夯基專(zhuān)題12數(shù)列求和（教師版）

夯基專(zhuān)題12數(shù)列求和考向一數(shù)列求和考向一數(shù)列求和數(shù)列求和就是通過(guò)觀察分析數(shù)列的類(lèi)型,變形得出熟悉的等差、等比數(shù)列,或者構(gòu)建出數(shù)列的模型,找到求和的方法.常用的數(shù)列求和方法：直接利用兩個(gè)特殊數(shù)列(等差數(shù)列或等比數(shù)列)的前n項(xiàng)和公式、列舉法、分組轉(zhuǎn)化法、并項(xiàng)求和法、錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)相消法、倒序相加法.

=1\*GB3①列舉法：列舉法主要應(yīng)用于數(shù)列項(xiàng)數(shù)較少的數(shù)列求和問(wèn)題,通過(guò)列舉出數(shù)列中的各項(xiàng)后加以數(shù)列求和.而在實(shí)際解題過(guò)程中,若一直沒(méi)有想到其他思路,也可以借助列舉法來(lái)思考,在列舉法的基礎(chǔ)上進(jìn)行分析與歸納,再采用合適的方法來(lái)處理.=2\*GB3②倒序相加法：若一個(gè)數(shù)列的首項(xiàng)、尾項(xiàng)能構(gòu)建出特殊的關(guān)系,則可以反向構(gòu)建關(guān)系,先把數(shù)列倒著寫(xiě)一遍再和原來(lái)的數(shù)列相加,從而得到題中所證或所求.=3\*GB3③分組求和法：當(dāng)所求解的數(shù)列本身不是特殊數(shù)列,而通過(guò)適當(dāng)拆分并重新組合后,可以分成若干個(gè)特殊數(shù)列，分別求和.

=4\*GB3④錯(cuò)位相減法：對(duì)一個(gè)由等差數(shù)列和等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積組成的數(shù)列的前n項(xiàng)和問(wèn)題,常用錯(cuò)位相減法求和.這種方法主要用于求數(shù)列an?bn的前n項(xiàng)和,其中an、bn分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列,等式兩端同時(shí)乘以公比后進(jìn)行錯(cuò)位相減,再利用等比數(shù)列的求和公式加以轉(zhuǎn)化即可.【典例精講】例1.(2023·湖北省荊門(mén)市·期末考試)已知數(shù)列an滿(mǎn)足a1=?2，且an+1=42?an，Sn為數(shù)列解：由

a1=?2

，且

an+1=42?an故

an

是以周期為3的數(shù)列，且

a1所以

S2023=674故答案為：2020例2.(2023·浙江省衢州市·期末考試)已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足：a1=a2=1，對(duì)任意n≥3且n∈(1)求a(2)設(shè)bn=1a2n+1+a3n，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)Sn．

解：(1)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，an?an?2=n，n?4,且n∈N?

故當(dāng)n?2,且n∈N?時(shí)，a2n=a2+(a4?a2)+(a6?a4【拓展提升】練11(2023·福建省廈門(mén)市·單元測(cè)試題)已知x1=a,x2=b,xn+2=2x解：∵x5=2(b?2a)?(2b?a)=?a

x6=?2練12.(2023·云南省·聯(lián)考題)定義||x||表示與實(shí)數(shù)x的距離最近的整數(shù)(當(dāng)x為兩相鄰整數(shù)的算術(shù)平均值時(shí)，x取較大整數(shù))，如43=1，53=2，2=2，2.5=3，令函數(shù)Kx=x，數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=1K(n)，其前n項(xiàng)和為Sn，則S6=

；S2025=

．

解：因?yàn)?/p>

a1=1K1=1

，

a2=1K2=1

，

a3=1K3=12

，

a4=1K2=12

，

a5=1K5=12

，

a6=1K6=12

，

所以

S6=1+1+12×4=4

；

根據(jù)

Kx=x

，當(dāng)

1≤n≤2

時(shí)，

1≤n<1.5

，

則

Kn=1

，

an=1Kn考向二數(shù)列求和應(yīng)用（1）考向二數(shù)列求和應(yīng)用（1）【核心知識(shí)】將函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、不等式結(jié)合的綜合問(wèn)題是近年來(lái)高考的熱門(mén)題型.常見(jiàn)的綜合類(lèi)型有=1\*GB3①數(shù)列間的綜合；

=2\*GB3②將問(wèn)題化歸為基本數(shù)列的求和問(wèn)題；

=3\*GB3③數(shù)列與其他知識(shí)的綜合（函數(shù)方程、不等式、導(dǎo)數(shù)、解幾、新情景問(wèn)題等）.考查的思路方法：

1.數(shù)列與函數(shù)的綜合問(wèn)題：常以基礎(chǔ)知識(shí)的考查為立足點(diǎn),以函數(shù)關(guān)系引入數(shù)列中的量an,Sn,然后轉(zhuǎn)化為方程,最終歸結(jié)為等差或等比數(shù)列問(wèn)題.

2.數(shù)列是特殊的函數(shù),要多利用函數(shù)思想解決數(shù)列問(wèn)題.數(shù)列的單調(diào)性、最值問(wèn)題都可以利用把a(bǔ)n【典例精講】例3.(2023·江蘇省蘇州市·單元測(cè)試)已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿(mǎn)足，，則下列結(jié)論正確的是()A.， B.，

C.， D.，

解：設(shè)，則，所以為奇函數(shù)，

因?yàn)闀r(shí)，，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，

根據(jù)奇函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性可知，在上單調(diào)遞增，

故時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，

因?yàn)椋?/p>

，，

所以，且，，

即，，，

，ACD錯(cuò)誤，B正確．

故選：．例4.(2023·山東省·月考試卷)已知數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=anan+3(n∈N?).

(1)求a2，a3；

(2)求證：{1an+12}解：(1)a2=11+3=14,a3=1414+3=113；

(2)由題意知，an≠0(n∈N?)，則由an+1=anan+3得1an+1=an+3an=1+3an，

即1an+1+12=3(1【拓展提升】練21.(2023·安徽省合肥市·月考試卷)已知等差數(shù)列an滿(mǎn)足sin?(a3+13)+3a3=?32，A.?53 B.?2 C.?7解：

sina3+13+3sina6+13+3構(gòu)造函數(shù)

f(x)=sinx+3x

，

f'(x)=cosx+3>0

，則

f(x)

在f(?x)=sin(?x)?3x=?sinx?3x=?f(x)

，即而

fa3+13=得

fa3+13=?fa6+1因?yàn)?/p>

an

為等差數(shù)列，所以

S8故選：D．練22.(2023·浙江省·其他類(lèi)型)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a1=1，且nan+1=2Sn，數(shù)列bn滿(mǎn)足(1)求數(shù)列an、b(2)設(shè)Tn=i=1naibi解：(1)因?yàn)閚an+1=2Sn，

所以當(dāng)n≥2，n∈所以nan+1=又因?yàn)閍2=2S1=2所以數(shù)列ann為常數(shù)列，

故an因?yàn)閿?shù)列bn滿(mǎn)足b1=12，b所以數(shù)列bn是首項(xiàng)為12，公比為則bn(2)由(1)得Tn12由①?②得：12所以Tn又Sn=nn+12，

所以不等式λn構(gòu)造函數(shù)fn當(dāng)λ=1時(shí)，fn=?n?6<0恒成立，則當(dāng)λ<1時(shí)，由二次函數(shù)性質(zhì)知fn當(dāng)λ>1時(shí)，由于?1?2λ21?λ<0，則則fn≤f1綜上所述，實(shí)數(shù)λ的取值范圍是1,+∞．考向三數(shù)列求和應(yīng)用（2）【核心知識(shí)】考向三數(shù)列求和應(yīng)用（2）數(shù)列與實(shí)際問(wèn)題:建立有關(guān)等差、等比數(shù)列或遞推數(shù)列的模型,再利用數(shù)列的有關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題.常見(jiàn)的有利息、產(chǎn)量、降升價(jià)、繁殖與增長(zhǎng)率或降低率,分期付款、期貨貿(mào)易等等.【典例精講】例5.(2023·廣東省佛山市·月考試卷)下圖1是一個(gè)水平擺放的小正方體木塊，圖2，圖3是由圖1這樣的小正方體木塊疊放而成的，按照這樣的規(guī)律放下去，第8個(gè)疊放的圖形中小正方體木塊的總數(shù)是(

)A.66 B.91 C.107 D.120解：根據(jù)題意，設(shè)第n個(gè)疊放圖形中正方體木塊的數(shù)目之和為an，

分別觀察得正方體的個(gè)數(shù)依次為：1，1+5，1+5+9，…，

歸納可知，第n個(gè)疊放圖形中共有n層，各層正方體的個(gè)數(shù)構(gòu)成了以1為首項(xiàng)，以4為公差的等差數(shù)列，

所以an=n+n(n?1)×42=2例6.(2023·浙江省·課時(shí)練習(xí))如圖，某報(bào)告廳的座位是這樣排列的：第一排有9個(gè)座位，從第二排起每一排都比前一排多2個(gè)座位，共有10排座位．(1)求第六排的座位數(shù)；(2)某會(huì)議根據(jù)疫情防控的需要，要求：同排的兩個(gè)人至少要間隔一個(gè)座位就坐，且前后排要錯(cuò)位就坐．那么該報(bào)告廳里最多可安排多少人同時(shí)參加會(huì)議？(提示：每一排從左到右都按第一、三、五、……的座位就坐，其余的座位不能就坐，就可保證安排的參會(huì)人數(shù)最多)解：依題意，得每排的座位數(shù)會(huì)構(gòu)成等差數(shù)列，其中首項(xiàng)，公差，所以第六排的座位數(shù)．因?yàn)槊颗诺淖粩?shù)是奇數(shù)，為保證同時(shí)參會(huì)的人數(shù)最多，第一排應(yīng)坐人，第二排應(yīng)坐人，第三排應(yīng)坐人，，這樣，每排就坐的人數(shù)就構(gòu)成等差數(shù)列，首項(xiàng)，公差，所以數(shù)列前項(xiàng)和．故該報(bào)告廳里最多可安排人同時(shí)參加會(huì)議．【拓展提升】練31.(2023·江蘇省蘇州市·單元測(cè)試)漢諾塔(又稱(chēng)河內(nèi)塔)問(wèn)題是源于印度一個(gè)古老傳說(shuō)的益智玩具.如圖所示目標(biāo)柱、起始柱、輔助柱的漢諾塔模型，有三根高度相同的柱子和一些大小及顏色各不相同的圓盤(pán)，三根柱子分別為起始柱、輔助柱及目標(biāo)柱.已知起始柱上套有n個(gè)圓盤(pán)，較大的圓盤(pán)都在較小的圓盤(pán)下面.現(xiàn)把圓盤(pán)從起始柱全部移到目標(biāo)柱上，規(guī)則如下：每次只能移動(dòng)一個(gè)圓盤(pán)，且每次移動(dòng)后，每根柱上較大的圓盤(pán)不能放在較小的圓盤(pán)上面.規(guī)定一個(gè)圓盤(pán)從任一根柱上移動(dòng)到另一根柱上為一次移動(dòng).若將n個(gè)圓盤(pán)從起始柱移動(dòng)到目標(biāo)柱上最少需要移動(dòng)的次數(shù)記為p(n)，則p(3)=

．i=1np(i)=

．

解：顯然p(1)=1．

當(dāng)有n(n?2)個(gè)圓盤(pán)時(shí)，求p(n)分三步：第一步，先將上面的n?1個(gè)圓盤(pán)移到輔助柱，至少需要p(n?1)次；第二步，將起始柱上最大的一個(gè)圓盤(pán)移動(dòng)到目標(biāo)柱上，需1次；第三步，將輔助柱上的n?1個(gè)圓盤(pán)移動(dòng)到目標(biāo)柱，至少需要p(n?1)次，因此p(n)=2p(n?1)+1(n?2)，所以p(n)+1=2[p(n?1)+1](n?2)．又因?yàn)閜(1)=1，所以數(shù)列p(n)+1是以2為公比，2為首項(xiàng)的等比數(shù)列，所以p(n)+1=2×所以p(n)=2n?1i=1n故答案為：7；2n+1練32.(2023·北京市市轄區(qū)·期中考試)幾位大學(xué)生響應(yīng)國(guó)家的創(chuàng)業(yè)號(hào)召，開(kāi)發(fā)了一款應(yīng)用軟件.為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動(dòng).這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案：已知數(shù)列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一項(xiàng)是20，接下來(lái)的兩項(xiàng)是20，21，再接下來(lái)的三項(xiàng)是20，21，22，依此類(lèi)推.求滿(mǎn)足如下條件的最小整數(shù)N：N>100且該數(shù)列的前N項(xiàng)和為2A.440 B.330