古典概型高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊

10.1.3古典概型

第十章概率1.理解古典概型概念及其概率計(jì)算公式.2.會(huì)用列舉法、樹狀圖法和表格法計(jì)算隨機(jī)事件所含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率.試驗(yàn)1投擲一枚質(zhì)地均勻硬幣，觀察落地時(shí)朝上的情況。2種正面朝上反面朝上6種1點(diǎn)2點(diǎn)3點(diǎn)4點(diǎn)5點(diǎn)6點(diǎn)試驗(yàn)2

拋擲一枚枚質(zhì)地均勻的骰子，觀察它落地時(shí)朝上面的點(diǎn)數(shù).問題：找出下列試驗(yàn)樣本點(diǎn)及樣本空間的共性.特點(diǎn)：①有限性：樣本空間的樣本點(diǎn)只有有限個(gè)；

②等可能性：每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相等；我們將具有以上兩個(gè)特征的試驗(yàn)稱為古典概型試驗(yàn)，其數(shù)學(xué)模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型.概率的定義：對隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的度量(數(shù)值)稱為事件的概率．事件A的概率用P(A)表示．問題1“拋擲兩枚硬幣，至少一枚正面向上”是樣本點(diǎn)嗎？問題2若一次試驗(yàn)的結(jié)果所包含的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)是有限個(gè)，則該試驗(yàn)是古典概型嗎？問題3擲一枚不均勻的骰子，求出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)點(diǎn)的概率，這個(gè)概率模型還是古典概型嗎？思考與討論題型一：古典概型的判斷例1.袋中有大小相同的5個(gè)白球，3個(gè)黑球和3個(gè)紅球，每球有一個(gè)區(qū)別于其它球的編號，從中摸出一個(gè)球.(1)有多少種不同的摸法？如果把每個(gè)球的編號看作是一個(gè)樣本點(diǎn)概率模型，該模型是不是古典概型？(2)若按球的顏色為樣本點(diǎn)，有多少個(gè)樣本點(diǎn)？以這些樣本點(diǎn)建立概率模型，該模型是不是古典概型？解：(1)由于共有11個(gè)球，且每個(gè)球有不同的編號.故共有11種不同的摸法，又因?yàn)樗星虼笮∠嗤?因此每個(gè)球被摸中的可能性相等，故以球的編號為樣本點(diǎn)的概率模型為古典概型.題型一：古典概型的判斷例1.袋中有大小相同的5個(gè)白球，3個(gè)黑球和3個(gè)紅球，每球有一個(gè)區(qū)別于其它球的編號，從中摸出一個(gè)球.(1)有多少種不同的摸法？如果把每個(gè)球的編號看作是一個(gè)樣本點(diǎn)概率模型，該模型是不是古典概型？(2)若按球的顏色為樣本點(diǎn)，有多少個(gè)樣本點(diǎn)？以這些樣本點(diǎn)建立概率模型，該模型是不是古典概型？解：(2)由于11個(gè)球共有3種顏色，因此共有3個(gè)樣本點(diǎn)，分別記為A：“摸到白球”，B：“摸到黑球”，C：“摸到紅球”.顯然這三個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性不相等，所以以顏色為樣本點(diǎn)的概率模型不是古典概型.例2拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子（標(biāo)記為I號和II號），觀察兩枚骰子分別可能出現(xiàn)的基本結(jié)果.（1）寫出這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間，并判斷這個(gè)試驗(yàn)是否為古典概型；123456122345613234561423456152345616234561解：該試驗(yàn)的所有樣本點(diǎn)用樹狀圖表示如下：題型二：古典概型的計(jì)算你還有其他方法將樣本空間表示出來嗎？例2拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子（標(biāo)記為I號和II號），觀察兩枚骰子分別可能出現(xiàn)的基本結(jié)果.（1）寫出這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間，并判斷這個(gè)試驗(yàn)是否為古典概型；列

表

法123456123546（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（1，6）（3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（3，5）（3，6）（2，1）（2，2）（2，3）（2，4）（2，5）（2，6）（4，1）（4，2）（4，3）（4，4）（4，5）（4，6）（6，1）（6，2）（6，4）（6，5）（5，1）（5，2）（5，3）（5，4）（5，5）（5，6）（6，6）（6，3）Ⅰ號Ⅱ號解：用數(shù)字m表示Ⅰ號骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是m，數(shù)字n表示Ⅱ號骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是n，則數(shù)組(m，n)表示這個(gè)試驗(yàn)的一個(gè)樣本點(diǎn)．因此，該試驗(yàn)的樣本空間Ω={(m，n)|m，n∈{1，2，3，4，5，6}}，其中共有36個(gè)樣本點(diǎn)．（2）求下列事件的概率：A=“兩個(gè)點(diǎn)數(shù)之和是5”；B=“兩個(gè)點(diǎn)數(shù)相等”；C=“I號骰子的點(diǎn)數(shù)大于II號骰子的點(diǎn)數(shù)”.（2）A={(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)}，n(A)=4

123456123546（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（1，6）（3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（3，5）（3，6）（2，1）（2，2）（2，3）（2，4）（2，5）（2，6）（4，1）（4，2）（4，3）（4，4）（4，5）（4，6）（6，1）（6，2）（6，4）（6，5）（5，1）（5，2）（5，3）（5，4）（5，5）（5，6）（6，6）（6，3）Ⅰ號Ⅱ號

（2）求下列事件的概率：A=“兩個(gè)點(diǎn)數(shù)之和是5”；B=“兩個(gè)點(diǎn)數(shù)相等”；C=“I號骰子的點(diǎn)數(shù)大于II號骰子的點(diǎn)數(shù)”.【解析】B={(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6)}，n(B)=6

123456123546（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（1，6）（3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（3，5）（3，6）（2，1）（2，2）（2，3）（2，4）（2，5）（2，6）（4，1）（4，2）（4，3）（4，4）（4，5）（4，6）（6，1）（6，2）（6，4）（6，5）（5，1）（5，2）（5，3）（5，4）（5，5）（5，6）（6，6）（6，3）Ⅰ號Ⅱ號

（2）求下列事件的概率：A=“兩個(gè)點(diǎn)數(shù)之和是5”；B=“兩個(gè)點(diǎn)數(shù)相等”；C=“I號骰子的點(diǎn)數(shù)大于II號骰子的點(diǎn)數(shù)”.【解析】因?yàn)镃={(2，1)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)}，n(C)=15，

123456123546（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（1，6）（3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（3，5）（3，6）（2，1）（2，2）（2，3）（2，4）（2，5）（2，6）（4，1）（4，2）（4，3）（4，4）（4，5）（4，6）（6，1）（6，2）（6，4）（6，5）（5，1）（5，2）（5，3）（5，4）（5，5）（5，6）（6，6）（6，3）Ⅰ號Ⅱ號

在上例中，為什么要把兩枚骰子標(biāo)上記號？如果不給兩枚骰子標(biāo)記號，會(huì)出現(xiàn)什么情況?你能解釋其中的原因嗎?如果不給兩枚骰子標(biāo)記號，則不能區(qū)分所拋擲的兩個(gè)點(diǎn)數(shù)分別屬于哪枚骰子，如拋出的結(jié)果是1點(diǎn)和2點(diǎn)，有可能第一枚骰子的結(jié)果是1點(diǎn)，也有可能第二枚骰子的結(jié)果是1點(diǎn)．這樣，(1，2)和(2，1)的結(jié)果將無法區(qū)別．123456123546（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（1，6）（3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（3，5）（3，6）（2，1）（2，2）（2，3）（2，4）（2，5）（2，6）（4，1）（4，2）（4，3）（4，4）（4，5）（4，6）（6，1）（6，2）（6，4）（6，5）（5，1）（5，2）（5，3）（5，4）（5，5）（5，6）（6，6）（6，3）Ⅱ號Ⅰ號思考123456123546（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（1，6）（3，3）（3，4）（3，5）（3，6）（2，2）（2，3）（2，4）（2，5）（2，6）（4，4）（4，5）（4，6）（5，5）（5，6）（6，6）Ⅱ號n(Ω1)=21事件A=“兩個(gè)點(diǎn)數(shù)之和是5”

A={(1,4),(2,3)}n(A)=2此時(shí)，隨機(jī)事件A=“兩個(gè)點(diǎn)數(shù)之和是5”發(fā)生的概率是多少呢？為什么同一個(gè)事件發(fā)生的概率會(huì)不同呢？Ⅰ號

在上例中，為什么要把兩枚骰子標(biāo)上記號？如果不給兩枚骰子標(biāo)記號，會(huì)出現(xiàn)什么情況?你能解釋其中的原因嗎?思考

同一個(gè)事件的概率，為什么會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)不同的結(jié)果？123456123546（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（1，6）（3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（3，5）（3，6）（2，1）（2，2）（2，3）（2，4）（2，5）（2，6）（4，1）（4，2）（4，3）（4，4）（4，5）（6，1）（6，2）（6，4）（6，5）（5，1）（5，2）（5，3）（5，4）（5，5）（5，6）（6，6）（6，3）Ⅱ號（4，6）

我們可以發(fā)現(xiàn)，36個(gè)結(jié)果都是等可能的；而合并為21個(gè)可能結(jié)果時(shí)，(1，1)、(1，2)發(fā)生的可能性大小不等，這不符合古典概型特征，所以不能用古典概型公式計(jì)算概率Ⅰ號求古典概型概率的步驟用適當(dāng)?shù)姆枺ㄗ帜?、?shù)字、數(shù)組等）表示試驗(yàn)的可能結(jié)果（借助圖表可以幫助我們不重不漏地列出所有的可能結(jié)果）；

方法歸納：1.單選題是標(biāo)準(zhǔn)化考試的常用題型，一般是從A、B、C、D四個(gè)選項(xiàng)中選擇一個(gè)正確答案。若考生掌握了考察的內(nèi)容，就能選擇唯一正確的答案。假設(shè)考生不會(huì)做，他隨機(jī)的選擇一個(gè)答案，問他答對的概率是多少？解：試驗(yàn)有選A、選B、選C、選D共4種可能結(jié)果，試驗(yàn)的樣本空間表示為Ω={A，B，C，D}，則n(Ω)=4考生隨機(jī)選擇一個(gè)答案，表明每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相等，是一個(gè)古典概型．設(shè)事件M=“選中正確答案”，因?yàn)閱芜x題的正確答案是唯一的，則n(M)=1，所以，考生隨機(jī)選擇一個(gè)答案，答對的概率

例3

從兩名男生（記為B1和B2）、兩名女生（記為G1和G2）中任意抽取兩人．（1）分別寫出有放回簡單隨機(jī)抽樣、不放回簡單隨機(jī)抽樣和按性別等比例分層抽樣的樣本空間．解：設(shè)第一次抽取的人記為x1，第二次抽取的人記為x2，則可用數(shù)組（x1，x2）表示樣本點(diǎn)．（1）根據(jù)相應(yīng)的抽樣方法可知：有放回簡單隨機(jī)抽樣的樣本空間Ω1＝｛（B1，B1），（B1，B2），（B1，G1），（B1，G2），（B2，B1），（B2，B2），（B2，G1），（B2，G2），（G1，B1），（G1，B2），（G1，G1），（G1，G2），（G2，B1），（G2，B2），（G2，G1），（G2，G2）｝．不放回簡單隨機(jī)抽樣的樣本空間Ω2＝｛（B1，B2），（B1，G1），（B1，G2），（B2，B1），（B2，G1），（B2，G2），（G1，B1），（G1，B2），（G1，G2），（G2，B1），（G2，B2），（G2，G1）｝．按性別等比例分層抽樣，先從男生中抽一人，再從女生中抽一人，其樣本空間

Ω3＝｛（B1，G1），（B1，G2），（B2，G1），