2025版高考數(shù)學一輪復習第十一章計數(shù)原理概率隨機變量及分布列第1講分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理教案理含解析新人教A版

PAGEPAGE6第1講分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理基礎學問整合1．分類加法計數(shù)原理完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝eq\o(□,\s\up5(01))m＋n種不同的方法．2．分步乘法計數(shù)原理完成一件事須要兩個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝eq\o(□,\s\up5(02))mn種不同的方法．分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理是解決排列組合問題的基礎，并貫穿其始終．(1)分類加法計數(shù)原理中，完成一件事的方法屬于其中一類，并且只屬于其中一類．(2)分步乘法計數(shù)原理中，各個步驟相互依存，步與步之間的方法“相互獨立，分步完成”．1．快遞員去某小區(qū)送快遞，該小區(qū)共有四個出入口，每個出入口均可進出，則該快遞員進出該小區(qū)的方案種數(shù)為()A．6B．8C．16D．14答案C解析方案種數(shù)為4×4＝16種，故選C.2．將3張不同的奧運會門票分給10名同學中的3人，每人1張，則不同分法的種數(shù)是()A．2160B．720C．240D．120答案B解析分步來完成此事．第1張有10種分法；第2張有9種分法；第3張有8種分法．共有10×9×8＝720種分法．3．(2024·九江模擬)已知兩條異面直線a，b上分別有5個點和8個點，則這13個點可以確定不同的平面?zhèn)€數(shù)為()A．40B．16C．13D．10答案C解析分兩類狀況探討：第1類，直線a分別與直線b上的8個點可以確定8個不同的平面；第2類，直線b分別與直線a上的5個點可以確定5個不同的平面．依據(jù)分類加法計數(shù)原理知，共可以確定8＋5＝13個不同的平面．4．(2024·長沙模擬)將字母a，a，b，b，c，c排成三行兩列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，則不同的排列方法共有()A．12種B．18種C．24種D．36種答案A解析第一步先排第一列，有Aeq\o\al(3,3)＝6(種)，再排其次列，當?shù)谝涣写_定時，其次列有兩種方法，如圖所示，所以不同的排列方法共有6×2＝12(種)．5．從0,1,2,3,4這5個數(shù)字中任取3個組成三位數(shù)，其中奇數(shù)的個數(shù)是________．答案18解析從1,3中取一個排個位，故排個位有2種方法；排百位不能是0，可以從另外3個數(shù)中取一個，有3種方法；排十位有3種方法．故所求奇數(shù)的個數(shù)為2×3×3＝18.6.(2024·寧波模擬)如圖，矩形的對角線把矩形分成A，B，C，D四部分，現(xiàn)用5種不同顏色給四部分涂色，每部分涂1種顏色，要求共邊的兩部分顏色互異，則共有________種不同的涂色方法．答案260解析區(qū)域A有5種涂色方法；區(qū)域B有4種涂色方法；區(qū)域C的涂色方法可分2類：若C與A涂同色，區(qū)域D有4種涂色方法；若C與A涂不同色，此時區(qū)域C有3種涂色方法，區(qū)域D也有3種涂色方法．所以共有5×4×4＋5×4×3×3＝260種涂色方法．核心考向突破考向一分類加法計數(shù)原理例1(1)(2024·廣西桂林模擬)如圖，某貨場有兩堆集裝箱，一堆2個，一堆3個，現(xiàn)須要全部裝運，每次只能取其中一堆最上面的一個集裝箱，則在裝運的過程中不同取法的種數(shù)是()A．6B．10C．12D．24答案B解析將圖中左邊的集裝箱從上往下分別記為1,2,3，右邊的集裝箱從上往下分別記為4,5.分兩種狀況探討：若先取1，則有12345,12453,12435,14523,14235,14253，共6種取法；若先取4，則有45123,41235,41523,41253，共4種取法，故共有6＋4＝10種取法．(2)(2024·河北保定模擬)甲、乙、丙、丁四位同學高考之后支配去A，B，C三個不同社區(qū)進行幫扶活動，每人只能去一個社區(qū)，每個社區(qū)至少一人．其中甲必需去A社區(qū)，乙不去B社區(qū)，則不同的支配方法種數(shù)為()A．8B．7C．6D．5答案B解析依據(jù)題意，分兩種狀況探討：①乙和甲一起去A社區(qū)，此時將丙、丁二人支配到B，C社區(qū)即可，有Aeq\o\al(2,2)＝2種狀況，②乙不去A社區(qū)，則乙必需去C社區(qū)，若丙、丁都去B社區(qū)，有1種狀況，若丙、丁中有1人去B社區(qū)，則先在丙、丁中選出1人，支配到B社區(qū)，剩下1人支配到A或C社區(qū)，有2×2＝4種狀況，則不同的支配方法種數(shù)有2＋1＋4＝7種．故選B.(3)(2024·沈陽模擬)現(xiàn)有2門不同的考試要支配在5天之內進行，每天最多進行一門考試，且不能連續(xù)兩天有考試，那么不同的考試支配方案種數(shù)為________．答案12解析若第一門支配在開頭或結尾，則其次門有3種支配方法，這時，共有Ceq\o\al(1,2)×3＝6種方法；若第一門支配在中間的3天中，則其次門有2種支配方法，這時，共有3×2＝6種方法．綜上可得，不同的考試支配方案共有6＋6＝12種．觸類旁通運用分類加法計數(shù)原理時應留意的三方面(1)各類方法之間相互獨立，每種方法都能完成這件事，且方法總數(shù)是各類方法數(shù)相加得到的．2分類時，首先要在問題的條件之下確定一個分類標準，然后在確定的分類標準下進行分類.3完成這件事的任何一種方法必屬于某一類，且分別屬于不同類的方法都是不同的.即時訓練1.某同學有同樣的畫冊2本，同樣的集郵冊3本，從中取出4本贈送給4位摯友，每位摯友1本，則不同的贈送方法共有()A．4種B．10種C．18種D．20種答案B解析依題意，就所剩余的一本畫冊進行分類計數(shù)：第一類，剩余的是一本畫冊，此時滿意題意的贈送方法共有4種；其次類，剩余的是一本集郵冊，此時滿意題意的贈送方法共有Ceq\o\al(2,4)＝6(種)．因此，滿意題意的贈送方法共有4＋6＝10種．2．將A，B，C，D，E這5名同學從左至右排成一排，則A與B相鄰且A與C之間恰好有一名同學的排法有()A．18B．20C．21D．22答案B解析當A，C之間為B時，看成一個整體進行排列，共有Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(3,3)＝12種，當A，C之間不是B時，先在A，C之間插入D，E中的隨意一個，然后B在A之前或之后，再將這四個人看成一個整體，與剩余一個進行排列，共有Ceq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(2,2)＝8種，所以共有20種不同的排法．3．某外商支配在4個候選城市投資3個不同的項目，且在同一個城市投資的項目不超過2個，則該外商不同的投資方案有()A．16種B．36種C．42種D．60種答案D解析①投資到兩個城市，有Ceq\o\al(2,3)·Aeq\o\al(2,4)＝36種方案；②投資到三個城市，有Aeq\o\al(3,4)＝24種方案，由分類加法計數(shù)原理可得，該外商不同的投資方案有36＋24＝60種．故選D.考向二分步乘法計數(shù)原理例2(1)(2024·全國卷Ⅱ)如圖，小明從街道的E處動身，先到F處與小紅會合，再一起到位于G處的老年公寓參與志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為()A．24B．18C．12D．9答案B解析分兩步，第一步，從E→F，有6條可以選擇的最短路徑；其次步，從F→G，有3條可以選擇的最短路徑．由分步乘法計數(shù)原理可知有6×3＝18條可以選擇的最短路徑．故選B.(2)(2024·蘇州模擬)從2,3,4,5,6,7,8,9這8個數(shù)字中任取2個不同的數(shù)字分別作為一個對數(shù)的底數(shù)和真數(shù)，則所產(chǎn)生的不同對數(shù)值的個數(shù)為()A．56B．54C．53D．52答案D解析在8個數(shù)字中任取2個不同的數(shù)字共可產(chǎn)生8×7＝56個對數(shù)值，在這56個對數(shù)值中，log24＝log39，log42＝log93，log23＝log49，log32＝log94，則滿意條件的對數(shù)值共有56－4＝52個．(3)現(xiàn)支配一份5天的工作值班表，每天有一個人值班，共有5個人，每個人都可以值多天或不值班，但相鄰兩天不能同一個人值班，則此值班表共有________種不同的排法．答案1280解析完成一件事是支配值班表，因而需一天一天地排，用分步計數(shù)原理，分步進行：第一天有5種不同排法，其次天不能與第一天已排的人相同，所以有4種不同排法，依次類推，第三、四、五天都有4種不同排法，所以共有5×4×4×4×4＝1280種不同的排法．觸類旁通運用分步乘法計數(shù)原理應留意的問題(1)各個步驟之間相互依存，且方法總數(shù)是各個步驟的方法數(shù)相乘．2分步時首先要在問題的條件之下確定一個分步標準，然后在確定的分步標準下進行分步.eq\a\vs4\al(3完成這件事的任何一種方法必需并且只需連續(xù)完成每一個步驟.)即時訓練4.(2024·成都模擬)兩對夫婦各帶一個小孩兒到上海迪士尼樂園游玩，購票后依次入園，為平安起見，首尾肯定要排兩位爸爸，另外兩個小孩要排在一起，則這6個人的入園依次的排法種數(shù)是()A．12B．24C．36D．48答案B解析首尾要排兩位爸爸有Aeq\o\al(2,2)＝2種排法；兩個小孩排在一起，再與兩位媽媽排列有Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(3,3)＝12種排法，依據(jù)分步乘法計數(shù)原理共有2×12＝24種排法．故選B.5．從6個人中選4個人分別到巴黎、倫敦、悉尼、莫斯科四個城市巡游，要求每個城市至少有一人巡游，每人只巡游一個城市，且這6個人中，甲、乙兩人不去巴黎巡游，則不同的選擇方案共有________種．答案240解析分步完成此事，第一步選1人去巴黎有4種方法，其次步選1人去倫敦有5種方法，第三步選1人去悉尼有4種方法，第四步選1人去莫斯科有3種方法，由分步乘法計數(shù)原理可知：共有4×5×4×3＝240種．6．(2024·南通模擬)從1到9的正整數(shù)中隨意抽取2個數(shù)相加，所得的和為奇數(shù)的不憐憫形種數(shù)是________．答案20解析依據(jù)題意，從1到9的正整數(shù)中隨意抽取2個數(shù)相加，若所得的和為奇數(shù)，則取出的2個數(shù)必為1個奇數(shù)、1個偶數(shù)．分兩步：先在1,3,5,7,9中取出1個奇數(shù)，有5種取法，再在2,4,6,8中取出1個偶數(shù)，有4種取法．則1個奇數(shù)、1個偶數(shù)的取法有5×4＝20(種)，即所得的和為奇數(shù)的不憐憫形種數(shù)是20.考向三兩個計數(shù)原理的綜合應用角度1與數(shù)字有關的問題例3(1)(2024·山東模擬)用0,1，…，9十個數(shù)字，可以組成有重復數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為()A．243B．252C．261D．279答案B解析由分步乘法計數(shù)原理知：用0,1，…，9十個數(shù)字組成三位數(shù)(可有重復數(shù)字)的個數(shù)為9×10×10＝900，組成沒有重復數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為9×9×8＝648，則組成有重復數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為900－648＝252.故選B.(2)(2024·浙江高考)從1,3,5,7,9中任取2個數(shù)字，從0,2,4,6中任取2個數(shù)字，一共可以組成________個沒有重復數(shù)字的四位數(shù)(用數(shù)字作答)．答案1260解析若不取0，則排列數(shù)為Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(4,4)，若取0，則排列數(shù)為Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,3)，因此一共有Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,3)＝1260個沒有重復數(shù)字的四位數(shù)．角度2與幾何有關的問題例4(1)從正方體的6個面中選取3個面，其中有2個面不相鄰的選法共有()A．8種B．12種C．16種D．20種答案B解析正方體共有3組對面互不相鄰．與正方體的每組對面相鄰的面有4個，所以有3×4＝12(種)選法．(2)假如一條直線與一個平面平行，那么稱此直線與平面構成一個“平行線面組”．在一個長方體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構成的“平行線面組”的個數(shù)是()A．60B．48C．36D．24答案B解析長方體的6個表面構成的“平行線面組”個數(shù)為6×6＝36，另含4個頂點的6個面(非表面)構成的“平行線面組”個數(shù)為6×2＝12，故符合條件的“平行線面組”的個數(shù)是36＋12＝48.角度3與涂色、種植有關的問題例5(1)用5種不同顏色給圖中A，B，C，D四個區(qū)域涂色，規(guī)定每個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不同，則不同的涂色方法種數(shù)為()A．120B．160C．180D．240答案C解析依據(jù)題意，因為規(guī)定一個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰的區(qū)域顏色不同，可分步進行，區(qū)域A有5種涂法，B有4種涂法，D有3種涂法，C有3種涂法，所以共有5×4×3×3＝180種不同的涂色方法．故選C.(2)(2024·四川瀘州模擬)如圖，將一環(huán)形花壇分成A，B，C，D四塊，現(xiàn)有3種不同的花供選種，要求在同一塊中種一種花，且相鄰的2塊種不同的花，則不同的種法總數(shù)為()A．12B．24C．18D．6答案C解析四塊地種2種不同的花共有Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)＝6種不同的種植方法，四塊地種3種不同的花共有2Aeq\o\al(3,3)＝12種不同的種植方法，所以共有6＋12＝18種不同的種植方法，故選C.觸類旁通利用兩個計數(shù)原理解題時的三個留意點(1)當題目無從下手時，可考慮要完成的這件事是什么，即怎樣做才算完成這件事，然后給出完成這件事的一種或幾種方法，從這幾種方法中歸納出解題方法．2分類時，標準要明確，做到不重不漏，有時要恰當畫出示意圖或樹狀圖，使問題的分析更直觀、清晰，便于探究規(guī)律.eq\a\vs4\al(3對于困難問題，一般是