吉林省松原市2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷(含詳解)

2024~2025學(xué)年度高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．若復(fù)數(shù)滿足，則（）A． B． C． D．2．已知向量，，若，則（）A． B． C． D．13．如圖，斜二測畫法的直觀圖是，的面積為6，那么的面積為（）A． B． C． D．4．已知平面，且，，則直線，的關(guān)系為（）A．不可能相交 B．一定異面C．一定平行 D．相交、平行或異面都有可能5．已知圓錐的母線長為2，軸截面面積為，則圓錐的側(cè)面積為（）A． B．或 C． D．或6．在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，．已知，，，則此三角形（）A．無解 B．有一解 C．解的個(gè)數(shù)不確定 D．有兩解7．如圖，為了測量河對面，兩建筑物之間的距離，小胡同學(xué)在處觀測，，分別在處的北偏西、北偏東方向．再往正東方向行駛32米至處，觀測在處的正北方向，在處的北偏西方向，則，兩建筑物之間的距離為（）A．米 B．米C．米 D．米8．如圖所示，在正方體中，，分別為，上的中點(diǎn)，且，點(diǎn)是正方形內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，若平面，則點(diǎn)的軌跡長度為（）A． B．C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知復(fù)數(shù)滿足，是的共軛復(fù)數(shù)，則下列說法正確的是（）A．復(fù)數(shù)在復(fù)平面中對應(yīng)的點(diǎn)在第三象限 B．的虛部為C． D．10．下列說法不正確的是（）A．若直線平面，則與內(nèi)任何直線都平行B．若直線，不共面，則，為異面直線C．若直線平面，平面平面，則D．如果空間中兩個(gè)角的兩條邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等11．在中，角，，的對邊分別為，，，，角的角平分線交于點(diǎn)，，，則下列說法正確的是（）A． B．C．的面積為 D．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知平面向量，，滿足，，且，則________．13．將一實(shí)心鐵球放入圓柱形容器中（厚度忽略不計(jì)），鐵球恰好與圓柱的內(nèi)壁相切，且鐵球的最高點(diǎn)與圓柱上底面在同一平面內(nèi)，則鐵球的體積與圓柱形容器的體積之比為________．14．拿破侖定理是法國著名軍事家拿破侖·波拿巴最早提出的一個(gè)幾何定理：“以任意三角形的三條邊為邊，向外構(gòu)造三個(gè)等邊三角形，則這三個(gè)等邊三角形的外接圓圓心恰為另一個(gè)等邊三角形（此等邊三角形稱為拿破侖三角形）的頂點(diǎn)”．在中，已知，且，現(xiàn)以，，為邊向外作三個(gè)等邊三角形，其外接圓圓心依次記為，，，則的面積的最大值為________．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟．15．（本小題滿分13分）已知復(fù)數(shù)，且為純虛數(shù)．（1）求復(fù)數(shù)；（2）若復(fù)數(shù)，求復(fù)數(shù)的模．16．（本小題滿分15分）如圖，在四棱錐中，四邊形是平行四邊形，，交于點(diǎn)，點(diǎn)是棱上的一點(diǎn)，且平面．（1）求證：點(diǎn)是的中點(diǎn)；（2）在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面平面？若存在，請加以證明，并寫出的值；若不存在，請說明理由．17．（本小題滿分15分）在平面直角坐標(biāo)系中，，，．（1）若，求實(shí)數(shù)，的值；（2）若，求實(shí)數(shù)的值．18．（本小題滿分17分）如圖，在中，點(diǎn)滿足，是線段的中點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與邊，分別交于點(diǎn)，．（1）若，求的值；（2）若，，求的最小值．19．（本小題滿分17分）在中，設(shè)角，，所對的邊分別為，，，已知，且三角形的外接圓半徑為．（1）求的大小；（2）若的面積為，求的值；（3）設(shè)的外接圓圓心為，且滿足，求的值．

參考答案、提示及評分細(xì)則題號(hào)12345678答案BDAABDDA題號(hào)91011答案ACACDAC一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．【答案】B【解析】由題意，，則，故選B．2．【答案】D【解析】，，∵，∴，即，∴．故選D．3．【答案】A【解析】由，則，如圖，作出還原后，則，故，所以．故選A．4．【答案】A【解析】由平面，且，可知直線，沒有公共點(diǎn)，故它們一定不相交，即可能是平行或異面．故選A．5．【答案】B【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為，高為，則，且，解得或，所以圓錐的側(cè)面積為或，故選B．6．【答案】D【解析】由正弦定理，得，解得．因?yàn)?，所以．又因?yàn)椋曰?，故此三角形有兩解．故選D．7．【答案】D【解析】由題意知，，，所以，在中，由正弦定理，得，解得，又，，所以，，又，在中，由余弦定理，得，解得，所以，兩建筑物之間的距離為米．故選D．8．【答案】A【解析】如圖所示，作交于點(diǎn)，作交于點(diǎn)，連接，∵，，，∴平面平面，又∵點(diǎn)是正方形內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，∴點(diǎn)在線段上，即軌跡．故選A．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．【答案】AC【解析】，在復(fù)平面中對應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，故A正確；的虛部為5，故B錯(cuò)誤；，故C正確；虛數(shù)不能比較大?。蔇錯(cuò)誤，故選AC．10．【答案】ACD11．【答案】AC【解析】由余弦定理得，即，所以，又，所以，，解得．在中，，故A正確；在中，，解得．故B錯(cuò)誤；，故C正確；，解得，故D錯(cuò)誤，故選AC．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．【答案】【解析】依題意，，而，．且，則，所以．13．【答案】【解析】設(shè)鐵球的半徑為，則圓柱的高為，所以鐵球的體積與圓柱形容器的體積之比為．14．【答案】【解析】設(shè)的三個(gè)內(nèi)角，，的對邊分別為，，．由題設(shè)得，，∴，，故．在中，由余弦定理可得，，即，又．∴，即（等號(hào)當(dāng)時(shí)成立），故．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟．15．【答案】（1）（2）【解析】（1）由題意得，2分∵是純虛數(shù)，∴，，4分∴，∴；6分（2），9分∴，∴，11分∴．13分16．【答案】（1）詳見解析（2）存在點(diǎn)，使得平面平面，此時(shí)，證明見解析【解析】（1）因?yàn)樗倪呅问瞧叫兴倪呅?，則點(diǎn)是的中點(diǎn)，因?yàn)槠矫?，平面平面，平面，所以?分所以，所以點(diǎn)是的中點(diǎn)；7分（2）存在點(diǎn)，使得平面平面，此時(shí)，9分因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，所以，又四邊形是平行四邊形，所以，所以，又平面，平面，所以平面．11分在中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，所以，又平面，平面，所以平面，13分又，平面，所以平面平面．15分17．【答案】（1），（2）1【解析】（1）由，有，2分有4分解得故，；7分（2）由，9分，11分又由，有，解得，故．15分18．【答案】（1）（2）【解析】（1）因?yàn)?，所以?分因?yàn)槭蔷€段的中點(diǎn)，所以，4分設(shè)．則有，5分因?yàn)椋?，三點(diǎn)共線，所以，6分解得，即，所以，所以；8分（2）因?yàn)?，同理可得，由?）可知，，所以，因?yàn)椋?，三點(diǎn)共線，所以，即，12分所以，14分當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為．17