2023~2024學(xué)年上海徐匯區(qū)高考數(shù)學(xué)沖刺試題一模帶解析

2023-2024學(xué)年上海市徐匯區(qū)高考數(shù)學(xué)沖刺模擬試題（一模）一、填空題1．已知集合，若，則實(shí)數(shù)__________.【正確答案】1【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系，將代入方程中，即可求得答案.【詳解】由，可得，故12．不等式的解集為_________.【正確答案】【分析】利用零點(diǎn)分段法，分三種情況進(jìn)行求解，得到答案.【詳解】，當(dāng)時(shí)，，解得，故解集為，當(dāng)時(shí)，，解集為，當(dāng)時(shí)，，解得，故解集為，綜上：不等式的解集為.故3．的二項(xiàng)展開式中項(xiàng)的系數(shù)為___________.【正確答案】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)，即可求得答案.【詳解】由題意知的展開式的通項(xiàng)為，故展開式中項(xiàng)的系數(shù)為，故答案為；4．已知是關(guān)于x的方程的一個(gè)根，則q=____________.【正確答案】4【分析】根據(jù)實(shí)系數(shù)一元方程復(fù)數(shù)根互為共軛復(fù)數(shù)，可求得另一個(gè)根，在利用韋達(dá)定理結(jié)合復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算求出.【詳解】因?yàn)槭顷P(guān)于的方程的一個(gè)根，所以時(shí)方程的另一個(gè)根，則.故4.5．曲線在處的切線的傾斜角大小為___________.【正確答案】【分析】先求出，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解.【詳解】由，所以，所以，即處的切線的斜率為，故切線的傾斜角為.

故6．將向量繞坐標(biāo)原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，則___________.【正確答案】【分析】由條件求，再由數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式求.【詳解】因?yàn)?，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，記點(diǎn)在軸上的投影為，則，所以，又，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以向量，所以，故答案為.

7．供電公司為了分析某小區(qū)的用電量y（單位:kw·h）與氣溫x（單位:℃）之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了4天的用電量與當(dāng)天的氣溫，這兩者之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系見下表:氣溫x181310-1用電y2434m64利用最小二乘法得到的回歸方程為，則____________.【正確答案】【分析】利用樣本中心點(diǎn)在回歸直線上即可求解.【詳解】由題意可知，，，所以樣本中心點(diǎn)的坐標(biāo)為.將代入，得，解得.故答案為.8．從，，，，中隨機(jī)選取三個(gè)不同的數(shù)，在這三個(gè)數(shù)之積為偶數(shù)的條件下，它們的和不小于9的概率為____________.【正確答案】【分析】根據(jù)題意，由列舉法分析從，，，，中隨機(jī)選取三個(gè)不同的數(shù)的取法，進(jìn)而可得其中三個(gè)數(shù)的積為偶數(shù)和三個(gè)數(shù)的和不小于的取法數(shù)目，由條件概率公式計(jì)算即可.【詳解】根據(jù)題意，從，，，，中隨機(jī)選取三個(gè)不同的數(shù)，取法有、、、、、、、、、，共種，其中三個(gè)數(shù)的積為偶數(shù)的有種，分別為、、、、、、、、，三個(gè)數(shù)的和不小于的有種，分別為、、、、，則三個(gè)數(shù)之積為偶數(shù)的條件下，它們的和不小于9的概率為.故9．已知，則的最小值為____________．【正確答案】4【分析】將構(gòu)造變形為，然后利用基本不等式即可求解．【詳解】由，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故最小值為4，故4．10．如圖，已知，是相互垂直的兩條異面直線，直線與，均相互垂直，且，動(dòng)點(diǎn)，分別位于直線，上，若直線與所成的角，三棱錐的體積的最大值為________.【正確答案】/【分析】根據(jù)直線三條直線兩兩垂直，將圖形還原為長(zhǎng)方體，再根據(jù)，可得即為直線與所成的角的平面角，由此可求得，從而可得，再根據(jù)棱錐的體積公式結(jié)合基本不等式即可得解.【詳解】因?yàn)橹本€三條直線兩兩垂直，如圖，將圖形還原為長(zhǎng)方體，因?yàn)?，所以即為直線與所成的角的平面角，則，因?yàn)槠矫?，平面，所以，在中，由，得，所以，，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，所以三棱錐的體積的最大值為.故答案為.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)直線三條直線兩兩垂直，將圖形還原為長(zhǎng)方體，從特殊幾何體入手是解決本題的關(guān)鍵.11．如圖所示，當(dāng)籃球放在桌面并被斜上方一個(gè)燈泡P（當(dāng)成質(zhì)點(diǎn)）發(fā)出的光線照射后，在桌面上留下的影子是橢圓，且籃球與桌面的接觸點(diǎn)是橢圓的右焦點(diǎn)，若籃球的半徑為1個(gè)單位長(zhǎng)度，燈泡與桌面的距離為4個(gè)單位長(zhǎng)度，燈泡垂直照射在平面上的點(diǎn)為A，橢圓的右頂點(diǎn)到A點(diǎn)的距離為3個(gè)單位長(zhǎng)度，則此時(shí)橢圓的離心率e=___________.

【正確答案】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，結(jié)合直線方程和點(diǎn)到直線距離公式得到與，解出，求出離心率.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

由題意得，，則直線，即，設(shè)，則，所以點(diǎn)到直線的距離為，解得，所以，即，直線，即，所以點(diǎn)到直線的距離為，解得或，因?yàn)?，所以，即直線，令得，即，所以，即，聯(lián)立與，解得，故橢圓離心率為.故12．已知定義在R上的偶函數(shù)滿足.若，且在單調(diào)遞增，則滿足的x的取值范圍是__________.【正確答案】【分析】由題意可知，是周期為的周期函數(shù)，的最小正周期為8，結(jié)合與的單調(diào)性，易知在一個(gè)周期內(nèi)，由，可得，再結(jié)合周期求出范圍即可.【詳解】因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以，由，可得關(guān)于對(duì)稱，因?yàn)?，所以，則，因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以，因?yàn)?，所以，則，所以函數(shù)是周期為的周期函數(shù).因?yàn)槭桥己瘮?shù)，且在單調(diào)遞增，所以在單調(diào)遞減，令中，則，則，又因?yàn)殛P(guān)于對(duì)稱，所以在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，結(jié)合函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，綜上可得在，上單調(diào)遞增，，上單調(diào)遞減.因?yàn)榈淖钚≌芷跒?，結(jié)合圖象可知，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，令中，則，則，當(dāng)，又，所以，當(dāng)，又，所以，所以當(dāng)時(shí)，，解得.又因?yàn)榕c均為周期函數(shù)，且8均為其周期，所以的x的取值范圍是.故答案為.本題解題的關(guān)鍵是求出與的周期性，由，，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和周期性求解即可.二、單選題13．?dāng)?shù)列{}中，“”是“{}是公比為2的等比數(shù)列”的（

）.A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【正確答案】B【分析】結(jié)合等比數(shù)列的定義，判斷“”和“{}是公比為2的等比數(shù)列”之間邏輯推理關(guān)系，即得答案.【詳解】對(duì)數(shù)列{}，，若，則可得，此時(shí){}不是公比為2的等比數(shù)列；若{}是公比為2的等比數(shù)列，則，即，故”是“{}是公比為2的等比數(shù)列”的必要而不充分條件，故選：B14．下列命題中不正確是（

）A．中位數(shù)就是第百分位數(shù)B．已知隨機(jī)變量，若，則C．已知隨機(jī)變量，且數(shù)為偶函數(shù)，則D．已知采用分層抽樣得到的高三年級(jí)男生、女生各100名學(xué)生的身高情況為：男生樣本平均數(shù)172，方差為120，女生樣本平均數(shù)165，方差為120，則總體樣本方差為132.25【正確答案】B【分析】根據(jù)題意，由百分位數(shù)的定義即可判斷A，由二項(xiàng)分布的方差性質(zhì)即可判斷B，由正態(tài)分布密度曲線的性質(zhì)即可判斷C，由方差的計(jì)算公式即可判斷D.【詳解】對(duì)于A：中位數(shù)就是第百分位數(shù)，選項(xiàng)A正確；對(duì)于B：，則，因此，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：，函數(shù)為偶函數(shù)，則，區(qū)間與關(guān)于對(duì)稱，故，故C正確；對(duì)于D：分層抽樣的平均數(shù)，按分成抽樣樣本方差的計(jì)算公式，故D正確.故選：B.15．在圓錐中，已知高，底面圓的半徑為4，M為母線的中點(diǎn)，根據(jù)圓錐曲線的定義，下列四個(gè)圖中的截面邊界曲線分別為圓、橢圓、雙曲線及拋物線，下面四個(gè)命題，正確的個(gè)數(shù)為（

）①圓的面積為；②橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為；③雙曲線兩漸近線的夾角正切值為；④拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【正確答案】B【分析】對(duì)于①，利用圓錐的幾何性質(zhì)確定圓的半徑，即可求得圓的面積；對(duì)于②，結(jié)合圓錐的軸截面可求得橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)；對(duì)于③，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)雙曲線方程，確定雙曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求得雙曲線方程，進(jìn)而求得雙曲線兩漸近線的夾角正切值；對(duì)于④，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程，確定拋物線上的點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求得參數(shù)，由此可判斷出答案.【詳解】對(duì)于①，M為母線的中點(diǎn)，因此截面圓的半徑為底面圓的半徑的，即截面圓半徑為2，則圓的面積為，故①正確；對(duì)于②，如圖，在圓錐的軸截面中，作,垂足為C，由題意可得M為母線的中點(diǎn)，則,故橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為,②正確；對(duì)于③，如圖，在與平面垂直且過(guò)點(diǎn)M的平面內(nèi)，建立平面直角坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點(diǎn)與點(diǎn)P到底面距離相等，則點(diǎn)M坐標(biāo)為，雙曲線與底面圓的一個(gè)交點(diǎn)為D，其坐標(biāo)為，則設(shè)雙曲線方程為，則，將代入雙曲線方程，得，設(shè)雙曲線的漸近線與軸的夾角為，則，故雙曲線兩漸近線的夾角正切值為，③錯(cuò)誤；對(duì)于④，如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線與底面圓的一個(gè)交點(diǎn)為H，則，則,設(shè)拋物線方程為，則，即拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，④錯(cuò)誤，故正確的命題有2個(gè)，故選：B16．已知，將的所有極值點(diǎn)按照由小到大的順序排列，得到數(shù)列，對(duì)于正整數(shù)n，甲:；乙:為嚴(yán)格減數(shù)列，則（

）.A．甲正確，乙正確 B．甲正確，乙錯(cuò)誤C．甲錯(cuò)誤，乙正確 D．甲錯(cuò)誤，乙錯(cuò)誤【正確答案】A【分析】將函數(shù)的極值點(diǎn)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，由圖象判斷命題甲，結(jié)合函數(shù)圖像利用極限思想判斷命題乙.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋瑢?dǎo)函數(shù)，令，得，所以函數(shù)的極值點(diǎn)為函數(shù)與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，在同一平面直角坐標(biāo)系中，分別畫出函數(shù)與函數(shù)的圖象，如圖所示，由圖可知，在區(qū)間內(nèi)，函數(shù)函數(shù)與函數(shù)的圖象，有且僅有個(gè)交點(diǎn)，且，所以命題甲正確；因?yàn)椋瘮?shù)為增函數(shù)，所以，所以隨著的增大，與越來(lái)越接近，距離越來(lái)越小，所以數(shù)列為遞減數(shù)列，命題乙正確.故選：A.

知識(shí)點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查的知識(shí)點(diǎn)有極值點(diǎn)的定義，余弦函數(shù)的圖象，反比例函數(shù)的圖象，利用圖象研究方程的根等，考查數(shù)形結(jié)合，極限等數(shù)學(xué)思想，屬于綜合題.三、解答題17．設(shè).(1)判斷函數(shù)的奇偶性，并寫出最小正周期；(2)求函數(shù)在上的最大值.【正確答案】(1)非奇非偶函數(shù)，(2)【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)恒等變換化簡(jiǎn)，結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義以及正弦函數(shù)的周期，即可求得答案；（2）化簡(jiǎn)，結(jié)合，求得，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)，即可求得答案.【詳解】（1）由題意得，故，令，,由于不恒等于，也不等于，故為非奇非偶函數(shù)，其最小正周期為；（2）由題意可得，因?yàn)?，所以，故，故的最大值為，即函?shù)在上的最大值為.18．如圖，在三棱錐中，，O為AC的中點(diǎn)．(1)證明：⊥平面ABC；(2)若點(diǎn)M在棱BC上，且二面角為，求的值．【正確答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由等腰三角形三線合一得到，由勾股定理逆定理得到，從而證明出線面垂直；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)，利用空間向量及二面角列出方程，求出答案.【詳解】（1）在中，，O為AC的中點(diǎn)．則中線，且；同理在中有，則；因?yàn)椋琌為AC的中點(diǎn)．所以且；在中有，則，因?yàn)?，平面ABC，所以⊥平面ABC．（2）由（1）得⊥平面ABC，故建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，而，，，設(shè)平面PAM的一個(gè)法向量為，由得，，令，又x軸所在直線垂直于平面PAC，∴取平面PAC的一個(gè)法向量，，平方得，令，，．19．新型冠狀病毒的傳染主要是人與人之間進(jìn)行傳播，感染人群年齡大多數(shù)是歲以上人群.該病毒進(jìn)入人體后有潛伏期.潛伏期是指病原體侵入人體至最早出現(xiàn)臨床癥狀的這段時(shí)間.潛伏期越長(zhǎng)，感染到他人的可能性越高.現(xiàn)對(duì)個(gè)病例的潛伏期(單位：天)進(jìn)行調(diào)查，統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)潛伏期平均數(shù)為，方差為.如果認(rèn)為超過(guò)天的潛伏期屬于“長(zhǎng)潛伏期”，按照年齡統(tǒng)計(jì)樣本，得到下面的列聯(lián)表：年齡/人數(shù)長(zhǎng)期潛伏非長(zhǎng)期潛伏50歲以上6022050歲及50歲以下4080（1）是否有的把握認(rèn)為“長(zhǎng)期潛伏”與年齡有關(guān)；（2）假設(shè)潛伏期服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差.（i）現(xiàn)在很多省市對(duì)入境旅客一律要求隔離天，請(qǐng)用概率的知識(shí)解釋其合理性；（ii）以題目中的樣本頻率估計(jì)概率，設(shè)個(gè)病例中恰有個(gè)屬于“長(zhǎng)期潛伏”的概率是，當(dāng)為何值時(shí)，取得最大值.附：0.10.050.0102.7063.8416.635若，則，，.【正確答案】（1）有；（2）（i）答案見解析；（ii）250.【分析】（1）根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，利用求得，與臨界表值對(duì)比下結(jié)論；（2）(ⅰ)根據(jù)，利用小概率事件判斷；(ⅱ)易得一個(gè)患者屬于“長(zhǎng)潛伏期”的概率是，進(jìn)而得到，然后判斷其單調(diào)性求解.【詳解】（1）依題意有，由于，故有的把握認(rèn)為“長(zhǎng)期潛伏”與年齡有關(guān)；（2）(ⅰ)若潛伏期，由，得知潛伏期超過(guò)天的概率很低，因此隔離天是合理的；(ⅱ)由于個(gè)病例中有個(gè)屬于長(zhǎng)潛伏期，若以樣本頻率估計(jì)概率，一個(gè)患者屬于“長(zhǎng)潛伏期”的概率是，于是，則，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；∴，.故當(dāng)時(shí)，取得最大值.方法點(diǎn)睛：利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率公式可以簡(jiǎn)化求概率的過(guò)程，但需要注意檢查該概率模型是否滿足公式的三個(gè)條件：(1)在一次試驗(yàn)中某事件A發(fā)生的概率是一個(gè)常數(shù)p；(2)n次試驗(yàn)不僅是在完全相同的情況下進(jìn)行的重復(fù)試驗(yàn)，而且各次試驗(yàn)的結(jié)果是相互獨(dú)立的；(3)該公式表示n次試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生了k次的概率．20．已知橢圓的離心率為，左、右頂點(diǎn)分別為、，點(diǎn)、為橢圓上異于、的兩點(diǎn)，面積的最大值為．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)直線、的斜率分別為、，且．①求證：直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)．②設(shè)和的面積分別為、，求的最大值．【正確答案】(1)(2)①證明見解析；②【分析】（1）根據(jù)題意可得出關(guān)于、、的方程組，解出這三個(gè)量的值，即可得出橢圓的方程；（2）①分析可知直線不與軸垂直，設(shè)直線的方程為，可知，設(shè)點(diǎn)、將直線的方程的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，利用求出的值，即可得出直線所過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo)；②寫出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，利用對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性可求得的最大值.【詳解】（1）解：當(dāng)點(diǎn)為橢圓短軸頂點(diǎn)時(shí)，的面積取最大值，且最大值為，由題意可得，解得，所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）解：①設(shè)點(diǎn)、若直線的斜率為零，則點(diǎn)、關(guān)于軸對(duì)稱，則，不合乎題意.設(shè)直線的方程為，由于直線不過(guò)橢圓的左、右焦點(diǎn)，則，聯(lián)立可得，，可得，由韋達(dá)定理可得，，則，所以，，解得，即直線的方程為，故直線過(guò)定點(diǎn).②由韋達(dá)定理可得，，所以，，，則，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，故，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，的最大值為.方法點(diǎn)睛：求解直線過(guò)定點(diǎn)