江蘇省鹽城市五校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期第七次考試（5月）數(shù)學(xué)試題（解析）

2023/2024學(xué)年度第二學(xué)期聯(lián)盟校第七次考試高二年級(jí)數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)?jiān)诖痤}紙的指定位置填涂答案選項(xiàng).）1.若，則（）A.2 B.4 C.2或4 D.2或3【答案】D【解析】【分析】根據(jù)組合數(shù)公式的性質(zhì)求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以或，解得?故選：D.2.平面向量，若，則（）A. B.1 C. D.2【答案】A【解析】【分析】根據(jù)向量平行滿(mǎn)足的坐標(biāo)關(guān)系即可求解.【詳解】，由于，所以，解得，故選：A3.在棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為（）A. B.1 C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出正邊上的高即可得解.【詳解】在棱長(zhǎng)為1的正方體中，連接，則，所以到直線(xiàn)的距離即為正邊上的高.故選：A4.已知為拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，點(diǎn)P到拋物線(xiàn)C的焦點(diǎn)的距離與它到y(tǒng)軸的距離之比為，則（）A.1 B. C.2 D.3【答案】B【解析】【分析】先求出點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)拋物線(xiàn)的定義和已知條件列方程求解即可【詳解】因?yàn)闉閽佄锞€(xiàn)上一點(diǎn)，所以，得，所以，拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，因?yàn)辄c(diǎn)P到拋物線(xiàn)C的焦點(diǎn)的距離與它到y(tǒng)軸的距離之比為，所以，化簡(jiǎn)得，因?yàn)?，所以，故選：B5.用模型擬合一組數(shù)，若，，設(shè)，得變換后的線(xiàn)性回歸方程為，則（）A.20240 B. C. D.2024【答案】C【解析】【分析】先計(jì)算，代入線(xiàn)性回歸方程求得，再計(jì)算即可.【詳解】由條件可知，代入，則，故C正確.故選：C6.若，且能被17整除，則的最小值為（）A.0 B.1 C.15 D.16【答案】D【解析】【分析】二項(xiàng)式定理整除問(wèn)題，把改寫(xiě)成，利用二項(xiàng)式定理展開(kāi)，再令能被17整除，求出的最小值即可.【詳解】，因?yàn)槟鼙?7整除，所以上式中能被17整除即可滿(mǎn)足題意，所以，即，所以的最小值為16，故選：D.7.已知隨機(jī)變量滿(mǎn)足，，其中.令隨機(jī)變量，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意,列表求得隨機(jī)變量及的分布列,可知均為兩點(diǎn)分布.由兩點(diǎn)分布的均值及方差表示出和,根據(jù)比較大小即可得解.【詳解】隨機(jī)變量滿(mǎn)足,,其中.則隨機(jī)變量的分布列為:所以隨機(jī)變量,所以當(dāng)ξ=0時(shí),,當(dāng)時(shí),所以隨機(jī)變量的分布列如下表所示(當(dāng)時(shí),只有一個(gè)情況,概率為1):則當(dāng)即,解得.所以A、B錯(cuò)誤.恒成立.所以C錯(cuò)誤,D正確故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了隨機(jī)變量的分布列,兩點(diǎn)分布的特征及均值和方差求法,屬于中檔題.8.甲、乙等5人去三個(gè)不同的景區(qū)游覽，每個(gè)人去一個(gè)景區(qū)，每個(gè)景區(qū)都有人游覽，若甲、乙兩人不去同一景區(qū)游覽，則不同的游覽方法的種數(shù)為（）A.112 B.114 C.132 D.160【答案】B【解析】【分析】先分組再分配，先將5人分成3組，有、兩種分組可能，求出所有游覽方法總數(shù)，根據(jù)題意再減去甲乙去同一景區(qū)的方法總數(shù)即可.【詳解】去三個(gè)不同的景區(qū)游覽，每個(gè)人去一個(gè)景區(qū)，每個(gè)景區(qū)都有人去游覽，因此先分組再分配，5個(gè)人可以分為3組，分別是、，當(dāng)為時(shí)，有種組合，當(dāng)為時(shí)，有種組合，再分配到三個(gè)不同的景區(qū)，有種；以上情況包含甲乙去同一景區(qū)，需要再減去此種情況，將甲乙捆綁起來(lái)作為一個(gè)元素，此時(shí)有四個(gè)元素去三個(gè)不同的景區(qū)，此時(shí)只有這種組合，因此有種組合，再分配給三個(gè)不同的景區(qū)，有種；因此滿(mǎn)足題意的有：種.故選:B二、多項(xiàng)選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分，請(qǐng)?jiān)诖痤}紙的指定位置填涂答案選項(xiàng).）.9.下列命題中，正確的是（）A.已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則B.若甲、乙兩組數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)分別為0.66和，則甲組數(shù)據(jù)的線(xiàn)性相關(guān)性更強(qiáng)C.用表示次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件發(fā)生的次數(shù)，為每次試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率，若，則D.已知隨機(jī)變量的分布列為，則【答案】CD【解析】【分析】利用正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)性求出可判斷A；根據(jù)線(xiàn)性相關(guān)性的性質(zhì)可判斷B；利用二項(xiàng)分布的期望、方差求出可判斷C；利用裂項(xiàng)相消求和、隨機(jī)變量的概率和為1求出可判斷D.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，所以，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)?.66，則乙組數(shù)據(jù)的線(xiàn)性相關(guān)性更強(qiáng)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，則，解得，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，所以，解得，故D正確.故選：CD.10.已知是兩個(gè)隨機(jī)事件，若且，則下列選項(xiàng)正確的是（）A.相互獨(dú)立 B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】對(duì)于C，利用，結(jié)合已知條件判斷，對(duì)于A，由求出，再求出，再利用相互獨(dú)立事件的定義判斷，對(duì)于B，由求解判斷，對(duì)于D，利用條件概率公式求解判斷.【詳解】對(duì)于C，因?yàn)?，又因?yàn)?，，所以，所以C正確對(duì)于A，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，，所以，所以不是相互?dú)立事件，所以A錯(cuò)誤，對(duì)于B，由選項(xiàng)A可知，所以B正確，對(duì)于D，由選項(xiàng)A可知，，所以，所以D錯(cuò)誤.故選：BC11.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，E、F分別是棱、上的動(dòng)點(diǎn)，且，則下列說(shuō)法正確的是（）A.與的夾角取值范圍是B.平面與正方體的截面為梯形C.三棱錐的體積為定值D.當(dāng)E、F分別是棱、的中點(diǎn)時(shí)，三棱錐的外接球的表面積為【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)于A，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，設(shè)與的夾角為，利用向量夾角公式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解；對(duì)于B，當(dāng)與重合，與重合時(shí)，平面與正方體的截面為；對(duì)于C，計(jì)算三棱錐的體積；對(duì)于D，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)三棱錐的外接球的球心坐標(biāo)為，半徑為，則由列方程組，求解可得，進(jìn)而得外接球的表面積.【詳解】對(duì)于A，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線(xiàn)分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，則，，設(shè)與的夾角為，，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，，∵，∴，∴，當(dāng)時(shí)取等號(hào)，∴，則，綜上，，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)與重合，與重合時(shí)，平面與正方體的截面為，如圖，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，∵面,∴三棱錐的體積,故C正確；對(duì)于D，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線(xiàn)分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，又E、F分別是棱、的中點(diǎn)，則，設(shè)三棱錐的外接球的球心坐標(biāo)為，半徑為，則由，得，即，解得，∴，，∴三棱錐的外接球的表面積為，故D正確.故選：ACD.三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，計(jì)15分.不需要寫(xiě)出解答過(guò)程，請(qǐng)把答案寫(xiě)在答題紙的指定位置上.）12.的展開(kāi)式中的系數(shù)是__________.【答案】【解析】【分析】寫(xiě)出的展開(kāi)式的通項(xiàng)，然后對(duì)分類(lèi)求得答案．【詳解】展開(kāi)式的通項(xiàng)為，，①令，則；②令，則；綜上可得：展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為．故答案為：．13.已知過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)L與雙曲線(xiàn)(a>0，b>0)的左、右兩支分別交于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)是C的右焦點(diǎn)，且．若滿(mǎn)足的點(diǎn)P也在雙曲線(xiàn)C上，則C的離心率為_(kāi)_____.【答案】##【解析】【分析】設(shè)左焦點(diǎn)為，，則，連接，，進(jìn)而根據(jù)題意得四邊形為矩形，再分別在中和中，結(jié)合勾股定理求解即可.【詳解】設(shè)左焦點(diǎn)，，則，連接，，由雙曲線(xiàn)的定義知，，因?yàn)?，所以四邊形為矩形．在中，，即，化?jiǎn)得，在中，，即，將代入（*）式得，所以，所以．故答案為：.14.已知中，，點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn).若平面，且與面所成角的正弦值的最大值為，則三棱錐的外接球的表面積為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意得PQ的最小值為，的最小值是，即A到BC的距離為，則，結(jié)合圖形找出的外接圓圓心與三棱錐外接球的球心，求出外接球的半徑，再計(jì)算它的表面積．【詳解】三棱錐中，平面設(shè)直線(xiàn)PQ與平面ABC所成角為，又的最大值是，所以，解得，即PQ的最小值為，的最小值是，即A到BC的距離為，如下圖，直角三角形△ABQ中，所以，又，所以重合，則，則外接圓圓心M為AB的中點(diǎn)，又平面從而外接球的球心O為PB的中點(diǎn)，外接球的半徑，三棱錐的外接球的表面積．故答案為：．四、解答題（本大題共5小題，共77分，請(qǐng)?jiān)诖痤}紙指定的區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）15.已知.（1）若展開(kāi)式中只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，求的值；（2）當(dāng)時(shí)，二項(xiàng)式的展開(kāi)式中的系數(shù)為A，常數(shù)項(xiàng)為，若，則求的值；（3）當(dāng)時(shí)，求二項(xiàng)式的展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng).【答案】（1）8（2）2或-2（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)二項(xiàng)定理展開(kāi)式的性質(zhì)可得；（2）根據(jù)二項(xiàng)式定理通項(xiàng)公式求出的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)，由條件可求的值；（3）根據(jù)二項(xiàng)式定理通項(xiàng)公式，設(shè)第r項(xiàng)系數(shù)最大，建立不等關(guān)系可求出的值，得系數(shù)最大的項(xiàng).【小問(wèn)1詳解】展開(kāi)式中只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開(kāi)式共9項(xiàng)，故.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)二項(xiàng)式為，由二項(xiàng)式定理通項(xiàng)公式得，令，得，所以，令，得，所以，又，解得（舍去）或或，所以或.【小問(wèn)3詳解】當(dāng)時(shí)二項(xiàng)式為，由二項(xiàng)式定理通項(xiàng)公式得，設(shè)第r項(xiàng)系數(shù)最大，則，即，故，所以二項(xiàng)式的展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)為.16.某學(xué)校的高二年級(jí)有5名數(shù)學(xué)老師，其中男老師3人，女老師2人.（1）如果任選3人參加校級(jí)技能大賽，所選3人中女老師人數(shù)為，求的分布列；（2）如果依次抽取2人參加市級(jí)技能大賽，求在第1次抽到男老師的條件下，第2次抽到也是男老師的概率.【答案】（1）見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）的所有可能取值為0，1，2，求出概率得到分布列．（2）利用條件概率轉(zhuǎn)化求解即可．【小問(wèn)1詳解】由題可知的所有可能取值為0，1，2，依題意得：，，，的分布列為：012【小問(wèn)2詳解】設(shè)第1次抽到男老師為事件，第2次抽到男老師為事件，則第1次和第2次都抽到男老師為事件，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，．所以．17.如圖，在直三棱柱中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，．（1）證明：平面；（2）若，求直線(xiàn)與平面的所成角的余弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）如圖1，易知四邊形是正方形，則，由勾股定理可證明，結(jié)合線(xiàn)面垂直的判定定理即可證明；（2）建立如圖空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求解線(xiàn)面角即可.【小問(wèn)1詳解】如圖1，記與的交點(diǎn)為點(diǎn)，連接，因?yàn)槿庵侵比庵?，所以，因?yàn)?，所以四邊形是正方形，故，因?yàn)?，所以，又因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以，所以，因?yàn)樗倪呅问钦叫?，所以是中點(diǎn)，所以，又平面，，所以平面．【小問(wèn)2詳解】如圖2，取中點(diǎn)的，易知兩兩垂直，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，，所以，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則法向量．設(shè)直線(xiàn)與平面的所成角的線(xiàn)面角為，則，得，故直線(xiàn)與平面的所成角的線(xiàn)面角的余弦值為．18.為了了解高中學(xué)生課后自主學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)間（x分鐘/每天）和他們的數(shù)學(xué)成績(jī)（y分）的關(guān)系，某實(shí)驗(yàn)小組做了調(diào)查，得到一些數(shù)據(jù)（表一）.編號(hào)12345學(xué)習(xí)時(shí)間x3040506070數(shù)學(xué)成績(jī)y65788599108（1）求數(shù)學(xué)成績(jī)與學(xué)習(xí)時(shí)間的相關(guān)系數(shù)（精確到0.001）；（2）請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)說(shuō)明該組數(shù)據(jù)中與之間的關(guān)系可用線(xiàn)性回歸模型進(jìn)行擬合，并求出關(guān)于的回歸直線(xiàn)方程，并由此預(yù)測(cè)每天課后自主學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)間為100分鐘時(shí)的數(shù)學(xué)成績(jī)（參考數(shù)據(jù)：，的方差為200）；（3）基于上述調(diào)查，某校提倡學(xué)生周末在校自主學(xué)習(xí).經(jīng)過(guò)一學(xué)期的實(shí)施后，抽樣調(diào)查了220位學(xué)生.按照是否參與周末在校自主學(xué)習(xí)以及成績(jī)是否有進(jìn)步統(tǒng)計(jì)，得到列聯(lián)表（表二）.依據(jù)表中數(shù)據(jù)及小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析“周末在校自主學(xué)習(xí)與成績(jī)進(jìn)步”是否有關(guān).沒(méi)有進(jìn)步有進(jìn)步合計(jì)參與周末在校自主學(xué)習(xí)35130165未參與周末不在校自主學(xué)習(xí)253055合計(jì)60160220附：方差：相關(guān)系數(shù)：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為，，.0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）（2）答案見(jiàn)解析（3）答案見(jiàn)解析【解析】【分析】(1)根據(jù)題意分別求出，，代入到相關(guān)系數(shù)：，求得結(jié)果即可；(2)知接近1，故與之間具有極強(qiáng)的線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)已知條件代入求解即可，，最后代入即可求得；(3)計(jì)算出與臨界值比較可得出周末在校自主學(xué)習(xí)與成績(jī)進(jìn)步是否有關(guān).【小問(wèn)1詳解】，，又的方差為，，，小問(wèn)2詳解】由（1）知接近1，故與之間具有極強(qiáng)的線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系，可用線(xiàn)性回歸直線(xiàn)方程模型進(jìn)行擬合：，，，故當(dāng)時(shí)，，故預(yù)測(cè)每天課后自主學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)間達(dá)到100分鐘時(shí)的數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)?40.5分.【小問(wèn)3詳解】零假設(shè)：周末在校自主學(xué)習(xí)與成績(jī)進(jìn)步無(wú)關(guān)，根據(jù)數(shù)據(jù)，計(jì)算得到：，因?yàn)?，所以依?jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為“周末自主學(xué)習(xí)與成績(jī)進(jìn)步”有關(guān).19.已知橢圓C：，過(guò)右焦點(diǎn)F的直線(xiàn)l交C于A，B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F與l垂直的直線(xiàn)交C于D，E兩點(diǎn)，其中B，D在x軸上方，M，N分別為AB，DE的中點(diǎn)．當(dāng)軸時(shí)，，橢圓C的離心率為．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）證明：直線(xiàn)MN過(guò)定點(diǎn)，并求定點(diǎn)坐標(biāo)；（3）設(shè)G為直線(xiàn)AE與直線(xiàn)BD的交點(diǎn)，求△GMN面積的最小值．【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析，（3）【解析】【分析】（1）由通徑和離心率求出a，b，c的值，得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線(xiàn)AB和DE的方程，與橢圓方程聯(lián)立，表示出M，N兩點(diǎn)坐標(biāo)和直線(xiàn)MN的方程，由方程確定所過(guò)定點(diǎn)；（3）由題意得，利用弦長(zhǎng)公式和基本不等式求最小值．【小問(wèn)1詳解】由題意可得，解得，，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【小問(wèn)2詳解】B，D在x軸上方，直線(xiàn)l斜率存在且不為0，設(shè)直線(xiàn)，聯(lián)立橢圓，消去x得：，由韋達(dá)定