高考數(shù)學分類討論與試題及答案

高考數(shù)學分類討論與試題及答案姓名：____________________

一、多項選擇題（每題2分，共10題）

1.已知函數(shù)\(f(x)=x^3-3x\)，下列選項中正確的是：

A.\(f(x)\)在\(x=0\)處取得極大值

B.\(f(x)\)在\(x=0\)處取得極小值

C.\(f(x)\)在\(x=0\)處的導數(shù)為0

D.\(f(x)\)在\(x=0\)處的二階導數(shù)為0

2.下列關于復數(shù)\(z=1+i\)的說法正確的是：

A.\(z\)的模為1

B.\(z\)的輻角為\(\frac{\pi}{4}\)

C.\(z\)的共軛復數(shù)為\(1-i\)

D.\(z\)的平方為\(2i\)

3.在直角坐標系中，若點\(A(1,2)\)，點\(B\)在直線\(y=x\)上，且\(\triangleAOB\)為等腰直角三角形，則點\(B\)的坐標是：

A.(1,1)

B.(2,2)

C.(1,3)

D.(3,2)

4.已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的通項公式為\(a_n=2n-1\)，則數(shù)列的前\(n\)項和\(S_n\)的表達式為：

A.\(S_n=n^2\)

B.\(S_n=n^2-n\)

C.\(S_n=n^2+n\)

D.\(S_n=n^2+2n\)

5.已知函數(shù)\(f(x)=ax^2+bx+c\)，若\(f(x)\)的圖像開口向上，且\(f(1)=2\)，\(f(2)=4\)，\(f(3)=6\)，則\(a\)、\(b\)、\(c\)的取值分別為：

A.\(a=1\)，\(b=2\)，\(c=1\)

B.\(a=1\)，\(b=0\)，\(c=1\)

C.\(a=2\)，\(b=1\)，\(c=0\)

D.\(a=0\)，\(b=1\)，\(c=1\)

6.在三角形\(ABC\)中，\(AB=AC\)，\(BC=4\)，若\(\angleA=60^\circ\)，則\(BC\)邊上的高\(h\)為：

A.\(2\sqrt{3}\)

B.\(4\sqrt{3}\)

C.\(2\)

D.\(4\)

7.已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項和\(S_n=3n^2-n\)，則該數(shù)列的通項公式為：

A.\(a_n=6n-3\)

B.\(a_n=3n-3\)

C.\(a_n=6n-1\)

D.\(a_n=3n+1\)

8.在直角坐標系中，若點\(A(1,1)\)，點\(B\)在直線\(y=2x\)上，且\(\overrightarrow{OA}\)與\(\overrightarrow{AB}\)的夾角為\(90^\circ\)，則點\(B\)的坐標是：

A.(1,2)

B.(2,1)

C.(2,2)

D.(1,3)

9.已知函數(shù)\(f(x)=\sqrt{x}\)，則\(f(2)\)的值是：

A.\(2\)

B.\(\sqrt{2}\)

C.\(4\)

D.\(\frac{1}{2}\)

10.在平面直角坐標系中，若點\(A(1,2)\)，點\(B\)在直線\(x=2\)上，且\(\overrightarrow{OA}\)與\(\overrightarrow{AB}\)的夾角為\(45^\circ\)，則點\(B\)的坐標是：

A.(1,4)

B.(2,4)

C.(2,2)

D.(1,1)

二、判斷題（每題2分，共10題）

1.若\(a>b>0\)，則\(\frac{1}{a}<\frac{1}\)。（）

2.任意實數(shù)\(x\)都滿足\(x^2\geq0\)。（）

3.對于任意實數(shù)\(x\)，都有\(zhòng)(\sinx=\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\)。（）

4.函數(shù)\(f(x)=x^3\)在\(R\)上是增函數(shù)。（）

5.若\(a\)和\(b\)是實數(shù)，且\(a^2+b^2=0\)，則\(a=0\)且\(b=0\)。（）

6.在等差數(shù)列中，若\(a_1\)和\(a_3\)是方程\(x^2-4x+3=0\)的兩個根，則該數(shù)列的公差為2。（）

7.在平面直角坐標系中，若點\(A(1,1)\)，點\(B\)在直線\(y=x\)上，且\(\overrightarrow{OA}\)與\(\overrightarrow{AB}\)的夾角為\(90^\circ\)，則\(B\)的坐標為\((2,2)\)。（）

8.若\(\sin\alpha=\frac{1}{2}\)，則\(\alpha\)的取值范圍為\(\left[0,\frac{\pi}{6}\right]\)。（）

9.在直角坐標系中，若點\(A(1,2)\)，點\(B\)在直線\(x=3\)上，且\(\overrightarrow{OA}\)與\(\overrightarrow{AB}\)的夾角為\(30^\circ\)，則\(B\)的坐標為\((3,1)\)。（）

10.函數(shù)\(f(x)=\frac{1}{x}\)在\((0,+\infty)\)上是單調遞減的。（）

三、簡答題（每題5分，共4題）

1.已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的通項公式為\(a_n=3n-2\)，求該數(shù)列的前5項。

2.已知函數(shù)\(f(x)=2x^3-6x^2+9x\)，求\(f(x)\)的導數(shù)\(f'(x)\)。

3.在直角坐標系中，點\(A(1,3)\)，點\(B\)在直線\(y=-x+4\)上，求\(\overrightarrow{OA}\)與\(\overrightarrow{AB}\)的夾角\(\theta\)（用弧度表示）。

4.解下列不等式組：

\[

\begin{cases}

2x-3y>6\\

x+4y\leq8

\end{cases}

\]

四、論述題（每題10分，共2題）

1.論述函數(shù)\(f(x)=ax^2+bx+c\)在\(a\neq0\)時的性質，包括其圖像特征、對稱軸、頂點坐標以及函數(shù)的單調性等。

2.論述數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的通項公式\(a_n=a_1+(n-1)d\)的推導過程，并說明等差數(shù)列的前\(n\)項和公式\(S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}\)的來源。

五、單項選擇題（每題2分，共10題）

1.若\(\sin\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，則\(\cos\alpha\)的值為：

A.\(\frac{1}{2}\)

B.\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)

C.\(-\frac{1}{2}\)

D.\(-\frac{\sqrt{3}}{2}\)

2.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)的是：

A.\(f(x)=x^2+1\)

B.\(f(x)=|x|\)

C.\(f(x)=\sqrt{x}\)

D.\(f(x)=x^3\)

3.在等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，若\(a_1=2\)，\(a_4=10\)，則該數(shù)列的公差\(d\)為：

A.2

B.4

C.6

D.8

4.若\(\tan\alpha=1\)，則\(\alpha\)的取值范圍是：

A.\(\left(0,\frac{\pi}{4}\right)\)

B.\(\left(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}\right)\)

C.\(\left(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{4}\right)\)

D.\(\left(\frac{3\pi}{4},\pi\right)\)

5.已知函數(shù)\(f(x)=x^3-3x\)，則\(f'(1)\)的值為：

A.-2

B.0

C.2

D.3

6.下列不等式中，正確的是：

A.\(\sqrt{4}<\sqrt{9}\)

B.\(2^3<3^2\)

C.\(\frac{1}{2}<\frac{1}{3}\)

D.\(-5<-3\)

7.在直角坐標系中，點\(A(1,2)\)，點\(B\)在直線\(x=3\)上，則\(\overrightarrow{OA}\)與\(\overrightarrow{AB}\)的夾角\(\theta\)的余弦值為：

A.\(\frac{1}{2}\)

B.\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)

C.\(\frac{1}{\sqrt{2}}\)

D.\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)

8.下列關于復數(shù)\(z=1+i\)的說法正確的是：

A.\(z\)的模為1

B.\(z\)的輻角為\(\frac{\pi}{4}\)

C.\(z\)的共軛復數(shù)為\(1-i\)

D.\(z\)的平方為\(2i\)

9.若\(a\)和\(b\)是實數(shù)，且\(a^2+b^2=0\)，則\(a\)和\(b\)的取值分別為：

A.\(a=0\)，\(b=0\)

B.\(a=1\)，\(b=0\)

C.\(a=0\)，\(b=1\)

D.\(a=1\)，\(b=1\)

10.已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項和\(S_n=3n^2-n\)，則該數(shù)列的通項公式為：

A.\(a_n=6n-3\)

B.\(a_n=3n-3\)

C.\(a_n=6n-1\)

D.\(a_n=3n+1\)

試卷答案如下：

一、多項選擇題

1.C

解析思路：求導數(shù)\(f'(x)=3x^2-3\)，令\(f'(x)=0\)得\(x=0\)，代入原函數(shù)得\(f(0)=0\)，故\(x=0\)是極值點，且\(f''(0)=6\neq0\)，故\(x=0\)是極小值點。

2.A,C

解析思路：復數(shù)的模\(|z|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}\)，輻角\(\theta=\arctan\left(\frac{1}{1}\right)=\frac{\pi}{4}\)，共軛復數(shù)\(\overline{z}=1-i\)，平方\(z^2=(1+i)^2=1+2i-1=2i\)。

3.A

解析思路：由于\(\triangleAOB\)為等腰直角三角形，且\(\angleA=90^\circ\)，所以\(\triangleAOB\)的邊長比為\(1:1:\sqrt{2}\)，因此\(B\)的坐標為\((1,1)\)。

4.A

解析思路：數(shù)列的前\(n\)項和\(S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{n(2+(2n-1))}{2}=n^2\)。

5.B

解析思路：由\(f(1)=2\)和\(f(2)=4\)可得\(a+b+c=2\)和\(4a+2b+c=4\)，解得\(a=1\)，\(b=0\)，\(c=1\)。

6.A

解析思路：由\(\angleA=60^\circ\)和\(AB=AC\)可得\(\triangleABC\)為等邊三角形，故\(h=\frac{\sqrt{3}}{2}\timesBC=2\sqrt{3}\)。

7.A

解析思路：由\(S_n=3n^2-n\)可得\(a_1=2\)，\(a_n=6n-3\)，故公差\(d=a_n-a_{n-1}=3\)。

8.B

解析思路：由\(\overrightarrow{OA}\)與\(\overrightarrow{AB}\)的夾角為\(90^\circ\)，得\(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{AB}=0\)，即\(1\times(2-x)+1\times(y-2)=0\)，解得\(B\)的坐標為\((2,2)\)。

9.B

解析思路：由\(f(x)=\sqrt{x}\)可得\(f(2)=\sqrt{2}\)。

10.B

解析思路：由\(\overrightarrow{OA}\)與\(\overrightarrow{AB}\)的夾角為\(45^\circ\)，得\(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{AB}=|\overrightarrow{OA}|\times|\overrightarrow{AB}|\times\cos45^\circ\)，解得\(B\)的坐標為\((3,1)\)。

二、判斷題

1.×

解析思路：若\(a>b>0\)，則\(\frac{1}{a}<\frac{1}\)是正確的，因為分母越大，分數(shù)越小。

2.√

解析思路：任何實數(shù)的平方都是非負的，因此\(x^2\geq0\)對所有實數(shù)\(x\)都成立。

3.√

解析思路：根據三角函數(shù)的誘導公式，\(\sin\alpha=\cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)\)對所有實數(shù)\(\alpha\)都成立。

4.√

解析思路：函數(shù)\(f(x)=x^3\)的導數(shù)\(f'(x)=3x^2\)，對于\(x>0\)，\(f'(x)>0\)，對于\(x<0\)，\(f'(x)<0\)，因此\(f(x)\)在\(R\)上是增函數(shù)。

5.√

解析思路：若\(a^2+b^2=0\)，則\(a\)和\(b\)必須同時為0，因為平方和為0意味著每個平方項都必須為0。

6.√

解析思路：由\(a_1+a_3=4\)可得\(2a_1+2d=4\)，解得\(a_1=1\)，\(d=1\)，因此公差為2。

7.×

解析思路：由\(\overrightarrow{OA}\)與\(\overrightarrow{AB}\)的夾角為\(90^\circ\)，得\(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{AB}=0\)，解得\(B\)的坐標為\((2,2)\)，而不是\((1,1)\)。

8.√

解析思路：由\(\sin\alpha=\frac{1}{2}\)可得\(\alpha=\frac{\pi}{6}\)或\(\alpha=\frac{5\pi}{6}\)，因此\(\alpha\)的取值范圍為\(\left[0,\frac{\pi}{6}\right]\)。

9.√

解析思路：由\(\overrightarrow{OA}\)與\(\overrightarrow{AB}\)的夾角為\(30^\circ\)，得\(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{AB}=|\overrightarrow{OA}|\times|\overrightarrow{AB}|\times\cos30^\circ\)，解得\(B\)的坐標為\((3,1)\)。

10.√

解析思路：函數(shù)\(f(x)=\frac{1}{x}\)的導數(shù)\(f'(x)=-\frac{1}{x^2}