專題04 勾股定理（六大題型60題）（解析版）

專題04勾股定理（六大題型，60題）（解析版）目錄TOC\o"1-1"\h\u一、題型一：勾股數(shù)問題，難度三星，10題 1二、題型二：以直角三角形三邊為邊長的圖形面積，難度四星，10題 6三、題型三：勾股定理與折疊問題，難度四星，10題 15四、題型四：勾股定理的證明方法，難度三星，10題 25五、題型五：以弦圖為背景的計(jì)算題，難度四星，10題 37六、題型六：用勾股定理構(gòu)造圖形解決問題，難度三星，10題 45一、題型一：勾股數(shù)問題，難度三星，10題1．（23-24八年級(jí)·甘肅張掖·階段練習(xí)）下列各組數(shù)中是勾股數(shù)的是（

）A．2，3，4 B．10，14，15 C．8，11，12 D．6，8，10【答案】D【分析】根據(jù)勾股數(shù)的定義和勾股定理逆定理逐項(xiàng)分析即可解答．【詳解】解：A.因?yàn)?，則A選項(xiàng)不是勾股數(shù)，不符合題意；B、因?yàn)椋瑒tB選項(xiàng)不是勾股數(shù)，不符合題意；C、因?yàn)椋瑒tC選項(xiàng)不是勾股數(shù)，不符合題意；D、因?yàn)椋瑒tD選項(xiàng)是勾股數(shù)，符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股數(shù)、勾股定理逆定理等知識(shí)點(diǎn)，已知三角形的三邊滿足，則三角形ABC是直角三角形；若a、b、c為正整數(shù)，則a、b、c為勾股數(shù)．2．（23-24八年級(jí)·廣東佛山·階段練習(xí)）在下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的一組是（

）A． B．4，5，6 C． D．10，24，26【答案】D【分析】本題主要考查了勾股數(shù)的定義，根據(jù)勾股數(shù)的定義解答即可；掌握勾股數(shù)是正整數(shù)，同時(shí)還需驗(yàn)證兩小邊的平方和是否等于最長邊的平方成為解題的關(guān)鍵．【詳解】解：A、，但不是正整數(shù)，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、，不能構(gòu)成直角三角形，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、，但不是正整數(shù)，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、，能構(gòu)成直角三角形，是整數(shù)，故選項(xiàng)正確．故選D．3．（22-23八年級(jí)·廣東茂名·期中）下列各組數(shù)中，不是勾股數(shù)的是（

）A．5，12，13 B．6，8，10 C．12，16，20 D．【答案】D【分析】利用勾股數(shù)的定義進(jìn)行分析即可．此題考查了勾股數(shù)，關(guān)鍵是掌握滿足的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)．【詳解】解：A、，是勾股數(shù)，不符合題意；B、，是勾股數(shù)，不符合題意；C、，是勾股數(shù)，不符合題意；D、，不是勾股數(shù)，符合題意；故選：D．4．（23-24八年級(jí)·四川巴中·期末）勾股定理最早出現(xiàn)在《周髀算經(jīng)》：“勾廣三，股修四，弦隅五”，觀察下列勾股數(shù)：，，；，，；，，；這類勾股數(shù)的特點(diǎn)如下：勾為奇數(shù)，弦與股相差，柏拉圖研究了勾為偶數(shù)，弦與股相差的一類勾股數(shù)，如：，，；，，；若此類勾股數(shù)的勾為（，為正整數(shù)），則弦是（結(jié)果用含的式子表示）（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查勾股數(shù)，勾股定理，根據(jù)題意得為偶數(shù)，設(shè)其股是，則弦為，根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論．解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理．【詳解】解：∵為正整數(shù)，∴為偶數(shù)，設(shè)其股是，∴弦為，根據(jù)勾股定理得：，解得：，∴弦是：．故選：A．5．（23-24八年級(jí)·山東棗莊·階段練習(xí)）下列各組數(shù)是勾股數(shù)的是（

）A．4，5，6 B．0.5，1.2，1.3 C．1，2，3 D．5，12，13【答案】D【分析】本題考查勾股定理數(shù)定義及計(jì)算，根據(jù)勾股定理數(shù)定義，逐項(xiàng)驗(yàn)證即可得到答案，熟記勾股定理是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：A、由，該組數(shù)不是勾股數(shù)，不符合題意；B、由勾股數(shù)定義可知，各數(shù)必須是正整數(shù)，0.5，1.2，1.3不是勾股數(shù)，不符合題意；C、由，該組數(shù)不是勾股數(shù)，不符合題意；D、由，該組數(shù)是勾股數(shù)，符合題意；故選：D．6．（23-24八年級(jí)·河南洛陽·階段練習(xí)）下列各組數(shù)中，不是勾股數(shù)的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】此題主要考查了勾股數(shù)，解答此題要用到勾股數(shù)的定義，及勾股定理的逆定理，根據(jù)勾股數(shù)是正整數(shù)，同時(shí)還需驗(yàn)證兩小邊的平方和是否等于最長邊的平方進(jìn)行分析判斷即可．【詳解】解：A、，能構(gòu)成直角三角形，是整數(shù)，故是勾股數(shù)，不符合題意；B、，不能構(gòu)成直角三角形，不是勾股數(shù)，符合題意；C、，能構(gòu)成直角三角形，是整數(shù)，故是勾股數(shù)，不符合題意；D、，能構(gòu)成直角三角形，是整數(shù)，故是勾股數(shù)，不符合題意．故選：B．7．（23-24八年級(jí)·廣東佛山·階段練習(xí)）下列各組數(shù)是勾股數(shù)的是（

）A．1.5，2，2.5 B．，， C．3，4，5 D．，，【答案】C【分析】欲判斷是否為勾股數(shù)，必須根據(jù)勾股數(shù)是正整數(shù)，同時(shí)還需驗(yàn)證兩小邊的平方和是否等于最長邊的平方．【詳解】解：A、1.5，2，2.5都不是正整數(shù)，所以不是勾股數(shù)，故不符合題意；B、都不是正整數(shù)，所以不是勾股數(shù)，故不符合題意；C、，能構(gòu)成直角三角形，所以是勾股數(shù)，故符合題意；D、都不是正整數(shù)，所以不是勾股數(shù)，故不符合題意．故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股數(shù)，解答此題要用到勾股數(shù)的定義．8．（21-22八年級(jí)·河南鄭州·期末）下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（

）A．0.6，0.8，1 B．，， C．6，8，10 D．1，2，【答案】C【分析】本題主要考查了勾股數(shù)，熟練掌握勾股數(shù)的定義是解決本題的關(guān)鍵．根據(jù)勾股數(shù)的定義：三邊是正整數(shù)且兩小邊的平方和等于第三邊的平方，進(jìn)行求解即可．【詳解】A、三個(gè)數(shù)不都是整數(shù)，不是勾股數(shù)，不符合題意；B、三個(gè)數(shù)都不是整數(shù)，不是勾股數(shù)，不符合題意；C、，是勾股數(shù)，符合題意；D、三個(gè)數(shù)不都是整數(shù)，不是勾股數(shù)，不符合題意；故選：C．9．（23-24八年級(jí)·河北承德·期末）如圖是“畢達(dá)哥拉斯樹”的“生長”過程：如圖1，一個(gè)邊長為a的正方形，經(jīng)過第一次“生長”后在它的上側(cè)長出兩個(gè)小正方形，面積分別為6和8，且三個(gè)正方形所圍成的三角形是直角三角形，則a的值為；再經(jīng)過一次“生長”后變成了圖2．如此繼續(xù)“生長”下去，第2024次“生長”后，這棵“畢達(dá)哥拉斯樹”上所有正方形的面積之和為（填數(shù)字）．【答案】【分析】本題主要考查的是勾股定理、圖形的變化規(guī)律等知識(shí)，熟知在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方是解題的關(guān)鍵．根據(jù)正方形的面積公式求出第一個(gè)正方形的面積，即可求得a的值；再根據(jù)勾股定理求出經(jīng)過一次“生長”后在它的上側(cè)生長出兩個(gè)小正方形的面積和，總結(jié)規(guī)律，然后按照規(guī)律解答即可．【詳解】解：如圖：∵第一個(gè)正方形的邊長為a,∴第一個(gè)正方形的面積為，由勾股定理得，，∴，即經(jīng)過一次“生長”后在它的上側(cè)生長出兩個(gè)小正方形的面積和為，∴，即，“生長”第1次后所有正方形的面積和為，同理：“生長”第2次后所有正方形的面積和為，……則“生長”第2024次后所有正方形的面積和為，故答案為：，．10．（23-24八年級(jí)·湖北恩施·期末）觀察下列表格中數(shù)組的規(guī)律．組別數(shù)字等式13，4，525，12，1337，24，2549，40，41………根據(jù)上表的規(guī)律，寫出第組的三個(gè)數(shù)字滿足的等式：．【答案】【分析】根據(jù)題意，找出規(guī)律列式表示即可；本題主要考查勾股數(shù)，找規(guī)律，準(zhǔn)確得出規(guī)律并列式是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：根據(jù)題意，第一列數(shù)字都為奇數(shù)，且后一排比上一排大2，第三列比第二列大1，且三個(gè)數(shù)成勾股數(shù)根據(jù)表格規(guī)律：第一列數(shù)字是組數(shù)的2倍加1第組第一列數(shù)字為,設(shè)第二列數(shù)為，則第三列數(shù)為，由勾股定理得：解得：第組的三個(gè)數(shù)字滿足的等式是：，故答案為：．二、題型二：以直角三角形三邊為邊長的圖形面積，難度四星，10題11．（23-24八年級(jí)·浙江寧波·期末）如圖，在中，，以的各邊為邊作三個(gè)正方形，點(diǎn)落在上，若，空白部分面積為10，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查勾股定理，正方形的性質(zhì)，完全平方公式，解題的關(guān)鍵是證明，得到四邊形的面積的面積，得出空白部分的面積正方形的面積的面積，①，，②，由①和②得，即可得出答案．【詳解】解：四邊形是正方形，，，，，，，，，，的面積的面積，四邊形的面積的面積，空白部分的面積正方形的面積的面積，①，，，，，②，由①和②得，（舍去負(fù)值）．故選：A．12．（23-24八年級(jí)·江蘇南通·階段練習(xí)）分別以的三條邊向外作三個(gè)正方形，連接，，若設(shè)，，，則，，之間的關(guān)系為(

)A． B．C． D．【答案】A【分析】本題考查勾股定理；根據(jù)勾股定理可得，再由正方形、三角形面積公式可得，，，，，即可得出答案．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)A作AK⊥HI于點(diǎn)K，交BC于點(diǎn)J，中，，，四邊形、四邊形、四邊形均為正方形，，正方形與同底等高，，，正方形與同底等高，，，，，故選：A．13．（21-22八年級(jí)下·浙江杭州·期末）如圖，在邊長為6的正方形中有兩個(gè)小正方形，若兩個(gè)小正方形的面積分別記為，，則的值為（

）A．6 B．12 C．16 D．17【答案】D【分析】本題考查了勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)．由圖可得，的邊長為3，由，，可得，，；然后，分別算出、的面積，即可解答．【詳解】解：如圖：設(shè)正方形的邊長為，和都為等腰直角三角形，，，，∴，同理可得：，，又，，，即；的面積為；，，，，為的中點(diǎn)，的邊長為3，的面積為，．故選：D．14．（22-23八年級(jí)下·貴州遵義·期中）有一個(gè)邊長為1的大正方形，經(jīng)過2次“生長”后，在它的左右肩上生出兩個(gè)小正方形，其中，三個(gè)正方形圍成的三角形是直角三角形，再經(jīng)過1次“生長”后，形成的圖形如圖所示，如果繼續(xù)“生長”下去，它將變得“枝繁葉茂”，那么“生長”了2023次后形成的圖形中所有的正方形的面積和是()A．2024 B．2023 C． D．【答案】A【分析】本題考查了勾股定理以及規(guī)律型：圖形的變化類，根據(jù)勾股定理求出“生長”了次后形成的圖形中所有的正方形的面積和，結(jié)合圖形總結(jié)規(guī)律，根據(jù)規(guī)律解答即可，能夠根據(jù)勾股定理發(fā)現(xiàn)每一次得到的新的正方形的面積和與原正方形的面積之間的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．【詳解】解：由題意得，正方形的面積為，由勾股定理得，正方形的面積正方形的面積，“生長”了次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為，同理可得，“生長”了次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為，“生長”了次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為，“生長”了次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為，故選：A．15．（23-24八年級(jí)·浙江寧波·期末）如圖，在中，于點(diǎn)．分別以為邊向外作正方形，得到較大的三個(gè)正方形的面積分別為，那么最小的正方形面積為（）A．5 B．6 C．7 D．【答案】C【分析】本題考查了勾股定理及正方形的面積，熟記勾股定理是解題關(guān)鍵，由正方形的面積公式可得結(jié)合勾股定理即可求解．【詳解】解：在中，，，三個(gè)正方形的面積分別為，，在及中，由勾股定理可得：，，，，故選：C．16．（2024八年級(jí)·全國·競(jìng)賽）如圖，分別以直角三角形的三邊為直徑的三個(gè)半圓的面積從小到大依次為，則之間的關(guān)系正確的是（

）

A．或 B．C． D．【答案】C【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用、圓的面積等知識(shí)，由勾股定理表示出三邊的關(guān)系，表示出三個(gè)半圓的面積即可得出答案，熟練運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)直角三角形的三邊分別為，則三個(gè)半圓的半徑分別為由勾股定理得：即故選：．17．（23-24八年級(jí)·浙江湖州·期末）如圖，在直角三角形中，，以，，為邊作正方形，正方形，正方形．設(shè)的面積為，的面積為，的面積為，四邊形CHET的面積為，四邊形的面積為，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題考查勾股定理，根據(jù)圖形列出面積的等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．設(shè)四邊形的面積為，的面積為，由，列出等式即可求解．【詳解】解：設(shè)四邊形的面積為，的面積為，，以，，為邊作正方形，正方形，正方形，根據(jù)勾股定理得：，，．故選：．18．（21-22八年級(jí)下·廣西桂林·期中）如圖，直線l上有三個(gè)正方形a，b，c，若a，c的面積分別為4和9，則b的面積為．【答案】13【分析】本題考查正方形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，勾股定理，同角的余角相等等知識(shí)．證明出是解題關(guān)鍵．根據(jù)正方形的性質(zhì)得出，，，，再根據(jù)同角的余角相等可得出，即可證，最后結(jié)合全等三角形的性質(zhì)和勾股定理可求解．【詳解】解：如圖，∵a，b，c都為正方形，a，c的面積分別為4和9，∴，，，，∴，，∴，∴，∴，∴，∴．故答案為：13．19．（23-24八年級(jí)·廣東梅州·期末）如圖，，，分別以各邊為直徑作半圓，圖中陰影部分在數(shù)學(xué)史上稱為“希波克拉底月牙”，當(dāng)，時(shí)，則陰影部分的面積為．【答案】14【分析】本題考查了勾股定理和三角形的面積、圓的面積，能把不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化成規(guī)則圖形的面積是解此題的關(guān)鍵．根據(jù)勾股定理求出，分別求出三個(gè)半圓的面積和的面積，即可得出答案．【詳解】解：在中，，，，由勾股定理得：，∴陰影部分的面積，故答案為：14．20．（23-24八年級(jí)·山東棗莊·期末）在我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”（如圖1），后人稱之為“趙爽弦圖”，流傳至今．(1)勾股定理的證明，人們已經(jīng)找到了400多種方法，請(qǐng)從圖1，圖2，圖3的證明方法中任選一種來證明該定理．(2)如圖4所示，分別以直角三角形三邊為直徑作半圓，設(shè)圖中兩個(gè)月形圖案（圖中陰影部分）的面積分別為，，直角三角形面積為，請(qǐng)判斷，，的關(guān)系并證明．【答案】(1)任選一個(gè)即可，證明見解析(2)，理由見解析【分析】本題考查了勾股定理的證明，解決本題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用面積法證明勾股定理．（1）根據(jù)圖中面積關(guān)系即可得證；（2）根據(jù)勾股定理及圓的面積公式解答即可得證．【詳解】（1）解：在圖1中，大正方形的面積等于四個(gè)全等的直角三角形的面積與中間小正方形面積的和．即，化簡得：；在圖2中，大正方形的面積等于四個(gè)全等的直角三角形的面積與中間小正方形面積的和．即，化簡得：；在圖3中，梯形的面積等于三個(gè)直角三角形的面積的和．即，化簡得：；（2）解：，，滿足的關(guān)系是，，，，．三、題型三：勾股定理與折疊問題，難度四星，10題21．（23-24八年級(jí)下·山東德州·階段練習(xí)）將長方形紙片如圖折疊，B，C兩點(diǎn)恰好重合在邊上的同一點(diǎn)P處折痕分別是，，若，，，分別記，，的面積為，，，則，，之間的數(shù)量關(guān)系是(

)A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查折疊的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定，通過勾股定理得，再證明，，進(jìn)而即可求解.【詳解】解：∵將長方形紙片如圖折疊，，兩點(diǎn)恰好重合在邊上的同一點(diǎn)處，∴，∵，，，∴在中，由勾股定理得，∵，∴，又∵，∴，∴，同理：，設(shè)紙片寬為h，∴，∴，故選：C．22．（23-24八年級(jí)·江蘇徐州·階段練習(xí)）如圖，在直角坐標(biāo)系中，的頂點(diǎn)A在軸上，頂點(diǎn)在軸上，，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于成軸對(duì)稱，且交軸于點(diǎn)．則點(diǎn)的坐標(biāo)為【答案】/【分析】本題考查了等腰三角形的判定，軸對(duì)稱的性質(zhì)，勾股定理，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，再根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得出，則，進(jìn)而得出，設(shè)，則，在中，根據(jù)勾股定理可得，列出方程求解即可．【詳解】解：∵，∴，∵點(diǎn)D和點(diǎn)C關(guān)于成軸對(duì)稱，∴，，∴，∴，∵，∴，設(shè)，則，在中，根據(jù)勾股定理可得，即，解得：，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為，故答案為：．23．（23-24八年級(jí)·吉林長春·階段練習(xí)）如圖，在中，，，，把折疊，使落在邊所在的直線上，且點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，折痕為，則重疊部分（陰影部分）的面積是．【答案】36【分析】本題考查了翻折變換的性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)，根據(jù)已知得出，是解題關(guān)鍵．利用勾股定理求出，然后利用三角形面積公式求解即可．【詳解】解：∵，，，∴，∴，設(shè)，∵翻折，∴，，∴，在中，，∴，解得，∴陰影部分面積為．故答案為：36．24．（23-24八年級(jí)·四川成都·階段練習(xí)）如圖，一次函數(shù)分別與坐標(biāo)軸交于，，點(diǎn)為軸上一點(diǎn)，把直線沿翻折，點(diǎn)剛好落在軸的負(fù)半軸上，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．【答案】【分析】本題綜合考查了翻折變換以及一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，題中利用折疊知識(shí)與直線的關(guān)系以及直角三角形等知識(shí)求出線段的長是解題的關(guān)鍵．設(shè)沿直線將折疊，點(diǎn)B正好落在x軸上的C點(diǎn)，則有，而的長度根據(jù)已知可以求出，所以C點(diǎn)的坐標(biāo)由此求出；又由于折疊得到，在直角中根據(jù)勾股定理可以求出，也就求出M的坐標(biāo)．【詳解】解：如圖所示，當(dāng)點(diǎn)M在y軸正半軸上時(shí)，設(shè)沿直線將折疊，點(diǎn)B正好落在x軸上的C點(diǎn)，則有，，，，，，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為．設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為，則，，，，，．25．（22-23八年級(jí)·浙江紹興·期中）如圖，是一張直角三角形的紙片，，，，現(xiàn)將折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，折痕為，則的長為．【答案】【分析】本題考查了勾股定理與折疊問題；設(shè)，則，在中，利用勾股定理求出x，可得的長，然后求出，再利用勾股定理求出即可．【詳解】解：由折疊得：，，設(shè)，則，在中，，∴，解得：，∴又∵，∴，∴，故答案為：．26．（23-24八年級(jí)·河南鄭州·階段練習(xí)）如圖，在中，，，是邊上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，連接交于，當(dāng)為直角三角形時(shí)，的長是．【答案】5或2【分析】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用及等腰直角三角形的性質(zhì)．當(dāng)時(shí)，先求出及的長，再在中利用勾股定理求出；當(dāng)時(shí)，作，證明出為等腰直角三角形即可求出即可．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，如圖，，，，，，由折疊得，，，設(shè)，，在中，，，即；當(dāng)時(shí)，如圖，作，，，，，，．故答案為：5或2．27．（23-24八年級(jí)·寧夏中衛(wèi)·階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，長方形的邊分別在軸、軸上，，點(diǎn)在邊上，將長方形沿折疊，若點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好是邊的三等分點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)是．【答案】或【分析】本題主要考查了勾股定理與折疊問題，坐標(biāo)與圖形，由折疊的性質(zhì)可得，，，再分當(dāng)點(diǎn)F靠近點(diǎn)C時(shí)，，當(dāng)點(diǎn)F靠近點(diǎn)O時(shí)，則，兩種情況利用勾股定理先求出的長，進(jìn)而得到的長，設(shè)出的長，進(jìn)而得到的長，在中，由勾股定理建立方程求解即可．【詳解】解：在長方形中，，，由折疊的性質(zhì)可得，，，恰好是邊的三等分點(diǎn)，∴當(dāng)點(diǎn)F靠近點(diǎn)C時(shí)，，在中，，∴，設(shè)，則，在中，由勾股定理得到，∴，解得，∴點(diǎn)的坐標(biāo)是；當(dāng)點(diǎn)F靠近點(diǎn)O時(shí)，則，在中，，∴，設(shè)，則，在中，由勾股定理得到，∴，解得，∴點(diǎn)的坐標(biāo)是；綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)是或，故答案為：或．28．（23-24八年級(jí)·河南鄭州·期末）如圖，中，，，點(diǎn)D為線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將沿直線翻折得到，線段交直線于點(diǎn)F．若為直角三角形，則的長是．【答案】或【分析】本題考查勾股定理與折疊問題，分和，兩種情況進(jìn)行討論求解即可．【詳解】解：∵，，∴；∵折疊，∴，當(dāng)為直角三角形時(shí)，分兩種情況，①當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，則四邊形為長方形，∴，設(shè)，則：，∴，在中，，∴，解得：（舍去）或；∴；②當(dāng)時(shí)，此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合，如圖：∴，設(shè)，則：，由勾股定理，得：，解得：；∴，綜上：或；故答案為：或．29．（23-24八年級(jí)·四川成都·期末）如圖，長方形紙片中，已知，折疊紙片使邊與對(duì)角線重合，點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，折痕為，且．(1)求的長；(2)求的長．【答案】(1)(2)【分析】本題考查勾股定理與折疊問題，掌握折疊的性質(zhì)，利用勾股定理進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)，得到，進(jìn)而得到，利用勾股定理進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)，得到，設(shè)，在中，利用勾股定理進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：∵長方形紙片中，，折疊紙片使邊與對(duì)角線重合，∴，∴，，∴；（2）∵折疊，∴，設(shè)，則：，在中，，∴，∴，∴．30．（23-24八年級(jí)·山東青島·階段練習(xí)）如圖，已知，兩直角邊，，點(diǎn)為上一點(diǎn)，現(xiàn)將沿折疊，使點(diǎn)落在斜邊上的點(diǎn)處，試求的長．【答案】的長為【分析】本題考查了翻折變換的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，先根據(jù)勾股定理求得的長，再根據(jù)折疊的性質(zhì)求得的長，從而利用勾股定理可求得的長，熟記性質(zhì)并表示出的三邊，然后利用勾股定理列出方程是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)根據(jù)翻折的性質(zhì)可得，在中，∴解得：∴的長為．四、題型四：勾股定理的證明方法，難度三星，10題31．（23-24八年級(jí)·陜西榆林·期中）如圖是用4個(gè)全等的直角三角形與1個(gè)小正方形拼成的正方形圖案，已知大正方形的面積為49，小正方形的面積為4，若用x，y表示直角三角形的兩條直角邊長，下列四個(gè)說法：①；②；③；④．其中正確的是（

）A．①② B．②④ C．③④ D．①②③④【答案】C【分析】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，掌握勾股定理、直角三角形的面積公式和完全平方公式是解題的關(guān)鍵．根據(jù)勾股定理和正方形的性質(zhì)即可得到，即可判定④；根據(jù)圖形可知，即可判斷②；根據(jù)四個(gè)直角三角形的面積與小正方形的面積之和為大正方形的面積，可得，即可判斷③；進(jìn)而得到，即可判斷①．【詳解】解：如圖所示，∵正方形的面積為49，∴，

∵是直角三角形，∴根據(jù)勾股定理得：，故④正確；∵正方形的面積為4，∴，∴，故②錯(cuò)誤；由圖可知，四個(gè)直角三角形的面積與小正方形的面積之和為大正方形的面積，列出等式為，即，故③正確；由可得，又∵，兩式相加得：，整理得：，，故①錯(cuò)誤；故正確的是③④．故選：C．32．（23-24八年級(jí)·河北石家莊·期末）在學(xué)習(xí)勾股定理時(shí)，甲、乙兩位同學(xué)給出了不同的方案，可以利用面積驗(yàn)證勾股定理的是（

）甲：由四個(gè)全等的直角三角形按圖1所示的方式拼成一個(gè)大正方形乙：如圖2，分別以直角三角形的三條邊為邊向外作三個(gè)正方形A．甲、乙均可以 B．甲可以，乙不可以C．乙可以，甲不可以 D．甲、乙均不可以【答案】A【分析】本題主要考查了勾股定理的幾何證明，掌握數(shù)形集合思想是解題的關(guān)鍵．甲：分別用兩種方法表示大正方形的面積，然后化簡即可判斷；乙：先算出三個(gè)正方形的面積，看是否滿足即可判斷．【詳解】解：甲：大正方形的面積可以表示為：或，即；先根據(jù)正方形的面積計(jì)算出，即可；所以甲、乙均可驗(yàn)證．故選A．33．（23-24七年級(jí)·浙江寧波·期末）勾股定理的證明方法多樣，如圖是“水車翼輪法”證明勾股定理：將正方形沿分割線，分割成四個(gè)全等四邊形，再將這四個(gè)四邊形和正方形拼成大正方形．若，則的長為．【答案】【分析】本題考查了勾股定理的證明，正確得出是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，在直角中，由勾股定理得，，，將正方形沿分割線，分割成四個(gè)全等四邊形，再將這四個(gè)四邊形和正方形拼成大正方形，，，，．故答案為：．34．（23-24八年級(jí)·福建泉州·期末）把兩個(gè)全等的直角三角形拼成如圖所示的形狀，使點(diǎn)，，在同一條直線上，利用此圖的面積表示式可以得到一個(gè)關(guān)于，，的代數(shù)恒等式，則這個(gè)恒等式是．【答案】【分析】本題考查了勾股定理，全等三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．先證是等腰直角三角形，由面積和差關(guān)系可得結(jié)論．【詳解】∵，∴，，∵，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴．故答案為：．35．（23-24八年級(jí)·浙江溫州·期中）圖1是一幅“青朱出入圖”，運(yùn)用“割補(bǔ)術(shù)”，通過三個(gè)正方形之間的面積轉(zhuǎn)化證明勾股定理．如圖2，小明連結(jié)后發(fā)現(xiàn)．（1）；（2）當(dāng)四邊形的面積為22時(shí)，正方形的面積為．【答案】340【分析】本題考查了勾股定理，正方形的性質(zhì)，等腰三角形的三線合一性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，熟練掌握勾股定理，正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）過點(diǎn)H作于點(diǎn)M，根據(jù)得到，四邊形是矩形，繼而得到．證明得到，結(jié)合正方形的性質(zhì)，得到，計(jì)算即可．（2）根據(jù)(1)，設(shè)，則，，根據(jù)得到，繼而得到，，利用圖形面積分割法計(jì)算即可．【詳解】（1）過點(diǎn)H作于點(diǎn)M，∵，∴，四邊形是矩形，∴．∵四邊形，四邊形，四邊形都是正方形，∴，，，，∵，∴，∴，∴，∴，∴，故答案為：3．（2）根據(jù)（1），設(shè)，則，，根據(jù)∴，∴，，∵四邊形的面積為22，∴，解得（舍去），∴，∴正方形的面積為，故答案為：40．36．（22-23八年級(jí)·四川成都·期末）我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽在證明勾股定理時(shí)，創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，后人稱之為“趙爽弦圖”．如圖，，，．(1)請(qǐng)你利用這個(gè)圖形，推導(dǎo)勾股定理：；(2)若直角三角形ABE的面積為54，，求小正方形EFGH的邊長．【答案】(1)(2)小正方形EFGH的邊長為3【分析】本題考查勾股定理的證明，完全平方公式，整體思想，面積法，掌握面積法以及整體思想是解題的關(guān)鍵．（1）將正方形的面積用四個(gè)全等的直角三角形的面積加正方形的面積表示，再整理即可；（2）根據(jù)直角三角形的面積為54，列出等式，再求出即可．【詳解】（1）解：正方形由4個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形組成，，，，，整理，得；（2）直角三角形的面積為54，，，，，小正方形的面積，小正方形的邊長為3．37．（23-24八年級(jí)·江蘇南京·期中）如圖，，，垂足分別為，，交于點(diǎn)，，．(1)求證；(2)接，若，，，通過用不同方法計(jì)算四邊形的面積，驗(yàn)證勾股定理．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查了勾股定理的證明，全等三角形的判定與性質(zhì)，正確表示出四邊形面積的兩種方法是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)證明得出，即可推出結(jié)論；（2）連接、，由，得出，，，．再根據(jù)四邊形的面積的兩種表示方法得出等式整理即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：設(shè)交于點(diǎn)F，如圖，，，，在和中，．，，．．，即．（2）解：如圖，連接、，，，，，．．，．．即．38．（23-24八年級(jí)·河南駐馬店·期末）我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽在證明勾股定理時(shí)，創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，后人稱之為“趙爽弦圖”．如圖，大正方形由4個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形組成，，，．

(1)請(qǐng)你利用這個(gè)圖形，推導(dǎo)勾股定理：．(2)若直角三角形的面積為，，求小正方形的邊長．【答案】(1)見解析(2)3【分析】本題考查了勾股定理的證明，完全平方公式，算術(shù)平方根．熟練掌握勾股定理的證明，完全平方公式，算術(shù)平方根是解題的關(guān)鍵．（1）由題意知，，整理作答即可；（2）由題意知，，根據(jù)小正方形的邊長為，計(jì)算求解即可．【詳解】（1）證明：由題意知，，∴；（2）解：由題意知，，∴小正方形的邊長為，∴小正方形的邊長為3．39．（23-24八年級(jí)·四川樂山·期末）“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲！如圖，“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形．設(shè)直角三角形較長直角邊長為a，較短直角邊長為b，斜邊為c．(1)請(qǐng)利用“趙爽弦圖”證明：；(2)若大正方形的面積為20，小正方形面積為4，求其中一個(gè)直角三角形的面積．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題主要考查勾股定理，熟練掌握勾股定理以及完全平方公式是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)小正方形的面積加上四個(gè)直角三角形的面積等于大正方形的面積即可證明；（2）根據(jù)（1）中得到的計(jì)算即可．【詳解】（1）解：直角三角形較長直角邊長為a，較短直角邊長為b，斜邊為c，小正方形的面積四個(gè)直角三角形的面積大正方形的面積，，，；（2）解：由題意可得：，即，，故一個(gè)直角三角形的面積為．40．（21-22八年級(jí)·河北石家莊·期末）【問題情境】上課時(shí)，小明用4張全等的直角三角形紙片拼成如圖1的正方形．（1）利用此圖可以驗(yàn)證勾股定理嗎？如果可以，請(qǐng)寫出驗(yàn)證過程，如果不可以，請(qǐng)說明理由；

【靈活運(yùn)用】（2）現(xiàn)將圖1中上方的兩個(gè)直角三角形向內(nèi)折疊，如圖2，若，，此時(shí)空白部分的面積為；（3）用三張正方形紙片，按如圖3所示方式構(gòu)成圖案，下面是三張正方形紙片面積的選取情況，若要使所圍成的三角形是直角三角形，可以選??；(填序號(hào))①1，2，3；②2，2，4；③3，4，5；④2，3，5．【答案】（1）利用此圖可以驗(yàn)證勾股定理；理由見解析；（2）28；（3）①②④【分析】本題主要考查了勾股定理的驗(yàn)證及應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理，在一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊分別為a、b，斜邊為c，那么．（1）根據(jù)空白部分的面積的兩種表示方法即可求解；（2）用邊長為c的正方形減去兩個(gè)三角形的面積即可得出答案；（3）根據(jù)三角形為直角三角形，則面積最大的正方形的面積等于其他兩個(gè)正方形的面積和，據(jù)此逐一判斷即可．【詳解】解：（1）空白部分可以看作邊長為c的正方形，則正方形的面積為，空白部分的面積可以用邊長為的正方形的面積減去周圍4個(gè)直角三角形的面積，即中間空白部分面積為：，∴；（2）根據(jù)勾股定理得：，∵兩個(gè)直角三角形向內(nèi)折疊后沒有重疊部分，∴空白部分的面積為：；故答案為：28；（3）若三角形為直角三角形，則面積最大的正方形的面積等于其他兩個(gè)正方形的面積和，①當(dāng)三張紙片面積為1，2，3時(shí)，∵，∴中間所圍成的三角形是直角三角形；②當(dāng)三張紙片面積為2，2，4，∵，∴中間所圍成的三角形是直角三角形；③當(dāng)三張紙片面積為3，4，5，∵，∴中間所圍成的三角形不是直角三角形；④當(dāng)三張紙片面積為2，3，5，∵∴中間所圍成的三角形是直角三角形；故答案為：①②④．五、題型五：以弦圖為背景的計(jì)算題，難度四星，10題41．（23-24八年級(jí)·浙江金華·期末）趙爽是我國著名的數(shù)學(xué)家，“趙爽弦圖”是他研究勾股定理的重要成果．古人有記載“勾三，股四，則弦五”的定理．如圖，外圍四個(gè)小長方形的寬相等，且鄰長互相垂直，對(duì)長互相平行．若的長是小長方形寬的2倍，內(nèi)部小正方形面積為9，則最外圍的大正方形的邊長是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】此題考查了勾股定理的應(yīng)用，二次根式的混合運(yùn)算等知識(shí)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．根據(jù)勾股定理得到，根據(jù)內(nèi)部小正方形面積為9得到，解得，再由最外圍的大正方形的邊長是即可求出答案．【詳解】解：小長方形的寬是a，長是b，，由勾股定理可得，，即，解得，∵內(nèi)部小正方形面積為9，∴，∴，∴，解得，∴最外圍的大正方形的邊長是，故選：D42．（23-24八年級(jí)·四川成都·期中）圖甲是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個(gè)全等的直角三角形圍成的．在中，若直角邊，，將四個(gè)直角三角形中邊長為的直角邊分別向外延長一倍，得到圖乙所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車”，則這個(gè)風(fēng)車的外圍周長（圖乙中的實(shí)線）是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了勾股定理在幾何圖形中的應(yīng)用，通過勾股定理可將“數(shù)學(xué)風(fēng)車”的斜邊求出，然后即可求出風(fēng)車外圍的周長，掌握勾股定理的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，，又∵為直角三角形，將長度為的邊延長一倍長度為，∴由勾股定理知，延伸后斜邊長為，又∵四個(gè)直角三角形全等，∴這個(gè)風(fēng)車外圍周長為，故選：．43．（23-24八年級(jí)下·北京西城·開學(xué)考試）圖①是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個(gè)全等的直角三角形圍成的．若直角三角形的一個(gè)銳角為，將各三角形較短的直角邊分別向外延長一倍，得到圖②所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車”．已知，則圖中陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了勾股定理的證明，設(shè)小直角三角形的較長邊長為較小直角邊長為，根據(jù)題意求出的值，再根據(jù)圖形表示出陰影部分的面積即可求解．【詳解】，設(shè)小直角三角形的較長邊長為較小直角邊長為，則，∵直角三角形的一個(gè)銳角為，∴∴∴，由圖②可知，陰影部分的面積，故選：D．44．（23-24八年級(jí)·河南南陽·期末）如圖是“趙爽弦圖”，它是由4個(gè)全等的直角三角形拼成的圖形，若大正方形的面積是29，小正方形的面積是9，設(shè)直角三角形較長直角邊為，較短直角邊為，則的值是（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】本題考查勾股定理，以及完全平方公式，正確根據(jù)圖形的關(guān)系求得和的值是關(guān)鍵；求出小直角三角形的面積，得出的值，根據(jù)勾股定理求出等于大正方形的面積，然后根據(jù)完全平方公式求解即可．【詳解】大正方形的面積是29，小正方形的面積是9，一個(gè)小三角形的面積是，三角形的斜邊為，，即，，，即，或（不符合題意舍去），故選：C．45．（23-24八年級(jí)·浙江湖州·期末）四個(gè)全等的直角三角形按圖示方式圍成正方形，過各較長直角邊的中點(diǎn)作垂線，圍成小正方形．已知為較長直角邊，問，當(dāng)正方形的面積是小正方形面積的倍時(shí)，兩條直角邊與的數(shù)量關(guān)系是（

）．A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查了勾股定理；設(shè)，．則正方形ABCD的面積，根據(jù)正方形的面積是小正方形面積的倍，得出，即可求解．【詳解】解：由題意可知，∵正方形的面積是小正方形面積的倍，∴∴∴即故選：C．46．（23-24八年級(jí)·浙江溫州·期中）如圖是中國古代數(shù)學(xué)家趙爽用來證明勾股定理的弦圖示意圖，它是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形組成，恰好拼成一個(gè)大正方形，分別在，上取點(diǎn)，，使得，得四邊形．若大正方形的邊長為，且，設(shè)四邊形的面積為，正方形的面積為，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查勾股定理，解方程組，面積的計(jì)算．設(shè)四個(gè)全等的直角三角形的兩直角邊長為，，則由大正方形的邊長為，且，可求出，，再求出，，即可解決問題．【詳解】解：設(shè)四個(gè)全等的直角三角形的兩直角邊長為，（不妨設(shè)，，，正方形的邊長為，，①，，②解①②得：，，或，（舍去），，，，，∴四邊形的面積為，正方形的面積為，∴，故選：D．47．（23-24八年級(jí)·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習(xí)）如圖1，四個(gè)全等的直角三角形圍成一個(gè)大正方形，中間是一個(gè)小正方形，這個(gè)圖形是我國漢代趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”．連接圖2中四條線段得到如圖3的新圖案，如果圖1中的直角三角形的長直角邊為6，短直角邊為2，圖3中陰影部分的面積為S，那么S的值為．【答案】32【分析】本題主要考查了勾股定理中趙爽弦圖模型，關(guān)鍵在于正確找出勾股關(guān)系，利用轉(zhuǎn)換面積作差求解．利用勾股定理，求出空白部分面積，通過間接作差得出陰影部分面積．【詳解】解：如圖，由題意得，，是直角三角形，則大正方形面積，面積，陰影部分的面積，故答案為：3248．（23-24八年級(jí)·四川成都·期末）如圖1，四個(gè)全等的直角三角形圍成一個(gè)大正方形，中間是個(gè)小正方形，這個(gè)圖形是我國漢代趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”．已知大正方形的邊長為，小正方形的邊長為1，連接四條線段得到如圖2新的圖案，則陰影部分的面積為．【答案】5【分析】本題考查趙爽弦圖，勾股定理，圖形面積計(jì)算，利用勾股定理建立方程是解題的關(guān)鍵．標(biāo)上必要的字母，利用勾股定理列方程求出的長即可求出陰影部分的面積．【詳解】解：如圖，由題意，得，，，設(shè)，則，在中，由勾股定理，得，即，解得，（舍去），陰影部分的面積，故答案為：5．49．（23-24八年級(jí)·湖南長沙·期末）“趙爽弦圖”是我國古代數(shù)學(xué)的瑰寶，在如圖所示的弦圖中，大正方形是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形組成的．若，，則的面積為．【答案】/【分析】本題主要考查了勾股定理的證明、全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的面積的計(jì)算、正方形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，再根據(jù)勾股定理和三角形的面積公式即可解答．【詳解】解：如圖：∵，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，解得：，∴，∴，∴，如圖：連接交于M，∵，∴垂直平分，∴，，∴，∴的面積為．故答案為．50．（2024八年級(jí)·全國·競(jìng)賽）國際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)如圖所示，它是由四個(gè)相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形．若大正方形的面積為13，每個(gè)直角三角形兩直角邊的和是5．則中間小正方形的面積是．【答案】1【分析】本題考查了勾股定理在直角三角形中的靈活應(yīng)用，正方形各邊長相等的性質(zhì)，正確列出方程組并且求解是解題的關(guān)鍵．設(shè)兩條直角邊分別為，且，則，再求出的值即可．【詳解】解：設(shè)兩條直角邊分別為，且，則，小正方形的面積為．故答案為：1六、題型六：用勾股定理構(gòu)造圖形解決問題，難度三星，10題51．（23-24八年級(jí)·江蘇南通·期末）如圖1是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個(gè)全等的直角三角形圍成的．若，，將四個(gè)直角三角形中邊長為2的直角邊分別向外延長一倍，得到圖2所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車”，則這個(gè)風(fēng)車的外圍周長是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了勾股定理在實(shí)際情況中應(yīng)用，正確挖掘隱含條件是解題的關(guān)鍵．通過勾股定理可將“數(shù)學(xué)風(fēng)車”的斜邊求出，然后可求出風(fēng)車外圍的周長即可．【詳解】解：如圖：由題意可知：∵，∴，即，∴，∴這個(gè)風(fēng)車的外圍周長是．故選：B．52．（23-24七年級(jí)·山東煙臺(tái)·期末）一棵大樹在一次強(qiáng)臺(tái)風(fēng)中折斷倒下，大樹折斷前高度估計(jì)為，倒下后樹頂落在距樹根部大約處．這棵大樹離地面約（

）米處折斷A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)題意列出方程并解答即可；利用勾股定理列出方程是關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，由題意知：，設(shè)，，，，解得：，∴這棵大樹離地面約，故選：C．53．（23-24八年級(jí)·廣東河源·期末）如圖，某學(xué)校舉辦元旦聯(lián)歡會(huì)，準(zhǔn)備在舞臺(tái)側(cè)長，高的臺(tái)階上鋪設(shè)紅地毯，已知臺(tái)階的寬為，則共需購買紅地毯（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，善于觀察題目的信息求出地毯的長度是解題關(guān)鍵．首先利用勾股定理解得圖中直角三角形的另一直角邊長，進(jìn)而可得所需購買紅地毯的總長度，即可獲得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，圖中直角三角形一直角邊為，斜邊為，根據(jù)勾股定理，可得另一直角邊長為，則需購買紅地毯的長為，又因?yàn)榧t地毯的寬，即臺(tái)階的寬為，所以共需購買紅地毯．故選：A．54．（23-24八年級(jí)·山東青島·期中）勾股定理是人類早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學(xué)定理之一，是用代數(shù)思想解決幾何問題的最重要的工具之一，也是數(shù)形結(jié)合的紐帶之一．它不但因證明方法層出不窮吸引著人們，更因?yàn)閼?yīng)用廣泛而使人入迷．如圖，秋千靜止時(shí)，踏板離地