10.2 離散型隨機(jī)變量及其分布列 均值 方差 課件-2025屆高三數(shù)學(xué)三輪專項(xiàng)復(fù)習(xí)

10.2離散型隨機(jī)變量及其分布列、均值、方差考點(diǎn)離散型隨機(jī)變量及其分布列、均值與方差1.離散型隨機(jī)變量的分布列(1)一般地,對于隨機(jī)試驗(yàn)樣本空間Ω中的每個樣本點(diǎn)ω,都有唯一的實(shí)數(shù)X(ω)與之對應(yīng),

我們稱X為隨機(jī)變量.可能取值為有限個或可以一一列舉的隨機(jī)變量,我們稱為離散型

隨機(jī)變量.(2)一般地,設(shè)離散型隨機(jī)變量X的可能取值為x1,x2,…,xn,我們稱X取每一個值xi的概率P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n為X的概率分布列,簡稱分布列.用表格表示如表:Xx1x2…xnPp1p2…pn(3)離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)①pi≥0,i=1,2,…,n;②p1+p2+…+pn=1;③P(xi≤X≤xj)=pi+pi+1+…+pj(i<j且i,j∈N*).2.兩點(diǎn)分布若隨機(jī)變量X的分布列為X01P1-pp則稱X服從兩點(diǎn)分布或0—1分布.3.離散型隨機(jī)變量的均值與方差(1)均值定義:一般地,若離散型隨機(jī)變量X的分布列為Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn則E(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn=

xipi為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望,它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平.(2)方差定義:D(X)=(x1-E(X))2p1+(x2-E(X))2p2+…+(xn-

=

(xi-E(X))2pi為隨機(jī)變量X的方差,

為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差,記作σ(X).它們都可以度量隨機(jī)變量X與其均值E(X)的偏離程度.(3)均值與方差的性質(zhì)E(aX+b)=aE(X)+b.(a,b為常數(shù))D(aX+b)=a2D(X).(a,b為常數(shù))(4)均值與方差的關(guān)系:D(X)=E(X2)-E2(X).(5)兩點(diǎn)分布的均值、方差若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布,那么E(X)=p,D(X)=p(1-p).即練即清1.判斷正誤.(對的打“√”,錯的打“?”)(1)隨機(jī)變量的取值可以是有限個,也可以是無限個.

(

)(2)甲進(jìn)行3次射擊,甲擊中目標(biāo)的概率為

,記甲擊中目標(biāo)的次數(shù)為X,則X的可能取值為1,2,3.

(

)(3)離散型隨機(jī)變量X的期望E(X)反映了X取值的概率的平均值.

(

)(4)離散型隨機(jī)變量X的方差D(X)反映了X取值與其均值的偏離程度.

(

)√××√2.隨機(jī)變量X的概率分布列為P(X=n)=

(n=1,2,3,4),其中a為常數(shù),則P

=

.3.已知離散型隨機(jī)變量ξ的分布列為ξ102030P0.6a

-

則D(3ξ-3)=

.405題型一離散型隨機(jī)變量及其分布列、均值與方差典例1為歡度春節(jié),某商場組織了“文明迎新年”知識競賽活動,每名參賽者需要回

答A、B、C三道題目,通過答題獲得積分,進(jìn)而獲得相應(yīng)的禮品.每題答錯得0分,答對A

題目得1分,答對B、C題目分別得2分,每名參賽者的最后得分為每題得分的累計(jì)得分,

已知一名參賽者答對A題目的概率為

,答對B、C題目的概率均為

,并且每題答對與否相互獨(dú)立.(1)求該名參賽者恰好答對兩道題目的概率;(2)求該名參賽者最終累計(jì)得分的分布列和數(shù)學(xué)期望.解析

(1)由題意可得:該名參賽者恰好答對兩道題目的概率P=

×

×

+

×

×

+

×

×

=

.(2)設(shè)該名參賽者最終累計(jì)得分為X,可知X=0,1,2,3,4,5,則P(X=0)=

×

×

=

;(全部答錯)P(X=1)=

×

×

=

;(答對A題)P(X=2)=

×

×

+

×

×

=

;(答對B題或C題)P(X=3)=

×

×

+

×

×

=

;(答對A,B題或A,C題)P(X=4)=

×

×

=

;(答對B,C題)P(X=5)=

×

×

=

,(全部答對)可得該名參賽者最終累計(jì)得分的分布列為X012345P

(提醒:判斷所求離散型隨機(jī)變量的分布列是否正確,可用p1+p2+…+pn=1檢驗(yàn))所以數(shù)學(xué)期望E(X)=0×

+1×

+2×

+3×

+4×

+5×

=2.技巧

求離散型隨機(jī)變量分布列、均值、方差的步驟1.明確隨機(jī)變量的所有可能取值以及取每個值所表示的意義;2.利用概率的有關(guān)知識,求出隨機(jī)變量取每個值的概率;3.按規(guī)范形式寫出分布列,并用分布列的性質(zhì)驗(yàn)證;4.根據(jù)分布列,正確運(yùn)用期望與方差的定義或公式進(jìn)行計(jì)算.變式訓(xùn)練1-1

(關(guān)鍵元素變式)開展中小學(xué)生課后服務(wù),是促進(jìn)學(xué)生健康成長、幫助家

長解決接送學(xué)生困難的重要舉措,是進(jìn)一步增強(qiáng)教育服務(wù)能力、使人民群眾具有更多

獲得感和幸福感的民生工程.某校為確保學(xué)生課后服務(wù)工作順利開展,制訂了兩套工作

方案,為了解學(xué)生對這兩個方案的支持情況,對學(xué)生進(jìn)行簡單隨機(jī)抽樣,獲得數(shù)據(jù)如表:

男女支持方案一2416支持方案二2535假設(shè)用頻率估計(jì)概率,且所有學(xué)生對活動方案是否支持相互獨(dú)立.(1)從該校支持方案一和支持方案二的學(xué)生中各隨機(jī)抽取1人,設(shè)X為抽出兩人中女生的

個數(shù),求X的分布列與數(shù)學(xué)期望;(2)在(1)的前提下Y表示抽出兩人中男生的個數(shù),試判斷方差D(X)與D(Y)的大小.解析

(1)記從支持方案一的學(xué)生中抽取到女生為事件A,從支持方案二的學(xué)生中抽取到女生

為事件B,則P(A)=

=

,P(B)=

=

.X的可能取值為0、1、2,所以P(X=0)=

×

=

,P(X=1)=

×

+

×

=

,P(X=2)=

×

=

,所以X的分布列為X012P

所以E(X)=0×

+1×

+2×

=

.(2)依題意可得Y=2-X,所以D(Y)=D(2-X)=(-1)2D(X)=D(X),即D(Y)=D(X).題型二均值與方差中的決策問題典例2

(2016課標(biāo)Ⅰ,19,12分)某公司計(jì)劃購買2臺機(jī)器,該種機(jī)器使用三年后即被淘汰.

機(jī)器有一易損零件,在購進(jìn)機(jī)器時,可以額外購買這種零件作為備件,每個200元.在機(jī)器

使用期間,如果備件不足再購買,則每個500元.現(xiàn)需決策在購買機(jī)器時應(yīng)同時購買幾個

易損零件,為此搜集并整理了100臺這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù),得下

面柱狀圖:以這100臺機(jī)器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺機(jī)器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率,

記X表示2臺機(jī)器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù),n表示購買2臺機(jī)器的同時購買的易損

零件數(shù).(1)求X的分布列;(2)若要求P(X≤n)≥0.5,確定n的最小值;(3)以購買易損零件所需費(fèi)用的期望值為決策依據(jù),在n=19與n=20之中選其一,應(yīng)選用哪

個?解析

(1)由柱狀圖并以頻率代替概率可得,一臺機(jī)器在三年內(nèi)需更換的易損零件數(shù)為8,9,10,11的概率分別為0.2,0.4,0.2,0.2.可知X的所有可能取值為16、17、18、19、20、21、22,P(X=16)=0.2×0.2=0.04;P(X=17)=2×0.2×0.4=0.16;P(X=18)=2×0.2×0.2+0.4×0.4=0.24;P(X=19)=2×0.2×0.2+2×0.4×0.2=0.24;P(X=20)=2×0.2×0.4+0.2×0.2=0.2;P(X=21)=2×0.2×0.2=0.08;P(X=22)=0.2×0.2=0.04.所以X的分布列為X16171819202122P0.040.160.240.240.20.080.04(2)由(1)知P(X≤18)=0.44,P(X≤19)=0.68,故n的最小值為19.(3)記Y表示2臺機(jī)器在購買易損零件上所需的費(fèi)用(單位:元).當(dāng)n=19時,E(Y)=19×200×0.68+(19×200+500)×0.2+(19×200+2×500)×0.08+(19×200+3×500)×0.04=4040.當(dāng)n=20時,E(Y)=20×200×0.88+(20×200+500)×0.08+(20×200+2×500)×0.04=4080.可知當(dāng)n=19時所需費(fèi)用的期望值小于n=20時所需費(fèi)用的期望值,故應(yīng)選n=19.技巧

通過均值或方差進(jìn)行方案比較或決策時通常從以下兩個方面考慮:1.當(dāng)均值不同時,兩個隨機(jī)變量取值的水平有區(qū)別,可直接對問題作出判斷.2.若兩個隨機(jī)變量的均值相同或相差不大,則可通過方差來研究兩個隨機(jī)變量的取值

的離散程度或者穩(wěn)定程度,從而進(jìn)行決策.變式訓(xùn)練2-1

(情景模型變式)為增加學(xué)生對籃球運(yùn)動的興趣,學(xué)校舉辦趣味投籃比賽,

第一輪比賽的規(guī)則為選手需要在距離罰球線1米,2米,3米的A,B,C三個位置分別投籃一

次.在三個位置均投進(jìn)得10分;在C處投進(jìn),且在A,B兩處至少有一處未投進(jìn)得7分;其余情

況(包括A、B、C三處均不投進(jìn))保底得4分.已知小王同學(xué)在A,B,C三處的投籃命中率分

別為

,

,

,且在三處的投籃是否命中相互獨(dú)立.(1)設(shè)ξ為小王同學(xué)在第一輪比賽的得分,求ξ的分布列和期望;(2)若第二輪比賽中設(shè)置兩種參賽方法.方法1:按第一輪比賽規(guī)則進(jìn)行比賽;方法2:選手

可以選擇在C處縮短投籃距離0.5米,但得分會減少a(1≤a≤3)分.選手可以任選一種規(guī)

則參加比賽.若小王同學(xué)在C處縮短投籃距離0.5米后,投籃命中率會增加b

.請你根據(jù)統(tǒng)計(jì)知識,幫助小王同學(xué)選擇采用哪種方法參加比賽更好.解析

(1)ξ的可能取值為4,7,10,P(ξ=10)=

×

×

=

,P(ξ=7)=

×

×

+

×

×

+

×

×

=

,P(ξ=4)=1-

-

=

,所以分布列為ξ4710P

所以E(ξ)=4×

+7×

+10×

=

.(2)如果選取方法2參加比賽,則小王同學(xué)得分η的可能取值為4-a,7-a,10-a,P(η=10-a)=

×

×

=

+

,P(η=7-a)=

×

×

+

×

×

+

×

×

=

+

b,P(