2024-2025學年高中數(shù)學第四章圓與方程4.3.2空間兩點間的距離公式練習含解析新人教A版必修2

PAGE1-第34課時空間兩點間的距離公式對應學生用書P95學問點一空間兩點間的距離1．在空間直角坐標系中，點A(3，2，－5)到x軸的距離d等于()A．eq\r(32＋22)B．eq\r(22＋－52)C．eq\r(32＋－52)D．eq\r(32＋22＋－52)答案B解析過點A作AB⊥x軸于點B，則B(3，0，0)，所以點A到x軸的距離d＝|AB|＝eq\r(22＋－52)．2．如圖，在空間直角坐標系中，有一棱長為a的正方體ABCO－A′B′C′O′，則A′C的中點E與AB的中點F的距離為()A．eq\r(2)aB．eq\f(\r(2),2)aC．a(chǎn)D．eq\f(1,2)a答案B解析A′(a，0，a)，C(0，a，0)，點E的坐標為eq\f(a,2)，eq\f(a,2)，eq\f(a,2)，而Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(a,2)，0))，∴|EF|＝eq\r(\f(a2,4)＋02＋\f(a2,4))＝eq\f(\r(2),2)a，故選B．學問點二兩點間公式的應用3．點P(x，y，z)滿意eq\r(x－12＋y－12＋z＋12)＝2，則點P在()A．以點(1，1，－1)為球心，以eq\r(2)為半徑的球面上B．以點(1，1，－1)為中心，以eq\r(2)為棱長的正方體內C．以點(1，1，－1)為球心，以2為半徑的球面上D．以上都不正確答案C解析eq\r(x－12＋y－12＋z＋12)表示P(x，y，z)到點M(1，1，－1)的距離，即|PM|＝2為定值．故點P在以點(1，1，－1)為球心、以2為半徑長的球面上．4．如圖所示，PA，AB，AD兩兩相互垂直，四邊形ABCD為矩形，M，N分別為AB，PC的中點．求證：MN⊥AB．證明如圖所示，以A為坐標原點，分別以AB，AD，AP所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，設AB＝a，BC＝b，PA＝c，則A(0，0，0)，設B(a，0，0)，D(0，b，0)，C(a，b，0)，P(0，0，c)，連接AN．因為M，N分別是AB，PC的中點，所以Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，0，0))，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，\f(b,2)，\f(c,2)))，則|AM|2＝eq\f(a2,4)，|MN|2＝eq\f(b2＋c2,4)，|AN|2＝eq\f(a2＋b2＋c2,4)，所以|AN|2＝|MN|2＋|AM|2，所以MN⊥AB．對應學生用書P96一、選擇題1．在空間直角坐標系中，肯定點P到三個坐標軸的距離都是1，則該點到原點的距離是()A．eq\f(\r(6),2)B．eq\r(3)C．eq\f(\r(3),2)D．eq\f(\r(6),3)答案A解析如圖所示，在正方體OABC－O1A1B1C1中，設正方體的棱長為a(a＞0)，則點P在頂點B1處，建立分別以OA，OC，OO1所在直線為x軸，y軸，z軸的空間直角坐標系，則點P的坐標為(a，a，a)，由題意得eq\r(a2＋a2)＝1，∴a2＝eq\f(1,2)，∴|OP|＝eq\r(3a2)＝eq\r(3×\f(1,2))＝eq\f(\r(6),2)．2．與兩點A(3，4，5)，B(－2，3，0)距離相等的點M(x，y，z)滿意的條件是()A．10x＋2y＋10z－37＝0B．5x－y＋5z－37＝0C．10x－y＋10z＋37＝0D．10x－2y＋10z＋37＝0答案A解析由|MA|＝|MB|，即(x－3)2＋(y－4)2＋(z－5)2＝(x＋2)2＋(y－3)2＋z2，化簡得10x＋2y＋10z－37＝0，故選A．3．到定點(1，0，0)的距離小于或等于2的點的集合是()A．{(x，y，z)|(x－1)2＋y2＋z2≤2}B．{(x，y，z)|(x－1)2＋y2＋z2≤4}C．{(x，y，z)|(x－1)2＋y2＋z2≥4}D．{(x，y，z)|x2＋y2＋z2≤4}答案B解析由空間兩點間的距離公式可得，點P(x，y，z)到定點(1，0，0)的距離應滿意eq\r(x－12＋y2＋z2)≤2，即(x－1)2＋y2＋z2≤4．4．已知A(x，5－x，2x－1)，B(1，x＋2，2－x)，當|AB|取最小值時，x的值為()A．19B．－eq\f(8,7)C．eq\f(8,7)D．eq\f(19,14)答案C解析|AB|＝eq\r(x－12＋3－2x2＋3x－32)＝eq\r(14x2－32x＋19)＝eq\r(14\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(8,7)))2＋\f(5,7))，∴當x＝eq\f(8,7)時，|AB|最?。?．△ABC的頂點坐標是A(3，1，1)，B(－5，2，1)，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8,3)，2，3))，則它在yOz平面上射影的面積是()A．4B．3C．2D．1答案D解析△ABC的頂點在yOz平面上的射影點的坐標分別為A′(0，1，1)，B′(0，2，1)，C′(0，2，3)，∵|A′B′|＝eq\r(0－02＋1－22＋1－12)＝1，|B′C′|＝eq\r(0－02＋2－22＋3－12)＝2，|A′C′|＝eq\r(0－02＋2－12＋3－12)＝eq\r(5)，∴|A′B′|2＋|B′C′|2＝|A′C′|2，∴△ABC在yOz平面上的射影△A′B′C′是一個直角三角形，它的面積為1．二、填空題6．在空間直角坐標系中，設A(m，1，3)，B(1，－1，1)，且|AB|＝2eq\r(2)，則m＝________．答案1解析|AB|＝eq\r(m－12＋[1－－1]2＋3－12)＝2eq\r(2)，解得m＝1．7．已知點Peq\f(3,2)，eq\f(5,2)，z到線段AB中點的距離為3，其中A(3，5，－7)，B(－2，4，3)，則z＝________．答案0或－4解析由中點坐標公式，得線段AB中點的坐標為eq\f(1,2)，eq\f(9,2)，－2．又點P到線段AB中點的距離為3，所以eq\r(\f(3,2)－\f(1,2)2＋\f(5,2)－\f(9,2)2＋[z－－2]2)＝3，解得z＝0或－4．8．點B(eq\r(3)，0，0)是點A(m，2，5)在x軸上的射影，則點A到原點的距離為________．答案4eq\r(2)解析由點B(eq\r(3)，0，0)是點A(m，2，5)在x軸上的射影，得m＝eq\r(3)，所以點A到原點的距離為d＝eq\r(\r(3)2＋22＋52)＝eq\r(32)＝4eq\r(2)．三、解答題9．如圖所示，直三棱柱ABC－A1B1C1中，|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，AC⊥CB，D，E，F(xiàn)分別是棱AB，B1C1，AC的中點，求|DE|，|EF|．解以點C為坐標原點，CA，CB，CC1所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系．∵|CC1|＝|CB|＝|CA|＝2，∴C(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，2，0)，C1(0，0，2)，B1(0，2，2)，由空間坐標系中的中點坐標公式可得D(1，1，0)，E(0，1，2)，F(xiàn)(1，0，0)，∴|DE|＝eq\r(1－02＋1－12＋0－22)＝eq\r(5)，|EF|＝eq\r(0－12＋1－02＋2－02)＝eq\r(6)．10．如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，|AB|＝|AD|＝3，|AA1|＝2，點M在A1C1上，且|MC1|＝2|A1M|，N為D1C的中點，求M，N兩點間的距離．解如圖，分別以AB，AD，AA1所在的直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系Axyz．由題意，可知C(3，3，0)，A1(0，0，2)，C1(3，3，2)，D1(0，3，2)．