山東省臨沂市莒南縣第二中學(xué)2023-2024學(xué)年下學(xué)期5月月考高一數(shù)學(xué)試題（答案解析）

第頁，共頁莒南二中2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期5月月考一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若為實(shí)數(shù),且,則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意可得,故選D.2.是邊長為1的正三角形，那么的斜二測平面直觀圖的面積（）A． B． C． D．【答案】A【解析】以所在直線為軸，線段的垂直平分線為軸，建立直角坐標(biāo)系，畫對應(yīng)的軸，軸，使，如下圖所示，結(jié)合圖形，的面積為，作，垂足為，則，，所以的面積，即原圖和直觀圖面積之間的關(guān)系為，所以，的面積為.故選：A.3.某企業(yè)在舉行的安全知識競答活動(dòng)中，隨機(jī)抽取了30名員工，統(tǒng)計(jì)了他們的測試成績（單位：分），并得到如圖所示的統(tǒng)計(jì)圖，設(shè)這30名員工的測試成績的中位數(shù)為m，眾數(shù)為n，平均數(shù)為，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖，以及平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)的定義來計(jì)算m、n、的值即可比較大小，得出答案.【詳解】由統(tǒng)計(jì)圖可知，測試成績按從高到低的順序排好后，中間的兩個(gè)測試成績?yōu)?0分，90分，故中位數(shù)（分），眾數(shù)分，平均數(shù)（分），則.4.平行四邊形三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，則頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)，由求解即可.【詳解】設(shè)，由平行四邊形可得，即，解得，故.故選：D.5.某工廠利用隨機(jī)數(shù)表對生產(chǎn)的700個(gè)零件進(jìn)行抽樣測試，先將700個(gè)零件進(jìn)行編號，001,002,……，699,700.從中抽取70個(gè)樣本，下圖提供隨機(jī)數(shù)表的第4行到第6行，若從表中第5行第6列開始向右讀取數(shù)據(jù)，則得到的第6個(gè)樣本編號是（

）3221183429

7864540732

5242064438

1223435677

35789056428442125331

3457860736

2530073286

2345788907

23689608043256780843

6789535577

3489948375

2253557832

4577892345A．623 B．328 C．253 D．007【答案】A【分析】根據(jù)隨機(jī)數(shù)表法依次讀數(shù)即可.【詳解】解：從第5行第6列開始向又讀取數(shù)據(jù)，第一個(gè)數(shù)為253，第二個(gè)數(shù)是313，第三個(gè)數(shù)是457，下一個(gè)數(shù)是860，不符合要求，下一個(gè)數(shù)是736，不符合要求，下一個(gè)是253，重復(fù)，第四個(gè)是007，第五個(gè)是328，第六個(gè)是623.故選：A.6.袋內(nèi)裝有大小、形狀完全相同的3個(gè)白球和2個(gè)黑球，從中不放回地摸球，設(shè)事件A=“第一次摸到白球”，事件B=“第二次摸到白球”，事件C=“第一次摸到黑球”，則下列說法中正確的是（

）A．A與B是互斥事件 B．A與B不是相互獨(dú)立事件C．B與C是對立事件 D．A與C是相互獨(dú)立事件【答案】B【分析】根據(jù)互斥事件、對立事件和相互獨(dú)立事件的定義判斷即可.【詳解】根據(jù)題意可知，事件和事件可以同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，故A錯(cuò)；不放回摸球，第一次摸球?qū)Φ诙蚊蛴杏绊?，所以事件和事件不相互?dú)立，故B正確；事件的對立事件為“第二次摸到黑球”，故C錯(cuò)；事件與事件為對立事件，故D錯(cuò).故選：B.7.如圖,正三棱柱的所有棱長都為2,則平面ABC與平面夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)面面垂直轉(zhuǎn)化面面夾角為另一個(gè)方便解答的面面夾角,分別向交線作垂線,即可得到面面夾角或其補(bǔ)角,構(gòu)造三角形,求出各邊,用余弦定理求出夾角余弦值.【詳解】解:由題知,平面ABC與平面的夾角即為平面與平面的夾角,取的中點(diǎn)O,連接,如圖所示:因?yàn)檎庵乃欣忾L都為2,所以所以,同理可得:,所以,又,所以,所以（或其補(bǔ)角）為平面ABC與平面的夾角,又,所以,因?yàn)?所以,故選:C．8.在中，內(nèi)角A的平分線與邊BC交于點(diǎn)D且，，若的面積，則AD的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)三角形的面積公式建立方程，求出，再由三角形面積范圍求出角A的范圍，利用三角函數(shù)即可求解.【詳解】，，，，即，即，解得，又因?yàn)椋?，即，，，故選：D選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。9.“虛數(shù)”這個(gè)詞是世紀(jì)著名數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家笛卡爾創(chuàng)造的，當(dāng)時(shí)的觀念認(rèn)為這是不存在的數(shù)．人們發(fā)現(xiàn)即使使用全部的有理數(shù)和無理數(shù)，也不能解決代數(shù)方程的求解問題，像這樣最簡單的二次方程，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)沒有解．引進(jìn)虛數(shù)概念后，代數(shù)方程的求解問題才得以解決．設(shè)是方程的根，則（

）A． B． C．是該方程的根 D．是該方程的根【答案】AD【分析】求出方程的兩根，利用根與系數(shù)的關(guān)系可判斷AB選項(xiàng)；利用代入法可判斷C選項(xiàng)；計(jì)算得出，可判斷D選項(xiàng).【詳解】解方程，即，解得，所以，與為方程的兩根.對于AB選項(xiàng)，由韋達(dá)定理可得，，A對B錯(cuò)；對于C選項(xiàng)，因?yàn)?，故不是方程的根，C錯(cuò)；對于D選項(xiàng)，若，則，若，則，所以，是該方程的根，D對.故選：AD.10.某地區(qū)公共部門為了調(diào)查本地區(qū)中學(xué)生的吸煙情況，對隨機(jī)抽出的編號為1~1000的1000名學(xué)生進(jìn)行了調(diào)查．調(diào)查中使用了兩個(gè)問題，問題1：你的編號是否為奇數(shù)？問題2：你是否吸煙？被調(diào)查者從設(shè)計(jì)好的隨機(jī)裝置（內(nèi)有除顏色外完全相同的白球50個(gè)，紅球50個(gè)）中摸出一個(gè)小球（摸完放回）：摸到白球則如實(shí)回答問題1，摸到紅球則如實(shí)回答問題2，回答“是”的人在一張白紙上畫一個(gè)“√”，回答“否”的人什么都不用做，由于問題的答案只有“是”和“否”，而且回答的是哪個(gè)問題也是別人不知道的，因此被調(diào)查者可以毫無顧忌的給出真實(shí)的答案．最后統(tǒng)計(jì)得出，這1000人中，共有265人回答“是”，則下列表述正確的是（

）A．估計(jì)被調(diào)查者中約有15人吸煙 B．估計(jì)約有15人對問題2的回答為“是”C．估計(jì)該地區(qū)約有3%的中學(xué)生吸煙 D．估計(jì)該地區(qū)約有1.5%的中學(xué)生吸煙【答案】BC【分析】先求出回答問題2且回答的“是”的人數(shù)，從而估計(jì)出該地區(qū)中學(xué)生吸煙人數(shù)的百分比，即得解.【詳解】隨機(jī)抽出的1000名學(xué)生中，回答第一個(gè)問題的概率是，其編號是奇數(shù)的概率也是，所以回答問題1且回答的“是”的學(xué)生人數(shù)為，回答問題2且回答的“是”的人數(shù)為，從而估計(jì)該地區(qū)中學(xué)生吸煙人數(shù)的百分比為，估計(jì)被調(diào)查者中吸煙的人數(shù)為.故選：BC．11.已知A，B，C是平面上不共線的三點(diǎn)，O是的重心，動(dòng)點(diǎn)P滿足，則點(diǎn)P一定不是（

）A．邊中線的中點(diǎn)B．邊中線的三等分點(diǎn)（非重心）C．的重心D．邊的中點(diǎn)【答案】ACD【分析】利用重心的向量表示及向量的線性運(yùn)算，得到，判斷出P的位置，對四個(gè)選項(xiàng)一一驗(yàn)證，得到正確答案.【詳解】因?yàn)镺是的重心，所以，所以,所以點(diǎn)P為OC的中點(diǎn)，即為邊中線的三等分點(diǎn)（非重心）故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.“二十四節(jié)氣歌”是以“春、夏、秋、冬”開始的四句詩.某小學(xué)三年級共有學(xué)生600名，隨機(jī)抽查100名學(xué)生并提問二十四節(jié)氣歌，只能說出一句的有45人，能說出兩句及以上的有38人，據(jù)此估計(jì)該校三年級的600名學(xué)生中，對二十四節(jié)氣歌一句也說不出的有_______人.【答案】102【分析】先求出隨機(jī)抽查的100名學(xué)生中，對二十四節(jié)氣歌一句也說不出的學(xué)生人數(shù)，利用樣本估計(jì)整體即可求解.【詳解】解：根據(jù)題意，隨機(jī)抽查的100名學(xué)生中，對二十四節(jié)氣歌一句也說不出的學(xué)生有人，故該校三年級的600名學(xué)生中，對二十四節(jié)氣歌一句也說不出的有人.故答案為：102.13.A工廠年前加緊手套生產(chǎn)，設(shè)該工廠連續(xù)5天生產(chǎn)的手套數(shù)依次為，，，，（單位：萬只），若這組數(shù)據(jù)，，，，的方差為1.44，且，，，，的平均數(shù)為4，則該工廠這5天平均每天生產(chǎn)手套___________萬只．【答案】【分析】由均值定義得，再根據(jù)方差公式求得.【詳解】依題意得，設(shè)，，，，的平均數(shù)為，根據(jù)方差的計(jì)算公式有，∴，即，又，∴．故答案為：．14.在，角，，所對的邊分別為，，，，交AC于點(diǎn)，且，則的最小值為．解析：由題意知，所以，即即，所以，所以四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15.已知向量,,其中,且.(1)求和的值;(2)若,且,求角.【答案】(1)，；(2).【解析】(1)∵,∴,即.代入,得,又,則,.則..(2)∵,,∴.又,∴.∴==.由,得.16.某城市100戶居民的月平均用電量（單位：度)，以[160，180)，[180，200)，[200，220)，[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]分組的頻率分布直方圖如下：(1)求直方圖中的值；(2)在月平均用電量為[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]的四組用戶中，用分層抽樣的方法抽取11戶居民，則月平均用電量在[220，240)的用戶中應(yīng)抽取多少戶？【答案】(1)(2)5戶【分析】（1）根據(jù)小矩形的面積和為1求解即可；（2）根據(jù)分層抽樣的方法求解即可.【詳解】（1）解：由直方圖的性質(zhì)可得：，解方程可得：所以，（2）解：由直方圖可得：月平均用電量為[220，240)的用戶有

戶，月平均用電量為[240，260)的用戶有戶，月平均用電量為[260，280)的用戶有戶，月平均用電量為[280，300]的用戶有戶，抽取比例為，所以月平均用電量在[220，240)的用戶中應(yīng)抽取戶．17.在中，角、、的對邊分別是、、，且滿足．(1)求角的大?。?2)若，求的面積的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用平面向量數(shù)量積的定義以及正弦定理化簡得出的值，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值；（2）利用正弦定理結(jié)合三角恒等變換化簡可得出，求出角的取值范圍，結(jié)合正弦型函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的取值范圍.（1）解：由可得，所以，，由正弦定理得，，、，則，所以，，故.（2）解：由正弦定理可得，則，，，，則，所以，，故.18.一個(gè)盒子中裝有5支圓珠筆，其中3支為一等品（記為，，），2支為二等品（記為，），從中隨機(jī)抽取2支進(jìn)行檢測.(1)寫出這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間；(2)求抽取的2支圓珠筆都是一等品的概率.【答案】(1)，，，，，，，，，.(2)【分析】（1）直接寫出樣本空間即可；（2）計(jì)算2支圓珠筆都是一等品的樣本數(shù)，得到概率.【詳解】（1）試驗(yàn)的樣本空間為：，，，，，，，，，.（2）抽取的2支圓珠筆都是一等品有，，3種情況，故概率.19.如圖，四棱錐中，，平面平面．(1)求證：；(2)設(shè)，點(diǎn)N在棱上，，求多面體的體積．【答案】(1)見詳解(2)【分析】（1）利用線線垂直的判定定理證明即可（2）過作的延長線交于點(diǎn)，連接，