第04講直線與圓圓與圓的位置關(guān)系精講（原卷版）

第04講直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系目錄TOC\o"12"\h\u第一部分：知識點必背 1第二部分：高考真題回歸 5第三部分：高頻考點一遍過 6高頻考點一：直線與圓位置關(guān)系判定 6高頻考點二：由直線與圓的位置關(guān)系求參數(shù) 6高頻考點三：直線與圓的位置關(guān)系求距離最值 7高頻考點四：圓的切線問題 8高頻考點五：圓的弦長和中點弦 9高頻考點六：已知圓的弦長求參數(shù) 10高頻考點七：直線與圓的實際應用 11高頻考點八：圓與圓的位置關(guān)系 13高頻考點九：圓的公共弦 14高頻考點十：圓的公切線 14第四部分：數(shù)學文化題 15第一部分：知識點必背知識點一：直線與圓的位置關(guān)系1、直線與圓的三種位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系的圖象直線與圓的位置關(guān)系相交相切相離2、判斷直線與圓的位置關(guān)系的兩種方法幾何法（優(yōu)先推薦）圖象位置關(guān)系相交相切相離判定方法；。圓心到直線的距離：。圓與直線相交。；。圓心到直線的距離：。圓與直線相切。；。圓心到直線的距離：。圓與直線相離。代數(shù)法直線：；圓聯(lián)立消去“”得到關(guān)于“”的一元二次函數(shù)①直線與圓相交②直線與圓相切③直線與圓相離知識點二：圓與圓的位置關(guān)系1、圓與圓的位置關(guān)系(1)圓與圓相交，有兩個公共點；(2)圓與圓相切(內(nèi)切或外切)，有一個公共點；(3)圓與圓相離(內(nèi)含或外離)，沒有公共點.圖象位置關(guān)系圖象位置關(guān)系外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含2、圓與圓的位置關(guān)系的判定幾何法設(shè)的半徑為，的半徑為，兩圓的圓心距為.①當時，兩圓相交；②當時，兩圓外切；③當時，兩圓外離；④當時，兩圓內(nèi)切；⑤當時，兩圓內(nèi)含.代數(shù)法設(shè)::聯(lián)立消去“”得到關(guān)于“”的一元二次方程，求出其①與設(shè)設(shè)相交②與設(shè)設(shè)相切（內(nèi)切或外切）③與設(shè)設(shè)相離（內(nèi)含或外離）知識點三：直線與圓相交記直線被圓截得的弦長為的常用方法1、幾何法（優(yōu)先推薦）①弦心距（圓心到直線的距離）②弦長公式：2、代數(shù)法直線：；圓聯(lián)立消去“”得到關(guān)于“”的一元二次函數(shù)弦長公式：知識點四：圓與圓的公共弦1、圓與圓的公共弦圓與圓相交得到的兩個交點，這兩點之間的線段就是兩圓的公共弦.2、公共弦所在直線的方程設(shè)::聯(lián)立作差得到：即為兩圓共線方程知識點五：圓上點到直線的最大（?。┚嚯x設(shè)圓心到直線的距離為，圓的半徑為①當直線與圓相離時，圓上的點到直線的最大距離為：，最小距離為：；②當直線與圓相切時，圓上的點到直線的最大距離為：，最小距離為：；③當直線與圓相交時，圓上的點到直線的最大距離為：，最小距離為：；第二部分：高考真題回歸1．（2023·全國（新高考Ⅰ卷）·統(tǒng)考高考真題）過點與圓相切的兩條直線的夾角為，則（

）A．1 B． C． D．2．（2023·全國（新高考Ⅱ卷）·統(tǒng)考高考真題）已知直線與交于A，B兩點，寫出滿足“面積為”的m的一個值．3．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）若直線與圓相交所得的弦長為，則．4．（2022·全國（新高考Ⅱ卷）·統(tǒng)考高考真題）設(shè)點，若直線關(guān)于對稱的直線與圓有公共點，則a的取值范圍是．第三部分：高頻考點一遍過高頻考點一：直線與圓位置關(guān)系判定典型例題例題1．（2023春·北京海淀·高二北理工附中?？计谥校┲本€與圓的位置關(guān)系為（

）A．相離 B．相切 C．相交 D．不確定例題2．（2023·全國·高三專題練習）直線與圓的位置關(guān)系是（

）A．相離 B．相切 C．相交 D．不確定例題3．（2023秋·甘肅蘭州·高二?？计谀﹫A與直線的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．無法確定練透核心考點1．（2023·全國·高三專題練習）設(shè)，則直線：與圓的位置關(guān)系為（

）A．相離 B．相切 C．相交或相切 D．相交2．（2023·全國·高一專題練習）圓與直線的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．不能確定3．（2023·河南周口·高二扶溝縣高級中學?？茧A段練習）已知點在圓內(nèi)部，則直線與圓的公共點有（

）A．0個 B．1個 C．2個 D．1或2個高頻考點二：由直線與圓的位置關(guān)系求參數(shù)典型例題例題1．（2023秋·北京西城·高二統(tǒng)考期末）若直線與圓相離，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．例題2．（2023·全國·高一專題練習）設(shè)為實數(shù),若圓上恰有三個點到直線的距離都等于1,則的值是（

）A． B． C． D．例題3．（2023春·山西長治·高二統(tǒng)考期末）已知直線與圓存在公共點，則的取值范圍為.練透核心考點1．（2023·四川南充·四川省南充高級中學?？寄M預測）“”是“直線與圓相切”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件2．（2023·遼寧·新民市第一高級中學校聯(lián)考一模）滿足直線：與圓：有公共點的一個整數(shù)．3．（2023·全國·高三專題練習）若直線l：與圓C：有兩個公共點，則k的取值范圍為．高頻考點三：直線與圓的位置關(guān)系求距離最值典型例題例題1．（2023·廣西·校聯(lián)考模擬預測）已知直線和圓，則圓心到直線的距離的最大值為（

）A． B． C． D．例題2．（2023·寧夏石嘴山·平羅中學?？寄M預測）直線與圓交于兩點，則弦長的最小值是.例題3．（2023·全國·校聯(lián)考三模）已知點為圓上的動點，則點到直線的距離的最大值為.練透核心考點1．（2023秋·天津·高二校聯(lián)考期末）圓上的點到直線的最大距離是（

）．A．36 B． C．18 D．2．（2023·貴州貴陽·校聯(lián)考模擬預測）已知直線與圓有公共點，且與直線交于點，則的最小值是．3．（2023·全國·高三專題練習）圓上的點到直線的距離的最小值是．高頻考點四：圓的切線問題典型例題例題1．（2023春·河南南陽·高二統(tǒng)考期末）過坐標原點作圓的兩條切線，切點分別為，，則（

）A． B． C． D．2例題2．（2023秋·高一單元測試）已知點是圓上的一點，過點作圓的切線，則切線長的最小值為（

）A． B． C． D．例題3．（2023春·四川瀘州·高二統(tǒng)考期末）已知為拋物線的焦點，為拋物線上第一象限的點，且.(1)求點的坐標；(2)求過點且與圓相切的直線方程.練透核心考點1．（2023春·廣東江門·高二統(tǒng)考期末）若直線與圓相切，則（

）A．9 B．8 C．7 D．62．（2023·天津武清·天津市武清區(qū)楊村第一中學?？寄M預測）已知點，，經(jīng)過點作圓的切線與軸交于點，則．高頻考點五：圓的弦長和中點弦典型例題例題1．（2023春·黑龍江哈爾濱·高二統(tǒng)考期末）已知圓，則直線被圓截得的弦的長度為（

）A．2 B．7 C． D．例題2．（2023·山東濟寧·嘉祥縣第一中學統(tǒng)考三模）若直線與圓：相交于，兩點，則的最小值為（

）A． B． C． D．例題3．（2023秋·甘肅蘭州·高二?？计谀┮阎獔A內(nèi)有一點，為過點且傾斜角為的弦（1）當時，求弦長；（2）當弦被點平分時，求直線的方程.練透核心考點1．（2023·四川遂寧·射洪中學?？寄M預測）直線被圓所截得弦長的最小值為（

）A． B． C． D．2．（2023春·貴州黔南·高二統(tǒng)考期末）若直線與圓相交于兩點，則弦的長為．3．（2023·全國·高三專題練習）已知圓C:,直線(1)求證:無論取什么實數(shù)，直線恒過第一象限；(2)求直線被圓C截得的弦長最短時的值以及最短長度；(3)設(shè)直線與圓C相交于A、B兩點，求AB中點M的軌跡方程.高頻考點六：已知圓的弦長求參數(shù)典型例題例題1．（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·高二江蘇省鎮(zhèn)江第一中學?？计谀┲本€與圓：相交于，兩點，若，則．例題2．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考三模）寫出經(jīng)過點且被圓截得的弦長為的一條直線的方程．例題3．（2023·全國·高三專題練習）若過定點的直線截圓C：所得弦長小于3，則該直線斜率的取值范圍為練透核心考點1．（2023·廣東深圳·?？级＃┻^點且被圓所截得的弦長為的直線的方程為.2．（2023春·江西·高三校聯(lián)考階段練習）已知圓滿足：圓心在直線上，軸或軸被圓所截得的弦長為4，則圓的一個標準方程為.3．（2023秋·貴州銅仁·高二統(tǒng)考期末）在平面直角坐標系中，已知圓.設(shè)圓與軸相切，與圓外切，且圓心在直線上.(1)求圓的標準方程；(2)設(shè)垂直于的直線與圓相交于，兩點，且，求直線的方程.高頻考點七：直線與圓的實際應用典型例題例題1．（2023春·廣東·高二統(tǒng)考階段練習）一個小島的周圍有環(huán)島暗礁，暗礁分布在以小島中心為圓心，半徑為的圓形區(qū)域內(nèi)，已知小島中心位于輪船正西處，港口位于小島中心正北處，如果輪船沿直線返港，不會有觸礁危險，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．例題2．（2023秋·湖北·高二武漢市第二十三中學校聯(lián)考期末）如圖，某海面上有、、三個小島（面積大小忽略不計），島在島的北偏東方向距島千米處，島在島的正東方向距島20千米處以為坐標原點，的正東方向為軸的正方向，1千米為單位長度，建立平面直角坐標系圓經(jīng)過、、三點．(1)求圓的標準方程；(2)若圓區(qū)域內(nèi)有未知暗礁，現(xiàn)有一船在島的南偏西方向距島40千米處，正沿著北偏東行駛，若不改變方向，試問該船有沒有觸礁的危險？練透核心考點1．（2023·全國·校聯(lián)考一模）規(guī)定：在桌面上，用母球擊打目標球，使目標球運動，球的位置是指球心的位置，球是指該球的球心點．兩球碰撞后，目標球在兩球的球心所確定的直線上運動，目標球的運動方向是指目標球被母球擊打時，母球球心所指向目標球球心的方向．所有的球都簡化為平面上半徑為1的圓，且母球與目標球有公共點時，目標球就開始運動，在桌面上建立平面直角坐標系，如圖，設(shè)母球的位置為（0，0），目標球的位置為，要使目標球向處運動，則母球的球心運動的直線方程為．2．（2023·全國·高三專題練習）如圖，已知一艘海監(jiān)船O上配有雷達，其監(jiān)測范圍是半徑為的圓形區(qū)域，一艘外籍輪船從位于海監(jiān)船正東的A處出發(fā)，徑直駛向位于海監(jiān)船正北的B處島嶼，速度是，問：這艘外籍輪船能否被海監(jiān)船監(jiān)測到？若能，持續(xù)時間為多長？高頻考點八：圓與圓的位置關(guān)系典型例題例題1．（2023春·江西南昌·高二校聯(lián)考階段練習）圓：與圓C:的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．相離 C．外切 D．內(nèi)切例題2．（2023秋·高二課時練習）若兩圓和圓相交，則的取值范圍是（

）A． B．或C． D．或例題3．（2023春·江蘇南京·高二南京市中華中學?？计谥校┮阎獔A與圓只有一個公共點，則（

）A．1 B．4 C．9 D．1或9例題4．（2023春·安徽·高二池州市第一中學校聯(lián)考階段練習）圓與圓的位置關(guān)系是（

）A．外離 B．外切 C．相交 D．內(nèi)切練透核心考點1．（2023秋·浙江麗水·高二統(tǒng)考期末）若圓與圓外切，則實數(shù)（

）A．－1 B．1 C．1或4 D．42．（2023春·江蘇揚州·高二江蘇省江都中學?？奸_學考試）圓與圓的位置關(guān)系為（

）．A．相交 B．內(nèi)切 C．外切 D．外離3．（2023·寧夏石嘴山·平羅中學?？寄M預測）已知圓和圓，其中，則使得兩圓相交的一個充分不必要條件可以是（

）A． B． C． D．4．（2023春·廣西·高二校聯(lián)考期中）已知圓心在原點的單位圓和圓外切，．高頻考點九：圓的公共弦典型例題例題1．（2023秋·甘肅天水·高二統(tǒng)考期末）圓與圓的公共弦長為（

）A．1 B．2 C．4 D．8例題2．（2023春·全國·高二合肥市第六中學校聯(lián)考開學考試）圓與圓的公共弦長為．例題3．（2023秋·甘肅蘭州·高二蘭州西北中學?？计谀┮阎獔A，圓.(1)求兩圓公共弦所在直線的方程；(2)求公共弦長.練透核心考點1．（2023春·全國·高二衛(wèi)輝一中校聯(lián)考階段練習）已知圓：過圓：的圓心，則兩圓相交弦的方程為.2．（2023·天津和平·耀華中學?？级＃﹫A與圓的公共弦所在的直線方程為．3．（2023·高二課時練習）求圓和圓公共弦所在直線方程，并求弦長．高頻考點十：圓的公切線典型例題例題1．（2023·全國·高三專題練習）圓：與圓：公切線的條數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4例題2．（2023·全國·高三專題練習）若圓與圓有且僅有3條公切線，則=（

）A．14 B．28 C．9 D．例題3．（2023春·四川眉山·高二四川省眉山第一中學?？奸_學考試）已知圓：與：恰好有4條公切線，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．例題4．（2023·全國·高三專題練習）寫出與圓和圓都相切的一條直線的方程.練透核心考點1．（2023·山西·校聯(lián)考模擬預測）已知圓：的圓心到直線的距離為，則圓與圓：的公切線共有（

）A．0條 B．1條 C．2條 D．3條2．（2023秋·河北保定·高二統(tǒng)考期末）若圓與圓恰有兩條公共的切線，則m的取值范圍為（

）A． B． C． D．3．（2023·湖北黃岡·浠水縣第一中學?？寄M預測）寫出與圓和圓都相切的一條直線的方程.4．（2023春·河南·高二臨潁縣第一高級中學校聯(lián)考開學考試）寫出與圓和圓都相切的一條直線的方程：．第四部分：數(shù)學文化題1．（多選）（2023春·浙江·高二校聯(lián)考期中）古希臘數(shù)學家阿波羅尼奧斯（約公元前262公元前190年）的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學成果，著作中有這樣一個命題：平面內(nèi)與兩定點距離的比為常數(shù)（且）的點的軌跡是圓