專(zhuān)題37相似三角形一線三等角（K字）型-初中數(shù)學(xué)模型與解題方法專(zhuān)題訓(xùn)練（原卷版）

37相似三角形一線三等角（K字）型一、單選題1．如圖，點(diǎn)分別在反比例函數(shù)的圖象上．若，，則a的值為（

）A． B． C．4 D．22．如圖，邊長(zhǎng)為10的等邊中，點(diǎn)在邊上，且，將含30°角的直角三角板（）繞直角頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，、分別交邊、于、．連接，當(dāng)時(shí)，長(zhǎng)為（

）A．6 B． C．10 D．3．如圖，將正方形折疊，使頂點(diǎn)與邊上的一點(diǎn)重合（不與端點(diǎn)，重合），折痕交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，邊折疊后與邊交于點(diǎn)，設(shè)正方形的周長(zhǎng)為，的周長(zhǎng)為，則的值為（

）A． B． C． D．24．如圖，在矩形中，，，、、、分別為矩形邊上的點(diǎn)，過(guò)矩形的中心，且．為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則四邊形的周長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．5．如圖，在等邊三角形中，點(diǎn)，分別是邊，上的點(diǎn)．將沿翻折，點(diǎn)正好落在線段上的點(diǎn)處，使得．若，則的長(zhǎng)度為（

）A． B． C． D．6．如圖，E、F、G、H分別為矩形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，連接AC、HE、EC、GA、GF，已知AG⊥GF，AC＝，則下列結(jié)論：①∠DGA=∠CGF；②△DAG∽△CGF；③AB=2；④BE=CF．正確的個(gè)數(shù)是（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)7．如圖，點(diǎn)是正兩邊上的點(diǎn)，將沿直線翻折，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在邊上，當(dāng)時(shí)，的值是（

）A． B． C． D．二、填空題8．如圖，在邊長(zhǎng)為6的等邊△ABC中，D是邊BC上一點(diǎn)，將△ABC沿EF折疊使點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，若BD:DE=2:3，則CF=．9．如圖，四邊形ABCD中，AB∥CD，∠C＝90°，AB＝1，CD＝2，BC＝3，點(diǎn)P為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，若AP⊥DP，則BP的長(zhǎng)為．10．已知是等邊三角形，，點(diǎn)D，E，F(xiàn)點(diǎn)分別在邊上，，同時(shí)平分和，則的長(zhǎng)為．11．如圖，在四邊形ABCD中，∠A=∠D=120°，AB=6、AD=4，點(diǎn)E、F分別在線段AD、DC上（點(diǎn)E與點(diǎn)A、D不重合），若∠BEF=120°，AE=x、DF=y，則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為12．如圖，等邊的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)是邊上一動(dòng)點(diǎn)，將等邊沿過(guò)點(diǎn)的直線折疊，該直線與直線交于點(diǎn)，使點(diǎn)落在直線上的點(diǎn)處，且折痕為則的長(zhǎng)為．13．如圖，在矩形ABCD中，BC＝6，AB＝2，Rt△BEF的頂點(diǎn)E在邊CD或延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)，且∠BEF＝90°，EF＝BE，DF＝，則BE＝．14．如圖，為等邊三角形，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，，將沿直線DE翻折得到，當(dāng)點(diǎn)F落在邊BC上，且時(shí)，的值為．三、解答題15．如圖，在等邊△ABC中，P為BC上一點(diǎn)，D為AC上一點(diǎn)，且∠APD＝60°，2BP＝3CD，BP＝1．（1）求證△ABP∽△PCD；（2）求△ABC的邊長(zhǎng)．16．[感知]如圖①，在四邊形ABCD中，點(diǎn)P在邊AB上（點(diǎn)P不與A、B重合），，易證：△DAP∽△PBC（不要求證明）[探究]如圖②，在四邊形ABCD中，點(diǎn)P在邊AB上（點(diǎn)P不與A、B重合），（1）求證：△DAP∽△PBC．（2）若PD=5，PC=10.BC=8求AP的長(zhǎng).[應(yīng)用]如圖③，在△ABC中，AC=BC=4，AB=6，點(diǎn)P在邊AB上（點(diǎn)P不與A、B重合），連結(jié)CP，作，與邊BC交于點(diǎn)E.當(dāng)CE=3EB時(shí)，直接寫(xiě)出AP的長(zhǎng).17．如圖，，且，，，在上是否存在一點(diǎn)，使得以、、為頂點(diǎn)的三角形與以、、為頂點(diǎn)的三角形相似，若存在，求的長(zhǎng)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．18．如圖，△ABC為等腰直角三角形，∠A＝90°，D為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在BC上，點(diǎn)F在AC上，且∠DEF＝45°．（1）求證：△BED∽△CFE；（2）若BD＝3，BE＝2，求CF的長(zhǎng)．19．在矩形ABCD中，E為DC邊上一點(diǎn)，把沿AE翻折，使點(diǎn)D恰好落在BC邊上的點(diǎn)F．（1）求證：；（2）若AB＝2，AD＝4，求EC的長(zhǎng)．20．如圖，在正方形中，點(diǎn)在上，交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）連結(jié)，若，試確定點(diǎn)的位置并說(shuō)明理由．21．如圖，在中，，，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，且，點(diǎn)為中點(diǎn)，．（1）求的長(zhǎng)．（2）求證：．22．如圖，已知四邊形ABCD，∠B＝∠C＝90°，P是BC邊上的一點(diǎn)，∠APD＝90°．（1）求證：；（2）若BC＝10，CD＝3，PD＝3，求AB的長(zhǎng)．23．【感知】如圖①，在四邊形ABCD中，點(diǎn)P在邊AB上（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合），．易證．（不需要證明）【探究】如圖②，在四邊形ABCD中，點(diǎn)P在邊AB上（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合），．若，，，求AP的長(zhǎng)．【拓展】如圖③，在中，，，點(diǎn)P在邊AB上（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合），連結(jié)CP，作，PE與邊BC交于點(diǎn)E，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，直接寫(xiě)出AP的長(zhǎng)．24．如圖，在矩形ABCD中，E為AD的中點(diǎn)，EF⊥EC交AB于F，延長(zhǎng)FE與直線CD相交于點(diǎn)G，連接FC（AB＞AE）．(1)求證：△AEF∽△DCE；(2)△AEF與△ECF是否相似？若相似，證明你的結(jié)論；若不相似，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)設(shè)，是否存在這樣的k值，使得△AEF與△BFC相似？若存在，證明你的結(jié)論并求出k的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．25．（1）問(wèn)題如圖1，在四邊形中，點(diǎn)P為上一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求證：．（2）探究若將角改為銳角（如圖2），其他條件不變，上述結(jié)論還成立嗎？說(shuō)明理由．（3）應(yīng)用如圖3，在中，，，以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)作等腰．點(diǎn)D在上，點(diǎn)E在上，點(diǎn)F在上，且，若，求的長(zhǎng)．26．如圖，已知邊長(zhǎng)為10的正方形是邊上一動(dòng)點(diǎn)（與不重合），連結(jié)是延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的垂線交的角平分線于點(diǎn)，若．（1）求證：；（2）若，求的面積；（3）請(qǐng)直接寫(xiě)出為何值時(shí)，的面積最大．27．如圖，在等邊三角形ABC中，BC＝8，過(guò)BC邊上一點(diǎn)P，作∠DPE＝60°，分別與邊AB，AC相交于點(diǎn)D與點(diǎn)E．（1）在圖中找出與∠EPC始終相等的角，并說(shuō)明理由；（2）若