第15講角與角的運(yùn)算（原卷版）

第十五講角與角的運(yùn)算【課程解讀】————小學(xué)初中課程解讀————小學(xué)課程初中課程小學(xué)數(shù)學(xué)中，要求知道平角與周角，了解周角、平角、鈍角、直角、銳角之間的大小關(guān)系;能用量角器量指定角的度數(shù)，能畫(huà)指定度數(shù)的角，會(huì)用三角尺畫(huà)30°，45°，60°，90°角。初中數(shù)學(xué)中，理解角的概念，能比較角的大小;認(rèn)識(shí)度、分、秒，會(huì)對(duì)度、分、秒進(jìn)行簡(jiǎn)單的換算，并會(huì)計(jì)算角的和、差;理解對(duì)頂角、余角、補(bǔ)角等概念，探索并掌握對(duì)頂角相等、同角（等角）的余角相等，同角（等角）的補(bǔ)角相等的性質(zhì)?！局R(shí)銜接】————小學(xué)知識(shí)回顧————（1）1平角=180°，1周角=360°，1直角=90°，1周角=2平角=4直角.（2）銳角：小于90°的角叫做銳角；鈍角：大于90°小于180°的角叫做鈍角.————初中知識(shí)鏈接————角的概念有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角．這個(gè)公共端點(diǎn)是角的頂點(diǎn)，這兩條射線是角的兩條邊．(2)角也可以看成是由一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的圖形．角的表示1、角通常用三個(gè)大寫(xiě)字母及符號(hào)“∠”表示．三個(gè)大寫(xiě)字母應(yīng)分別寫(xiě)在頂點(diǎn)和兩邊上的任意點(diǎn)，頂點(diǎn)的字母必須寫(xiě)在中間．如∠AOB，“O”表示頂點(diǎn)，"A、B"表示兩邊上的任意點(diǎn)．2、角也可用一個(gè)大寫(xiě)字母表示．這個(gè)字母應(yīng)寫(xiě)在頂點(diǎn)上．但當(dāng)兩個(gè)或兩個(gè)以上的角有同一個(gè)頂點(diǎn)時(shí)，不能用一個(gè)大寫(xiě)字母表示．3、角還可用一個(gè)數(shù)字或一個(gè)希臘字母表示．在角的內(nèi)部靠近角的頂點(diǎn)處畫(huà)一弧線，寫(xiě)上數(shù)字或希臘字母．3.度分秒我們把1度的角60等分，每份就是1分的角，記作；把1分的角60等份，每份就是1秒的角，記作的角60等分，每份就是1秒的角，記作1".即：歸納：以度、分、秒為單位的角的度量制叫做角度制．1平角=180°，1周角=360°.4.角的大小比較(1)度量方法：用量角器量出角的度數(shù)，然后比較它們的大小。(2)疊合方法：把兩個(gè)角疊合在一起比較大小。5.角的平分線從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角的射線叫做這個(gè)角的平分線．6.尺規(guī)作圖熟練掌握用尺規(guī)作一個(gè)角等于已知角．【經(jīng)典題型】小學(xué)經(jīng)典題型1．下圖中一共有（）銳角。A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè)2．一個(gè)鈍角與一個(gè)銳角比，（）。A．鈍角小于銳角 B．鈍角大于銳角 C．無(wú)法比較3．下列說(shuō)法正確的是（）。A．角的兩條邊越長(zhǎng)角就越大。 B．三角形中最多有兩個(gè)銳角。C．0.56和0.560的大小相等，但計(jì)數(shù)單位不同。4．三個(gè)相等的角組成一個(gè)平角，這三個(gè)角一定都是（）。A．銳角B．直角C．鈍角5．有一個(gè)內(nèi)角是91度的三角形是（）A．直角三角形 B．鈍角三角形 C．等腰三角形 D．銳角三角形6．用10倍的放大鏡看一個(gè)30°的角，這個(gè)角是（）A.30°B.300°C.3000°初中經(jīng)典題型1．如圖，，若，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．2．下列各數(shù)中，正確的角度互化是（）A．63.5°=63°50′ B．23°12′36″=23.48°C．18°18′18″=18.33° D．22.25°=22°15′3．如圖，點(diǎn)C，O，B在同一條直線上，∠AOB=90°，∠AOE=∠DOB，則下列結(jié)論：①∠EOD=90°；②∠COE=∠AOD；③∠AOE+∠DOC=180；④互余的角有4對(duì)．其中正確的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)4．借助一副三角尺，你能畫(huà)出下面哪個(gè)度數(shù)的角（）A． B． C． D．5．將一副三角板(含30°、45°的直角三角形)擺放成如圖所示，圖中∠1的度數(shù)是()A．90° B．120° C．135° D．150°6．如圖，∠AOC＝∠BOD＝90°，∠AOD＝140°，則∠BOC的度數(shù)為（）A．30° B．45° C．50° D．40°7．如圖，點(diǎn)O為直線AB上一點(diǎn)，OC⊥OD．如果∠1=35°，那么∠2的度數(shù)是（）A．35° B．45° C．55° D．65°8．在直線AB上任取一點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作射線OC，OD，使OC⊥OD，當(dāng)∠AOC＝30°時(shí)，∠BOD的度數(shù)是()A．60°B．120°C．60°或90°D．60°或120°9．若∠1＝，∠2＝78.6°，∠3＝，則有（）A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠3 C．∠1＝∠3 D．以上都不對(duì)10．把化成度、分、秒的形式為_(kāi)_________．11．比較：31.75°_____31°45′（填“＜”“＞”或“=”）12．計(jì)算：50°﹣15°30′=______．13．鐘表在8：20時(shí)，時(shí)針與分針的夾角是_________度．14．比較：28°15′_____28.15°（填“＞”、“＜”或“＝”）．15．如圖，過(guò)直線AB上一點(diǎn)O作射線OC，∠BOC=29°18′，則∠AOC的度數(shù)為_(kāi)____．16．在同一平面上，若∠BOA＝65°，∠BOC＝15°，則∠AOC=____．17．寫(xiě)出利用一副三角板能夠畫(huà)出的所有小于平角的度數(shù)．18．如圖，直線相交于點(diǎn)平分，若．（1）求的度數(shù)；（2）求的度數(shù)．19．如圖，已知∠AOC=50°，∠BOD=40°，∠AOD=60°，求∠1，∠2，∠3的度數(shù)．20．如圖所示，將兩塊三角板的直角頂點(diǎn)重合．（1）寫(xiě)出以C為頂點(diǎn)的相等的角；（2）若∠ACB=150°，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠DCE的度數(shù)；（3）寫(xiě)出∠ACB與∠DCE之間所具有的數(shù)量關(guān)系；（4）當(dāng)三角板ACD繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)時(shí)，你所寫(xiě)出的（3）中的關(guān)系是否變化？請(qǐng)說(shuō)明理由．【實(shí)戰(zhàn)演練】————先作小學(xué)題——夯實(shí)基礎(chǔ)————1．用一個(gè)放大10倍的放大鏡來(lái)觀察一個(gè)30度的角，則看到的角（

）A．大小不變 B．縮小了100倍 C．放大了100倍2．看圖求出∠1、∠2、∠3的度數(shù)。（1）（2）3．脫口秀180°﹣25°﹣75°＝180°﹣（37°+63°）＝90°﹣37°＝80°+36°+64°＝178°﹣（78°+54°）＝180°﹣85°＝————再戰(zhàn)初中題——能力提升————1．已知，OA⊥OC，且∠AOB：∠AOC＝2：3，則∠BOC的度數(shù)為（）A．30° B．150° C．30°或150° D．90°2．關(guān)于比較38°15'和38.15°，下列說(shuō)法正確的是（）A．38°15'＞38.15° B．38°15'＜38.15° C．38°15'=38.15° D．無(wú)法比較3．將一副三角板如圖擺放，∠OAB=∠OCD=90°，∠AOB=60°，∠COD=45°，OM平分∠AOD，ON平分∠COB，則∠MON的度數(shù)為（）A．60° B．45° C．65.5° D．52.5°4．已知：∠AOC=90°，∠AOB：∠AOC=2：3，則∠BOC的度數(shù)是（）A．30° B．60° C．30°或60° D．30°或150°5．如圖所示，OC、OD分別是∠AOB、∠AOC的平分線，且∠COD＝30°，則∠AOB為（）A．100° B．120° C．135° D．150°7．如圖,∠AOB=∠COD,若∠AOD=110°,∠BOC=70°,則以下結(jié)論正確的有()①∠AOC=∠BOD=90°;②∠AOB=20°;③∠AOB=∠AOD∠AOC;④∠AOB=∠BOD．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)8．如圖所示,OC是∠AOB的平分線,OD是∠BOC的平分線,那么下列各式正確的是()A．∠COD=∠AOB B．∠AOD=∠AOBC．∠BOD=∠AOB D．∠BOC=∠AOD9．如圖，點(diǎn)B，O，D在同一直線上，若∠1＝15°，∠2＝105°，則∠AOC的度數(shù)是()A．75° B．90° C．105° D．125°10．射線OC在內(nèi)部，下列條件不能說(shuō)明OC是的平分線的是（）A． B．C． D．11．如圖所示，是的平分線，是的平分線，若，那么___________.12．若，以為一邊畫(huà)一個(gè)，則的度數(shù)是________．13．，，____________14．已知∠AOB=70°，以O(shè)為端點(diǎn)作射線OC，使∠AOC=42°，則∠BOC的度數(shù)為_(kāi)_____．15．如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，OD平分∠BOE，OF平分∠AOD．（1）若∠AOC＝32°，求∠EOF的度數(shù)；（2）若∠EOF＝60°，求∠AOC的度數(shù).16．如圖所示，已知OB，OC是∠AOD內(nèi)部的兩條射線，OM平分∠AOB，ON平分∠COD．（1）若∠BOC=25°，∠MOB=15°，∠NOD=10°，求∠AOD的大??；（2）若∠AOD=75°，∠MON=55°，求∠BOC的大小；（3）若∠AOD=α，∠MON=β，求∠BOC的大小(用含α，β的式子表示)．17．如圖，∠AOB是直角，∠AOC＝50°，O