專題06線段與角的等量代換模型（原卷版）

專題06線段與角的等量代換模型等量代換是數(shù)學變形的最常見方式之一,它以處理問題步驟簡捷、巧妙靈活,給人留下深刻的印象。運用它來解決中學代數(shù)和幾何的有關(guān)問題（本專題主要涉及線段與角度的代換）,還可以避免繁雜運算,具有計算量小的獨特優(yōu)點,因此有著廣泛的應用。模型1.

線段與角度的等量代換模型【模型解讀】“等量代換”是在數(shù)學幾何中常用的一種推理證明方法，應用于角度或線段相等關(guān)系的推導。1）線段的等量代換條件：如圖，已知：EG=HF；結(jié)論：EH=GF.2）角度的等量代換（圖中：∠AOD=∠1，∠BOC=∠2，∠BOD=∠3，∠AOC=∠4）條件1：如圖，已知∠AOB=∠DOC；結(jié)論：∠1=∠2.條件2：如圖，已知∠AOB=∠DOC=90°；結(jié)論：∠1=∠2，∠3+∠4=180°.例1．（2023秋·北京平谷·七年級統(tǒng)考期末）如圖，點C，D在線段上，若，則（

）A． B． C． D．例2．（2023秋·河南商丘·七年級統(tǒng)考期末）如圖，點C是線段AB的中點，點D是線段CB上任意一點，則下列表示線段關(guān)系的式子不正確的是（

）A．AB=2ACB．AC+CD+DB=ABC．CD=ADABD．AD=（CD+AB）例3．（2023.湖南省婁底市七年級期末）如圖，點，分別是線段上兩點（，），用圓規(guī)在線段上截取，，若點與點恰好重合，，則為（

）A．4 B．4.5 C．5 D．5.5例4．（2023·湖北黃石·七年級統(tǒng)考期末）如圖，順次為線段上的兩點，是的中點，則的值是（

）A．9 B．8 C．7 D．6例5．（2023秋·重慶七年級課時練習）如圖所示，點A、O、E在一條直線上，，那么下列各式中錯誤的是（

）A．B．C．D．例6．（2023·山東棗莊·七年級期末）已知，如圖，則度．例7．（2023·安徽銅陵·七年級統(tǒng)考期末）如圖，，下列結(jié)論：其中正確的是（）A． B． C． D．例8．（2023.廣東省佛山市七年級期末）已知：（1）如圖1，嗎？請說明理由．（2）如圖2，直線平分，直線平分嗎？請說明理由．（3）若，，求的大小．例9.（2023.山東七年級期末）如圖，已知，平分，平分．(1)求的度數(shù)；(2)如果，那么是多少度？(3)如果，那么是多少度？是多少度？用含的式子表示)

課后專項訓練1．（2023·山西大同·七年級統(tǒng)考期末）如圖，線段AB上有C，D兩點，其中D是BC的中點，則下列結(jié)論一定正確的是（

）A．AB－AC＝BDB．CD＋BD＝ACC．CD＝ABD．AD－AC＝DB2．（2023·福建漳州·統(tǒng)考三模）點C、D在線段AB上，若點C是線段AD的中點，2BD>AD，則下列結(jié)論正確的是(

).A．CD<AD－BDB．AB>2BD C．BD>AD D．BC>AD3．（2023秋·湖北孝感·七年級統(tǒng)考期末）如圖，C，D是線段上兩點，若，，且D是中點，則的長等于（

）A．3 B．4 C．5 D．64．（2023·福建福州·七年級校考階段練習）如圖，點C，D是線段AB上任意兩點，點M是線段AC的中點，點N是線段DB的中點，若，，則線段CD的長等于（）A． B． C． D．5．（2023·安徽滁州·七年級?？计谀┤鐖D，點C，D在線段AB上，且AC＝CD＝DB，點E是線段AB的中點．若AD＝8，則CE的長為（）A．2 B．3 C．4 D．56．（2023·河南南陽·七年級?？计谀┤鐖D，，是線段上的兩點，且，已知圖中所有線段長度之和為81，則長為（

）A．9 B． C． D．以上都不對7．（2023春·山東淄博·七年級?？计谥校┤鐖D，點C、D為線段AB上兩點，AC+BD=a，且AD+BC=AB，則CD等于（）A．2a B．a(chǎn) C． D．8．（2023秋·河南洛陽·七年級統(tǒng)考期末）如圖，延長線段到點C，使，點D是線段的中點，若線段，則線段的長為（）．A．14 B．12 C．10 D．89．（2023.江蘇七年級期末）如圖，已知，，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．10．（2023秋·河北張家口·七年級統(tǒng)考期末）如圖，是的平分線，，．則等于（

）

A． B． C． D．11．（2023秋·山西·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在同一平面內(nèi)，，若，則的度數(shù)不可能為（

）A． B． C． D．12．（2023·山東濟南·七年級?？计谀┤鐖D，點在線段的延長線上，且線段，第一次操作：分別取線段和的中點、；第二次操作：分別取線段和的中點，；第三次操作：分別取線段和的中點，；連續(xù)這樣操作15次，則每次的兩個中點所形成的所有線段之和＝（）A． B． C． D．13．（2023秋·重慶南岸·七年級統(tǒng)考期末）如圖，∠AOC=∠BOD=，若∠BOC=，則∠AOD=．（用含，的代數(shù)式表示）．14．（2023秋·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·七年級?？计谀┤鐖D，和都是直角，且與的度數(shù)之比為，則的度數(shù)為．

15．（2023·陜西西安·七年級?？茧A段練習）已知，，，則的度數(shù)為16．（2023.成都市七年級期末）如圖所示，B、C是線段AD上任意兩點，M是AB的中點，N是CD的中點，若MN＝7cm，BC＝3cm，則AD的長為cm．17．（2023秋·黑龍江雙鴨山·七年級校聯(lián)考開學考試）如圖，AB=12cm，C為AB的中點，點D在線段AC上，且AD：CB=1：3，則DB的長度是cm．18．（2023·重慶沙坪壩·七年級期末）如圖，點C、D是線段AB上的兩點，點E、F分別是線段AC、DB的中點，且AC:CD:DB=2:3:4．若CF?ED=3，則線段EF的長度為．19．（2023·福建泉州·七年級?？茧A段練習）如圖，C，D是線段AB上兩點，M，N分別是線段，的中點，下列結(jié)論：①若，則；②若，則；③；④．其中正確的結(jié)論是（填序號）．20．（2023.黑龍江省大慶市七年級期末）如圖，是的平分線，射線在內(nèi)部，是的平分線，已知，那么的大小等于°．

21．（2023·河北石家莊·七年級統(tǒng)考期末）如圖，，則（選填“>”、“=”或“<”）．22．（2023·浙江·七年級專題練習）如圖，是的平分線，．(1)若，求的度數(shù)；(2)比較和的大小，并說明理由．23．（2023·吉林長春·七年級?？茧A段練習）如圖：．(1)，求的度數(shù)；(2)若，求的度數(shù)．24．（2023.浙江七年級期末）如圖所示，若已知C，D是線段AB上兩點，且AC=DB，E是AB中點，那么點E的位置有什么特點？你能說明原因嗎？25．（2023·福建泉州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，C、D是線段上的兩點，，，．(1)求線段的長；(2)若點M為的中點，點N在線段上，且，求線段的長度．26．（2023.重慶七年級期末）如圖，AB、CD交于點O，OE⊥AB，且OC平分∠AOE，過O點作射線OF，且∠DOF＝4∠AOF，求∠FOC的度數(shù)．27．（2023秋·河北石家莊·七年級?？计谀┤鐖D，已知，是銳角，平分，平分，求的度數(shù)．下邊是小明的思路，請幫他把過程補充完整．解：，是銳角，平分．_________________．_______．____________=______．28．（2023秋·廣東清遠·七年級統(tǒng)考期末）如圖，∠AOC和∠BOD都是直角．如果∠DOC＝28°，(1)求∠AOD的度數(shù)；(2)求∠AOB的度數(shù)．29．（2023.福建七年級期末）如圖，已知，射線為內(nèi)的一條射線，分別平分．(1)填空：的度數(shù)為；(2)當射線在內(nèi)繞點轉(zhuǎn)動，其它條件都不變時，的大小會發(fā)生變化嗎？說明理由．30．（2023秋·云南曲靖·七年級統(tǒng)考期末）如圖所示，，平分，平分．(1)試判斷與的關(guān)系，并說朋理由；(2)若，求的度數(shù)．31．（2023秋·甘肅酒泉·七年級統(tǒng)考期末）填空，完成下列說理過程如圖，點A，O，B在同一條直線上，OD，OE分別平分∠AOC和∠BOC．(1)求∠DOE的度數(shù)；(2)如果∠COD=65°，求∠AOE的度數(shù)．解：(1)如圖，因為OD是∠AOC的平分線，所以∠COD=∠AOC．因為OE是∠BOC的平分線，所以∠COE=．所以∠DOE=∠COD+=(∠AOC+∠BOC)=∠AOB=°．(2)由(1)可知∠BOE=∠COE=﹣∠COD=°．所以∠AOE=﹣∠BOE=°．32．（2023秋·江蘇常州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，∠AOC=140°，OD平分∠AOC，OB⊥OA，垂足為O．求∠DOB的度數(shù)：（按要求填空）解：因為OD平分∠AOC(已知)所以∠AOD=∠AOC(

)因為∠AOC=140°（已知）所以∠AOD=_________°（等量代換）又因為OB⊥OA(已知)所以∠AOB=90°(

)所以∠DOB=∠AOB______________=_____________°33．（2023·山西太原·七年級?？茧A段練習）已知線段AB上有若干個不重合的點，求出該線段上任意兩點所決定的線段長度（包括線段AB），并記所有這些線段的長度總和為，例如：圖1中，AB＝12，C為AB的中點，則＝AB+AC+CB＝12+6+6＝24．（1）如圖2，線段AB上有C、D兩點，其中AB＝12，AC：CD：DB＝1：2：3，求；（2）如圖3，線段AB上有C、D、E三點，其中C為AB的中點，E為DB的中點，且CE＝4，αAB＝64，求AB的長度；（3）線段AB上有C、D兩點，線段