2.2 函數(shù)的單調(diào)性和最值 課件-2025屆高三數(shù)學(xué)三輪專項(xiàng)復(fù)習(xí)

2.2函數(shù)的單調(diào)性和最值考點(diǎn)1函數(shù)的單調(diào)性

增函數(shù)減函數(shù)定義設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,區(qū)間I?D,?x1,x2∈I,當(dāng)x1<x2時(shí),都有f(x1)<f(x2),那么就稱函數(shù)f(x)

在區(qū)間I上單調(diào)遞增都有f(x1)>f(x2),那么就稱函數(shù)f(x)

在區(qū)間I上單調(diào)遞減當(dāng)函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)

遞增時(shí),我們就稱它是增函數(shù)當(dāng)函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)

遞減時(shí),我們就稱它是減函數(shù)圖象

描述自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的單調(diào)區(qū)間函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減,那么就說函數(shù)y=f(x)在這

一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性,區(qū)間I叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間注意

1.函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增(減)和該函數(shù)為定義域上的增(減)函數(shù)的含義完

全不同;2.有多個(gè)單調(diào)區(qū)間時(shí),不能用符號“∪”連接,也不能用“或”連接,只能用“,”或

“和”連接.知識拓展

1.單調(diào)函數(shù)的定義有以下兩種等價(jià)形式:?x1,x2∈[a,b],且x1≠x2,(1)

>0?f(x)在[a,b]上是增函數(shù);

<0?f(x)在[a,b]上是減函數(shù).(2)(x1-x2)(f(x1)-f(x2))>0?f(x)在[a,b]上是增函數(shù);(x1-x2)(f(x1)-f(x2))<0?f(x)在[a,b]上是減函

數(shù).2.在公共定義域內(nèi),函數(shù)y=f(x)與y=

的單調(diào)性相反.考點(diǎn)2函數(shù)的最值前提設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镈,如果存在實(shí)數(shù)M滿足條件對于任意的x∈D,都有f(x)≤M;存在x0∈D,使得f(x0)=M對于任意的x∈D,都有f(x)≥M;存在x0∈D,使得f(x0)=M結(jié)論M為y=f(x)的最大值M為y=f(x)的最小值知識拓展

1.閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定存在最大值和最小值.2.開區(qū)間上的“單峰”連續(xù)函數(shù)一定存在最大值或最小值.即練即清1.判斷正誤.(對的打“√”,錯(cuò)的打“?”)(1)函數(shù)y=

的單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,0)∪(0,+∞).

(

)(2)若定義在R上的函數(shù)f(x)有f(-1)<f(3),則函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù).

(

)(3)若f(a)是函數(shù)f(x)的最大值,則(a,f(a))是f(x)圖象上的最高點(diǎn).

(

)2.(易錯(cuò)題)若函數(shù)y=f(x)是定義在[-2,2]上的減函數(shù),且f(a+1)<f(2a),則實(shí)數(shù)a的取值范圍

是

.3.函數(shù)f(x)=

在區(qū)間[1,4]上的最大值為

,最小值為

.4.若函數(shù)f(x)=x+

(a>0)在[3,+∞)上單調(diào)遞增,則正數(shù)a的取值范圍為

.××√[-1,1)3(0,9]題型一函數(shù)單調(diào)性的判斷判斷函數(shù)單調(diào)性的常用方法定義法一般步驟為設(shè)元→作差→變形→判斷符號→得出結(jié)論圖象法若函數(shù)f(x)是以圖象形式所給出的,或者f(x)的圖象易作出,則可由圖象的上升或下降確定函數(shù)的單調(diào)性性質(zhì)法對于由基本初等函數(shù)的和、差構(gòu)成的函數(shù),根據(jù)各基本初等函數(shù)的增減性及“增+增=增,增-減=增,減+減=減,減-增=減”來判斷復(fù)合法對于復(fù)合函數(shù),先將函數(shù)f(g(x))分解成y=f(t)和t=g(x),然后分別討論(判斷)這兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性,再根據(jù)復(fù)合函數(shù)“同增異減”的規(guī)則進(jìn)行判斷賦值法對于抽象函數(shù)可以通過對未知數(shù)賦值,得到f(x2)-f(x1)的符號,進(jìn)而判斷單調(diào)性典例1

(1)(多選)下列函數(shù)在(0,+∞)上單調(diào)遞增的是

(

)A.y=ex-e-x

B.y=|x2-2x|C.y=2x+2cosx

D.y=

(2)(2024江蘇南京師大附中三模,6)已知定義在區(qū)間(-m,m)(m>0)上,值域?yàn)镽的函數(shù)f(x)

滿足:①當(dāng)0<x<m時(shí),f(x)>0;②對于定義域內(nèi)任意的實(shí)數(shù)a、b均滿足:f(a+b)=

.則(

)A.f(0)=1B.若定義域內(nèi)x1<x2,則f(x1)>f(x2)C.函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,m)上單調(diào)遞減D.函數(shù)f(x)在區(qū)間(-m,m)上單調(diào)遞增ACD解析

(1)∵y=ex與y=-e-x為R上的增函數(shù),∴y=ex-e-x為R上的增函數(shù),故A正確;由y=|x2-2x|的圖象(圖略)知,B不正確;對于選項(xiàng)C,易知y'=2-2sinx≥0,∴y=2x+2cosx在(0,+∞)上單調(diào)遞增,故C正確;y=

的定義域?yàn)?-∞,-2]∪[1,+∞),故D不正確.(2)令a=0,b=0,則有f(0)=

,所以f(0)=0,故A錯(cuò)誤;令a=x,b=-x,得f(x)+f(-x)=0,定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱.所以函數(shù)f(x)為奇函數(shù).任取x1,x2,且0<x1<x2<m,取a=x2,b=-x1,得m>x2-x1=a+b>0,所以f(x2-x1)>0且f(x2),f(x1)>0.f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2+(-x1))(1-f(x2)f(-x1))=f(x2-x1)(1+f(x2)f(x1))>0,所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,m)(m>0)上單調(diào)遞增.又函數(shù)f(x)為奇函數(shù)且f(0)=0,因此函數(shù)f(x)在區(qū)間(-m,m)(m>0)上單調(diào)遞增,故BC錯(cuò)誤,D

正確.故選D.變式訓(xùn)練1-1

(圖象法)函數(shù)g(x)=x·|x-1|+1的單調(diào)遞減區(qū)間為

(

)A.

B.

C.[1,+∞)

D.

∪[1,+∞)B解析

g(x)=x·|x-1|+1=

畫出函數(shù)圖象,如圖所示,根據(jù)圖象知,函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為

.

變式訓(xùn)練1-2

(復(fù)合法)函數(shù)f(x)=

的單調(diào)遞增區(qū)間是

(

)A.[-1,+∞)

B.(-∞,-1)C.(-∞,0)

D.(0,+∞)B解析

f(x)=

可分解為y=2u和u=-x2-2x兩個(gè)函數(shù),y=2u在R上單調(diào)遞增,u=-x2-2x=-(x+1)2+1在(-∞,-1)上單調(diào)遞增,在[-1,+∞)上單調(diào)遞減,根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性得

到函數(shù)f(x)=

在(-∞,-1)上單調(diào)遞增.題型二函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用角度1比較函數(shù)值的大小利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小的步驟

典例2已知函數(shù)f(x)為R上的偶函數(shù),對任意x1,x2∈(-∞,0),均有(x1-x2)(f(x1)-f(x2))<0成立,

若a=f(ln

),b=f(

),c=f(

),則a,b,c的大小關(guān)系是

(

)A.c<b<a

B.a<c<b

C.a<b<c

D.c<a<bB解析

第一步:確定單調(diào)區(qū)間∵對任意x1,x2∈(-∞,0),均有(x1-x2)(f(x1)-f(x2))<0成立,∴函數(shù)在區(qū)間(-∞,0)上單調(diào)遞減,∵f(x)是偶函數(shù),∴當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),f(x)單調(diào)遞增,第二步:確定要比較的函數(shù)值的自變量是否在同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)∵1<

<

,又0<ln

<1,∴l(xiāng)n

<

<

,易知ln

,

,

均在(0,+∞)內(nèi).第三步:利用單調(diào)性比較大小因此f(

)>f(

)>f(ln

),即a<c<b.故選B.變式訓(xùn)練2-1

(已知條件變式)已知函數(shù)f(x)=

若a=50.01,b=log32,c=log20.9,則有(

)A.f(a)>f(b)>f(c)

B.f(b)>f(a)>f(c)C.f(a)>f(c)>f(b)

D.f(c)>f(a)>f(b)A解析

因?yàn)閥=ex是增函數(shù),y=e-x是減函數(shù),所以f(x)=ex-e-x在(0,+∞)上單調(diào)遞增,且f(x)>0.又f(x)=-x2在(-∞,0]上單調(diào)遞增,且f(x)≤0,所以f(x)在R上單調(diào)遞增.又c=log20.9<0,0<b=log32<1,a=50.01>1,即a>b>c,所以f(a)>f(b)>f(c).角度2解函數(shù)不等式典例3

(2025屆北京理工大學(xué)附中開學(xué)考,8)已知函數(shù)f(x)滿足f(-2-x)=f(-2+x),對任意x1,

x2∈(-∞,-2],且x1≠x2,都有

>0成立,且f(0)=0,則f(x)>0的解集是

(

)A.(-∞,-2)∪(2,+∞)

B.(-2,2)C.(-∞,-4)∪(0,+∞)

D.(-4,0)D解析

因?yàn)楹瘮?shù)f(x)滿足f(-2-x)=f(-2+x),所以f(x)的圖象關(guān)于直線x=-2對稱.

又函數(shù)f(x)滿足對任意x1,x2∈(-∞,-2],且x1≠x2,都有

>0成立,所以f(x)在(-∞,-2]上為增函數(shù).由f(x)的圖象關(guān)于x=-2對稱,且f(0)=0,得f(x)在(-2,+∞)上為減函數(shù),且f(-4)=0.f(x)的草圖如圖,由圖知:f(x)>0?-4<x<0.故選D.變式訓(xùn)練2-2

(易錯(cuò)題)已知函數(shù)f(x)=

-log2(x+2),若f(a-2)>3,則a的取值范圍是

.(0,1)解析

易知f(x)=

-log2(x+2)在定義域(-2,+∞)上是減函數(shù)(減+減=減),且f(-1)=3,由f(a-2)>3,得f(a-2)>f(-1),∴

解得0<a<1.歸納總結(jié)

求解函數(shù)不等式的本質(zhì)是利用函數(shù)的單調(diào)性將“f”符號脫去,轉(zhuǎn)化為關(guān)于

自變量的不等式求解,應(yīng)注意函數(shù)的定義域?qū)ψ宰兞康南拗?角度3求參數(shù)的取值范圍典例4

(2025屆安徽靈璧中學(xué)開學(xué)考,6)函數(shù)f(x)=

若對任意x1,x2∈R,且x1≠x2,都有

<0成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

(

)A.[-4,-1]

B.[-4,-2]

C.(-5,-1]

D.[-5,-4]A解析

因?yàn)閷θ我鈞1,x2∈R,x1≠x2,都有

<0成立,所以f(x)在R上是減函數(shù),則

解得-4≤a≤-1.故選A.技巧

分段函數(shù)的單調(diào)性除要注意各段的單調(diào)性,還要注意分界點(diǎn)處的函數(shù)值.變式訓(xùn)練2-3

(關(guān)鍵元素變式)(2