點(diǎn)之間的距離為（）A.1000m B.1100m C.1200m D.1300m【答案】D【解析】【分析】先證，再由勾股定理求解即可．【詳解】解：如圖，由題意得：，，，∴，

∴，∴，

即A，C兩點(diǎn)之間的距離為1300m，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用—方向角問題等知識(shí)；證明是解題的關(guān)鍵．【練經(jīng)典】37.海面上有兩個(gè)疑似漂浮目標(biāo)．A艦艇以12海里/時(shí)的速度離開港口O，向北偏西方向航行；同時(shí)，B艦艇在同地以16海里/時(shí)的速度向北偏東一定角度的航向行駛，如圖所示，離開港口5小時(shí)后兩船相距100海里，則B艦艇的航行方向是______．【答案】北偏東【解析】【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理判斷是直角三角形，求出的度數(shù)即可．【詳解】由題意得，（海里），（海里），又∵海里，∵，即∴，∵，∴，則B艦艇的航行方向是北偏東，故答案為：北偏東．【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理的逆定理的應(yīng)用和方位角的知識(shí)，根據(jù)題意判斷出是直角三角形是解決問題的關(guān)鍵．4、勾股定理與梯子移動(dòng)問題（1）梯子移動(dòng)問題的思路抓住梯子移動(dòng)前后的兩個(gè)直角三角形，梯子的長度就是這兩個(gè)直角三角形的斜邊；（2）梯子移動(dòng)常見模型38.如圖，小巷左右兩側(cè)是豎直的墻，一架梯子斜靠在左墻時(shí)，梯子底端到左墻角的距離為，頂端距離地面，如果保持梯子底端位置不動(dòng)，將梯子斜靠在右墻時(shí)，頂端距離地面，那么小巷的寬度為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)勾股定理分別求出梯子的長度和梯子底端到右墻角的距離，進(jìn)而得出結(jié)果；【詳解】解：根據(jù)勾股定理：梯子的長度為：梯子底端到右墻角的距離為：∴小巷的寬度為：故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的運(yùn)用，利用梯子長度不變找到斜邊是解題的關(guān)鍵．【練經(jīng)典】39.如圖，將墻面和地平線的一部分分別標(biāo)記，，且．把長為10m的梯子斜靠在墻上，梯子底端離墻角6m．如果梯子的頂端下滑了2m，求梯子底部在水平方向滑動(dòng)的距離BD．【答案】BD=2m【解析】【分析】首先在Rt中利用勾股定理計(jì)算出的長，再在中計(jì)算出的長，進(jìn)而可得的長．【詳解】由題意得：，，在Rt中，可求得在Rt中，，∴梯子底部滑動(dòng)的距離【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是掌握直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．勾股定理逆定理的其它實(shí)際問題1．勾股定理與斷樹問題2、勾股定理與古代問題40.如圖，有一個(gè)水池，水面是邊長為8尺的正方形，在水池中央有一根蘆葦，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點(diǎn)，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面，這根蘆葦?shù)拈L度是（）A.7.5尺 B.8尺 C.8.5尺 D.9尺【答案】C【解析】【分析】找到題中的直角三角形，設(shè)蘆葦?shù)拈L度為x尺，根據(jù)勾股定理解答．【詳解】解：設(shè)蘆葦?shù)拈L度為x尺，則為尺，根據(jù)勾股定理得：，解得：，∴蘆葦?shù)拈L度為8.5尺．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，善于觀察題目的信息是解題以及學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵．41.如圖，一架云梯長25米，斜靠在一面墻上，梯子底端離墻7米，如果梯子的頂端下滑4米，那么梯子的底部在水平方向滑動(dòng)了（）A.4米 B.6米 C.7米 D.8米【答案】D【解析】【分析】根據(jù)梯子本身的長度不變，利用勾股定理解題即可．【詳解】解：如圖，由題意知：，，，，則：，∴，∴，∴，∴梯子的底部在水平方向滑動(dòng)了：8米；故選D．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握梯子在下滑的過程中，梯子的長不變是解題的關(guān)鍵．42.如圖所示，一棵高的樹被風(fēng)刮斷了，樹頂落在離樹根處，則折斷處的高度為__．【答案】5【解析】【分析】設(shè)，則，由勾股定理得出方程，解方程即可．【詳解】解：由題意得：，，，，設(shè)，則，∴，解得：，米，折斷處的高度為．故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．43.《九章算術(shù)》是古代東方數(shù)學(xué)代表作，匯集了我國歷代學(xué)者的勞動(dòng)和智慧，被譽(yù)為人類科學(xué)史上應(yīng)用數(shù)學(xué)的“算經(jīng)之首”．其中記錄了這樣一個(gè)問題，原文：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．問折者高幾何？意思是：今有竹高10尺，末端被折斷而抵達(dá)地面，離竹根部有3尺，則竹的余高為_______尺．【答案】4.55【解析】【分析】根據(jù)題意畫出圖形，利用勾股定理求解即可．【詳解】解：由題意得，如圖所示，，設(shè)，則，在中，由勾股定理得，∴，解得，∴竹的余高為4.55尺，故答案為；4.55．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，正確畫圖圖形利用勾股定理求解是解題的關(guān)鍵．【練經(jīng)典】44.如圖，一根木桿在離地面處折斷，木桿頂端落在離木桿底端處，木桿折斷之前的高度是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意得，在直角三角形中，知道了兩直角邊，運(yùn)用勾股定理即可求出斜邊，從而得出這棵樹折斷之前的高度．【詳解】解：∵一棵垂直于地面的大樹在離地面處折斷，樹的頂端落在離樹桿底部處，∴折斷的部分長為，∴折斷前高度為．故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理應(yīng)用，主要考查學(xué)生對(duì)勾股定理在實(shí)際生活中的運(yùn)用能力．45.《九章算術(shù)》中有一道“折竹”問題：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，問折者高幾何？”題意是：有一根竹子原高1丈（1丈=10尺），中部有一處折斷，竹梢觸地面處離竹根3尺，試問折斷處離地面多高？【答案】4.55尺【解析】【分析】設(shè)尺，則尺，由勾股定理可列式，求解即可．【詳解】解：設(shè)尺，則尺，由勾股定理，得，解得，∴折斷處離地面4.55尺．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，理解題意，構(gòu)建直角三角形是解題關(guān)鍵．【練易錯(cuò)】易錯(cuò)點(diǎn)：不構(gòu)造直角三角形直接用勾股定理導(dǎo)致錯(cuò)誤．46.如圖，某小區(qū)有一塊四邊形的空地，物業(yè)計(jì)劃沿AC修一條筆直的小路(小路寬度不計(jì))，并在三角形ABC和三角形ACD兩個(gè)區(qū)域內(nèi)分別種植牡丹花和杜鵑花以供觀賞．經(jīng)測量，米，米，米，求四邊形ABCD的面積．【答案】四邊形ABCD的面積為【解析】【分析】先根據(jù)已知條件求出（米），再根據(jù)勾股定理的逆定理求出是直角三角形，進(jìn)而即可求得四邊形ABCD的面積．【詳解】解：∵，∴（米），又∵，∴是直角三角形，∴，∴四邊形ABCD的面積為．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理和勾股定理的逆定理的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是掌握三角形的面積公式．【新定義小練】47.我們規(guī)定：經(jīng)過三角形的一個(gè)頂點(diǎn)且將三角形的周長分成相等的兩部分的直線叫做該三角形的“等周線”，“等周線”被這個(gè)三角形截得的線段叫做該三角形的“等周徑”．例如等邊三角形的邊長為，則它的“等周徑”長為．在中中，，，，若直線l為的“等周線”，請(qǐng)直接寫出的所有“等周徑”長為______．【答案】或或【解析】【分析】根據(jù)勾股定理先求出，分直線l過頂點(diǎn)A、B、C三種情況，分別畫出圖形，結(jié)合勾股定理求解即可．【詳解】解：∵，，，∴，分三種情況討論：①當(dāng)“等周線”經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，直線l交于點(diǎn)E，則，設(shè)，則，作于H，由題意：，解得：，即，∵，∴，∴，∴，在中，，∴“等周徑”長為；②當(dāng)“等周徑”經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，直線l交于點(diǎn)E，則，設(shè)，則，由題意得：，解得：，∴，在中，，∴“等周徑”長為；③當(dāng)“等周徑”經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，直線l交于點(diǎn)E，則，設(shè)，則，由題意：，解得：，∴，在中，，∴“等周徑”長為；綜上所述，所有“等周徑”長為或或．故答案為：或或．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用和分類討論思想，關(guān)鍵是分三種情況進(jìn)行討論．48.對(duì)于平面直角坐標(biāo)系中的線段及點(diǎn)Q，給出如下定義：若點(diǎn)Q滿足，則稱點(diǎn)Q為線段的“中垂點(diǎn)”；當(dāng)時(shí)，則稱點(diǎn)Q為線段的“完美中垂點(diǎn)”（1）如圖1，，下列各點(diǎn)中，線段的中垂點(diǎn)是．，，（2）如圖2，點(diǎn)A為x軸上一點(diǎn)，若為線段的“完美中垂點(diǎn)”，寫出線段的兩個(gè)“完美中垂點(diǎn)”是和，兩者的距離是．（3）如圖3，若點(diǎn)A為x軸正半軸上一點(diǎn)，點(diǎn)Q為線段的“完美中垂點(diǎn)”在y軸上，在線段上方畫出線段的“完美中垂點(diǎn)”M，求（用含m的式子表示）．并求出（寫出簡單思路即可）．【答案】（1）（2），，（3），【解析】【分析】（1）根據(jù)“中垂點(diǎn)”的定義得出線段的“中垂點(diǎn)”在的垂直平分線上，則線段的中垂點(diǎn)橫坐標(biāo)為2，即可解答；（2）求出，則，得出，以為邊作等邊三角形，則，推出根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式即可求解；（3）如圖3中，以為邊構(gòu)造等邊三角形，連接．通過證明，得出，．【小問1詳解】解：∵若點(diǎn)Q滿足，則稱點(diǎn)Q為線段的“中垂點(diǎn)”；∴Q在的垂直平分線上，∵線段的“中垂點(diǎn)”在的垂直平分線上，且，∴線段的中垂點(diǎn)橫坐標(biāo)為，∴符合題意，故答案為：．【小問2詳解】解：∵，∴，∵Q為線段的“完美中垂點(diǎn)”，∴，∴點(diǎn)A為線段的“完美中垂點(diǎn)”，∵點(diǎn)在x軸上，∴，以為邊作等邊三角形，則，∴點(diǎn)是線段的“完美中垂點(diǎn)”，∵，∴軸，∵，，∴．∴，故答案為：，，；【小問3詳解】解：如圖3中，以為邊構(gòu)造等邊三角形，連接．∵點(diǎn)Q為線段的“完美中垂點(diǎn)”，∴是等邊三角形，∴，∴，即，在和中，∴，∴，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，全等三角形的性質(zhì)和判定．本題屬于新定義的類型題，能結(jié)合定義畫出對(duì)應(yīng)圖形是解題關(guān)鍵．【閱讀類小練】49.直角三角形三邊滿足兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，那么銳角三角形或鈍角三角形的三邊是否也滿足這一關(guān)系呢？情