2025年數(shù)學中考沖刺專題提升導與練-與二次函數(shù)性質有關的探究問題

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2025年數(shù)學中考沖刺專題提升導與練-與二次函數(shù)性質有關的探究問題1．問題情境：“綜合與實踐”課上，老師讓同學們以“矩形的翻折”為主題開展數(shù)學活動．第1步：有一張矩形紙片，在邊上取一點沿翻折，使點落在矩形內部處；第2步：再次翻折矩形，使與所在直線重合，點落在直線上的點處，折痕為．翻折后的紙片如圖1所示（1）的度數(shù)為____________；（2）若，求的最大值；拓展應用：（3）一張矩形紙片通過問題情境中的翻折方式得到如圖2所示的四邊形紙片，其中的一邊與矩形紙片的一邊重合，，，求該矩形紙片的面積．2．閱讀材料：小明同學在平面直角坐標系中研究中點時，發(fā)現(xiàn)了一個有趣的結論：若，是平面直角坐標系內兩點，是的中點，則有結論，．這其實就是中點坐標公式，有了這個公式可以解決很多坐標系中求中點坐標的問題．已知：二次函數(shù)的函數(shù)圖像上分別有，兩點，其中，，分別在對稱軸的異側，是中點，是中點．利用閱讀材料解決如下問題：概念理解：(1)如圖1，若，求出，的坐標．解決問題：(2)如圖2，點是關于軸的對稱點，作軸交拋物線于點．延長至，使得．試判斷是否在軸上，并說明理由．拓展探究：(3)如圖3，是一個動點，作軸交拋物線于點．延長至，使得．①令，試探究值是否為定值，若是，求出這個定值；若不是，請說明理由．②在①條件下，軸上一點，拋物線上任意一點，連接，，直接寫出的最小值．3．已知二次函數(shù)與x數(shù)軸交于點A、B（A在B的左側），與y軸交于點C，連接．發(fā)現(xiàn)：點A的坐標為__________，求出直線的解析式；拓展：如圖1，點P是直線下方拋物線上一點，連接、，當面積最大時，求出P點的坐標；探究：如圖2，拋物線頂點為D，拋物線對稱軸交于點E，M是線段上一動點（M不與B、C兩點重合），連接，設M點的橫坐標為，當m為何值時，四邊形為平行四邊形？4．我們常借助圖象來探究二次函數(shù)的性質及其變化規(guī)律．【初步探究】如圖1，我們將二次函數(shù)的圖象向上平移得到的圖象．過上點作軸交于點．

（1）點在上運動的過程中，線段的長度是否會發(fā)生變化？若不變，請求出定值；若變化，請說明理由．【拓展探究】如圖2，線段分別交軸、軸于點，．平移得到，且使其頂點始終在線段上．過點作軸交于點．（2）若的頂點橫坐標為4，，求點的橫坐標．（3）若點的坐標為，的頂點橫坐標為，的長為．①求關于的函數(shù)解析式；②求的最大值．5．綜合與實踐【問題情境】某數(shù)學興趣小組開展數(shù)學活動，探索繩子垂下時形狀的變化．如圖1是一個伸縮扣，通過它可自由調節(jié)繩子的長度．如圖2是一個單杠的示意圖，，，單杠的高度，單杠的長為，將一條帶有伸縮扣的繩子兩端系于單杠上的點E，F(xiàn)處，，繩子自然下垂時近似成拋物線形，此時繩子的最低點到地面的距離為，拋物線記為．興趣小組以A點為原點建立如圖3所示的平面直角坐標系．（1）求拋物線的函數(shù)表達式．（2）小明站在單杠下豎直向上伸手，手到地面的距離為，此時剛好接觸到繩子，求小明到立柱的距離．【拓展探究】興趣小組將繩子兩端E，F(xiàn)分別向A，D滑動，每次滑動距離均為，直至繩子兩端分別到達點A，D處停止，滑動過程中通過調節(jié)繩子的長度保持拋物線的形狀一致，依次得到拋物線……（3）當滑動第n次時，繩子的最低點與單杠的距離是多少？用含n的代數(shù)式表示．（4）興趣小組探究之間的特殊位置關系時，發(fā)現(xiàn)直線與三條拋物線組成的圖形只有三個交點，直接寫出m的值．6．【建立模型】（1）如圖1，點B是線段上的一點，，，，垂足分別為C，B，D，．求證：；【類比遷移】（2）如圖2，點在反比例函數(shù)圖像上，連接，將繞點O逆時針旋轉到，若反比例函數(shù)經過點B．①求點B的坐標；②求反比例函數(shù)的解析式；【拓展延伸】（3）如圖3，拋物線與x軸交于A，B兩點(點A在點B的左側)，與y軸交于C點，已知點，連接，拋物線上是否存在點M，使得，若存在，求出點M的橫坐標．

7．綜合與實踐如圖，在中，點是斜邊上的動點（點與點不重合），連接，以為直角邊在的右側構造，連接．

特例感知（1）如圖1，當時，與之間的位置關系是，數(shù)量關系是．類比遷移（2）如圖2，當時，猜想與之間的位置關系和數(shù)量關系，并證明猜想．拓展應用（3）在（1）的條件下，點與點關于對稱，連接，，，如圖3．已知，設，四邊形的面積為．求與的函數(shù)表達式，并求出的最小值．8．【建立模型】（1）如圖1，點B是線段上的一點，，垂足分別為點C，B，D，．求證：．【類比遷移】（2）如圖2，點A在一次函數(shù)的圖象上，連接，將繞點O逆時針旋轉到，若一次函數(shù)經過點A，B．①求的值；②求經過點A，B的直線的解析式．【拓展延伸】（3）如圖3，拋物線與軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），與軸交于點C，已知點，連接，拋物線上是否存在點M，使得?若存在，求出點M的橫坐標．9．問題背景：如圖1，在四邊形中，點為上一點，，求證：．（無需證明）(1)探究：如圖2，在四邊形中，點為上一點，當時，上述結論是否依然成立？說明理由．(2)應用：請利用（1）獲得的經驗解決問題：如圖3，在中，，，點以每秒1個單位長度的速度，由點出發(fā)，沿邊向點運動，且滿足，設點的運動時間為（秒），當以為圓心，以為半徑的圓與相切時，求的值．(3)拓展：在（2）的條件下，當時，直接寫出點在邊上所走的總路程__________．10．定義：在平面直角坐標系中，拋物線與軸的交點坐標為，那么我們把經過點且平行于軸的直線稱為這條拋物線的極限分割線．【特例感知】(1)拋物線的極限分割線與這條拋物線的交點坐標為______．【深入探究】(2)經過點和的拋物線與軸交于點，它的極限分割線與該拋物線另一個交點為，請用含的代數(shù)式表示點的坐標．【拓展運用】(3)在（2）的條件下，設拋物線的頂點為，直線垂直平分，垂足為，交該拋物線的對稱軸于點．①當時，求點的坐標．②若直線與直線關于極限分割線對稱，是否存在使點到直線的距離與點到直線的距離相等的的值？若存在，直接寫出的值；若不存在，請說明理由．11．在中，是銳角，點在射線上運動，連接，將線段繞點逆時針旋轉，得到，連接．

(1)操作發(fā)現(xiàn)：若，，當在線段上時不與點重合，如圖①所示，線段和的位置關系是______，數(shù)量關系是______；(請直接寫出結果)(2)猜想論證：在(1)的條件下，當在線段的延長線上時，如圖②所示，請你判斷中結論是否成立，并證明你的判斷．(3)拓展延伸：如圖③，若，，點在線段上運動，試探究：當銳角等于多少度時，線段和之間的位置關系仍成立點、重合除外，請說明理由．此時若作交線段于點，且當時，求線段長度的最大值．12．【問題背景】如圖1，二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、B兩點，頂點為C，現(xiàn)將圖象位于x軸下方的部分沿x軸翻折到x軸上方，圖象的其余部分保持不變，翻折后的部分與原圖象x軸上方部分組成新的函數(shù)圖象．【問題探究】（1）請求出A、B、C三點的坐標；（2）若直線與新的函數(shù)圖象恰好有3個公共點時，求b的值；【問題拓展】（3）如圖2，直線l與x軸平行，且與新的函數(shù)圖象共有4個公共點，從左到右依次為點P、Q、M、N，當時，求點M的坐標．13．【綜合與實踐】如圖，在中，點是斜邊上的動點（點與點不重合），連接，以為直角邊在的右側構造，，連接，．【特例感知】（1）如圖1，當時，與之間的位置關系是，數(shù)量關系是．【類比遷移】（2）如圖2，當時，猜想與之間的位置關系和數(shù)量關系，并證明猜想．【拓展應用】（3）在（1）的條件下，點與點關于對稱，連接，如圖3．已知，設，四邊形的面積為．①求與的函數(shù)表達式，并求出的最小值；②當時，請直接寫出的長度．14．某數(shù)學興趣小組對線段上的動點問題進行探究，已知AB=8.問題思考：如圖1，點P為線段AB上的一個動點，分別以AP、BP為邊在同側作正方形APDC與正方形PBFE.（1）在點P運動時，這兩個正方形面積之和是定值嗎？如果是求出；若不是，求出這兩個正方形面積之和的最小值.（2）分別連接AD、DF、AF，AF交DP于點A，當點P運動時，在△APK、△ADK、△DFK中，是否存在兩個面積始終相等的三角形？請說明理由.問題拓展：（3）如圖2，以AB為邊作正方形ABCD，動點P、Q在正方形ABCD的邊上運動，且PQ=8.若點P從點A出發(fā)，沿A→B→C→D的線路，向D點運動，求點P從A到D的運動過程中，PQ的中點O所經過的路徑的長．(4)如圖（3），在“問題思考”中，若點M、N是線段AB上的兩點，且AM=BM=1，點G、H分別是邊CD、EF的中點.請直接寫出點P從M到N的運動過程中，GH的中點O所經過的路徑的長及OM+OB的最小值.答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《2025年數(shù)學中考沖刺專題提升導與練-與二次函數(shù)性質有關的探究問題》參考答案1．（1）（2）（3）【分析】（1）由折疊性質得出，結合平角定義，化簡得，即可作答．（2）設則設，由矩形、折疊性質得，證明，即，代入數(shù)值進行計算，得，結合二次函數(shù)的圖象性質，即可作答．（3）分兩種情況補充圖形，當以為矩形的一邊，補充矩形如下圖，將折疊到的位置，折疊到的位置，連接，易得,由勾股定理可知,解得：,設,則,代入相似得到的比例式即可求解，從而得到面積；當以為矩形的一邊，補充矩形如下圖，將折疊到的位置，折疊到的位置，連接，同理可求解.【詳解】解：（1）如圖：∵點沿翻折，使點落在矩形內部處，與所在直線重合，點落在直線上的點處，∴，∵，∴，即的度數(shù)為；（2）設則設，∵折疊∴，∵，∴，∴，∴，即，∴，∵，∴開口向下，在時，有最大值，把代入，得出；∴的最大值為（3）分兩種情況：當以為矩形的一邊，補充矩形如下圖，將折疊到的位置，折疊到的位置，連接由折疊情景，得出，易得,則有,由勾股定理可知,∴,解得：,設,則,∴，解得：∴當以為矩形的一邊，補充矩形如下圖，將折疊到的位置，折疊到的位置，連接，由折疊情景，得出，易得,則有,同（1）可得：,設設，則,，解得：∴【點睛】本題考查了矩形與折疊，勾股定理，二次函數(shù)的實際應用，相似三角形的判定與性質，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵．2．(1)；(2)是在軸上，理由見解析(3)①是，；②【分析】（1）直接根據(jù)中點坐標公式求解即可；（2）先根據(jù)題意以及坐標與圖形性質分別求出點A、C、D、E、F坐標，進而可得結論；（3）①利用中點坐標公式和坐標與圖形性質，結合已知可求得，，進而可得到，可得結論；②根據(jù)題意和兩點之間線段最短可知，當點G、H、F共線時，最小，最小值為的長度，利用兩點坐標距離公式和二次函數(shù)的性質求解即可．【詳解】（1）解：∵，，是中點，∴，，；，，是中點，，；（2）解：是在軸上，理由如下：，點是關于軸的對稱點，，是中點，是中點，，則；軸交拋物線于點，，把代入得，，，，，軸，且，是在軸上；（3）解：①，，是中點，；是中點，；軸交拋物線于點，，把代入得，，軸交拋物線于點．延長至，使得，，，，即，，，，點在上，，，軸，，即，，，綜上是一個定值；②∵是軸上一點，是拋物線上任意一點，，∴當點G、H、F共線時，最小，最小值為的長度，∵，∴，∵，∴當時，最小，最小值為，此時，最小為，故的最小值為．【點睛】本題考查了中點坐標公式、坐標與圖形性質、二次函數(shù)的圖象與性質、兩點坐標距離公式、兩點之間線段最短等知識，熟練掌握相關知識的聯(lián)系與運用，利用數(shù)形結合思想求解是解答的關鍵．3．發(fā)現(xiàn)：，直線的解析式為；拓展：；探究：當時，四邊形為平行四邊形【分析】發(fā)現(xiàn)：令代入求解可得A、B坐標，然后令可得C點的坐標，進而利用待定系數(shù)法可求直線解析式；拓展：過點P作軸，交于點H，設點，則有，然后可得，進而根據(jù)鉛垂法可進行求解；探究：由拋物線解析式可得對稱軸為直線，則有，根據(jù)拓展可知，然后根據(jù)平行四邊形的性質可得，進而求解即可．【詳解】解：發(fā)現(xiàn)：令時，則，解得：，令時，則有，∴，，，設直線的解析式為，則有：，解得：，∴直線的解析式為；拓展：過點P作軸，交于點H，如圖所示：設點，則有，∴，∴，∵，且函數(shù)開口向下，∴當時，的面積最大，此時點；探究：由拋物線解析式可知對稱軸為直線，∴，∴，∵四邊形為平行四邊形，∴，由題意知，則，∴，∴，解得：（不符合題意，舍去），∴當時，四邊形為平行四邊形．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的綜合，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質是解題的關鍵．4．（1）的長度不變，；（2）點的橫坐標為或；（3）①當時，；當時，；②【分析】本題主要考查二次函數(shù)的性質，涉及二次函數(shù)的平移、根據(jù)頂點坐標求函數(shù)解析式和二次函數(shù)的性質，解題的關鍵是熟悉二次函數(shù)的性質和分類討論思想的應用．（1）理由一：因為是由向上平移3個單位長度得到，相同的對應的函數(shù)值相差3．理由二：作差求得，則．（2）根據(jù)點的橫坐標和直線，求得的頂點坐標，則的函數(shù)解析式為，設，，分點在點上方和點在點上方兩種情況求解即可；（3）①根據(jù)題意得頂點為，則的函數(shù)解析式為，進一步求得，當點和點重合時求得m，分當和時，分別求得；②結合①利用二次函數(shù)的性質分別求得最大值即可；【詳解】解：（1）的長度不變，．理由一：因為是由向上平移3個單位長度得到，相同的對應的函數(shù)值相差3．理由二：∵，∴．（2）∵，的頂點橫坐標為4，∴的頂點坐標為，∴的函數(shù)解析式為．設，．當點在點上方時，，則；當點在點上方時，，則．∴點的橫坐標為或．（3）①∵的頂點橫坐標為，∴頂點為．∴的函數(shù)解析式為．∵，∴．當點，重合時，，解得，．當時，；當時，．②當時，．∵，對稱軸為直線，∴當時，的最大值．當時，．∵，對稱軸為直線，∴當時，隨的增大而增大，∴當時，的最大值．∵．∴的最大值為．5．（1）；（2）或（3）；（4）【分析】此題考查了二次函數(shù)的實際應用，解題的關鍵是熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質．（1）根據(jù)待定系數(shù)法求解即可；（2）將代入求解即可；（3）根據(jù)題意設拋物線的解析式為，再代入求解即可．（4）首先求出，然后分別轉化成頂點式求出頂點坐標，進而求解即可．【詳解】解：（1）根據(jù)題意可得，即，，拋物線的頂點坐標為，∴可設拋物線的解析式為，將點代入可得，解得，∴拋物線的解析式為；（2）將代入可得，，解得：，故小明到立柱的距離是或．（3）根據(jù)題意設拋物線的解析式為∴當時，，∴繩子的最低點與單杠的距離為．（4）根據(jù)題意可得直線與三條拋物線組成的圖形只有三個交點，，，∴的頂點為，∴直線與只有三個交點．∴．6．（1）證明詳見解析；（2）①；②；（3）存在，或．【分析】（1）根據(jù)題意得出，，證明，即可得證；（2）①如圖2，分別過點A，B作軸，軸，垂足分別為C，D．求解，，．利用，可得；②由反比例函數(shù)經過點，可得，可得答案；（3）如圖3，當M點位于x軸上方，且，過點Q作，交于點D，過點D作軸于點E．證明，可得，，可得，求解，令，可得M的橫坐標為；如圖，當M點位于x軸下方，且，同理可得，為．由，可得M的橫坐標是．【詳解】證明：（1）如圖，

∵，，，∴，∴，∴，又∵，∴．（2）①如圖2，分別過點A，B作軸，軸，垂足分別為C，D．

將代入得：，∴，，．同（1）可得，∴，，∴，②∵反比例函數(shù)經過點，∴，∴；（3）存在；如圖3，當M點位于x軸上方，且，過點Q作，交于點D，過點D作軸于點E．

∵，，∴，∴，∵軸，，∴，，∴，∵，∴，∴，，令，得，，∴，又，∴，∴，設為，則

解得：，∴令，得，(舍去)，∴M的橫坐標為；如圖，當M點位于x軸下方，且，

同理可得，為．由，得，(舍去)∴M的橫坐標是．綜上：M的橫坐標為或．【點睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質，反比例函數(shù)的應用，二次函數(shù)的性質，一元二次方程的解法，熟練的利用類比的方法解題是關鍵．7．（1），；（2），證明見解析；（3），最小值18【分析】本題考查全等三角形判定及性質，相似三角形判定及性質，正方形判定及性質，勾股定理，二次函數(shù)最值等．（1）根據(jù)題意證明，再利用性質得到，，繼而得到本題答案；（2）先證明，再利用相似性質得，再得到，即可；（3）連接交于，利用勾股定理得到，再證明出四邊形是正方形，繼而得到關系式，并利用二次函數(shù)頂點式即可得到最大值．【詳解】解：（1）∵，∴，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，，∴，即，故答案為：，；（2），證明如下：∵，∴，∵，∴，∴，，則，∵，∴，∴，∴；（3）連接交于，由（1）知，，，

∴，∴，，，∴，∵點與點關于對稱，∴垂直平分，∴，，∵，∴，∵，∴四邊形是正方形，∴，∴與的函數(shù)表達式：，由，∴其最小值為18．8．（1）證明見解析；（2）①，②直線的解析式為（3）或【分析】（1）根據(jù)題意得出，，證明，即可得證；（2）①點A在一次函數(shù)的圖象上，代入表達式求出結論；②先求出點，將點代入得直線的解析式求出結論；（3）如圖3，當M點位于x軸上方，且，過點Q作，交于點D，過點D作軸于點E．證明，可得，，可得，求解，令，可得M的橫坐標為；如圖，當M點位于x軸下方，且，同理可得，為．由，可得M的橫坐標是．【詳解】（1）證明：如圖，

∵，，，∴，∴，∴，又∵，∴．（2）①∵點A在一次函數(shù)的圖象上，∴，解得：；②如圖所示，分別過點作軸，軸，垂足分別為，∵將繞點O逆時針旋轉到，∴，又，∴，∴，∴，∵，一次函數(shù)經過點A，B，將代入得：，解得：∴直線的解析式為；（3）存在；如圖3，當M點位于x軸上方，且，過點Q作，交于點D，過點D作軸于點E．

∵，，∴，∴，∵軸，，∴，，∴，∵，∴，∴，，令，得，，∴，又，∴，∴，設表達式為，則

，解得：，∴直線表達式，令，得，(舍去)，∴M的橫坐標為；如圖，當M點位于x軸下方，且，

同理可得，直線表達式為．由，得，(舍去)∴M的橫坐標是．綜上：M的橫坐標為或．【點睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質，反比例函數(shù)的應用，二次函數(shù)的性質，一元二次方程的解法，熟練的利用類比的方法解題是關鍵．9．(1)依然成立；理由見解析(2)，(3)2【分析】（1）證明，即可得證；（2）過點作于點，利用勾股定理求出的長，根據(jù)切線的性質，得到，進而求出的長，由（1）可知，列式求解即可；（3）根據(jù)，得到關于的二次函數(shù)，推出點從點出發(fā)，當時，達到最大值，此時點運動的總路程為，接著點向點返回，求出返回的路程，兩個路程和即為所求．【詳解】（1）解：結論依然成立；理由如下：∵，∴．∵，∴，∴，∴，∴；（2）過點作于點，∵，∴．∴；∵以為圓心，以為半徑的圓與相切．∴，∴∵，∴，∴，同法（1）可知：，設點的運動時間為（秒），則：，∴，解得：，；即：當運動秒或秒時，以為圓心，以為半徑的圓與相切．（3）解：設點的運動時間為（秒），則：，∵，∴，∴；∵，對稱軸為，∴當時，的值先增大，再減小，即：點從點出發(fā)，當時，達到最大值，此時點運動的總路程為，接著點向點返回，當時：，即第秒到第秒，向移動了：，∴當時，點在邊上所走的總路程；故答案為：2．【點睛】本題考查相似三角形的判定和性質，切線的性質，以及二次函數(shù)的性質．本題是一線三等角相似模型，熟練掌握相似三角形的判定方法，證明三角形相似，是解題的關鍵．10．(1)和(2)點的坐標為(3)①頂點為或頂點為；②存在，或或【分析】（1）根據(jù)定義，確定c值，再建立方程組求解即可．（2）把點代入解析式，確定，根據(jù)定義建立方程求解即可．（3）①根據(jù)等腰直角三角形的性質，得到等線段，再利用字母表示等線段建立絕對值等式計算即可．②設與對稱軸的交點為，用含的式子表示出點的坐標，分別寫出極限分割線、直線及直線的解析式，用含的式子分別表示出點到直線的距離和點到直線的距離，根據(jù)點到直線的距離與點到直線的距離相等，得出關于的絕對值方程，解方程即可．【詳解】（1）∵拋物線的對稱軸為直線，極限分割線為，極限分割線與這條拋物線的一個交點坐標為，則另一個交點坐標為．故答案為：和．（2）拋物線經過點，∴∴∴，解得∴點D的坐標為．（3）①設與對稱軸交于點，若，則．

∵點C的坐標為，點D的坐標為．．∴，∴，∴，解得．∵拋物線的頂點為，∴拋物線的頂點為，∴當時，，故頂點為；∴當時，，故頂點為；∴頂點為或頂點為．存在，或或．如圖，設與對稱軸的交點為．

由知，，拋物線的頂點為，∴拋物線的極限分割線：，直線垂直平分，∴直線：，∴點到直線的距離為；直線與直線關于極限分割線對稱，直線：，∵，∴點到直線的距離為，點到直線的距離與點到直線的距離相等，∴，∴或，解得或或，故或或．【點睛】．查了拋物線與坐標軸的交點坐標和直線與拋物線的交點坐標等知識點，明確題中的定義、熟練掌握二次函數(shù)的圖像與性質及絕對值方程是解題的關鍵．11．(1)，(2)成立，證明見解析(3)時，線段和之間的位置關系仍成立，理由見解析，最大值為【分析】（1）線段繞點逆時針旋轉得到，根據(jù)旋轉的性質得到，，得到，根據(jù)全等三角形的性質可得，，得到，即可得結論，．（2）（1）中的結論仍然成立，證明的方法與()一樣；（3）過作于，過點作垂直于延長線于(如圖)，根據(jù)已知條件證，可得，再證明，設，根據(jù)相似三角形的性質列出比例式，得到與的二次函數(shù)關系式，利用二次函數(shù)性質解決問題即可.【詳解】（1）解：，，線段繞點逆時針旋轉得到，，，，，，，線段，之間的位置關系和數(shù)量關系為：，；故答案為：，；（2）中的結論仍然成立．理由如下：如圖2，

線段繞點逆時針旋轉得到，，，，，在和中，．，，，，∴線段，之間的位置關系和數(shù)量關系為：，．（3）當時，線段和之間的位置關系仍成立．過作于，過點作垂直于延長線于，如圖，

線段繞點逆時針旋轉得到，，，，，，，是等腰直角三角形，，，，，，四邊形為平行四邊形，，四邊形為矩形，，．，．設，在中，，，，，，，當時有最大值，最大值為．【點睛】本題考查了旋轉的性質、全等三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質及二次函數(shù)的應用，解決第（3）問，利用相似三角形的性質構建二次函數(shù)模型是解決問題的關鍵．12．（1）A、B、C三點的坐標分別為：、、；（2）或；（3）．【分析】（1）對于，令，則或1，則函數(shù)的對稱軸為直線，則，即可求解；（2）分兩種情況討論，當直線與函數(shù)的圖象相切時和當直線經過點B時，據(jù)此即可求解；（3）根據(jù)函數(shù)的對稱性得：，得到，即可求解．【詳解】解：（1）對于，令，則或1，則函數(shù)的對稱軸為直線，當時，，則，故A、B、C三點的坐標分別為：、、；（2）由翻折的性質得，翻折后的拋物線表達式為：，分兩種情況討論，①當直線與函數(shù)的圖象相切時：聯(lián)立和得：，整理得：則，則，②當直線經過點B時：將點B的坐標代入得：，則，綜上，或；（3）根據(jù)函數(shù)的對稱性得：，∵，則，即，設直線l為：，聯(lián)立和得：，則，，則，同理可得：，則，解得：，令，解得：(舍去負值)，即點．【點睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運用，涉及到圖象翻折、一次函數(shù)的圖象和性質，確定臨界點和利用根和系數(shù)的關系處理數(shù)據(jù)是解題的關鍵．13．（1），；（2），，證明見解析；（3）①，的最小值為32；②或【分析】（1）根據(jù)三角形全等的判定證出，根據(jù)全等三角形的性質可得，，則，即，由此即可得；（2）先證出，再根據(jù)相似三角形的性質可得，，則，即，由此即可得；（3）①先證出四邊形是正方形，再過點作于點，則，分和兩種情況，求出的長，然后利用勾股定理可得，則可得關于的函數(shù)表達式，利用二次函數(shù)的性質即可得的最小值；②連接交于點，連接，則正方形是的內接正方形，對角線是的兩條直徑，先根據(jù)圓周角定理可得點在上，，再過點作于點，過點作于點，根據(jù)垂徑定理可得，，根據(jù)矩形的判定與性質可得，利用勾股定理可得的長，然后求出正方形的面積的值，代入函數(shù)關系式求解即可得．【詳解】解：（1）當時，，∴，，∵，，∴，即，在和中，，∴，∴，，又∵，∴，∴，即，∴．故答案為：，．（2），，證明如下：∵，，∴，即，在和中，，∴，∴，，又∵，∴，∴，即，∴．（3）①當時，，∴，，∵，∴，∵點與點關于對稱，∴，∴，∴四邊形是菱形，又∵，∴菱形是正方形．如圖，過點作于點，則，當時，，∴；當時，，∴；綜上，，由二次函數(shù)的性質可知，當時，取得最小值，最小值為32．②如圖，連接交于點，連接，則正方形是的內接正方形，對角線是的兩條直徑，由上已證：，即，∴點在上，由圓周角定理得：，過點作于點，過點作于點，∴，，∵，，，∴四邊形是矩形，∴，∴，∴直徑，∴正方形的面積，由（3）①已得：，∴，解得或，均符合題意，所以的長度為或．【點睛】本題考查了三角形全等的判定與性質、正方形的判定與性質、勾股定理、相似三角形的判定與性質、二次函數(shù)的應用、圓周角定理、垂徑定理、一元二次方程的應用等知識，綜合性強，難度大，通過作輔助線，構造圓，利用到圓