小學(xué)“數(shù)量關(guān)系”主題的教學(xué)探析：早期代數(shù)思維的視角

【摘""要】《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》賦予了“數(shù)量關(guān)系”新的教學(xué)內(nèi)涵，并與核心素養(yǎng)和代數(shù)思維建立聯(lián)系。從早期代數(shù)思維的視角看，數(shù)量關(guān)系的教學(xué)一般有三種思維推理形式，即關(guān)系性思維、共變思維和準(zhǔn)變量思維。教師通過闡述這三種思維形式的特征，探討如何挖掘和理解教材中的相應(yīng)思維形式，并在教學(xué)中如何引導(dǎo)學(xué)生充分經(jīng)歷相應(yīng)的思維推理過程，進(jìn)而習(xí)得數(shù)量關(guān)系相關(guān)知識，提升學(xué)生核心素養(yǎng)?！娟P(guān)鍵詞】數(shù)量關(guān)系；早期代數(shù)思維；關(guān)系性思維；共變思維；準(zhǔn)變量思維恩格斯從數(shù)學(xué)來源的角度提出“數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)”，這一論述對數(shù)學(xué)及數(shù)學(xué)教育產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響。他主張，數(shù)學(xué)中數(shù)量和數(shù)量之間有聯(lián)系或發(fā)生關(guān)系才有意義，單個(gè)數(shù)量的存在或堆積是沒有意義的。［1］76數(shù)量這個(gè)詞是被人們慣用的術(shù)語，“Quantit?tsverh?ltnisse”應(yīng)該翻譯為“量的關(guān)系”，而不是“數(shù)量的關(guān)系”。［1］75對“數(shù)量關(guān)系”的譯法，關(guān)肇直先生也認(rèn)為有不妥之處，他指出：應(yīng)把“數(shù)量關(guān)系”改譯為“量的關(guān)系”。［2］本文中的數(shù)量和量兩個(gè)術(shù)語互用?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱“2022年版課標(biāo)”）將“數(shù)量關(guān)系”確定為小學(xué)階段數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域的兩個(gè)主題之一。“數(shù)量關(guān)系”主要是指“用符號（包括數(shù)）或含有符號的式子表達(dá)數(shù)量之間的關(guān)系或規(guī)律。學(xué)生要經(jīng)歷在具體情境中運(yùn)用數(shù)量關(guān)系解決問題的過程，感悟加法模型和乘法模型的意義，提高發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的能力，形成模型意識和初步的應(yīng)用意識”。由此可見，2022年版課標(biāo)對小學(xué)“數(shù)量關(guān)系”的目標(biāo)要求涵蓋兩個(gè)方面：一是發(fā)現(xiàn)和表達(dá)具體情境中的數(shù)量關(guān)系，二是運(yùn)用數(shù)量關(guān)系分析和解決實(shí)際問題。因此，數(shù)量關(guān)系的教學(xué)應(yīng)聚焦于量及其關(guān)系的認(rèn)知和表征，才能運(yùn)用數(shù)量關(guān)系解決問題。過去，數(shù)量關(guān)系的教學(xué)經(jīng)歷了從“過度模式化教學(xué)的應(yīng)用題”到“去應(yīng)用題”再到“解決問題”最終轉(zhuǎn)變?yōu)椤皢栴}解決”的演變過程，似乎更強(qiáng)調(diào)運(yùn)用數(shù)量關(guān)系（特別是常用數(shù)量關(guān)系）解決問題，而在一定程度上忽視了對量及其關(guān)系的認(rèn)識和表征的教學(xué)。然而，在具體情境中發(fā)現(xiàn)、分析和表達(dá)量及其關(guān)系（不僅僅是常用數(shù)量關(guān)系）對于學(xué)生早期代數(shù)思維的培養(yǎng)和發(fā)展，以及后續(xù)的代數(shù)學(xué)習(xí)具有舉足輕重的作用。實(shí)際上，強(qiáng)調(diào)早期代數(shù)思維是2022年版課標(biāo)的一個(gè)顯著變化。那么，小學(xué)階段的早期代數(shù)思維具有怎樣的特征？該階段早期代數(shù)思維的發(fā)展與數(shù)量關(guān)系的教學(xué)存在怎樣的內(nèi)在聯(lián)系？如何通過數(shù)學(xué)教材中的教學(xué)內(nèi)容來發(fā)展小學(xué)生的早期代數(shù)思維？本文結(jié)合北師大版教材相關(guān)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行具體分析。一、早期代數(shù)思維的特征及教學(xué)啟示對于中小學(xué)生而言，數(shù)學(xué)從數(shù)和數(shù)的運(yùn)算（算術(shù)），到符號和符號運(yùn)算（代數(shù)），容易忽略從算術(shù)到代數(shù)的過渡，這樣不利于學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)和代數(shù)思維的發(fā)展。通過加深算術(shù)課程的內(nèi)容，幫助學(xué)生發(fā)展早期代數(shù)思維和代數(shù)推理能力，是解決這一困境的有效途徑。早期代數(shù)思維是指“學(xué)生在歸納概括一般化的算式結(jié)構(gòu)、變化規(guī)律和數(shù)量關(guān)系，并且運(yùn)用（各類）符號來表征和推理論證一般化結(jié)論時(shí)經(jīng)歷的一系列思維過程”。主要體現(xiàn)在抽象算術(shù)、函數(shù)思維和數(shù)量關(guān)系三方面數(shù)學(xué)內(nèi)容。［3］22研究表明，早期代數(shù)思維需要滿足三個(gè)條件。第一是不確定性，問題涉及未知量、變量、參數(shù)等要素。第二是表征，問題中涉及的不確定的量必須被命名或用符號表示。第三是分析性，即以分析的方式處理不確定的量，這些不確定的量被當(dāng)作已知的數(shù)進(jìn)行加、減、乘、除運(yùn)算。［4］基于此，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從具體情境中發(fā)現(xiàn)數(shù)量及其關(guān)系，并進(jìn)行表征，進(jìn)而通過分析數(shù)量關(guān)系和規(guī)律進(jìn)行相應(yīng)的一般化表達(dá)和問題解決的過程。這一過程是銜接算術(shù)與代數(shù)的一種思維推理方式，是早期代數(shù)思維關(guān)注的焦點(diǎn)。早期代數(shù)思維是介于算術(shù)和代數(shù)之間的思維推理過程，強(qiáng)調(diào)深化包括數(shù)量關(guān)系在內(nèi)的算術(shù)課程的內(nèi)容，主要指向在教學(xué)過程中重視三種思維推理形式：“關(guān)系性思維（RelationalThinking）”“共變思維（CovariationThinking）”和“準(zhǔn)變量思維”。［3］23-27簡言之，在數(shù)量關(guān)系教學(xué)時(shí)，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷關(guān)系性思維、共變思維和準(zhǔn)變量思維的分析與推理。二、關(guān)系性思維的特征及其教學(xué)內(nèi)容分析關(guān)系性思維不僅要求學(xué)生準(zhǔn)確把握“相等”的概念，還鼓勵(lì)學(xué)生從整體的視角審視算式和等式的內(nèi)在結(jié)構(gòu)。這種思維方式能夠讓學(xué)生超越對算式中運(yùn)用數(shù)的程序性計(jì)算，轉(zhuǎn)而關(guān)注數(shù)與數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，并據(jù)此靈活變換等式。［5］面對等式時(shí)，學(xué)生不是將等號視為計(jì)算結(jié)果輸出的簡單提示，而是能夠洞察等式所蘊(yùn)含的等價(jià)關(guān)系和整體結(jié)構(gòu)。從等號的程序性理解到關(guān)系性理解的轉(zhuǎn)變，這正是算術(shù)思維向代數(shù)思維演進(jìn)的關(guān)鍵標(biāo)志之一。［6］2022年版課標(biāo)增加了“等量的等量相等”這一基本事實(shí)，旨在強(qiáng)調(diào)關(guān)系性思維的重要性。鼓勵(lì)學(xué)生通過探索關(guān)系和結(jié)構(gòu)來理解這一基本事實(shí)，并要求他們能在真實(shí)情境中運(yùn)用關(guān)系性思維進(jìn)行量的推理。例如，面對等式“37＋48＝36＋49”，學(xué)生若不進(jìn)行具體計(jì)算就能判斷其正確與否，說明他們已經(jīng)超越了程序性的算術(shù)思維，能夠識別出等式中隱含的結(jié)構(gòu)和關(guān)系，并運(yùn)用補(bǔ)償策略來實(shí)現(xiàn)等式的變換，即“37＋48＝37－1＋48＋1＝36＋49”的推理過程。這表明學(xué)生已經(jīng)能夠從整體結(jié)構(gòu)出發(fā)，對算術(shù)性質(zhì)進(jìn)行更深層次的一般化思維。教師在教學(xué)這類數(shù)量關(guān)系知識時(shí)，應(yīng)該有意識地引導(dǎo)學(xué)生識別和表征情境中的量，發(fā)現(xiàn)、表達(dá)和分析相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系，并利用數(shù)量關(guān)系來解決問題。在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，關(guān)系性思維的素材貫穿始終。例如，在北師大版教材一年級上冊《做個(gè)加法表》一課中（如圖1），豎著看，學(xué)生通過觀察第一列算式的變化規(guī)律，會發(fā)現(xiàn)“10＋0＝9＋1＝8＋2＝……＝0＋10”，即兩個(gè)數(shù)相加的和相等。教師要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)這一列算式隱含的結(jié)構(gòu)和關(guān)系，構(gòu)建出相鄰或相間的兩個(gè)算式中的數(shù)量變換關(guān)系及其潛在關(guān)系（加減同一個(gè)數(shù)），并進(jìn)行分析和說理，如10＋0＝10＋0＋1－1＝10－1＋0＋1＝9＋1，以此類推，讓學(xué)生對這一組算式進(jìn)行說理和推理。在此基礎(chǔ)上，讓學(xué)生繼續(xù)探索、總結(jié)“和是9、8、7……的加法組合”，引導(dǎo)他們初步猜想和文字表達(dá)數(shù)量關(guān)系：在加法算式中，兩個(gè)加數(shù)同時(shí)加減同一個(gè)數(shù)，得到的算式存在等價(jià)關(guān)系。學(xué)生通過關(guān)系性思維進(jìn)行進(jìn)一步分析、推理和確認(rèn)一般化規(guī)律。再如，在北師大版教材三年級上冊《運(yùn)白菜》一課中（如圖2），教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行整體關(guān)系的思維。這兩個(gè)算式都表示“運(yùn)走兩車后還剩多少棵白菜？”。其中算式“850－256－280”直接來自題目，而算式“850－（256＋280）”則基于對數(shù)量關(guān)系的深入理解構(gòu)建了一個(gè)新的量，即“兩車一共運(yùn)走了多少棵白菜”。因此，兩種表達(dá)方式得出的結(jié)果相同。教學(xué)中，教師可以通過創(chuàng)設(shè)購物、銷售等問題情境，幫助學(xué)生識別和表征情境中的各個(gè)量及其相互關(guān)系。通過量的推理，學(xué)生能夠不斷發(fā)現(xiàn)并驗(yàn)證同類數(shù)量關(guān)系，進(jìn)一步體會問題整體結(jié)構(gòu)的相似性?；诖耍瑢W(xué)生可以初步體驗(yàn)更具一般化的連減運(yùn)算性質(zhì)：一個(gè)數(shù)連續(xù)減去兩個(gè)數(shù)，等于這個(gè)數(shù)減去這兩個(gè)數(shù)的和。另外，在探索加法交換率、乘法結(jié)合律等運(yùn)算率時(shí)，可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行關(guān)系性思維和推理，幫助他們掌握相關(guān)數(shù)量關(guān)系并發(fā)展早期代數(shù)思維。例如，在北師大版教材四年級上冊《乘法分配律》一課中，教材呈現(xiàn)了四種解題思路（如圖3），本文分析其中兩種。思路一是先求3行白色瓷磚的塊數(shù)，再求5行藍(lán)色瓷磚的塊數(shù)，然后求總數(shù)。思路二是先求白色和藍(lán)色瓷磚的總行數(shù)，再乘每行瓷磚數(shù)，求出瓷磚總數(shù)。通過計(jì)算和比較這兩種思路的結(jié)果，學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)乘法分配律。其實(shí)，教師可以進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生通過分析問題情境中的各個(gè)量之間的關(guān)系推理出兩個(gè)算式的相等關(guān)系。如廚房瓷磚總量等于左面墻瓷磚量與右面墻瓷磚量之和，也等于白色瓷磚與藍(lán)色瓷磚數(shù)量之和。這種關(guān)系與具體數(shù)值無關(guān)，意味著題中的3、5、10等數(shù)可以換成任意自然數(shù)（0除外），而其表示的實(shí)際意義保持不變。上述教學(xué)正是基于早期代數(shù)思維的視角，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行關(guān)系性思維，不僅使學(xué)生掌握了乘法分配律，而且有效地培養(yǎng)了學(xué)生的推理意識、創(chuàng)新思維能力和問題解決能力。三、共變思維的特征及其教學(xué)內(nèi)容分析在早期代數(shù)思維研究中發(fā)現(xiàn)，即便是幼兒園的學(xué)生也能夠理解數(shù)量之間的共同變化規(guī)律（每增加1只狗，相應(yīng)增加2只眼睛）。一年級學(xué)生能夠描述數(shù)量間的對應(yīng)關(guān)系（1只手有5根手指，2只手則有10根手指）。到了二年級，學(xué)生能夠使用自然語言表達(dá)一般規(guī)律來預(yù)測共變量的其他相應(yīng)值（乘法口訣的學(xué)習(xí)：一三得三，二三得六……三九二十七）。［7］724-725這表明，低年級乃至幼兒園的學(xué)生，給予適當(dāng)?shù)娜蝿?wù)和指導(dǎo)，他們都能形成和發(fā)展早期代數(shù)思維。對數(shù)量共變的概括和推理涉及以下幾種能力：對共變量模式關(guān)系的一般化；尋找相應(yīng)的變量值以及給定規(guī)則的共變思維。學(xué)生首先應(yīng)掌握“找到對應(yīng)變量的值”的能力，其次培養(yǎng)給定規(guī)則的共變思維，最后獲得“共變量關(guān)系模式的一般化”的能力。［7］737］當(dāng)學(xué)生意識到兩個(gè)量的值同時(shí)變化時(shí)，他們就會產(chǎn)生共變思維。進(jìn)行共變思維的學(xué)生能確認(rèn)兩個(gè)量的共變關(guān)系，并能“協(xié)調(diào)（Coordination）”這兩個(gè)量之間的共變模式。［7］731研究表明，共變思維模式有利于學(xué)生思維的定性分析，學(xué)生在共變思維下，更容易把握涉及的量及其共變關(guān)系，并將其作為尋找數(shù)量關(guān)系的起點(diǎn)。［7］741例如，2022年版課標(biāo)實(shí)例中的例19第（1）題：“小華比小明多5張漫畫卡，如果小明有8張，小華有幾張？如果小明有12張呢？如果小明有若干張呢，怎樣用字母表示小華有多少張漫畫卡？”這一問題情境是進(jìn)行共變思維和推理的良好素材。不難發(fā)現(xiàn)，該問題情境中涉及兩個(gè)量：小華的漫畫卡數(shù)量，小明的漫畫卡數(shù)量。其中，“小華比小明多5張漫畫卡”已經(jīng)直接設(shè)定了這兩個(gè)數(shù)量之間的共變關(guān)系。“如果小明有8張，小華有幾張？”這一設(shè)問引導(dǎo)學(xué)生基于兩個(gè)數(shù)量之間的規(guī)定關(guān)系進(jìn)行共變思維分析，當(dāng)一個(gè)變量值確定后，另一個(gè)變量值隨之得以確定?！叭绻∶饔?2張呢？如果小明有若干張呢？”這一追問，繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生通過共變思維進(jìn)一步感悟“小華的漫畫卡”和“小明的漫畫卡”這兩個(gè)量之間的共變關(guān)系，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行概括和一般化表征。也就是說，在情境中探尋到“小明的漫畫卡數(shù)量”包含“8張、12張、若干張”這組數(shù)，接著根據(jù)兩個(gè)量之間的依存共變關(guān)系，把8+5、12+5、若干張+5看成一個(gè)整體，都用來表示“小華的漫畫卡數(shù)量”。不管兩個(gè)量的數(shù)值如何變化，它們的共變關(guān)系保持不變。又如，在北師大版教材一年級下冊《做個(gè)百數(shù)表》一課中（如圖4），學(xué)生通過觀察發(fā)現(xiàn)：橫著看，后一個(gè)數(shù)相較于前一個(gè)數(shù)增加1；豎著看，下一行的數(shù)相較于上一行的數(shù)增加10；斜著看，右下角的數(shù)相較于左上角的數(shù)增加11。在教學(xué)過程中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生依據(jù)相鄰兩個(gè)數(shù)的共變規(guī)律，獲得從一個(gè)量推算出另一個(gè)量的能力。經(jīng)過多次驗(yàn)證，對這一規(guī)律進(jìn)行歸納，識別相關(guān)的量，并用自然語言進(jìn)行表達(dá)，概括這些數(shù)量之間的關(guān)系。此時(shí)，在共變思維的輔助下，學(xué)生能夠?qū)W會分析相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系，形成數(shù)感和推理意識，以及早期代數(shù)思維。再如，正比例和反比例作為刻畫現(xiàn)實(shí)背景中兩個(gè)相關(guān)變量的共同變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型。在日常生活中，有很多數(shù)量關(guān)系可以表示為正比例或反比例的量，其本質(zhì)是兩個(gè)量按照一定的比例關(guān)系發(fā)生共變。如圖5所示，引導(dǎo)學(xué)生通過填表發(fā)現(xiàn)，正方形邊長每增加1厘米，其周長相應(yīng)增加4厘米，正方形的周長是邊長的4倍，即周長和邊長兩個(gè)量的比值保持不變，此時(shí)正方形周長和邊長成正比例。當(dāng)一個(gè)變量確定后，另一個(gè)變量隨之確定，二者的變化是互相依存的。同時(shí)，以“路程、速度、時(shí)間”三個(gè)數(shù)量關(guān)系為例，路程隨時(shí)間變化而變化，且路程和時(shí)間的比值（即速度）一定，即路程和時(shí)間兩個(gè)數(shù)量之間的關(guān)系進(jìn)行共變思維和推理，可以得到路程和時(shí)間成正比例。反比例亦是如此，這里不再贅述。在教學(xué)中，教師應(yīng)有意識地通過提問引導(dǎo)學(xué)生自主識別問題情境中的變量，發(fā)現(xiàn)變量間的依存和共變關(guān)系，并對共變規(guī)律進(jìn)行概括和表達(dá)，從而深化對數(shù)量關(guān)系的理解，培養(yǎng)推理意識和早期代數(shù)思維。四、準(zhǔn)變量思維的特征及其教學(xué)內(nèi)容分析通常具備準(zhǔn)變量思維的學(xué)生能夠認(rèn)識到“在一個(gè)‘算式’或是一組‘算式’中，存在的某些數(shù)量關(guān)系，這些數(shù)量關(guān)系不會因?yàn)閿?shù)的變化而改變”［3］25。準(zhǔn)變量思維體現(xiàn)了初步的概括性和一般化，這正是代數(shù)思維的核心所在“分析之后的概括”。缺乏分析的概括可能是“嘗試與猜測”的結(jié)果，而缺乏概括的分析可能是“數(shù)量之間關(guān)系”的記憶。［8］16實(shí)際上，在探討關(guān)系性思維和共變思維的特征時(shí)，已經(jīng)涉及了數(shù)量關(guān)系的表達(dá)過程，即通過關(guān)系性思維和共變思維的推理，引導(dǎo)學(xué)生識別相關(guān)量及其關(guān)系，并進(jìn)行概括和表達(dá)。然而，準(zhǔn)變量思維則強(qiáng)調(diào)使用更具一般性的符號（非字母）來表達(dá)數(shù)量關(guān)系。例如，學(xué)生面對如下問題情境。（1）第5項(xiàng)有多少個(gè)小方塊？（2）第6項(xiàng)有多少個(gè)小方塊？（3）第25項(xiàng)有多少個(gè)小方塊？（4）你能概括出規(guī)律嗎？學(xué)生在經(jīng)歷了對問題（1）至（3）的關(guān)系性思維和共變思維的探討后，可能會給出如下表達(dá)：3，3＋（2－1）×2，3＋（3－1）×2，3＋（4－1）×2，3＋（5－1）×2，3＋（6－1）×2……小括號內(nèi)的“2、3、4、5、6……”起到了“變量”（即“項(xiàng)數(shù)”）的作用。［8］17針對問題（4），首先引導(dǎo)學(xué)生用自然語言表達(dá)出規(guī)律：每一項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)減1的2倍，再加上第1項(xiàng)的數(shù)，其和即為該項(xiàng)的小方塊總數(shù)。接著，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生寫出更具概括性的表達(dá)式：3＋（項(xiàng)數(shù)－1）×2，這是一個(gè)準(zhǔn)變量表達(dá)式，更接近代數(shù)表達(dá)式。例如，在北師大版教材二年級上冊《分香蕉》一課中（如圖6），面對“小猴子分12根香蕉，每份同樣多，可以怎么分？”的問題。教學(xué)時(shí)，首先應(yīng)該讓學(xué)生明確平均分的兩種情況：一種是先確定份數(shù)，再按份數(shù)進(jìn)行平均分，結(jié)果是每份分到的數(shù)量；另一種是先確定每份的數(shù)量，再按每份的數(shù)量進(jìn)行平均分，結(jié)果是能分到的份數(shù)。接著，教師可再舉幾個(gè)類似的問題，在關(guān)系性思維的作用下引導(dǎo)學(xué)生感知數(shù)的可變性與結(jié)構(gòu)的不變性。最后，在準(zhǔn)變量思維的推動下抽象出除法模型的一般化表達(dá)：總數(shù)÷份數(shù)＝每份數(shù)，總數(shù)÷每份數(shù)＝份數(shù)。在此基礎(chǔ)上，后續(xù)還會將上述除法模型與乘法模型（份數(shù)×每份數(shù)＝總數(shù)）建立內(nèi)在聯(lián)系。這些聯(lián)系都是第二、第三學(xué)段學(xué)習(xí)“總價(jià)＝單價(jià)×數(shù)量”“路程＝速度×?xí)r間”“工作效率＝工作總量÷工作時(shí)間”等數(shù)量關(guān)系的根本。所有這些都可以視為準(zhǔn)變量表達(dá)式，是指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行準(zhǔn)變量思維的學(xué)習(xí)素材。又如，在北師大版教材四年級上冊《加法結(jié)合律》教學(xué)中（如圖7），引導(dǎo)學(xué)生發(fā)展準(zhǔn)變量思維。首先，引導(dǎo)學(xué)生觀察算式，經(jīng)歷類比推理和歸納推理，發(fā)現(xiàn)加法運(yùn)算的規(guī)律（加法結(jié)合律），并嘗試用語言描述發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。接著，聯(lián)系現(xiàn)實(shí)生活尋找實(shí)例解釋發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，加深對規(guī)律的理解和認(rèn)識。最后，引導(dǎo)學(xué)生用字母表示加法結(jié)合律。為了讓學(xué)生充分理解加法結(jié)合律的本質(zhì)，有必要在具體算式和符號表達(dá)之間增加準(zhǔn)變量思維和表象表達(dá)的過程，鼓勵(lì)他們用自己喜歡的方式表達(dá)規(guī)律（文字、圖形語言、任何符號等），以此用簡化和概括化的準(zhǔn)變量表達(dá)式表達(dá)規(guī)律，如（▲＋★）＋?＝▲＋（★＋?），為后續(xù)用字母進(jìn)行符號表達(dá)提供思維準(zhǔn)備，以充分發(fā)展學(xué)生的符號意識和模型意識。準(zhǔn)變量思維的核心在于運(yùn)用非代數(shù)符號的語句或表達(dá)式，它超越算術(shù)思維方式。通過關(guān)系性思維和共變思維的推理，揭示并利用算術(shù)中隱含的數(shù)量關(guān)系與結(jié)構(gòu)，識別、提取關(guān)鍵的數(shù)以及表達(dá)式中的關(guān)系性元素。這些思維方式能夠?qū)撛诘?/p>