五年級奧數(shù)完全平方數(shù)及應(yīng)用(二)學(xué)生版

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L五年級奧數(shù)完全平方數(shù)及應(yīng)用（二）學(xué)生版

2.整理完全平方數(shù)的一些推論及推論過程

3.掌握完全平方數(shù)的綜合運用。

一、完全平方數(shù)常用性質(zhì)

1.主要性質(zhì)

1.完全平方數(shù)的尾數(shù)只能是0,1,4,5,6,9。不可能是2,3,7,8。

2.在兩個連續(xù)正整數(shù)的平方數(shù)之間不存在完全平方數(shù)。

3.完全平方數(shù)的約數(shù)個數(shù)是奇數(shù)，約數(shù)的個數(shù)為奇數(shù)的自然數(shù)是完全平方數(shù)。

4.若質(zhì)數(shù)〃整除完全平方數(shù)。2,則〃能被。整除。

2.性質(zhì)

性質(zhì)1:完全平方數(shù)的末位數(shù)字只可能是0,1,4,5,69

性質(zhì)2:完全平方數(shù)被345,8,16除的余數(shù)一定是完全平方數(shù).

性質(zhì)3:自然數(shù)N為完全平方數(shù)o自然數(shù)N約數(shù)的個數(shù)為奇數(shù).因為完全平方數(shù)的質(zhì)因

數(shù)分解中每個質(zhì)因數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)都是偶數(shù)次，所以，如果〃是質(zhì)數(shù),〃是自然數(shù),N是

完全平方數(shù)，且p2Z|N,則p2”|N.

性質(zhì)4:完全平方數(shù)的個位是6。它的十位是奇數(shù).

性質(zhì)5:如果一個完全平方數(shù)的個位是0.則它后面連續(xù)的0的個數(shù)一定是偶數(shù).如果一個

完全平方數(shù)的個位是5,則其十位一定是2,且其百位一定是0,2,6中的一個.

性質(zhì)6：如果一個自然數(shù)介于兩個連續(xù)的完全平方數(shù)之間，則它不是完全平方數(shù).

3.一些重要的推論

I.任何偶數(shù)的平方一定能被4整除；任何奇數(shù)的平方被4（或8）除余1.即被4除余

2或3的數(shù)一定不是完全平方數(shù)。

2.一個完全平方數(shù)被3除的余數(shù)是0或1.即被3除余2的數(shù)一定不是完全平方數(shù)。

3.自然數(shù)的平方末兩位只有：

00,01,21,41,61,81,04,24,44,64,84,25,09,29,49,69,89,1636,56,76,96。

4.完全平方數(shù)個位數(shù)字是奇數(shù)（1,5,9）時,其十位上的數(shù)字必為偶數(shù)。

5.完全平方數(shù)個位數(shù)字是偶數(shù)（0,4）時,其十位上的數(shù)字必為偶數(shù)。

6.完全平方數(shù)的個位數(shù)字為6時，其卜位數(shù)字必為S數(shù)。

7.凡個位數(shù)字是5但末兩位數(shù)字不是25的自然數(shù)不是完全平方數(shù)；末尾只有奇數(shù)個

“0”的自然數(shù)不是完全平方數(shù)：個位數(shù)字為1,4,9而十位數(shù)字為奇數(shù)的自然數(shù)不是完

全平方數(shù)。

3.重點公式回顧：平方差公式：a2-b'={a+b)(a-b)

模塊一、平方差公式運用

［例1］將兩個自然數(shù)的差乘上它們的積，能否得到數(shù)45045?

【例2］一個數(shù)減去100是一個平方數(shù),減去63也是一個平方數(shù)，問這個數(shù)是多少？

【鞏固】能否找到這么一個數(shù)，它加上24卻減去30所得的兩個數(shù)都是完全平方數(shù)?

【鞏固】能否找到這么一個數(shù)，它加上24加減去30所得的兩個數(shù)都是完全平方數(shù)?

【鞏固】一個正整數(shù)加上132和231后都等于完全平方數(shù)，求這個正整數(shù)是多少？

【例3］兩個完全平方數(shù)的差為77,則這兩個完全平方數(shù)的和最大是多少？最小是多少?

【例4】三個自然數(shù),它們都是完全平方數(shù)，最大的數(shù)減去第二大的數(shù)的差為80,第二大的

數(shù)減去最小的數(shù)的差為60,求這三個數(shù).

【例5】有兩個兩位數(shù)，它們的差是14,將它們分別平方，得到的兩個平方數(shù)的末兩位數(shù)（個

位數(shù)和十位數(shù)）相同,那么這兩個兩位數(shù)是.（請寫出所有可能的答案）

［例6］A是一個兩位數(shù)，它的6倍是一個三位數(shù)從如果把5放在A的左邊或者右邊得到

兩個不同的五位數(shù),并且這兩個五位數(shù)的差是一個完全平方數(shù)（整數(shù)的平方），那么

A的所有可能取值之和為.

【例7】一個自然數(shù)與自身相乘的結(jié)果稱為完全平方數(shù).已知一個完全平方數(shù)是四位數(shù),

且各位數(shù)字均小于7.如果把組成它的數(shù)字都加上3,便得到另外一個完全平方數(shù).

求原來的四位數(shù).

模塊二、完全平方數(shù)與其他知識點的綜合運用

【例8]如果△+△=",A-△=》,△XA=c,A-i-A=d,a+)+c+d=100.那么,△=.

［例9］已知麗瓦是一個四位數(shù)，若兩位數(shù)M是一個質(zhì)數(shù),就是一個完全平方數(shù)，萬是

一個質(zhì)數(shù)與一個不為1的完全平方數(shù)之積,則滿足條件的所有四位數(shù)是________-

【例10】稱能表示成1+2+3+…+〃的形式的自然數(shù)為三角數(shù).有一個四位數(shù)N,它既是三

角數(shù)，又是完全平方數(shù).則％=.

【例11】自然數(shù)的平方按大小排成1,4,9,162,36,49,…，問：第612個位置的數(shù)字是幾?

【鞏固】不是零的自然數(shù)的平方按照從小到大的順序接連排列，是：149162536……,則從左

向右的第16個數(shù)字是

【例12］由26Y+5W+32+42,可以斷定26最多能表示為3個互不相等的非零自然數(shù)

的平方和，請你判定200最多能表示為