湖南省長沙市雅禮集團(tuán)八校聯(lián)考2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期4月期中數(shù)學(xué)試題（原卷版）

湖南省長沙市雅禮集團(tuán)八校聯(lián)考20242025學(xué)年高一下學(xué)期4月期中數(shù)學(xué)試題命題人：蔣志華審題人：莫俐一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.2.已知向量.若，則（）A.1 B.2 C. D.3.如圖，在直角梯形中，，，，，，用斜二測畫法畫出水平放置的梯形的直觀圖為四邊形，則四邊形的面積為（）A.1 B.2 C.3 D.44.在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則A＝（）A B. C. D.或5.已知平面向量均為單位向量，且夾角為，若向量共面，且滿足，則（）A B. C. D.26.如圖，現(xiàn)有一個與中國國家館結(jié)構(gòu)類似的正四棱臺，上下底面的中心分別為和O，若，側(cè)面與底面所成銳二面角的正切值為，則正四棱臺的體積為（）A. B. C. D.7.如皋定慧寺原有佛塔毀于五代時期，現(xiàn)在的觀音塔為2002年6月12日奠基，歷時兩年完成的，是仿明清古塔建筑，框架七層、八角彩繪，下面是觀音塔的示意圖，游客（視為質(zhì)點(diǎn)）從地面點(diǎn)看樓頂點(diǎn)的仰角為，沿直線前進(jìn)51米達(dá)到點(diǎn)，此時看點(diǎn)點(diǎn)的仰角為，若，則該八角觀音塔的高約為（）（）A.8米 B.9米 C.40米 D.45米8.如圖，在長方體中，，，，E?F分別為棱?的中點(diǎn).動點(diǎn)P在長方體的表面上，且，則點(diǎn)P的軌跡的長度為（）A. B. C. D.二、多選題：本大題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.若是三個不同的平面，是三條不同的直線，下列說法正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，且，則D.若，，且，則10.已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則（）A.B.的虛部為C.D.在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限11.若平面向量，，其中，，則下列說法正確的是（

）A.若，則B.若，則與同向的單位向量為C.若，且與的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍為D.若，則的最小值為三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知方程，有兩個虛數(shù)根，在復(fù)平面上對應(yīng)兩虛根之間的距離為，則________．13.如圖，在矩形中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，若，則的值是______．14.在底面為正方形的四棱錐中，平面，，，，平面，則__________，四面體的外接球的表面積為______.四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知、、在同一平面內(nèi)，且，.（1）若，且與共線，求的坐標(biāo)；（2）若向量與向量共線，求的值，此時與同向還是反向？16.已知復(fù)數(shù)()實(shí)部與虛部的差為．（1）若，且，求復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）當(dāng)取得最小值時，求復(fù)數(shù)的實(shí)部．17.如圖，邊長為3的正方形ABCD中，點(diǎn)E是線段AB上的動點(diǎn)，點(diǎn)F是線段BC上的動點(diǎn)，均不含端點(diǎn)，且滿足，將△AED，△DCF分別沿DE，DF折起，使A，C兩點(diǎn)重合于點(diǎn)P.（1）求證：；（2）當(dāng)時，求三棱錐的體積.18.如圖所示，PA⊥平面ABC，點(diǎn)C在以AB為直徑的⊙O上，∠CBA＝30°，PA＝AB＝2，點(diǎn)E為線段PB的中點(diǎn)，點(diǎn)M在上，且．（1）求證：平面平面PAC；（2）求證：平面PAC；（3）求直線PB與平面PAC所成角的正弦值．19.已知的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且.（1）求A；（2）設(shè)的外接圓圓心為O，且，（為定值）.如圖，ABP是以AB為半徑，為圓心角的扇形