第28章銳角三角函數(shù)02練基礎(chǔ)

一、選擇題1.的值是（）．A.1 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用特殊角的三角函數(shù)值來計算即可．【詳解】解：2sin30°=2×=1故選：A【點睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，做題關(guān)鍵是掌握特殊角的三角函數(shù)值．2.在中，，，，則的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)正切函數(shù)的定義求解即可．【詳解】解：在Rt△ABC中，tanA=，故選：D．【點睛】本題考查三角函數(shù)，熟練掌握正切三角函數(shù)的定義：tanA=是解題的關(guān)鍵．3.如圖，點A（x，4）在第一象限，OA與x軸所夾的銳角為α，cosα＝，則tanα的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】過A作AB⊥x軸于B，則∠ABO＝90°，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義得出，設(shè)OB＝3x，則AB＝5x，根據(jù)勾股定理求出x，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出答案即可．【詳解】解：過A作AB⊥x軸于B，則∠ABO＝90°，∵cosα＝，設(shè)OB＝3x，則OA＝5x，∵A（x，4），∴AB＝4，由勾股定理得：，所以，解得：x＝1，x=1（負數(shù)舍去），即OB＝3，∴tanα＝＝，故選：A．【點睛】本題考查了三角函數(shù)定義，勾股定理，熟練掌握三角函數(shù)的定義，靈活運用勾股定理是解題的關(guān)鍵．4.在Rt△ACB中，∠C＝90°，AB＝8，sinA＝，則BC的長為（）A.6 B.7.5 C.8 D.12.5【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意畫出圖形，然后根據(jù)三角函數(shù)的知識進行解答即可．【詳解】解：如圖∠C＝90°，AB＝8，sinA＝，，解得：，故選：A．【點睛】本題考查了解直角三角形，熟知正弦的定義：對邊比斜邊，是解本題的關(guān)鍵．5.已知，則銳角α的度數(shù)是（）A.60° B.45° C.30° D.75°【答案】A【解析】【分析】根據(jù)得到即可求解．【詳解】解：∵，銳角，∴，∴，故選：A．【點睛】本題考查根據(jù)特殊角三角函數(shù)值求角的度數(shù)，熟記特殊角的三角函數(shù)值是解答的關(guān)鍵．6.如圖所示，邊長為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格中，半徑為1的⊙O的圓心O在格點上，則∠AED的正切值等于（）A. B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】先根據(jù)圓周角定理可得，然后求出∠AED的正切值即可．【詳解】解：由圓周角定理得：，∴tan∠AED=tan∠ABD=．故選：D．【點睛】本題主要考查了正切三角函數(shù)、圓周角定理等知識點，利用圓周角定理得出是解答本題的關(guān)鍵．7.在△ABC中，，若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義，知，設(shè)BC=x，AC=2x，根據(jù)勾股定理可求得AB，再根據(jù)三角函數(shù)的定義就可以求出的值．【詳解】解：在△ABC中，，∵，∴設(shè)BC=x，AC=2x，，，故選：C．【點睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義及運用：在直角三角形中，一個銳角的正弦值為對邊比斜邊，余弦值為鄰邊比斜邊，正切值為對邊比鄰邊．8.一艘輪船在A處測得燈塔S在船的南偏東方向，輪船繼續(xù)向正東航行30海里后到達B處，這時測得燈塔S在船的南偏西方向，則燈塔S離觀測點A、B的距離分別是A.海里、15海里 B.海里、5海里C.海里、海里 D.海里、海里【答案】D【解析】【分析】過S作于C，在上截取，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，由等腰三角形的性質(zhì)得到，求得，設(shè)，解直角三角形即可得到結(jié)果．【詳解】過S作于C，在上截取，∴，∴，∵，∴，∴，設(shè)，在中，∵，∴，，∵海里，∴，解得：，∴海里，∴海里，∴則燈塔S離觀測點A、B的距離分別是海里、海里．故選D．【點睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用—方向角問題，正確作出高線轉(zhuǎn)化成解直角三角形問題是解決本題的關(guān)鍵．9.如圖，小明在騎行過程中發(fā)現(xiàn)山上有一建筑物．他測得仰角為15°；沿水平筆直的公路向山的方向行駛4千米后，測得該建筑物的仰角為30°，若小明的眼睛與地面的距離忽略不計，則該建筑物離地面的高度為（）A.2千米 B.2千米 C.2千米 D.千米【答案】C【解析】【分析】如圖（見解析），先根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得，再根據(jù)等腰三角形的判定可得千米，然后利用直角三角形的性質(zhì)即可得．【詳解】如圖，由題意得，千米，，，，千米，，，在中，千米，即該建筑物離地面的高度為2千米，故選：C．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定、含30度角的直角三角形的性質(zhì)等知識點，熟練掌握等腰三角形的判定是解題關(guān)鍵．10.如圖，點D為外接圓上弧的中點，已知，，，則的長為（）A.4 B.C. D.【答案】D【解析】【分析】過點C作，交于點E，由圓周角定理可得，，再利用銳角三角函數(shù)，求出和的長，即可求解．【詳解】解：過點C作，交于點E，如圖，點D為外接圓上弧的中點，，，，，，，中，，，，在中，，，．故選：D．【點睛】本題考查了圓周角定理、銳角三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造直角三角形．二、填空題11.如果是銳角，，那么為___________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值進行計算即可．【詳解】解：∵，又∵，∴；故答案為：．【點睛】本題考查特殊角的三角函數(shù)值．熟背特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．12.如圖，的三個頂點分別在邊長為1的正方形網(wǎng)格上，則的值為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)，，，得到，推出是直角三角形，，推出．【詳解】如圖，∵，，，∴，∴是直角三角形，，∴故答案為：【點睛】本題主要考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角函數(shù)等．解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理解直角三角形，勾股定理的逆定理判斷直角三角形，銳角三角函數(shù)定義．13.銳角中，，則的形狀是___________.【答案】等邊三角形【解析】【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)判斷和的大小，再斷三角形的形狀即可．【詳解】解：∵，∴，，又∵，，∴，，∴，∴，∴的形狀是等邊三角形，故答案為：等邊三角形．【點睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值和等邊三角形的判定，根據(jù)已知角的三角函數(shù)值判斷出角的大小是解答本題的關(guān)鍵．14.如圖，在Rt△ABC中，，過A作于點D，若．則tanC的值為___________．【答案】【解析】【分析】通過證明出，可得，即可求解．【詳解】解：，設(shè)，，，，，，，，，，故答案為：．【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)等知識，靈活運用相似三角形的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．15.一配電房示意圖如圖所示，它是一個軸對稱圖形．已知，，則房頂A離地面EF的高度為___________m．（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】【解析】【分析】過點A作垂直，垂足為點，先利用的正切函數(shù)求出長度，然后計算的長度即可．【詳解】解：如圖，過點A作垂直，垂足為點，在中，，則房頂A離地面EF的高度為：故答案為：【點睛】本題考查解直角三角形應(yīng)用、軸對稱，熟練掌握三角函數(shù)關(guān)系是解題關(guān)鍵．三、解答題16.計算：（1）．（2）．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）先求出特殊角的三角函數(shù)值，再根據(jù)實數(shù)的混合運算法則計算即可；（2）先求出特殊角的三角函數(shù)值，再根據(jù)實數(shù)的混合運算法則計算即可．【小問1詳解】解：；【小問2詳解】解：．【點睛】本題考查了含特殊角的三角函數(shù)值的混合運算，牢記特殊角的三角形函數(shù)值是解答本題的關(guān)鍵．17.先化簡，再求代數(shù)式：的值，其中．【答案】，【解析】【分析】先根據(jù)分式的混合運算化簡，再求出x的值，最后將x的值代入化簡后的代數(shù)式中進行計算即可得．【詳解】解：原式，當(dāng)時，原式．【點睛】本題考查了分式化簡求值，三角函數(shù)，二次根式的混合運算，解題的關(guān)鍵是將分式正確化簡．18.小明同學(xué)要測量一幢教學(xué)樓（如圖）的高度，他站在處仰望樓頂，測得仰望角為，再往教學(xué)樓方向走到達點處，測得樓頂?shù)难鼋菫椋ㄔ谕恢本€上），已知小明的眼睛與地面距離為，求這幢教學(xué)樓的高度（結(jié)果保留根號）【答案】【解析】【分析】連接，并延長交于點，設(shè)，在和中，解直角三角形分別求出的長，再根據(jù)可求出的值，然后根據(jù)即可得．【詳解】解：如圖，連接，并延長交于點，由題意得：，，，，，設(shè)，在中，，在中，，，，解得，則，答：這幢教學(xué)樓的高度為．【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握解直角三角形的方法是解題關(guān)鍵．19.如圖，已知是矩形中的對角線．（1）用尺規(guī)作出的垂直平分線，交于，交于，在圖中標(biāo)出相應(yīng)的字母，請用實線保留必要的作圖痕跡；（2）若，，求．（解題時若添加的輔助線，請用虛線）【答案】（1）圖見解析（2）【解析】【分析】（1）分別以、為圓心，以大于的長為半徑畫弧交于兩點，過兩點作直線即可得到線段的垂直平分線；（2）連接，利用垂直平分線可得，然后利用勾股定理可求出，最后根據(jù)正切的定義即可得出答案．【小問1詳解】解：如圖所示，【小問2詳解】解：連接，∵是的垂直平分線，，∴，∵四邊形是矩形，，∴，∴和是直角三角形，∴，在中，，∴．∴的值為．【點睛】本題考查尺規(guī)作圖，線段垂直平分線的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)．熟練掌握線段垂直平分線的作圖步驟以及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．20.如圖，是由邊長為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格，各個小正方形的頂點稱之為格點，點A、C、E、F、M、N均在格點上，根據(jù)不同要求，選擇格點，畫出符合條件的圖形；（1）在圖1中，畫以AC為一邊的△CAB，使∠CAB=45°，點B在小正方形的格點上；（2）在圖2中，畫一個以EF為腰的等腰△DEF，使，點D在小正方形的格點上；（3）在圖3中，畫一個以MN為一邊的△MNP，使tan∠MNP=，點P在小正方形的格點上．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析【解析】【分析】（1）利用網(wǎng)格特點，構(gòu)造△ABC是以AB為底的等腰直角三角形即可；（2）根據(jù)等腰三角形的定義畫出即可；（3）由于tan∠MNP=，則在含∠MNP的直角三角形中，滿足對邊與鄰邊之比為1：2即可．【小問1詳解】解：如圖1，△ABC為所作：∵AC＝，，，∴，，∴△ABC是以AB為斜邊的等腰直角三角形，∴∠CAB＝45°，即△CAB滿足要求；【小問2詳解】如圖2所示：由勾股定理得，，∴DE＝EF＝5，∴△DEF是等腰三角形，∵，∴△DEF滿足要求；【小問3詳解】如圖3所示：∵，，，∴∴△MNP是以MN為斜邊的直角三角形，∴，即作圖符合要求．【點睛】本題考查了勾股定理及其逆定理、銳角三角比、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識，熟練掌握勾股定理及其逆定理是解題的關(guān)鍵．21.如圖，在△ABC中，AD上BC于點D，若AD=6，BC=12，tanC=，求：（1）CD的長（2）cosB的值【答案】（1）4（2）【解析】【分析】（1）直接在Rt△ADC中根據(jù)正切的定義求解即可；（2）先求出BD的長，再利用勾股定理求出AB的長，最后根據(jù)余弦的定義求解即可．【小問1詳解】解：∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∵在Rt△ADC中，，∴；【小問2詳解】解：由（1）得CD=4，∴BD=BCCD=8，在Rt△ABD中，由勾股定理得：，∴．【點睛】本題主要考查了解直角三角形，勾股定理，正確求出CD的長是解題的關(guān)鍵．22.如圖所示，某水庫大壩的橫斷面是四邊形，，壩頂寬米，壩高米，背水坡AB的坡度是，迎水坡CD的坡度是，求壩底寬．【答案】12.5米【解析】【分析】根據(jù)坡度的概念分別求出、，證明四邊形為矩形，可得米，然后根據(jù)計算即可．【詳解】解：∵坡的坡度是，米，∴（米），∵坡的坡度是，米，∴米，∵，，∴，∵，AE⊥BC，∴四邊形為矩形，∴米，∴（米），答：壩底寬的長為12.5米．【點睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用—坡度坡角問題，掌握坡度的概念是解題的關(guān)鍵．23.如圖，正方形ABCD和正方形CEFG中，點D在CG上，BC=1，CE=3，連接AF交CG于點K，H是AF的中點，連接CH．（1）求tan∠GFK的值；（2）求CH的長．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正方形的性質(zhì)得出AD=CD=BC=1，CG=FG=CE=3，，∠G=90°，證出，得出比例式求出，即可得出結(jié)果；（2）由正方形的性質(zhì)求出AB=BC=1，CE=EF=3，∠E=90°，延長AD交EF于M，連接AC、CF，求出AM=4，F(xiàn)M=2，∠AMF=90°，根據(jù)正方形性質(zhì)求出∠ACF=90°，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)求出，根據(jù)勾股定理求出AF，即可得出結(jié)果．【小問1詳解】解：∵四邊形ABCD和四邊形CEFG是正方形，∴AD=CD=BC=1，CG=FG=CE=3，，∠G=90°，∴DG=CGCD=2，，∴，∴DK：GK=AD：GF=1：3，∴，∴；【小問2詳解】解：∵正方形ABCD和正方形CEFG中，點D在CG上，BC=1，CE=3，∴AB=BC=1，CE=EF=3，∠E=90°，延長AD交EF于M，連接AC、CF，如圖所示：則AM=BC+CE=1+3=4，F(xiàn)M=EFAB=31=2，∠AMF=90°，∵四邊形ABCD和四邊形GCEF是正方形，∴∠ACD=∠GCF=45°，∴∠ACF=90°，∵H為AF的中點，∴，在Rt△AMF中，由勾股定理得：，∴．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)、勾股定理，正方形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)；本題有一定難度，特別是（2）中，需要通過作出輔助線運用直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)才能得出結(jié)果．24.如圖，是小強洗漱時的側(cè)面示意圖，洗漱臺（矩形靠墻擺放，高，寬，小強身高，下半身，洗漱時下半身與地面成，身體前傾成，腳與洗漱臺距（點，，，在同一直線上）．小強希望他的頭部恰好在洗漱盆的中點的正上方，他應(yīng)向前或后退多少厘米？．，，，結(jié)果精確到個位）【答案】11厘米【解析】【分析】過點F作于N，過點E作于M．過點E作于點P，延長交于H．先求出，，，，根據(jù)，，可得，再證明四邊形是矩形，同理可證明：四邊形是矩形，即有，，根據(jù)，可得，即可得，即有，再求出，即，問題得解．【詳解】解：過點F作于N，過點E作于M．過點E作于點P，延長交于H．如圖，∵，，∴，∵，O為中點，∴，∵，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，，，根據(jù)題意有，∴四邊形是矩形，同理可證明：四邊形是矩形，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴他應(yīng)向前．【點睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解提的關(guān)鍵是將題目抽象為數(shù)學(xué)問題，作輔助線構(gòu)造出直角三角形．25.如圖，在ABC中，點O是BC中點，以O(shè)為圓心，BC為直徑作圓，剛好經(jīng)過A點，延長BC于點D，連接AD．已知∠CAD＝∠B．（1）求證：AD是⊙O的切線；（2）若BD=8，tanB=，求⊙O的半徑．【答案】（1）見解析（2）⊙O的半徑為3．【解析】【分析】（1）連接AO，由等腰三角形的性質(zhì)及圓周角定理得出∠DAO=∠CAD+∠CAO=90°，則可得出結(jié)論；（2）根據(jù)相似三角形的判定方法△ACD∽△BAD，由相似三角形的性質(zhì)推出，求出DC=2，則可得出答案．【小問1詳解】證明：連接AO，∵BC是直徑，∴∠BAC=90°，∴∠B+∠ACO=90°，∵OA=OC，∴∠ACO=∠OAC，∵∠CAD=∠B．∴∠DAO=∠CAD+∠CAO=90°，∴OA⊥AD，∴AD是⊙O的切線；【小問2詳解】解：∵∠CAD=∠B，∠ADC=∠BDA，∴△ACD∽△BAD，∴，∵tanB=，∴，∴，∵BD=8，∴，∴AD=4，∴CD=AD=×4=2，∴BC=BDCD=82=6，∴⊙O的半徑為3．【點睛】此題考查了切線的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)以及圓周角定理．解決問題的關(guān)鍵：（1）熟練掌握切線的判定方法；（2）正確證得△ACD∽△BAD．一、選擇題（2022·山東日照·中考真題）26.在實數(shù)，x0（x≠0），cos30°，中，有理數(shù)的個數(shù)是（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【答案】B【解析】【分析】根據(jù)零指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)值，實數(shù)的意義，即可解答．【詳解】解：在實數(shù)，x0（x≠0）=1，，中，有理數(shù)是，x0=1，所以，有理數(shù)的個數(shù)是2，故選：B．【點睛】本題考查了零指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)值，實數(shù)，熟練掌握這些數(shù)學(xué)概念是解題的關(guān)鍵．（2022·吉林長春·中考真題）27.如圖是長春市人民大街下穿隧道工程施工現(xiàn)場的一臺起重機的示意圖，該起重機的變幅索頂端記為點A，變幅索的底端記為點B，垂直地面，垂足為點D，，垂足為點C．設(shè)，下列關(guān)系式正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)正弦三角函數(shù)的定義判斷即可．【詳解】∵BC⊥AC，∴△ABC是直角三角形，∵∠ABC=α，∴，故選：D．【點睛】本題考查了正弦三角函數(shù)的定義．在直角三角形中任意銳角∠A的對邊與斜邊之比叫做∠A的正弦，記作sin∠A．掌握正弦三角函數(shù)的定義是解答本題的關(guān)鍵．（2022·內(nèi)蒙古通遼·中考真題）28.如圖，由邊長為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格中，點，，都在格點上，以為直徑的圓經(jīng)過點，，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先根據(jù)勾股定理求出AB的長度，然后根據(jù)圓周角定理的推論得出，，計算出即可得到．【詳解】解：∵為直徑，，，∴，，∴，∴，∵，∴，∴故選：B．【點睛】本題考查圓的性質(zhì)和三角函數(shù)，掌握勾股定理及圓周角定理的推論是關(guān)鍵．（2022·湖北武漢·中考真題）29.由4個形狀相同，大小相等的菱形組成如圖所示的網(wǎng)格，菱形的頂點稱為格點，點A，B，C都在格點上，∠O=60°，則tan∠ABC=（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】證明四邊形ADBC為菱形，求得∠ABC=30°，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求解．【詳解】解：連接AD，如圖：∵網(wǎng)格是有一個角60°為菱形，∴△AOD、△BCE、△BCD、△ACD都是等邊三角形，∴AD=BD=BC=AC，∴四邊形ADBC為菱形，且∠DBC=60°，∴∠ABD=∠ABC=30°，∴tan∠ABC=tan30°=．故選：C．【點睛】本題考查了菱形的判定和性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，證明四邊形ADBC為菱形是解題的關(guān)鍵．（2022·貴州畢節(jié)·中考真題）30.計算的結(jié)果，正確的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】化簡二次根式并代入特殊角的銳角三角比，再按照正確的運算順序進行計算即可．【詳解】解：＝＝＝．故選：B【點睛】此題考查了二次根式的運算、特殊角的銳角三角比等知識，熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵．（2022·山東濟南·中考真題）31.數(shù)學(xué)活動小組到某廣場測量標(biāo)志性建筑AB的高度．如圖，他們在地面上C點測得最高點A的仰角為22°，再向前70m至D點，又測得最高點A的仰角為58°，點C，D，B在同一直線上，則該建筑物AB的高度約為（）（精確到1m．參考數(shù)據(jù)：，，，）A.28m B.34m C.37m D.46m【答案】C【解析】【分析】在Rt△ABD中，解直角三角形求出，在Rt△ABC中，解直角三角形可求出AB．【詳解】解：在Rt△ABD中，tan∠ADB＝，∴，在Rt△ABC中，tan∠ACB＝，∴，解得：m，故選：C．【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握正切函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．二、填空題（2022·湖北荊門·中考真題）32.計算：+cos60°﹣（﹣2022）0＝_____．【答案】﹣1【解析】【分析】先計算立方根、特殊角的三角函數(shù)值、零指數(shù)冪，再進行計算即可解答．【詳解】解：+cos60°﹣（﹣2022）0＝﹣+﹣1＝0﹣1＝﹣1故答案為：﹣1．【點睛】本題考查了立方根、特殊角的三角函數(shù)值、零指數(shù)冪等知識點，熟練掌握各知識點是解答本題的關(guān)鍵．（2022·寧夏·中考真題）33.如圖，在中，半徑垂直弦于點，若，，則______．【答案】##0.8【解析】【分析】由垂徑定理可知，然后在中根據(jù)余弦的概念計算的值即可．【詳解】解：∵半徑垂直弦于點，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題主要考查了垂徑定理和余弦的知識，熟練掌握余弦的概念是解題的關(guān)鍵．（2022·江蘇南通·中考真題）34.如圖，B為地面上一點，測得B到樹底部C的距離為，在B處放置高的測角儀，測得樹頂A的仰角為，則樹高為___________m（結(jié)果保留根號）．【答案】##【解析】【分析】在中，利用，求出，再加上1m即為AC的長．【詳解】解：過點D作交于點E，如圖：則四邊形BCED是矩形，∴BC=DE，BD=CE，由題意可知：，，在中，，∴，∴，故答案為：【點睛】本題考查了解直角三角形，解直角三角形的應(yīng)用—仰角俯角問題，要求學(xué)生能借助仰角構(gòu)造直角三角形并解直角三角形．（2022·四川·巴中市教育科學(xué)研究所中考真題）35.一艘輪船位于燈塔的南偏東方向，距離燈塔30海里的處，它沿北偏東方向航行一段時間后，到達位于燈塔的北偏東方向上的處，此時與燈塔的距離約為________海里．（參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】50【解析】【分析】根據(jù)題意得出∠CAP=∠EPA=60°，∠CAB=30°，PA=30，由角度得出∠B=37°，?PAB為直角三角形，利用正弦函數(shù)求解即可．【詳解】解：如圖所示標(biāo)注字母，根據(jù)題意得，∠CAP=∠EPA=60°，∠CAB=30°，PA=30，∴∠PAB=90°，∠APB=180°67°60°=53°，∴∠B=37°，?PAB為直角三角形，∴，∴BP=，故答案為：50．【點睛】題目主要考查方位角及正弦函數(shù)的應(yīng)用，理解題意，熟練掌握正弦函數(shù)的應(yīng)用是解題關(guān)鍵．（2022·江蘇常州·中考真題）36.如圖，在四邊形中，，平分．若，，則______．【答案】【解析】【分析】過點作的垂線交于，證明出四邊形為矩形，為等腰三角形，由勾股定理算出，，即可求解．【詳解】解：過點作的垂線交于，，四邊形為矩形，，，平分，，，，∴∠CDB=∠CBD，，，，，，故答案為：．【點睛】本題考查了銳角三角函數(shù)、矩形、等腰三角形形、勾股定理、平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形求解．三、解答題37.（1）計算：．（2）計算：；【答案】（1）6；（2）2024【解析】【分析】（1）先求出特殊角的三角函數(shù)值，在進行混合運算即可；（2）先求出特殊角的三角函數(shù)值，在進行混合運算即可．【詳解】解：（1）；（2）．【點睛】本題主要考查了含特殊角的三角函數(shù)值的混合運算，牢記特殊角的三角函數(shù)值是解答本題的關(guān)鍵．（2022·黑龍江哈爾濱·中考真題）38.先化簡，再求代數(shù)式的值，其中．【答案】，【解析】【分析】先根據(jù)分式的混合運算順序和運算法則化簡原式，再根據(jù)特殊角三角函數(shù)值求出x，繼而代入計算可得．【詳解】解：原式∵∴原式．【點睛】本題主要考查分式的化簡求值，解題的關(guān)鍵是掌握分式的混合運算順序和運算法則以及特殊角三角函數(shù)值．（2022·湖北荊門·中考真題）39.如圖，已知矩形ABCD中，AB＝8，BC＝x（0＜x＜8），將△ACB沿AC對折到△ACE的位置，AE和CD交于點F．（1）求證：△CEF≌△ADF；（2）求tan∠DAF的值（用含x的式子表示）．【答案】（1）證明見解析（2）tan∠DAF＝【解析】【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得到∠B＝∠D＝90°，BC＝AD，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到BC＝CE，∠E＝∠B＝90°，等量代換得到∠E＝∠D＝90°，AD＝CE，根據(jù)AAS證明三角形全等即可；（2）設(shè)DF＝a，則CF＝8﹣a，根據(jù)矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)證明AF＝CF＝8﹣a，在Rt△ADF中，根據(jù)勾股定理表示出DF的長，根據(jù)正切的定義即可得出答案．【小問1詳解】證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝90°，BC＝AD，根據(jù)折疊的性質(zhì)得：BC＝CE，∠E＝∠B＝90°，∴∠E＝∠D＝90°，AD＝CE，在△CEF與△ADF中，，∴△CEF≌△ADF（AAS）；【小問2詳解】解：設(shè)DF＝a，則CF＝8﹣a，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AD＝BC＝x，∴∠DCA＝∠BAC，根據(jù)折疊的性質(zhì)得：∠EAC＝∠BAC，∴∠DCA＝∠EAC，∴AF＝CF＝8﹣a，在Rt△ADF中，∵AD2+DF2＝AF2，∴x2+a2＝（8﹣a）2，∴a＝，∴tan∠DAF＝＝．【點睛】本題考查了銳角三角函數(shù)，全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，翻折變換（折疊問題），根據(jù)矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)證出AF＝CF是解題的關(guān)鍵．（2022·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·中考真題）40.旗桿及升旗臺的剖面如圖所示，MN、CD為水平線，旗桿AB⊥CD于點B．某一時刻，旗桿AB的一部分影子BD落在CD上，另一部分影子DE落在坡面DN上，已知BD＝1.2m，DE＝1.4m．同一時刻，測得豎直立在坡面DN上的1m高的標(biāo)桿影長為0.25m（標(biāo)桿影子在坡面DN上），此時光線AE與水平線的夾角為80.5°，求旗桿AB的高度．（參考數(shù)據(jù)：sin80.5°≈0.98，cos80.5°≈0.17，tan80.5°≈6）【答案】旗桿AB的高度為12.8m【解析