2025屆廣西玉林市重點中學(xué)高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級中學(xué)名校試題PAGEPAGE1廣西玉林市重點中學(xué)2025屆高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.若復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】,,故選：B2.做拋擲一枚骰子的試驗，當(dāng)出現(xiàn)1點或2點時，就說這次試驗成功，假設(shè)骰子是質(zhì)地均勻的.則在3次這樣的試驗中成功次數(shù)X的期望為（）A. B. C.1 D.2【答案】C【解析】每一次成功的概率為，服從二項分布，故.故選：.3.將函數(shù)的圖象沿軸向左平移個單位長度后，得到函數(shù)的圖象，則“”是“是偶函數(shù)”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】將函數(shù)的圖象沿軸向左平移個單位長度，得到的圖象對應(yīng)函數(shù)的解析式為，若函數(shù)為偶函數(shù)，則，解得，當(dāng)時，.因此，“”是“是偶函數(shù)”的充分不必要條件.故選：A.4.已知的部分圖象如圖所示，則的表達(dá)式是A. B.C. D.【答案】D【解析】由圖象可得，函數(shù)的最小正周期為，.將點代入函數(shù)的解析式得，得，，，則，，因此，.故選：D.5.已知邊長為4的菱形，，為的中點，為平面內(nèi)一點，若，則（）A.16 B.14 C.12 D.8【答案】B【解析】取中點，連接，，，即.，，，則.故選：.6.設(shè)為虛數(shù)單位，為復(fù)數(shù)，若為實數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)，則.由題意有，所以.故選：B7.三棱柱中，底面邊長和側(cè)棱長都相等，，則異面直線與所成角的余弦值為A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)棱長為1，，，由題意得：，，，又即異面直線與所成角的余弦值為：本題正確選項：8.平行四邊形中，已知，，點、分別滿足，，且，則向量在上的投影為（）A.2 B. C. D.【答案】C【解析】，得，則向量在上的投影為.故選：C.9.已知實數(shù)滿足約束條件，則的最小值為A.-5 B.2 C.7 D.11【答案】A【解析】由約束條件，畫出可行域如圖變?yōu)闉樾甭蕿?3的一簇平行線，為在軸的截距，最小的時候為過點的時候，解得所以，此時故選A項10.設(shè)，則，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】，，.，顯然.,即，，即.綜上，.故選：.11.已知函數(shù)若對區(qū)間內(nèi)的任意實數(shù)，都有，則實數(shù)的取值范圍是A. B. C. D.【答案】C【解析】由題得.當(dāng)a＜1時，，所以函數(shù)f（x）在單調(diào)遞減，因為對區(qū)間內(nèi)的任意實數(shù)，都有，所以，所以故a≥1，與a＜1矛盾，故a＜1矛盾.當(dāng)1≤a<e時，函數(shù)f(x)在[0,lna]單調(diào)遞增，在(lna,1]單調(diào)遞減.所以因為對區(qū)間內(nèi)的任意實數(shù)，都有，所以，所以即令，所以所以函數(shù)g(a)在（1，e）上單調(diào)遞減，所以，所以當(dāng)1≤a<e時，滿足題意.當(dāng)a時，函數(shù)f(x)在(0,1)單調(diào)遞增,因為對區(qū)間內(nèi)的任意實數(shù)，都有，所以,故1+1，所以故綜上所述，a∈.故選C12.若x，y滿足約束條件且的最大值為，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】作出約束條件表示的可行域，如圖所示.因為的最大值為，所以在點處取得最大值，則，即.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知矩形，，，以，為焦點，且過，兩點的雙曲線的離心率為____________．【答案】【解析】因為，為焦點，所以，解得，因為是矩形，所以為直角三角形，，又因為在雙曲線上，所以，解得，所以故答案為：14.如圖，棱長為2的正方體中，點分別為棱的中點，以為圓心，1為半徑，分別在面和面內(nèi)作弧和，并將兩弧各五等分，分點依次為、、、、、以及、、、、、．一只螞蟻欲從點出發(fā)，沿正方體的表面爬行至，則其爬行的最短距離為________．參考數(shù)據(jù)：；；）【答案】【解析】棱長為2的正方體中，點分別為棱的中點，以為圓心，1為半徑，分別在面和面內(nèi)作弧和.將平面繞旋轉(zhuǎn)至與平面共面的位置，如下圖所示：則，所以；將平面繞旋轉(zhuǎn)至與平面共面的位置，將繞旋轉(zhuǎn)至與平面共面的位置，如下圖所示：則，所以；因為，且由誘導(dǎo)公式可得，所以最短距離為，故答案為：.15.下圖是一個算法流程圖，則輸出的S的值是______.【答案】【解析】第一次運行，；第二次運行，；第三次運行，；第四次運行；所以輸出的S的值是.故答案為：16.復(fù)數(shù)（其中i為虛數(shù)單位）共軛復(fù)數(shù)為________.【答案】【解析】由，則故答案為：三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知函數(shù)，.（1）若時，解不等式；（2）若關(guān)于的不等式在上有解，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）若時，，當(dāng)時，原不等式可化為，解得，所以，當(dāng)時，原不等式可化為，解得，所以，當(dāng)時，原不等式可化為，解得，所以，綜上述：不等式的解集為；（2）當(dāng)時，由得，即，故得，又由題意知：，即，故的范圍為.18.已知函數(shù)f(x)=ex-x2-kx（其中e為自然對數(shù)的底，k為常數(shù)）有一個極大值點和一個極小值點．（1）求實數(shù)k的取值范圍；（2）證明：f(x)的極大值不小于1．（1）解：，由，記，，由，且時，，單調(diào)遞減，，時，，單調(diào)遞增，，由題意，方程有兩個不同解，所以；（2）證明：解法一：由（1）知，在區(qū)間上存在極大值點，且，所以的極大值為，記，則，因為，所以，所以時，，單調(diào)遞減，時，，單調(diào)遞增，所以，即函數(shù)的極大值不小于1.解法二：由（1）知，在區(qū)間上存在極大值點，且，所以的極大值為，因為，，所以.即函數(shù)的極大值不小于1.19.已知函數(shù)，．（1）若，，求實數(shù)的值．（2）若，，求正實數(shù)的取值范圍．解：（1）由題意，得，，由，…①，得，令，則，因為，所以在單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減；所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立．故方程①有且僅有唯一解，實數(shù)的值為0．（2）解法一：令（），則，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增;當(dāng)時，，單調(diào)遞減;故．令（），則．（i）若時，，在單調(diào)遞增，所以，滿足題意．（ii）若時，，滿足題意．（iii）若時，，在單調(diào)遞減，所以．不滿足題意．綜上述：．解法二：先證明不等式，，，…（*）．令，則當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以，即．變形得，，所以時，，所以當(dāng)時，.又由上式得，當(dāng)時，，，.因此不等式（*）均成立．令（），則，（i）若時，當(dāng)時，，單調(diào)遞增;當(dāng)時，，單調(diào)遞減;故．（ii）若時，，在單調(diào)遞增，所以．因此，①當(dāng)時，此時，，，則需由（*）知，，（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立），所以．②當(dāng)時，此時，，則當(dāng)時，（由（*）知）；當(dāng)時，（由（*）知）．故對于任意，．綜上述：．20.已知函數(shù)和的圖象關(guān)于原點對稱，且．（1）解關(guān)于的不等式；（2）如果對，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．解：（1）∵函數(shù)和的圖象關(guān)于原點對稱，∴，∴原不等式可化為，即或，解得不等式的解集為；（2）不等式可化為：，即，即，則只需，解得，的取值范圍是.21.如圖所示，直角梯形ABCD中，，AD垂直AB，，四邊形EDCF為矩形，，平面平面ABCD．（1）求證：∥平面ABE；（2）求平面ABE與平面EFB所成二面角的正弦值；（3）在線段DF上是否存在點P，使得直線BP與平面ABE所成角的正弦值為，若存在，求出線段BP的長，若不存在，請說明理由．（1）證明：取為原點，所在直線為軸，過點且平行于直線的直線為軸，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，設(shè)平面的一個法向量為，由得，不妨設(shè)，則，，又，，，又平面，平面.（2）解：，，設(shè)平面一個法向量為，由得，不妨設(shè)，則，，，則，，平面與平面所成二面角的正弦值為.（3）解：存在，理由如下，設(shè)，則，所以，又平面的一個法向量為，即直線與平面所成角為，則，整理得，解得或，當(dāng)時，，則；當(dāng)時，，則；綜上，即在線段上存在點，使得直線與平面所成角的正弦值為，此時線段的長為.22.在直角坐標(biāo)系中，已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線的普通方程和直線的直角坐標(biāo)方程；（2）若射線的極坐標(biāo)方程為.設(shè)與相交于點，與相交于點，求.解：（1）已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.消去參數(shù)，得，所以曲線的普通方程為.直線的極坐標(biāo)方程為.轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為.（2）曲線的極坐標(biāo)方程為.將代入，解得，將代入，解得.故.廣西玉林市重點中學(xué)2025屆高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.若復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】,,故選：B2.做拋擲一枚骰子的試驗，當(dāng)出現(xiàn)1點或2點時，就說這次試驗成功，假設(shè)骰子是質(zhì)地均勻的.則在3次這樣的試驗中成功次數(shù)X的期望為（）A. B. C.1 D.2【答案】C【解析】每一次成功的概率為，服從二項分布，故.故選：.3.將函數(shù)的圖象沿軸向左平移個單位長度后，得到函數(shù)的圖象，則“”是“是偶函數(shù)”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】將函數(shù)的圖象沿軸向左平移個單位長度，得到的圖象對應(yīng)函數(shù)的解析式為，若函數(shù)為偶函數(shù)，則，解得，當(dāng)時，.因此，“”是“是偶函數(shù)”的充分不必要條件.故選：A.4.已知的部分圖象如圖所示，則的表達(dá)式是A. B.C. D.【答案】D【解析】由圖象可得，函數(shù)的最小正周期為，.將點代入函數(shù)的解析式得，得，，，則，，因此，.故選：D.5.已知邊長為4的菱形，，為的中點，為平面內(nèi)一點，若，則（）A.16 B.14 C.12 D.8【答案】B【解析】取中點，連接，，，即.，，，則.故選：.6.設(shè)為虛數(shù)單位，為復(fù)數(shù)，若為實數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)，則.由題意有，所以.故選：B7.三棱柱中，底面邊長和側(cè)棱長都相等，，則異面直線與所成角的余弦值為A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)棱長為1，，，由題意得：，，，又即異面直線與所成角的余弦值為：本題正確選項：8.平行四邊形中，已知，，點、分別滿足，，且，則向量在上的投影為（）A.2 B. C. D.【答案】C【解析】，得，則向量在上的投影為.故選：C.9.已知實數(shù)滿足約束條件，則的最小值為A.-5 B.2 C.7 D.11【答案】A【解析】由約束條件，畫出可行域如圖變?yōu)闉樾甭蕿?3的一簇平行線，為在軸的截距，最小的時候為過點的時候，解得所以，此時故選A項10.設(shè)，則，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】，，.，顯然.,即，，即.綜上，.故選：.11.已知函數(shù)若對區(qū)間內(nèi)的任意實數(shù)，都有，則實數(shù)的取值范圍是A. B. C. D.【答案】C【解析】由題得.當(dāng)a＜1時，，所以函數(shù)f（x）在單調(diào)遞減，因為對區(qū)間內(nèi)的任意實數(shù)，都有，所以，所以故a≥1，與a＜1矛盾，故a＜1矛盾.當(dāng)1≤a<e時，函數(shù)f(x)在[0,lna]單調(diào)遞增，在(lna,1]單調(diào)遞減.所以因為對區(qū)間內(nèi)的任意實數(shù)，都有，所以，所以即令，所以所以函數(shù)g(a)在（1，e）上單調(diào)遞減，所以，所以當(dāng)1≤a<e時，滿足題意.當(dāng)a時，函數(shù)f(x)在(0,1)單調(diào)遞增,因為對區(qū)間內(nèi)的任意實數(shù)，都有，所以,故1+1，所以故綜上所述，a∈.故選C12.若x，y滿足約束條件且的最大值為，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】作出約束條件表示的可行域，如圖所示.因為的最大值為，所以在點處取得最大值，則，即.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知矩形，，，以，為焦點，且過，兩點的雙曲線的離心率為____________．【答案】【解析】因為，為焦點，所以，解得，因為是矩形，所以為直角三角形，，又因為在雙曲線上，所以，解得，所以故答案為：14.如圖，棱長為2的正方體中，點分別為棱的中點，以為圓心，1為半徑，分別在面和面內(nèi)作弧和，并將兩弧各五等分，分點依次為、、、、、以及、、、、、．一只螞蟻欲從點出發(fā)，沿正方體的表面爬行至，則其爬行的最短距離為________．參考數(shù)據(jù)：；；）【答案】【解析】棱長為2的正方體中，點分別為棱的中點，以為圓心，1為半徑，分別在面和面內(nèi)作弧和.將平面繞旋轉(zhuǎn)至與平面共面的位置，如下圖所示：則，所以；將平面繞旋轉(zhuǎn)至與平面共面的位置，將繞旋轉(zhuǎn)至與平面共面的位置，如下圖所示：則，所以；因為，且由誘導(dǎo)公式可得，所以最短距離為，故答案為：.15.下圖是一個算法流程圖，則輸出的S的值是______.【答案】【解析】第一次運行，；第二次運行，；第三次運行，；第四次運行；所以輸出的S的值是.故答案為：16.復(fù)數(shù)（其中i為虛數(shù)單位）共軛復(fù)數(shù)為________.【答案】【解析】由，則故答案為：三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知函數(shù)，.（1）若時，解不等式；（2）若關(guān)于的不等式在上有解，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）若時，，當(dāng)時，原不等式可化為，解得，所以，當(dāng)時，原不等式可化為，解得，所以，當(dāng)時，原不等式可化為，解得，所以，綜上述：不等式的解集為；（2）當(dāng)時，由得，即，故得，又由題意知：，即，故的范圍為.18.已知函數(shù)f(x)=ex-x2-kx（其中e為自然對數(shù)的底，k為常數(shù)）有一個極大值點和一個極小值點．（1）求實數(shù)k的取值范圍；（2）證明：f(x)的極大值不小于1．（1）解：，由，記，，由，且時，，單調(diào)遞減，，時，，單調(diào)遞增，，由題意，方程有兩個不同解，所以；（2）證明：解法一：由（1）知，在區(qū)間上存在極大值點，且，所以的極大值為，記，則，因為，所以，所以時，，單調(diào)遞減，時，，單調(diào)遞增，所以，即函數(shù)的極大值不小于1.解法二：由（1）知，在區(qū)間上存在極大值點，且，所以的極大值為，因為，，所以.即函數(shù)的極大值不小于1.19.已知函數(shù)，．（1）若，，求實數(shù)的值．（2）若，，求正實數(shù)的取值范圍．解：（1）由題意，得，，由，…①，得，令，則，因為，所以在單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減；所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立．故方程①有且僅有唯一解，實數(shù)的值為0．（2）解法一：令（），則，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增;當(dāng)時，，單調(diào)遞減;故．令（），則．（i）若時，，在單調(diào)遞增，所以，滿足題意．（ii）若時，，滿足題意．（iii）若時，，在單調(diào)遞減，所以．不滿足題意．綜上述：．解法二：先證明不等式，，，…（*）．令，則當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以，即．變形得，，所以時，，所以當(dāng)時，.又由上式得，當(dāng)時，，，.因此不等式（*）均成立．令（），則，（i）若時，當(dāng)時，，單調(diào)遞增;當(dāng)時，，單調(diào)遞減;故．（ii）若時，，在單調(diào)遞增，所以．因此，①當(dāng)時，此時，，，則需由（*）知，，（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立），所以．②當(dāng)時，此時，，則當(dāng)時，（由（*）知）；當(dāng)時，（由（*）知）．故對于任意，．綜上述：．20.已