平面+高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊(cè)

第

8章立體幾何初步8.4.1平面情景引入在《西游記》中,如來(lái)佛對(duì)孫悟空說(shuō):“你一個(gè)跟頭雖有十萬(wàn)八千里,但不會(huì)跑出我的手掌心.”結(jié)果孫悟空真沒(méi)有跑出如來(lái)佛的手掌心.閱讀教材,結(jié)合上述情境回答下列問(wèn)題:問(wèn)題:如果把孫悟空看作是一個(gè)點(diǎn),請(qǐng)問(wèn)如來(lái)佛的手掌像什么?如來(lái)佛的手掌可以看作一個(gè)平面探索新知

前面我們初步認(rèn)識(shí)了簡(jiǎn)單幾何體的組成元素，知道了頂點(diǎn)、棱(直線段)、平面多邊形是構(gòu)成棱柱、棱錐等多面體的基本元素,即涉及點(diǎn)線面，為了進(jìn)一步認(rèn)識(shí)立體圖形的結(jié)構(gòu)特征，需要對(duì)點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系進(jìn)行研究.學(xué)習(xí)新知思考：點(diǎn)和線我們?cè)谛W(xué)初中階段已經(jīng)有了一定的研究，那么類比線，你能知道什么是平面嗎？無(wú)限延展不計(jì)大小絕對(duì)的平平面的特征不計(jì)厚薄黑板面課桌面平靜的水面

幾何里所說(shuō)的“平面(plane)”就是從這樣的一些物體中抽象出來(lái)的.類似于直線向兩端無(wú)限延伸，平面是向四周無(wú)限延展的.我們也可以畫出平面的一部分來(lái)表示平面，即平行四邊形表示平面．當(dāng)平面水平放置時(shí)，常把平行四邊形的一邊畫成橫向；當(dāng)平面豎直放置時(shí)，常把平行四邊形的一邊畫成豎向．平面的畫法ABCD水平平面直立平面相交平面MNMN“平面的一部分”→

矩形→

矩形的直觀圖→平行四邊形我們常用希臘文字α、β、γ等表示平面．如平面α，平面β等并將它們寫在代表平面的平行四邊形的一個(gè)內(nèi)角內(nèi)；

也可以用代表平面的平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)，或者相對(duì)的兩個(gè)頂點(diǎn)的大寫英文字母表示如圖1也可以表示為平面ABCD，平面AC或平面BDABCD

平面的表示思考：點(diǎn)動(dòng)成線，線動(dòng)成面，面動(dòng)成體。那么，點(diǎn)線面之間有什么位置關(guān)系呢，又應(yīng)該如何表示？圖形語(yǔ)言文字語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言

探究：我們知道，兩點(diǎn)可以確定一條直線，那么幾點(diǎn)可以確定一個(gè)平面?試一下過(guò)空間中一點(diǎn)可以做幾個(gè)平面？過(guò)空間中兩點(diǎn)呢？三點(diǎn)呢？圖形語(yǔ)言——

基本事實(shí)1：過(guò)不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面應(yīng)用——確定平面；判定兩平面是否重合；證明點(diǎn)線共面

基本事實(shí)2：如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi).圖形語(yǔ)言——

應(yīng)用——判斷直線是否在平面內(nèi)；判斷點(diǎn)是否在平面內(nèi)

基本事實(shí)3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線圖形語(yǔ)言——應(yīng)用——判斷直線是否在平面內(nèi)；判斷點(diǎn)是否在平面內(nèi).

利用基本事實(shí)1和基礎(chǔ)事實(shí)2，再結(jié)合“兩點(diǎn)確定一條直線”，可以得到下面三個(gè)推論：推論1：經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面圖形語(yǔ)言——

文字語(yǔ)言——即相當(dāng)于基本事實(shí)①中不共線三點(diǎn)中的兩點(diǎn)連成

一條線與第

三個(gè)點(diǎn)構(gòu)成直線與直線外一點(diǎn)確定一個(gè)平面.

推論2：經(jīng)過(guò)兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面圖形語(yǔ)言—

文字語(yǔ)言——即相當(dāng)于基本事實(shí)①中不共線三點(diǎn)中的兩點(diǎn)連成

一條線與過(guò)這兩個(gè)點(diǎn)中的其中一點(diǎn)和第三個(gè)點(diǎn)的

連線構(gòu)成兩條相交直線確定一個(gè)平面.

推論3：經(jīng)過(guò)兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面圖形語(yǔ)言——

文字語(yǔ)言——即相當(dāng)于基本事實(shí)①中不共線三點(diǎn)中的兩點(diǎn)連成

一條線與過(guò)第三個(gè)點(diǎn)作的與該直線平行的直線構(gòu)

成兩條平行直線確定一個(gè)平面.推理過(guò)程中直接

運(yùn)用了兩點(diǎn)確定一條直線及基本事實(shí)②.

推論1～3給我們提供了確定一個(gè)平面的另外幾種方法．如圖8.4-10，用兩根細(xì)繩沿桌子四條腿的對(duì)角拉直，如果這兩根細(xì)繩相交，說(shuō)明桌子四條腿的底端在同一個(gè)平面內(nèi)，否則就不在同一個(gè)平面內(nèi)，其依據(jù)就是推論2．不共線的三點(diǎn)，一條直線和這條直線外一點(diǎn)，

兩條相交直線，兩條平行直線，都能唯一確定一個(gè)平面．這些結(jié)論在后續(xù)研究直線和平面之間平行、

垂直關(guān)系時(shí)，也會(huì)經(jīng)常用到．1．判斷下列命題是否正確，正確的在括號(hào)內(nèi)畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”．（1）書桌面是平面．

（

）（2）平面α與平面β相交，它們有有限個(gè)公共點(diǎn)．

（

）（3）如果兩個(gè)平面有三個(gè)不共線的公共點(diǎn)，那么這兩個(gè)平面重合.（

）××√2．下列命題正確的是（

）（A）三點(diǎn)確定一個(gè)平面（B）一條直線和一個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面（C）圓心和圓上兩點(diǎn)可確定一個(gè)平面（D）梯形可確定一個(gè)平面D3．不共面的四點(diǎn)可以確定幾個(gè)平面？請(qǐng)畫出圖形說(shuō)明你的結(jié)論．不共面的四點(diǎn)可以確定4個(gè)平面．PABCAB(1)MaaM(2)a(3)應(yīng)用新知探究點(diǎn)一

對(duì)平面概念的理解例1

下列說(shuō)法正確的是(

)

A.鋪的很平的一張白紙是一個(gè)平面

B.平面是矩形或平行四邊形C.兩個(gè)平面疊在一起比一個(gè)平面厚

D.平面的直觀圖一般畫成平行四邊形√

√探究點(diǎn)二

立體幾何三種語(yǔ)言的相互轉(zhuǎn)化探究點(diǎn)三

共點(diǎn)、共線問(wèn)題角度1

三線共點(diǎn)問(wèn)題

角度2

三點(diǎn)共線問(wèn)題

［素養(yǎng)小結(jié)］（1）證明線共點(diǎn)問(wèn)題常用的方法是先證明其中兩條直線交于一點(diǎn),再證明這一點(diǎn)在其余的直線上,在證明后者時(shí),往往依據(jù)基本事實(shí)3,從而只需證明此點(diǎn)在兩個(gè)平面的交線上.（2）點(diǎn)共線問(wèn)題是證明三個(gè)或三個(gè)以上的點(diǎn)在同一條直線上，主要證明依據(jù)是基本事實(shí)3，解決此類問(wèn)題常用以下兩種方法：①首先找出兩個(gè)相交平面，然后證明這些點(diǎn)都是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，根據(jù)基本事實(shí)3知，這些點(diǎn)都在這兩個(gè)平面的交線上；②選擇其中兩點(diǎn)，確定一條直線，然后證明其他點(diǎn)也在這