廣東省珠海市斗門區(qū)珠海市華中師范大學(xué)（珠海）附屬中學(xué)2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期4月期中數(shù)學(xué)試題（解析）

華中師大珠海附中2024-2025學(xué)年第二學(xué)期高一年級期中考試數(shù)學(xué)學(xué)科試題本試卷共4頁，19題，全卷滿分150分，考試用時120分鐘．★?？荚図樌镒⒁馐马棧?．答卷前，考生務(wù)必將自己的學(xué)校、班級、姓名、考場號、座位號和準考證號填寫在答題卡上．2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上將對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．答案不能答在試卷上．3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液．不按以上要求作答無效．4．考生必須保證答題卡的整潔．考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題列出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知扇形的圓心角為120°，半徑為3cm，則扇形的面積是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用扇形的弧長公式以及面積公式計算即可.【詳解】由題意，扇形的圓心角為120°，即，所以弧長，則扇形面積.故選：B.2.若是第一象限角，則下列結(jié)論一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)的范圍求得是第一?三象限角，分類討論，根據(jù)三角函數(shù)符號即可判斷.【詳解】因為在第一象限，所以，所以，所以是第一?三象限角，當(dāng)是第一象限角時，；當(dāng)是第三象限角時，；綜上，一定成立.故選：C3.已知函數(shù)，則下列選項錯誤的是（）A.的最小正周期為 B.曲線關(guān)于點中心對稱C.的最大值為 D.曲線關(guān)于直線對稱【答案】B【解析】【分析】對于選項A：將函數(shù)化為形式，求出周期，判斷A.

對于選項B：代入驗證得到判斷B.

對于選項C：求出，最大值是，判斷C.

對于選項D：根據(jù)對稱軸性質(zhì)，代入求出值，看是否是最值即可判斷D.【詳解】已知，所以.

那么，所以選項A正確.

若曲線關(guān)于點中心對稱，則.計算，所以曲線不關(guān)于點中心對稱，選項B錯誤.因為正弦函數(shù)的最大值為，在中，，選項C正確.

若曲線關(guān)于直線對稱，則為函數(shù)的最值.計算，是函數(shù)的最大值，所以曲線關(guān)于直線對稱，選項D正確.

故選：B.4.已知，，且，，則的坐標為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)向量的坐標運算即可求解.【詳解】設(shè)，由，得，所以.故選：C5.向量在向量方向上的投影向量的模為（）A.2 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求解向量在向量方向上的投影向量為，再根據(jù)向量模的坐標運算求解即可.【詳解】由已知可得，，向量在向量方向上的投影向量為，所以向量在向量方向上的投影向量的模為.故選：.6.如圖，等腰梯形中，，點E為線段中點，點F為線段的中點，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】通過將轉(zhuǎn)化為與已知向量、相關(guān)的表達式，利用向量的線性運算規(guī)則，逐步將其他向量用、表示出來，進而得出的表達式.【詳解】根據(jù)向量加法的三角形法則，.

因為點為線段BC的中點，則.

同理可得.

已知，.由；，又因為，所以.

將，代入可得：把，代入上式：

故選：B.7.我國古代數(shù)學(xué)家僧一行應(yīng)用“九服晷影算法”在《大衍歷》中建立了晷影長l與太陽天頂距θ（）的對應(yīng)數(shù)表，這是世界數(shù)學(xué)史上較早的正切函數(shù)表．根據(jù)三角學(xué)知識可知，晷影長l等于表高h與太陽天頂距θ正切值的乘積，即．對同一“表高”測量兩次，第一次和第二次太陽天頂距分別為，，第二次的“晷影長”是“表高”的2倍，且，則的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意可得，根據(jù)倍角公式以及齊次化問題解得，再結(jié)合兩角和差公式運算求解.【詳解】由題意可知：，則，，可得，解得或（舍去），所以．故選：A8.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且在區(qū)間上恰好取得一次最大值，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用正弦函數(shù)圖象及性質(zhì)，借助相位整體思想分析正弦函數(shù)的單調(diào)性與最大值，從而可得參數(shù)的范圍.【詳解】因為，所以，由于在遞增，所以，又由可得：，由在上恰好取得一次最大值，則，所以綜合上述可得：，故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題列出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.若平面向量，，其中，，則下列說法正確的是（）A.若，則B.若，則與同向的單位向量為C.若，且與的夾角為銳角，則實數(shù)的取值范圍為D.若，則的最小值為【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)向量的線性運算可判斷AB選項，再根據(jù)向量夾角公式可判斷C選項，結(jié)合向量垂直的坐標表示及基本不等式可判斷D選項.【詳解】由，，A選項：，則，解得，則，，所以不存在，使，即，不共線，A選項錯誤；B選項：，則，解得，即，，，所以與同向的單位向量為，B選項正確；C選項：時，，又與的夾角為銳角，則，解得，且，即，C選項錯誤；D選項：由，得，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，D選項正確；故選：BD.10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）AB.C.的圖象與軸的交點坐標為D.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)圖象求周期，然后可判斷A；根據(jù)正切函數(shù)定義域可判斷B；代入驗證可判斷C；判斷關(guān)于點對稱，然后由圖象的對稱變換可判斷D.【詳解】對A，由圖可知，的最小正周期，則，A正確；對B，由圖象可知時，函數(shù)無意義，故，由，得，即，B錯誤；對C，，C正確；對D，由，則的圖象關(guān)于點對稱，由圖象對稱變換可得函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，D正確.故選：ACD11.對于△，其外心為，重心為，垂心為，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.C.向量與共線D.過點的直線分別與、交于、兩點，若，，則【答案】BCD【解析】【分析】A：由外心性質(zhì)，結(jié)合向量數(shù)量積的幾何意義判斷；B：根據(jù)的幾何意義即可判斷正誤；C：應(yīng)用向量數(shù)量積的運算律及定義化簡，再根據(jù)判斷正誤；D：根據(jù)平面向量基本定理可得，再由三點共線即可證.【詳解】A：為外心，則，僅當(dāng)時才有，錯誤；B：由，又，故，正確；C：，即與垂直，又，所以與共線，正確；D：，又三點共線，則，故，正確.故選：BCD【點睛】關(guān)鍵點點睛：綜合應(yīng)用外心、垂心、重心的性質(zhì)，結(jié)合平面向量數(shù)量積的運算律、幾何含義以及平面向量基本定理判斷各選項正誤.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知點是角的終邊上一點，則______．【答案】##【解析】【分析】應(yīng)用誘導(dǎo)公式及終邊上的點求函數(shù)值即可.【詳解】由.故答案為：13.將函數(shù)圖象上每一點縱坐標不變，向右平移個單位長度得到的圖象，則______．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)圖象平移的變換規(guī)律得到函數(shù)的解析式，代入計算即可得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意，將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得到函數(shù)的圖象，所以，，故.故答案為：.14.如圖，在中，，，，若為圓心為的單位圓的一條動直徑，則的取值范圍是__．【答案】【解析】【分析】利用平面向量的線性運算可得出，運用平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)解決即可.【詳解】由題知，中，，，，若為圓心為的單位圓的一條動直徑，所以為的中點，，因為，所以,因為，即所以，當(dāng)且僅當(dāng)同向時取最大值，反向時取最小值，所以的取值范圍是，故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知，是兩個單位向量，其夾角為60°，，．（1）求，；（2）求與的夾角．【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）利用模長公式及向量數(shù)量積的運算律即得；（2）利用向量夾角公式求解即可.【小問1詳解】因為，兩個單位向量，其夾角為60°，則，，,又，所以，同理，所以；【小問2詳解】由題得，，設(shè)與的夾角為θ，則，因為θ∈[0,π]，所以，則向量與的夾角為．16.（1）已知是第三象限角，且是方程的一個實根，求的值；（2）已知，且，求值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意得到的值，將除以，分子分母同時除以，即可得到有關(guān)的式子，代入即可得到答案；（2）先根據(jù)完全平方公式得到的值，然后再利用完全平方公式得到的值，構(gòu)造等式即可求得結(jié)果.【詳解】（1）由，得或，是方程的一個實根，且是第三象限角，，.（2），，則，，所以，故，.17.已知函數(shù)．（1），，求的值；（2）對任意的，都有，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）結(jié)合二倍角公式和輔助角公式化簡可得，結(jié)合已知可得，再由同角關(guān)系求，結(jié)合利用兩角和正弦公式求結(jié)論；（2）先結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)求的范圍，條件可轉(zhuǎn)化為，解對數(shù)不等式可得結(jié)論.【小問1詳解】．，得，由，，，得，所以．【小問2詳解】，由，，所以，即，由，得在恒成立，所以，所以，所以．18.如圖，在中，點滿足，是線段的中點，過點的直線與邊，分別交于點．（1）若，求的值；（2）若，，求的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意根據(jù)向量的線性運算法則得到，，再根據(jù)三點共線，求得即可求解.（2）根據(jù)題意得到，，結(jié)合三點共線得到，利用基本不等式“1”的妙用即可求解.【小問1詳解】因為，所以，因為是線段的中點，所以，又因為，設(shè)，則有，因為三點共線，所以，解得，即，所以．【小問2詳解】因為，，由（1）可知，，所以，因為三點共線，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號，所以的最小值為．19.在平面直角坐標系中，對于非零向量，定義這兩個向量的“相離度”為，容易知道平行的充要條件為.（1）已知向量，求；（2）（i）設(shè)向量的夾角為，證明：；（