高中數(shù)學第一章1.3函數(shù)的基本性質1.3.1單調性與最大小值第2課時函數(shù)的最大小值學案含解析新人教A版必修1

PAGEPAGE1第2課時函數(shù)的最大(小)值學習目標1.理解函數(shù)的最大(小)值的概念及其幾何意義.2.會借助單調性求最值.3.駕馭求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值．學問點一函數(shù)的最大(小)值思索在下圖表示的函數(shù)中，最大的函數(shù)值和最小的函數(shù)值分別是多少？1為什么不是最小值？答案最大的函數(shù)值為4，最小的函數(shù)值為2.1沒有A中的元素與之對應，不是函數(shù)值．梳理一般地，設函數(shù)y＝f(x)的定義域為I.假如存在實數(shù)M滿意：(1)對于隨意x∈I，都有f(x)≤M.(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，稱M是函數(shù)y＝f(x)的最大值．假如存在實數(shù)M滿意：(1)對于隨意x∈I，都有f(x)≥M.(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，稱M是函數(shù)y＝f(x)的最小值．學問點二函數(shù)的最大(小)值的幾何意義思索函數(shù)y＝x2，x∈[－1,1]的圖象如下：試指出函數(shù)的最大值、最小值和相應的x的值．答案當x＝±1時，y有最大值1，對應的點是圖象中的最高點，當x＝0時，y有最小值0，對應的點為圖象中的最低點．梳理一般地，函數(shù)最大值對應圖象中的最高點，最小值對應圖象中的最低點，它們不肯定只有一個．1．因為f(x)＝x2＋1≥0恒成立，所以f(x)的最小值為0.(×)2．f(x)＝eq\f(1,x)(x>0)的最小值為0.(×)3．函數(shù)f(x)取最大值時，對應的x可能有無限多個．(√)4．假如f(x)的最大值、最小值分別為M，m，則f(x)的值域為[m，M]．(×)類型一借助單調性求最值例1已知函數(shù)f(x)＝eq\f(x,x2＋1)(x>0)．(1)求證：f(x)在(0,1]上為增函數(shù)；(2)求函數(shù)f(x)的最大值和最小值．考點函數(shù)的最值及其幾何意義題點由函數(shù)單調性求最值(1)證明設x1，x2是區(qū)間(0，＋∞)上的隨意兩個實數(shù)，且x1<x2，則f(x1)－f(x2)＝eq\f(x1,x\o\al(2,1)＋1)－eq\f(x2,x\o\al(2,2)＋1)＝eq\f(x1x\o\al(2,2)＋1－x2x\o\al(2,1)＋1,x\o\al(2,1)＋1x\o\al(2,2)＋1)＝eq\f(x2－x1x2x1－1,x\o\al(2,1)＋1x\o\al(2,2)＋1).當0<x1<x2≤1時，x2－x1>0，x1x2－1<0，∴f(x1)－f(x2)<0，f(x1)<f(x2)，∴f(x)在(0,1]上單調遞增．(2)解當1≤x1<x2時，x2－x1>0，x1x2－1>0，f(x1)－f(x2)>0，f(x1)>f(x2)，∴f(x)在[1，＋∞)上單調遞減．∴結合(1)(2)可知，f(x)max＝f(1)＝eq\f(1,2)，無最小值．反思與感悟(1)若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上單調遞增，則f(x)的最大值為f(b)，最小值為f(a)．(2)若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上單調遞減，則f(x)的最大值為f(a)，最小值為f(b)．(3)若函數(shù)y＝f(x)有多個單調區(qū)間，那就先求出各區(qū)間上的最值，再從各區(qū)間的最值中決出最大(小)值．函數(shù)的最大(小)值是整個值域范圍內的最大(小)值．(4)假如函數(shù)定義域為開區(qū)間，則不但要考慮函數(shù)在該區(qū)間上的單調性，還要考慮端點處的函數(shù)值或者發(fā)展趨勢．跟蹤訓練1已知函數(shù)f(x)＝eq\f(2,x－1)(x∈[2,6])，求函數(shù)的最大值和最小值．考點函數(shù)的最值及其幾何意義題點由函數(shù)單調性求最值解設x1，x2是區(qū)間[2,6]上的隨意兩個實數(shù)，且x1<x2，則f(x1)－f(x2)＝eq\f(2,x1－1)－eq\f(2,x2－1)＝eq\f(2[x2－1－x1－1],x1－1x2－1)＝eq\f(2x2－x1,x1－1x2－1).由2≤x1<x2≤6，得x2－x1>0，(x1－1)(x2－1)>0，于是f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．所以，函數(shù)f(x)＝eq\f(2,x－1)在區(qū)間[2,6]上是減函數(shù)．因此，函數(shù)f(x)＝eq\f(2,x－1)在區(qū)間[2,6]的兩個端點處分別取得最大值與最小值，即在x＝2時取得最大值，最大值是2，在x＝6時取得最小值，最小值是eq\f(2,5).類型二求二次函數(shù)的最值例2(1)已知函數(shù)f(x)＝x2－2x－3，若x∈[0,2]，求函數(shù)f(x)的最值；(2)已知函數(shù)f(x)＝x2－2x－3，若x∈[t，t＋2]，求函數(shù)f(x)的最值；(3)已知函數(shù)f(x)＝x－2eq\r(x)－3，求函數(shù)f(x)的最值．考點函數(shù)的最值及其幾何意義題點二次函數(shù)最值解(1)∵函數(shù)f(x)＝x2－2x－3開口向上，對稱軸x＝1，∴f(x)在[0,1]上單調遞減，在[1,2]上單調遞增，且f(0)＝f(2)．∴f(x)max＝f(0)＝f(2)＝－3，f(x)min＝f(1)＝－4.(2)∵對稱軸x＝1，①當1≥t＋2即t≤－1時，f(x)max＝f(t)＝t2－2t－3，f(x)min＝f(t＋2)＝(t＋2)2－2(t＋2)－3＝t2＋2t－3.②當eq\f(t＋t＋2,2)≤1<t＋2，即－1<t≤0時，f(x)max＝f(t)＝t2－2t－3，f(x)min＝f(1)＝－4.③當t≤1<eq\f(t＋t＋2,2)，即0<t≤1時，f(x)max＝f(t＋2)＝t2＋2t－3，f(x)min＝f(1)＝－4.④當1<t，即t>1時，f(x)max＝f(t＋2)＝t2＋2t－3，f(x)min＝f(t)＝t2－2t－3.設函數(shù)f(x)的最大值為g(t)，最小值為φ(t)，則有g(t)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t2－2t－3，t≤0，,t2＋2t－3，t>0，))φ(t)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t2＋2t－3，t≤－1，,－4，－1<t≤1，,t2－2t－3，t>1.))(3)設eq\r(x)＝t(t≥0)，則x－2eq\r(x)－3＝t2－2t－3.由(1)知y＝t2－2t－3(t≥0)在[0,1]上單調遞減，在[1，＋∞)上單調遞增．∴當t＝1即x＝1時，f(x)min＝－4，無最大值．反思與感悟(1)二次函數(shù)在指定區(qū)間上的最值與二次函數(shù)的開口、對稱軸有關，求解時要留意這兩個因素．(2)圖象直觀，便于分析、理解；配方法說理更嚴謹，一般用于解答題．跟蹤訓練2(1)已知函數(shù)f(x)＝x4－2x2－3，求函數(shù)f(x)的最值；(2)求二次函數(shù)f(x)＝x2－2ax＋2在[2,4]上的最小值；(3)求函數(shù)f(x)＝x2－4x－4在閉區(qū)間[t，t＋1](t∈R)上的最小值．考點函數(shù)的最值及其幾何意義題點二次函數(shù)最值解(1)設x2＝t(t≥0)，則x4－2x2－3＝t2－2t－3.y＝t2－2t－3(t≥0)在[0,1]上單調遞減，在[1，＋∞)上單調遞增．∴當t＝1即x＝±1時，f(x)min＝－4，無最大值．(2)∵函數(shù)圖象的對稱軸是x＝a，∴當a<2時，f(x)在[2,4]上是增函數(shù)，∴f(x)min＝f(2)＝6－4a.當a>4時，f(x)在[2,4]上是減函數(shù)，∴f(x)min＝f(4)＝18－8a.當2≤a≤4時，f(x)min＝f(a)＝2－a2.∴f(x)min＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(6－4a，a<2，,2－a2，2≤a≤4，,18－8a，a>4.))(3)f(x)＝x2－4x－4＝(x－2)2－8.設f(x)在[t，t＋1]上的最小值為g(t)．當t>2時，f(x)在[t，t＋1]上是增函數(shù)，∴g(t)＝f(t)＝t2－4t－4；當t≤2≤t＋1，即1≤t≤2時，g(t)＝f(2)＝－8；當t＋1<2即t<1時，f(x)在[t，t＋1]上是減函數(shù)，∴g(t)＝f(t＋1)＝t2－2t－7.綜上，g(t)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t2－2t－7，t<1，,－8，1≤t≤2，,t2－4t－4，t>2.))類型三借助圖象求最值例3(2024·昌平區(qū)檢測)若x∈R，f(x)是y＝2－x2，y＝x這兩個函數(shù)中的較小者，則f(x)的最大值為()A．2 B．1C．－1 D．無最大值考點函數(shù)的最值及其幾何意義題點由函數(shù)圖象求最值答案B解析在同一坐標系中畫出函數(shù)y＝2－x2，y＝x的圖象，如圖：依據(jù)題意，圖中實線部分即為函數(shù)f(x)的圖象．所以當x＝1時，f(x)max＝1.反思與感悟借助圖象求最值留意兩點(1)作圖要精確；(2)最值的幾何意義要理解．跟蹤訓練3已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x，－1≤x≤0，,x2，0<x≤1，,x，1<x≤2，))則f(x)的最大值為________．考點函數(shù)的最值及其幾何意義題點由函數(shù)圖象求最值答案2解析f(x)的圖象如圖：則f(x)的最大值為f(2)＝2.類型四函數(shù)最值的應用例4已知x2－x＋a>0對隨意x∈(0，＋∞)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．考點函數(shù)的最值及其幾何意義題點含參二次函數(shù)最值解方法一令y＝x2－x＋a，要使x2－x＋a>0對隨意x∈(0，＋∞)恒成立，只需ymin＝eq\f(4a－1,4)>0，解得a>eq\f(1,4).∴實數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，＋∞)).方法二x2－x＋a>0可化為a>－x2＋x.要使a>－x2＋x對隨意x∈(0，＋∞)恒成立，只需a>(－x2＋x)max，又(－x2＋x)max＝eq\f(1,4)，∴a>eq\f(1,4).∴實數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，＋∞)).引申探究把本例中“x∈(0，＋∞)”改為“x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))”，再求a的取值范圍．解f(x)＝－x2＋x在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上為減函數(shù)，∴f(x)的值域為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,4)))，要使a>－x2＋x對隨意x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))恒成立，只需a≥eq\f(1,4)，∴a的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，＋∞)).反思與感悟恒成立的不等式問題，隨意x∈D，f(x)>a恒成立，一般轉化為最值問題：f(x)min>a來解決．隨意x∈D，f(x)<a恒成立一般可轉化為f(x)max<a.跟蹤訓練4已知ax2＋x≤1對隨意x∈(0,1]恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．考點函數(shù)的最值及其幾何意義題點含參二次函數(shù)最值解∵x>0，∴ax2＋x≤1可化為a≤eq\f(1,x2)－eq\f(1,x).要使a≤eq\f(1,x2)－eq\f(1,x)對隨意x∈(0,1]恒成立，只需a≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x2)－\f(1,x)))min.設t＝eq\f(1,x)，∵x∈(0,1]，∴t≥1.eq\f(1,x2)－eq\f(1,x)＝t2－t＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,2)))2－eq\f(1,4).當t＝1時，(t2－t)min＝0，即當x＝1時，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x2)－\f(1,x)))min＝0，∴a≤0.∴實數(shù)a的取值范圍是(－∞，0].1．函數(shù)y＝－x＋1在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))上的最大值是()A．－eq\f(1,2)B．－1C.eq\f(1,2)D．3考點函數(shù)的最值及其幾何意義題點利用一次函數(shù)、分式函數(shù)單調性求最值答案C2．函數(shù)f(x)＝eq\f(1,x)在[1，＋∞)上()A．有最大值無最小值B．有最小值無最大值C．有最大值也有最小值D．無最大值也無最小值考點函數(shù)的最值及其幾何意義題點利用一次函數(shù)、分式函數(shù)單調性求最值答案A3．函數(shù)f(x)＝x2，x∈[－2,1]的最大值、最小值分別為()A．4,1 B．4,0C．1,0 D．以上都不對考點函數(shù)的最值及其幾何意義題點二次函數(shù)最值答案B4．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋7，－1≤x<1，,2x＋6，1≤x≤2，))則f(x)的最大值、最小值分別為()A．10,6 B．10,8C．8,6 D．以上都不對考點函數(shù)的最值及其幾何意義題點分段函數(shù)最值答案A5．若不等式－x＋a＋1≥0對一切x∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))成立，則a的最小值為()A．0 B．－2C．－eq\f(5,2) D．－eq\f(1,2)考點函數(shù)的最值及其幾何意義題點利用一次函數(shù)、分式函數(shù)單調性求最值答案D1．函數(shù)的最值與值域、單調性之間的聯(lián)系(1)對一個函數(shù)來說，其值域是確定的，但它不肯定有最值，如函數(shù)y＝eq\f(1,x).假如有最值，則最值肯定是值域中的一個元素．(2)若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上單調，則f(x)的最值必在區(qū)間端點處取得．即最大值是f(a)或f(b)，最小值是f(b)或f(a)．2．二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值探求二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題，一般要先作出y＝f(x)的草圖，然后依據(jù)圖象的增減性進行探討．特殊要留意二次函數(shù)的對稱軸與所給區(qū)間的位置關系，它是求解二次函數(shù)在已知區(qū)間上最值問題的主要依據(jù)，并且最大(小)值不肯定在頂點處取得．3．很多數(shù)學問題如不等式證明，恒成立的不等式，圖象與y＝a(a為常數(shù))的交點問題等，都與函數(shù)最值有關，所以會求函數(shù)最值是一種基礎技能．一、選擇題1．函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，x>0，,0，x＝0，,－1，x<0))的值域是()A．R B．[－1,1]C．{－1,1} D．{－1,0,1}考點函數(shù)的最值及其幾何意義題點分段函數(shù)最值答案D解析該函數(shù)的函數(shù)值只有三個．2．函數(shù)g(x)＝x2－4x＋3在區(qū)間(1,4]上的值域是()A．[－1，＋∞) B．[0,3]C．(－1,3] D．[－1,3]考點函數(shù)的最值及其幾何意義題點二次函數(shù)最值答案D解析g(x)＝(x－2)2－1，當x＝2時，g(x)min＝－1；當x＝4時，g(x)max＝3，∴g(x)在(1,4]上的值域為[－1,3]．3．下列說法正確的是()A．若函數(shù)f(x)的值域為[a，b]，則f(x)min＝a，f(x)max＝bB．若f(x)min＝a，f(x)max＝b，則函數(shù)f(x)的值域為[a，b]C．若f(x)min＝a，直線y＝a不肯定與f(x)的圖象有交點D．若f(x)min＝a，直線y＝a肯定與f(x)的圖象有且僅有一個交點考點函數(shù)的最值及其幾何意義題點由函數(shù)圖象求最值答案A解析值域為[a，b]，則最小的函數(shù)值即f(x)min＝a，最大的函數(shù)值即f(x)max＝b，A對．f(x)min＝a，f(x)max＝b，區(qū)間[a，b]上的某些元素可能不是函數(shù)值，因而[a，b]不肯定是值域，B錯．若f(x)min＝a，由定義肯定存在x0使f(x0)＝a，即f(x)與直線y＝a肯定有交點，但不肯定唯一，C，D都錯．4.若函數(shù)y＝f(x)，x∈[－2,2]的圖象如圖所示，則該函數(shù)的最大值、最小值分別為()A．f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))，f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))B．f(0)，f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))C．f(0)，f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))D．f(0)，f(2)考點函數(shù)的最值及其幾何意義題點由函數(shù)圖象求最值答案C解析函數(shù)最大值對應圖象中的最高點縱坐標f(0)，同理，最小值對應f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2))).5．函數(shù)f(x)＝x＋eq\r(2x－1)()A．有最小值eq\f(1,2)，無最大值B．有最大值eq\f(1,2)，無最小值C．有最小值eq\f(1,2)，有最大值2D．無最大值，也無最小值考點函數(shù)的最值及其幾何意義題點由函數(shù)單調性求最值答案A解析∵f(x)＝x＋eq\r(2x－1)在定義域eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上是增函數(shù)，∴f(x)≥f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(1,2)，即函數(shù)最小值為eq\f(1,2)，無最大值，故選A.6．已知函數(shù)f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)的最小值為－2，則f(x)的最大值為()A．－1 B．0C．1 D．2考點函數(shù)的最值及其幾何意義題點含參二次函數(shù)最值答案C解析因為f(x)＝－(x－2)2＋4＋a，由x∈[0,1]可知當x＝0時，f(x)取得最小值，即－4＋4＋a＝－2，所以a＝－2.所以f(x)＝－(x－2)2＋2，當x＝1時，f(x)取得最大值為－1＋2＝1.故選C.7．已知函數(shù)f(x)＝4x2－kx－8在區(qū)間(5,20)上既沒有最大值也沒有最小值，則實數(shù)k的取值范圍是()A．[160，＋∞)B．(－∞，40]C．(－∞，40]∪[160，＋∞)D．(－∞，20]∪[80，＋∞)考點函數(shù)的最值及其幾何意義題點含參二次函數(shù)最值答案C解析由于二次函數(shù)f(x)＝4x2－kx－8在區(qū)間(5,20)上既沒有最大值也沒有最小值，因此函數(shù)f(x)＝4x2－kx－8在區(qū)間(5,20)上是單調函數(shù)．二次函數(shù)f(x)＝4x2－kx－8圖象的對稱軸方程為x＝eq\f(k,8)，因此eq\f(k,8)≤5或eq\f(k,8)≥20，所以k≤40或k≥160.8．已知函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋4，若對隨意的x∈(0,2]，f(x)≤6恒成立，則實數(shù)a的最大值為()A．－1 B．1C．－2 D．2考點函數(shù)的最值及其幾何意義題點含參二次函數(shù)最值答案A解析對隨意x∈(0,2]，f(x)≤6恒成立，只需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f0≤6，,f2≤6，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4≤6，,4＋2a＋4≤6，))解得a≤－1.∴a的最大值為－1.二、填空題9．若函數(shù)y＝ax＋1(a＞0)在區(qū)間[1,3]上的最大值為4，則a＝________.考點函數(shù)的最值及其幾何意義題點利用一次函數(shù)、分式函數(shù)單調性求最值答案1解析∵a＞0，∴函數(shù)y＝ax＋1在區(qū)間[1,3]上是增函數(shù)，∵ymax＝3a＋1＝4，解得a＝1.10．已知函數(shù)f(x)＝x2－6x＋8，x∈[1，a]，并且f(x)的最小值為f(a)，則實數(shù)a的取值范圍是________．考點函數(shù)的最值及其幾何意義題點含參二次函數(shù)最值答案(1,3]解析f(x)的對稱軸為x＝3，當且僅當1<a≤3時，f(x)min＝f(a)．11．下列函數(shù)：①y＝x＋|x|；②y＝x－|x|；③y＝x|x|；④y＝eq\f(x,|x|).其中有最小值的函數(shù)有________個．考點函數(shù)的最值及其幾何意義題點由函數(shù)圖象求最值答案2解析y＝x＋|x|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0，x<0，,2x，x≥0，))ymin＝0.y＝x－|x|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0，x>0，,2x，x≤0，))無最小值．y＝x|x|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2，x>0，,－x2，x≤0，))無最小值．y＝eq\f(x,|x|)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，x>0，,－1，x<0，))ymin＝－1.三、解答題12．某公司在甲、乙兩地同時銷售一種品牌車，利潤(單位：萬元)分別為L1＝－x2＋21x和L2＝2x，其中x為銷售量(單位：輛)．若該公司在兩地共銷售15輛，則能獲得的最大利潤為多少萬元？考點函數(shù)的最值及其幾何意義題點二次函數(shù)最值解設公司在甲地銷售x輛，則在乙地銷售(15－x)輛，設兩地銷售的利潤之和為y，則y＝－x2＋21x＋2(15－x)＝－x2＋19x＋30.由題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,15－x≥0.))∴0≤x≤15，且x∈Z.當x＝－eq\f(19,2×－1)＝9.5時，y值最大，∵x∈Z，∴取x＝9或10.當x＝9時，y＝120，當x＝10時，y＝120.綜上可知，公司獲得的最大利潤為120萬元．13．求函數(shù)y＝f(x)＝eq\f(x2,x－3)在區(qū)間[1,2]上的最大值和最小值．考點函數(shù)的最值及其幾何意義題點由函數(shù)單調性求最值解任取x1，x2，且1≤x1<x2≤2，則f(x1)－f(x2)＝eq\f(x\o\al(2,1),x1－3)－eq\f(x\o\al(2,2),x2－3)＝eq\f(x\o\al(2,1)x2－3x\o\al(2,1)－x1x\o\al(2,2)＋3x\o\al(2,2),x1－3x2－3)＝eq\f(x2－x1[3x1＋x2－x1x2],x1－3x2－3).因為1≤x1<x2≤2，所以2<x1＋x2<4，即6<3(x1＋x2)<12，又1<x1x2<4，x2－x1>0，故f(x1)－f(x2)>0.所以函數(shù)y＝eq\f(x2,x－3)在區(qū)間[1,2]上為減函數(shù)，即ymax＝f(1)＝－eq\f(1,2)，ymin＝f(2)＝－4.四、探究與拓展14．(2024·重慶檢測)對于函數(shù)f(x)，在使f(x)≥M成立的全部實數(shù)M中，我們把M的最大值Mmax叫做函數(shù)f(x)的下確界，則對于a∈R，a2－4a＋6的下確界為________．考點函數(shù)的最值及其幾何意義題點二次函數(shù)最值答案2解析設f(a)＝a2－4a＋6，f(a)≥M，即f(a)min≥M.而f(a)＝(a－2)2＋2，∴f(a)min＝f(2)＝2.∴M≤2.∴Mmax＝