空間向量及其運算的坐標表示精練（6大題型）

1.3空間向量及其運算的坐標表示【題型1空間直角坐標系及坐標表示】1、（2022秋·北京·高二北京市第一六一中學?？计谥校┮阎叫兴倪呅危?，，，則頂點的坐標為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】設(shè)，則，，由題意得：，即，解得：，故頂點的坐標為.故選：D2、（2023春·高二課時練習）已知是空間的一個單位正交基底，向量用坐標形式可表示為________．【答案】【解析】因為是空間的一個單位正交基底，則有.所以向量用坐標形式表示為.故答案為：3、（2022秋·吉林白城·高二校考階段練習）如圖，以長方體的頂點為坐標原點，過的三條棱所在的直線為坐標軸，建立空間直角坐標系，若的坐標為，則的坐標是__________【答案】【解析】因為，為坐標原點，所以，又因為為正方體，所以所以.故答案為：4、（2022·高二課時練習）在空間直角坐標系中，已知點，，則______．【答案】【解析】故答案為：5、（2022秋·福建廈門·高二福建省廈門第六中學?？计谥校┮阎强臻g向量的一組基底，是空間向量的另一組基底，若向量在基底下的坐標為，則向量在基底下的坐標是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵向量在基底下的坐標為，∴，設(shè)向量在基底下的坐標是，則，∴，解得，即.故選：D.【題型2空間點的對稱問題】1、（2023秋·河南商丘·高二校聯(lián)考期末）點關(guān)于軸的對稱點的坐標為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】點關(guān)于軸的對稱點的坐標為.故選：C2、（2023秋·浙江杭州·高二杭師大附中?？计谀┛臻g兩點A，B的坐標分別為，則A，B兩點的位置關(guān)系是（）A．關(guān)于x軸對稱B．關(guān)于平面對稱C．關(guān)于z軸對稱D．關(guān)于原點對稱【答案】C【解析】因為點A，B的橫縱坐標互為相反數(shù)，它們的豎坐標相同，所以點A，B關(guān)于z軸對稱.故選：C.3、（2023春·甘肅平?jīng)觥じ叨？茧A段練習）在空間直角坐標系中，點關(guān)于平面對稱的點的坐標為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】點關(guān)于平面對稱的點的坐標為故選：C.4、（2023·高二課時練習）已知空間中點，則A點關(guān)于平面對稱的點的坐標是_______．【答案】【解析】依題意，點關(guān)于平面對稱的點的坐標是.故答案為：5、（2022秋·上海虹口·高二華東師范大學第一附屬中學校考期末）在空間直角坐標系中，點關(guān)于yOz平面的對稱點的坐標是______.【答案】【解析】關(guān)于yOz平面的對稱點橫坐標變?yōu)橄喾磾?shù)，縱坐標和豎坐標保持不變，所以點關(guān)于yOz平面的對稱點的坐標是，故答案為:.【題型3空間向量運算的坐標表示】1、（2022·全國·高二專題練習）已知向量,則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵向量,∴.故選:B.2、（2022·全國·高二專題練習）已知，，則（）A．5B．7C．3D．【答案】B【解析】，，∴．故選：B3、（2023秋·北京豐臺·高二北京市第十二中學?？计谀┤粝蛄?，滿足條件，則（）A．B．C．1D．2【答案】B【解析】根據(jù)向量的運算可得：，所以，所以，故選：B4、（2022秋·陜西咸陽·高二?？茧A段練習）已知，，則______.【答案】4【解析】設(shè)，，由，，得，，解得，所以，，則.故答案為：4.5、（2023秋·北京豐臺·高二北京市第十二中學?？计谀┰诳臻g直角坐標系中，已知三點，若點C在平面內(nèi)，則點C的坐標可能是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由，，顯然，不共線，根據(jù)向量基本定理可得，故C點坐標為，經(jīng)驗算只有B選項符合條件，此時，故選：B【題型4空間向量平行與垂直的坐標表示】1、（2023秋·山東濱州·高二統(tǒng)考期末）已知向量，，若，則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，，解得：.故選：B.2、（2023春·高二課時練習）已知空間三點，，，設(shè).若，求實數(shù)k的值．【答案】.【解析】三點，，，則，，因為，則有，解得，所以實數(shù)k的值是.3、（2023春·福建漳州·高二漳州三中?？茧A段練習）已知空間三點，，共線，則____________．【答案】【解析】由已知得：.因為三點共線,所以.所以，解得：.所以.故答案為:.4、（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校聯(lián)考期中）已知空間向量，，．（1）若，求；（2）若與相互垂直，求．【答案】（1）；（2）【解析】（1），，，即，且，，解得；（2），，又，解得．5、（2023春·福建龍巖·高二校聯(lián)考期中）（多選）已知向量，，則下列結(jié)論正確的是（）A．若，則B．若，則C．的最小值為2D．的最大值為4【答案】ABC【解析】對于A，若，且，，則存在唯一實數(shù)使得，即，則，解得，故A正確；對于B，若，則，即，解得，故B正確；，故當時，取得最小值，無最大值，故C正確，D錯誤.故選：ABC.【題型5空間向量模長的坐標表示】1、（2023春·江蘇·高二華羅庚中學校考階段練習）若，則______．【答案】【解析】因為，所以，則.故答案為：.2、（2022·高二課時練習），，則_______．【答案】6【解析】因為，，所以，所以；故答案為：.3、（2023秋·浙江紹興·高二統(tǒng)考期末）（多選）已知直線的方向向量分別是，，若且，則的值可以是（）A．B．C．D．【答案】BD【解析】因為已知直線的方向向量分別是，，其中且，所以，即，解得或，所以或.故選：BD.4、（2023秋·陜西西安·高二長安一中?？计谀┰诶忾L為2的正方體中，點分別在棱和上，且，則的最大值為（）A．B．C．D．1【答案】B【解析】如圖所示，以為中心建立空間直角坐標系，設(shè)，則，，，當時取得最大值，故選：B5、（2023春·遼寧·高二校聯(lián)考階段練習）在正四棱錐中，，在棱上，在直線上，則的最小值是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】如圖所以，連接AC，BD，記，連接OP，由正四棱錐的性質(zhì)可知OC，OD，OP兩兩垂直，則以O(shè)為原點，分別以，，的方向為軸、軸和軸軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，因為，所以，，，，則，,設(shè)，則，從而，故點A到直線CE的距離，即AF的最小值是.故選：D.【題型6空間向量夾角的坐標表示】1、（2023春·甘肅白銀·高二?？茧A段練習）在空間直角坐標系中，已知，，則、夾角的余弦值是______．【答案】/【解析】因為，，由空間向量的夾角公式可得，，所以、夾角的余弦值是，故答案為：.2、（2022秋·廣東佛山·高二佛山市南海區(qū)桂城中學?？茧A段練習）已知向量，，若與夾角為，則k的值為________．【答案】【解析】，，所以，可知，解得：．故答案為：.3、（2023春·高二課時練習）已知向量，，若與的夾角為鈍角，則實數(shù)t的取值范圍為________．【答案】【解析】由已知與的夾角為鈍角，則，即，解得.若a與b的夾角為180°，則存在，使.所以，所以，，所以且.故t的取值范圍是.故答案為：.4、（2023春·上海寶山·高二上海市吳淞中學?？茧A段練習）已知向量，若向量與的夾角為銳角，求實數(shù)的取值范圍______.【答案】【解析】