8.2 橢圓 課件-2025屆高三數(shù)學三輪專項復習

8.2橢圓考點1橢圓的定義和標準方程1.定義把平面內與兩個定點F1,F2的距離之和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓.2.標準方程焦點在x軸上:

+

=1(a>b>0);焦點在y軸上:

+

=1(a>b>0).3.焦點三角形(1)P是橢圓上不同于長軸兩端點的任意一點,F1,F2為橢圓的兩焦點,則

=b2tan

,其中θ為∠F1PF2.△PF1F2的周長為2(a+c).(2)過焦點F1的弦AB與橢圓另一個焦點F2構成的△ABF2的周長為4a.考點2橢圓的幾何性質

焦點在x軸上焦點在y軸上圖形

焦點坐標F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)頂點坐標A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b)A1(0,-a),A2(0,a),B1(-b,0),B2(b,0)長軸長軸為線段A1A2,|A1A2|=2a,a是長半軸的長短軸短軸為線段B1B2,|B1B2|=2b,b是短半軸的長焦距焦距為F1F2,|F1F2|=2c,c是半焦距范圍|x|≤a,|y|≤b|x|≤b,|y|≤a離心率e=

=

(0<e<1)e越接近1,橢圓越扁平;e越接近0,橢圓就越接近于圓a,b,c的關系c2=a2-b2知識拓展

1.設P,A,B是中心在原點,焦點在x軸上的橢圓上不同的三點,其中A,B兩點關

于原點對稱,且直線PA、PB的斜率都存在,則kPAkPB=-

.2.P是橢圓上一點,F為橢圓的焦點,則|PF|∈[a-c,a+c],即橢圓上的點到焦點距離的最大

值為a+c,最小值為a-c.3.橢圓的通徑(過焦點且垂直于長軸的弦)長為

,通徑是最短的焦點弦.即練即清1.判斷正誤.(對的打“√”,錯的打“?”)(1)已知點F1(-1,0),F2(1,0),動點P滿足|PF1|+|PF2|=2,則點P的軌跡是橢圓.

(

)(2)方程

+

=1(m>0,n>0)不一定表示橢圓.(

)2.已知橢圓C:

+

=1(a>b>0)的離心率為

,且過點A(2,1),則橢圓C的方程為

.×√+

=13.橢圓C:

+

=1的兩個焦點分別為F1,F2,橢圓C上有一點P,則△PF1F2的周長為

.4.已知橢圓

+

=1(0<b<3)的左、右焦點分別為F1,F2,過F1的直線交橢圓于A,B兩點,若|BF2|+|AF2|的最大值為10,則b的值為

.14題型一橢圓的定義及其應用角度1求橢圓標準方程典例1

(2024湖北武漢模擬,5)已知F1(-1,0),F2(1,0)是橢圓C的兩個焦點,過F2且垂直于x

軸的直線交C于A,B兩點,且|AB|=3,則橢圓C的標準方程為

(

)A.

+

=1

B.

+

=1C.

+x2=1

D.

+y2=1B解析

由對稱性知|AF2|=

|AB|=

,又|F1F2|=2,則|AF1|=

=

=

,所以2a=|AF1|+|AF2|=4,則a=2,又c=1,則b=

=

,則橢圓的標準方程為

+

=1.故選B.小題速解

由F1(-1,0),F2(1,0)是焦點知c=1,且焦點在x軸上,故排除A,C,D.故選B.方法總結

求橢圓標準方程的方法1.定義法:根據(jù)橢圓的定義確定2a,2c,然后確定a2,b2的值,再結合焦點位置寫出橢圓的標

準方程.2.待定系數(shù)法:具體過程是先定位,再定量,即首先確定焦點所在位置,然后根據(jù)條件建立

關于a,b的方程組,如果焦點位置不確定,那么要考慮是否有兩解.有時為了解題方便,也

可把橢圓方程設成mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)的形式,解題步驟如下:變式訓練1-1

(關鍵元素變式)(2024江蘇南京師大附中模擬,5)已知過橢圓

+

=1(a>b>0)的左焦點F(-1,0)的直線與橢圓交于不同的兩點A,B,與y軸交于點C,點C,F是線段AB

的三等分點,則該橢圓的標準方程是

(

)A.

+

=1

B.

+

=1

C.

+

=1

D.

+

=1B解析

不妨設A(x1,y1)在第一象限,由已知得C為AF中點,因為點C在y軸上,所以x1=1,代入橢圓方

程得

+

=1,得y1=

,即A

,所以C

,又因為F為BC中點,所以B

,將B點坐標代入橢圓方程得

+

=1,即

+

=1,又a2-b2=1,所以a2=5,b2=4,所以橢圓的標準方程是

+

=1.故選B.角度2求焦點三角形相關問題典例2

(2024湖南長沙雅禮中學月考,7)已知點O為坐標原點,橢圓

+

=1的左、右焦點分別為F1,F2,點P在橢圓上,設線段PF1的中點為M,且|OF2|=|OM|,則△PF1F2的面積為

(

)A.

B.

C.3

D.4

A解析

解法一:由題意可得a=3,b=

,c=

=2.如圖,因為O,M分別是F1F2和PF1的中點,所以|PF2|=2|OM|=2|OF2|=2c=4,(利用三角形中位

線定理求|PF2|)則根據(jù)橢圓的定義,可得|PF1|=2a-|PF2|=2,又因為|F1F2|=2c=4,所以cos∠PF2F1=

=

=

,所以sin∠PF2F1=

=

,故△PF1F2的面積為

|PF2|·|F1F2|·sin∠PF2F1=

.故選A.

解法二:由解法一可知|PF2|=4,|F1F2|=4,|PF1|=2,所以

=

·|PF1|·

=

×2×

=

.故選A.技巧點撥

解決焦點三角形問題常利用橢圓的定義、正弦定理或余弦定理,其中|PF1|+

|PF2|=2a兩邊平方是常用技巧.角度3與橢圓有關的最值(范圍)問題典例3

(2024安徽蕪湖一中模擬,6)設F1,F2分別是橢圓

+

=1的左,右焦點,過F1的直線l交橢圓于A,B兩點,則|AF2|+|BF2|的最大值為(

)A.

B.

C.

D.6B解析

由題意知a=3,b=2,|AF1|+|AF2|=2a=6,|BF1|+|BF2|=2a=6,

∴△ABF2的周長為|AF2|+|AB|+|BF2|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=12,∴當|AB|最小時,|AF2|+|BF2|最大.當AB⊥x軸,即AB為通徑時,|AB|最小,此時|AB|=

=

,∴|AF2|+|BF2|的最大值為12-

=

.故選B.技巧

解決橢圓中的最值(范圍)問題,通常抓住|PF1|+|PF2|為定值,然后利用基本不

等式求|PF1|·|PF2|的最值或利用|PF1|+|PF2|=2a將所求進行轉化或變形,借助三角形性質

求最值.變式訓練1-2

(高考題改編)已知F1,F2是橢圓C:

+

=1的兩個焦點,點M在C上,則

+

的最小值為

.解析

由題意,知a2=9,b2=4,則|MF1|+|MF2|=2a=6,不妨設|MF1|=m,|MF2|=n,則

+

=

(m+n)=

≥

×

=

,當且僅當|MF2|=2|MF1|=4時等號成立.故

+

的最小值為

.變式訓練1-3

(關鍵元素變式)已知橢圓

+

=1的左頂點為A,右焦點為F,M是橢圓上任意一點,則

·

的取值范圍為

(

)A.[-16,0]

B.[-8,0]

C.[0,8]

D.[0,16]D解析

由題意知A(-4,0),F(2,0),設M(x0,y0),則

+

=1,

=(-4-x0,-y0),

=(2-x0,-y0),則

·

=(-4-x0,-y0)·(2-x0,-y0)=(x0-2)(x0+4)+

=

+2x0-8+12-

=

+2x0+4=

(x0+4)2.因為-4≤x0≤4,所以0≤

·

≤16.故選D.題型二橢圓的離心率角度1求橢圓的離心率典例4

(2024浙江紹興柯橋三模,7)已知直線y=kx(k≠0)與橢圓C:

+

=1(a>b>0)交于A,B兩點,以線段AB為直徑的圓過橢圓的左焦點F1,若|F1A|=2|F1B|,則橢圓C的離心率是

(

)A.

B.

C.

D.

C解析

設右焦點為F2,連接AF2、BF2,由F1在以線段AB為直徑的圓上,得AF1⊥BF1,

又|OA|=|OB|,|OF1|=|OF2|,所以四邊形AF1BF2是平行四邊形,又∠AF1B=90°,所以四邊形

AF1BF2為矩形,則|AF2|=|BF1|,|OA|=|OB|=|OF1|=c,又|F1A|=2|F1B|,|F1A|2+|F1B|2=(2c)2,則|F1A|=

c,|F1B|=

c,由橢圓的定義可得|F1A|+|AF2|=2a,故|F1A|+|F2A|=

c+

c=

c=2a,(根據(jù)橢圓的定義構建關于a,c的齊次式)則e=

=

=

.故選C.歸納總結

求橢圓離心率的兩種方法1.直接法:若已知a,c可直接利用e=

求解;若已知a,b或b,c可借助a2=b2+c2求出c或a,再代入公式e=

求解.2.方程法:若a,c的值不可求,則可根據(jù)條件建立a,b,c的關系式,借助a2=b2+c2,將關系式轉

化為關于a,c的方程,再將方程兩邊同時除以a的最高次冪,得到關于e的方程,即可求得e

的值.注意:在解關于離心率e的二次方程時,要注意利用橢圓的離心率e∈(0,1)進行根的取舍.變式訓練2-1

(多解法變式)(2025屆河北承德一中開學考試,5)已知橢圓T:

+

=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,T上一點A滿足|AF2|=2b,若AF2⊥AF1,則T的離心率為

(

)A.

B.

C.

D.

D解析

解法一:由題意得|AF1|=2a-2b,在△AF1F2中,AF2⊥AF1,則|AF2|2+|AF1|2=|F1F2|2,即4b2+4(a-b)2=4c2=4(a2-b2),整理得

=

,所以T的離心率e=

=

=

.故選D.解法二:連接AO,因為O是F1F2的中點,所以

=

(

+

),因為|AF2|=2b,所以|AF1|=2a-2b,又AF1⊥AF2,所以|AO|=

|F1F2|=c,

=

(

+

)=

[4(a-b)2+4b2],則c2=a2-b2=(a-b)2+b2,整理得2a=3b,所以

=

,所以離心率e=

=

.變式訓練2-2

(參數(shù)方程法)(2025屆湖南岳陽汨羅中學開學考,7)如圖,A,B是橢圓C:

+

=1(a>b>0)的左、右頂點,P是☉O:x2+y2=a2上不同于A,B的動點,線段PA與橢圓C交于點Q,若tan∠PBA=3tan∠QBA,則橢圓的離心率為

(

)

A.

B.

C.

D.

D解析

由題意知∠APB=90°.設Q(acosθ,bsinθ),則tan∠PAB=tan∠QAB=

,tan∠QBA=

,兩式相乘得tan∠PAB·tan∠QBA=

,①因為∠APB=90°,所以∠PAB+∠PBA=90°,所以tan∠PAB·tan∠PBA=1,②

得

=

=

,故e=

=

,故選D.角度2求離心率的范圍(最值)典例5

(2024廣東一模,6)已知橢圓C:

+

=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1、F2,P為橢圓C上一點,且|PF1|=4|PF2|,則橢圓C的離心率的取值范圍是

(

)A.

B.

C.

D.

D解析

因為|PF1|=4|PF2|,|PF1|+|PF2|=2a,所以4|PF2|+|PF2|=2a,故|PF2|=

,|PF1|=

,因為|PF1|∈[a-c,a+c],所以a-c≤

≤a+c,即1-e≤

≤1+e,解得e≥

,又因為e∈(0,1),所以e∈

.故選D.歸納總結

求橢圓離心率范圍的方法1.根據(jù)條件得到關于a,b,c的齊次式,結合b2=a2-c2轉化為關于a,c的齊次式,然后不等式兩

邊分別除以a的最高次冪轉化為關于離心率e的不等式,解不等式即可得離心率的取值

范圍;2.由題目條件得到離心率關于變量的函數(shù),結合變量的取值范圍得到離心率的取值范

圍.變式訓練2-3

(關鍵元素變式)(2024安徽安慶一中三模,7