湖北省武漢市新洲區(qū)部分學(xué)校2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期4月期中質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題（解析版）

2024～2025學(xué)年度下學(xué)期期中新洲區(qū)部分學(xué)校高中一年級質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷考試用時：120分鐘滿分：150分考試時間：2025.04一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設(shè)為基底，已知向量，，，若A，B，D三點共線，則k的值是（）A.2 B.-4 C.-2 D.3【答案】B【解析】【分析】利用向量減法法則求出，再利用共線向量及平面向量基本定理列式計算作答.詳解】因，，則，因A，B，D三點共線，則，即，，而，則有，即，又與不共線，于是得，解得，所以k的值是.故選：B2.若復(fù)數(shù)，則（）A. B.2 C. D.10【答案】C【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算及模長計算公式即可求解．【詳解】，則，故選：C．3.角以為始邊，它的終邊與單位圓相交于點，且點的縱坐標(biāo)為，則的值為（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由任意角的正弦定義，再由二倍角的余弦公式可算得，由此可得到答案.【詳解】由任意角的正弦定義可知，由二倍角的余弦公式可得，所以.故選：B.4.如圖所示，矩形是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，其中，，則原圖形的面積是（）A. B.12 C.12 D.24【答案】A【解析】【分析】根據(jù)斜二測畫法求出直觀圖的面積，進而即可得到原圖形的面積.【詳解】由斜二測畫法可知，所以，所以，所以，故選：A.5.享有“天下江山第一樓”美譽的黃鶴樓位于湖北武漢，地處蛇山之巔，瀕臨萬里長江，更因歷代詩人登樓作詩而名聞天下.如圖，某同學(xué)為測量黃鶴樓的高度，在黃鶴樓的正東方向找到一座建筑物，高約為，在地面上點處（，，三點共線）測得建筑物頂部，黃鶴樓頂部的仰角分別為30°和45°，在處測得樓頂部的仰角為15°，則黃鶴樓的高度約為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先在中求出，然后在中利用正弦定理求出，最后在中利用銳角三角函數(shù)的定義可求得結(jié)果.【詳解】由題意得，，在中，，，則，在中，，則，由正弦定理得，，得，中，，則，所以.故選：C6.已知非零向量滿足，且，則與的夾角為A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題主要考查利用平面向量數(shù)量積計算向量長度、夾角與垂直問題，滲透了轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)學(xué)計算等數(shù)學(xué)素養(yǎng)．先由得出向量的數(shù)量積與其模的關(guān)系，再利用向量夾角公式即可計算出向量夾角．【詳解】因為，所以=0，所以，所以=，所以與的夾角為，故選B．【點睛】對向量夾角的計算，先計算出向量的數(shù)量積及各個向量的摸，在利用向量夾角公式求出夾角的余弦值，再求出夾角，注意向量夾角范圍為．7.設(shè)函數(shù)，，，則可以是（）A3 B.4 C.5 D.6【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意可知為函數(shù)的最大值和最小值，再寫出自變量的取值，作差變形即可求解．【詳解】因為，且，所以為函數(shù)的最大值和最小值，不妨設(shè)，即，所以，又，所以，所以當(dāng)時，，即可以是3，故選：A．8.如圖，在中，點在線段上，且，點是線段的中點．過點的直線與邊，分別交于點，，設(shè)，，（，），則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意得，根據(jù)共線定理得出，結(jié)合基本不等式即可求解最小值．【詳解】因為，所以，因為，，（，），所以，因為點是線段的中點，所以，則，又因為三點共線，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，故選：D．二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分．9.已知復(fù)數(shù)，則下列說法正確的是（）A.的虛部是 B.的共軛復(fù)數(shù)是C. D.【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的定義判斷A，根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義判斷B，根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運算法則判斷C、D.【詳解】復(fù)數(shù)虛部為，故A錯誤；的共軛復(fù)數(shù)是，故B正確；，故C錯誤；因為，，所以，故D正確；故選：BD10.已知向量，，記向量，的夾角為，則（）A.若為鈍角，則 B.若為銳角，則C.當(dāng)時，為直角 D.當(dāng)時，為平角【答案】BD【解析】【分析】對于A，由題意得且向量，不共線，從而可求出，對于B，由題意得且向量，不共線，從而可求出，對于C，通過計算進行判斷，對于D，利用夾角公式求解即可.【詳解】對于A，因為為鈍角，所以且向量，不共線，由，得，得，由，不共線，得，得，所以，且，所以A錯誤，對于B，因為為銳角，所以且向量，不共線，由，得，得，由，不共線，得，得，所以，所以B正確，對于C，當(dāng)時，，所以，所以與不垂直，即不是直角，所以C錯誤，對于D，當(dāng)時，，所以，因為，所以，即為平角，所以D正確.故選：BD11.筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中使用（圖1），明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理（圖2）．若一半徑為2米的筒車水輪圓心距離水面1米（圖3），已知水輪按逆時針轉(zhuǎn)動，每分鐘轉(zhuǎn)動5圈，當(dāng)水輪上點從水中浮現(xiàn)時（圖3中點）開始計時，經(jīng)過分鐘后點距離水面的高度為米，下列結(jié)論正確的有（）A.關(guān)于的函數(shù)解析式為（）B.點第一次到達(dá)最高點需用時5秒C.點再次接觸水面需用時8秒D.當(dāng)點運動2秒時，距水面的高度為2米【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)模型的定義與性質(zhì)，求出和，寫出函數(shù)解析式，再判斷選項中的命題是否正確.【詳解】函數(shù)中，，所以，時，，解得，所以，所以，故A錯誤；令時，得，則，解得，所以的最小值為分鐘，即用時秒，所以點第一次到達(dá)最高點需用時秒，故B錯誤；由題意知，點再次接觸水面需用時分鐘，即秒，故C正確；當(dāng)點運動2秒時，即時，，故D正確；故選：CD三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知復(fù)數(shù)，則______．【答案】【解析】【分析】先求出，，發(fā)現(xiàn)具有周期性,周期為3，由周期性求解即可.【詳解】，，，故周期為3，，故答案為：13.已知，，，點在直線上運動，則的最小值為______．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)向量共線可設(shè)，將轉(zhuǎn)化為，從而得到，然后求二次函數(shù)的最小值即可.【詳解】因為點在直線上運動，設(shè)，所以，因為，，所以，，，，所以，當(dāng)時，有最小值.故答案為：14.直線與曲線和曲線分別相交于點，．（1）若，則的最大值為______；（2）若的最大值為，則的值為______．【答案】①.②.（）或（）【解析】【分析】應(yīng)用輔助角公式及正弦的有界性即可求解；應(yīng)用輔助角公式及正弦的有界性即可求解【詳解】當(dāng)時，當(dāng)且僅當(dāng)（）即（）取等號（2）其中的象限由點決定，且所以當(dāng)且僅當(dāng)（）取等號依題意，，所以，所以（）或（）故答案為：；（）或（）四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知向量，滿足，（1）求；（2）求與的夾角余弦值；（3）求向量在向量上的投影向量的坐標(biāo).【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）先求出坐標(biāo)，再根據(jù)模長公式計算即可；（2）應(yīng)用夾角余弦公式計算求解；（3）應(yīng)用投影向量公式及向量數(shù)量積公式計算求解.【小問1詳解】因為向量，滿足，，所以，故；【小問2詳解】因為，，所以，又，，所以，故與的夾角余弦值為；【小問3詳解】因為，則，所以向量在向量上的投影向量坐標(biāo)為.16.已知復(fù)數(shù)（，），且和均為實數(shù)，其中是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點為．（1）求向量的坐標(biāo)；（2）若對應(yīng)的點在第四象限，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用復(fù)數(shù)的除法，結(jié)合復(fù)數(shù)的概念求出即可；（2）求出及在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點，再列式求得范圍.【小問1詳解】由為實數(shù)，得，則，又為實數(shù)，則，解得，因此，所以；【小問2詳解】由（1）知，，而，則，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第四象限，于是，即，解得或，所以的取值范圍為．17.如圖所示，四邊形地塊是東湖畔擬建造的一個露營基地．為考慮露營客人娛樂休閑的需求，在四邊形區(qū)域中，將三角形區(qū)域設(shè)立成花卉觀賞區(qū)，三角形區(qū)域設(shè)立成燒烤區(qū)，邊，，，修建觀賞步道，邊修建隔離防護欄，其中米，米，．（1）如果燒烤區(qū)是一個占地面積為平方米的三角形，那么最長需要修建多長的隔離防護欄？（2）考慮到燒烤區(qū)的安全性，在規(guī)劃四邊形區(qū)域時，首先保證燒烤區(qū)的占地面積最大時，再使得花卉觀賞區(qū)的周長盡可能大，則應(yīng)如何設(shè)計觀賞步道和？【答案】（1）260米（2）觀賞步道，應(yīng)均設(shè)計為長度是米【解析】【分析】（1）由三角形的面積公式解得，所以，利用余弦定理即可求解；（2）由燒烤區(qū)的占地面積最大得到，利用正弦定理解得AB和AD，代入三角形面積公式，利用三角函數(shù)性質(zhì)即可求解．【小問1詳解】依題意知，解得，所以，當(dāng)時，當(dāng)時，故最長需要修建260米的隔離防護欄；【小問2詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)時取到等號，此時，設(shè)（），在中，，所以，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號所以周長的最大值為，此時，故觀賞步道，應(yīng)均設(shè)計為長度是米．18.已知，，函數(shù)．（1）求函數(shù)的解析式及對稱中心；（2）若，且，求的值；（3）在銳角，角，，分別為，，三邊所對的角，若，，求面積的取值范圍．【答案】（1），，（2）（3）【解析】【分析】（1）先根據(jù)數(shù)量積坐標(biāo)運算公式，再應(yīng)用三角恒等變換化簡，結(jié)合正弦函數(shù)對稱中心計算求解；（2）根據(jù)二倍角公式計算化簡結(jié)合弦切轉(zhuǎn)化計算求解；（3）先求出，再應(yīng)用正弦定理結(jié)合三角函數(shù)值域求解周長范圍.【小問1詳解】因為，，所以，即函數(shù)的解析式為所以對稱中心的橫坐標(biāo)滿足，，解得，，所以函數(shù)的對稱中心，【小問2詳解】因為，所以即所以，即又由得，所以，又所以【小問3詳解】若，，即，可得，，所以，解得由正弦定理可得：，即，所以，即而在銳角三角形中，，可得，所以，即，所以三角形的面積的取值范圍為．19.如圖示，矩形中，點，分別是邊，上的兩點，，．（1）設(shè)，，，求的范圍；（2）若，求的最小值；（3）若，連接交的延長線于點，為的中點，試探究線段上是否存在一點，使得最大．若存在，求的長；若不存在，說明理由．【答案】（1）（2）（3）存在，【解析】【分析】（1）由向量的數(shù)量積的定義求解即可；（2）建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，由數(shù)量積的坐標(biāo)表示求解得到關(guān)于的函數(shù)結(jié)合基本不等式求解最值即可；（3）建立直角坐標(biāo)系，由題意可得，，，即，假設(shè)存在點，