專題22直線的方程（一）直線方程的幾種形式（舉一反三）（人教A版2019選擇性）

專題2.2直線的方程（一）：直線方程的幾種形式【八大題型】【人教A版（2019）】TOC\o"13"\h\u【題型1直線的點斜式方程及辨析】 2【題型2直線的斜截式方程及辨析】 2【題型3直線的兩點式方程及辨析】 5【題型4直線的截距式方程及辨析】 6【題型5直線的一般式方程及辨析】 8【題型6直線一般式方程與其他形式之間的互化】 9【題型7求直線的方向向量】 11【題型8根據(jù)直線的方向向量求直線方程】 12【知識點1直線的點斜式、斜截式方程】1．直線的點斜式方程(1)直線的點斜式方程的定義：

設(shè)直線l經(jīng)過一點，斜率為k，則方程叫作直線l的點斜式方程.

(2)點斜式方程的使用方法：

①已知直線的斜率并且經(jīng)過一個點時，可以直接使用該公式求直線方程.②當(dāng)已知直線的傾斜角時，若直線的傾斜角，則直線的斜率不存在，其方程不能用點斜式表示，但因為l上每一個點的橫坐標(biāo)都等于x1，所以直線方程為x=x1；若直線的傾斜角，則直線的斜率，直線的方程為.2．直線的斜截式方程(1)直線的斜截式方程的定義：

設(shè)直線l的斜率為k，在y軸上的截距為b，則直線方程為y=kx+b，這個方程叫作直線l的斜截式方程.(2)斜截式方程的使用方法：

已知直線的斜率以及直線在y軸上的截距時，可以直接使用該公式求直線方程.【題型1直線的點斜式方程及辨析】【例1】（2023春·江西九江·高二?？计谥校┻^兩點0,3,2,1的直線方程為()A．x?y?3=0 B．x+y?3=0C．x+y+3=0 D．x?y+3=0【解題思路】根據(jù)斜率公式求得直線的斜率，結(jié)合點斜式方程，即可求解.【解答過程】由兩點0,3,2,1，可得過兩點的直線的斜率為又由直線的點斜式方程，可得y?3=?1×(x?0)，即x+y?3=0.故選：B.【變式11】（2023·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）過點P(?5,7)，傾斜角為135°的直線方程為（

）A．x?y+12=0 B．x+y?2=0C．x+y?12=0 D．x?y+2=0【解題思路】根據(jù)給定條件，利用直線的點斜式方程求解作答.【解答過程】依題意，直線的斜率k=tan所以直線方程為：y?7=?1?(x+5)，即x+y?2=0.故選：B.【變式12】（2023秋·廣東廣州·高二?？计谀┙?jīng)過點(1,2)，且斜率為2的直線方程是（

）A．2x?y=0 B．2x+y=0 C．x?2y+1=0 D．x+2y?3=0【解題思路】根據(jù)點斜式方程求解即可.【解答過程】解：經(jīng)過點(1,2)，且斜率為2的直線方程是y?2=2x?1，整理得2x?y=0故選：A.【變式13】（2023·全國·高二專題練習(xí)）方程y=kx?2表示（

A．通過點2,0的所有直線 B．通過點2,0且不垂直于y軸的所有直線C．通過點2,0且不垂直于x軸的所有直線 D．通過點2,0且除去x軸的所有直線【解題思路】根據(jù)直線的點斜式方程的知識確定正確答案.【解答過程】y=k(x?2)為直線的點斜式方程，只能表示斜率存在的直線，且直線過點2,0．故選：C.【題型2直線的斜截式方程及辨析】【例2】（2022·全國·高二專題練習(xí)）直線2x+y?3=0用斜截式表示，下列表達式中，最合理的是（

）A．x32+C．y?3=?2(x?0) D．x=?【解題思路】化方程為斜截式即可.【解答過程】直線2x+y?3=0用斜截式表示為y=?2x+3，故選：B．【變式21】（2022秋·高二校考課時練習(xí)）與直線y=?x+2垂直，且在x軸上的截距為2的直線的斜截式方程為（）.A．y=x+2 B．y=x?2C．y=?x+2 D．y=?x+4【解題思路】首先根據(jù)垂直關(guān)系確定所求直線的斜率，設(shè)出直線方程后再根據(jù)橫截距確定與x軸的交點坐標(biāo)，進而求得待定系數(shù)b，確定答案.【解答過程】因為所求的直線與直線y=?x+2垂直，所以k×?1=?1，得k=1設(shè)所求直線為y=x+b,又因為所求直線在x軸上的截距為2即過點2,0，求得b=?2,所以所求直線的斜截式方程為y=x?2，故選：B.【變式22】（2022秋·重慶南岸·高二校考期中）經(jīng)過點A2,3，且傾斜角為π4的直線的斜截式方程為（A．y=x+1 B．y=x?1 C．y=?x?1【解題思路】根據(jù)傾斜角求出斜率，寫出點斜式方程，化為斜截式可得答案.【解答過程】斜率k=tan點斜式方程為y?3=x?2，斜截式方程為y=x+1.故選：A.【變式23】（2023秋·江西吉安·高二?？计谥校┡c直線2x?y?1=0垂直，且在y軸上的截距為4的直線的斜截式方程是（

）A．y=?B．y=?12C．y=D．y=12【解題思路】將直線2x?y?1=0化為斜截式方程，可得出斜率k=2，從而得與直線2x?y?1=0垂直的直線斜率，再根據(jù)所求直線在y軸上的截距為4，即可得出所求直線的斜截式方程.【解答過程】解：由于直線2x?y?1=0，即y=2x?1，可知斜率k=2，則與直線2x?y?1=0垂直的直線斜率為k=?1由于所求直線在y軸上的截距為4，則所求直線的斜截式方程是y=?1故選：A.【知識點2直線的兩點式、截距式方程】1．直線的兩點式方程(1)直線的兩點式方程的定義：設(shè)直線l經(jīng)過兩點()，則方程叫作直線l的兩點式方程.

(2)兩點式方程的使用方法：

①已知直線上的兩個點，且時，可以直接使用該公式求直線方程.

②當(dāng)時，直線方程為(或).

③當(dāng)時，直線方程為(或).2．直線的截距式方程(1)直線的截距式方程的定義：設(shè)直線l在x軸上的截距為a，在y軸上的截距為b，且a≠0，b≠0，則方程叫作直線l的截距式方程.

(2)直線的截距式方程的適用范圍：

選用截距式方程的條件是a≠0，b≠0，即直線l在兩條坐標(biāo)軸上的截距非零，所以截距式方程不能表示過原點的直線，也不能表示與坐標(biāo)軸平行(或重合)的直線.

(3)截距式方程的使用方法：

①已知直線在x軸上的截距、y軸上的截距，且都不為0時，可以直接使用該公式求直線方程.

②已知直線在x軸上的截距、y軸上的截距，且都為0時，可設(shè)直線方程為y=kx，利用直線經(jīng)過的點的坐標(biāo)求解k，得到直線方程.【題型3直線的兩點式方程及辨析】【例3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知直線l過點G1,?3，H?2,1，則直線l的方程為（A．4x+y+7=0 B．2x?3y?11=0 C．4x+3y+5=0 D．4x+3y?13=0【解題思路】根據(jù)兩點的坐標(biāo)和直線的兩點式方程計算化簡即可.【解答過程】由直線的兩點式方程可得，直線l的方程為y+31+3=x?1故選：C．【變式31】（2023秋·浙江溫州·高二統(tǒng)考期末）過兩點A3,?5，B?5,5的直線在y軸上的截距為（A．?54 B．54 C．?【解題思路】由兩點式得出直線方程，令x=0，即可解出直線在y軸上的截距.【解答過程】過兩點A3,?5，B?5,5的直線的為令x=0，解得：y=?5故選：A.【變式32】（2022秋·浙江杭州·高二校聯(lián)考期中）已知直線l過點G(1，?3)，H(2，1)，則直線l的方程為（

）A．4x+y+7=0 B．4x?y?7=0C．2x?3y?11=0 D．4x?y+7=0【解題思路】直接利用兩點式直線方程得x?12?1【解答過程】直線l的兩點式方程為：x?12?1=y+3故選：B.【變式33】（2022·高二課時練習(xí)）已知直線l經(jīng)過?2,?2、2,4兩點，點1348,m在直線l上，則m的值為（

）A．2021 B．2022 C．2023 D．2024【解題思路】根據(jù)直線的兩點式方程即可求解.【解答過程】由題意知l不與x,y軸平行，故由直線l的兩點式方程可得m+21348+2=m?4故選：C.【題型4直線的截距式方程及辨析】【例4】（2023春·上海閔行·高二?？茧A段練習(xí)）經(jīng)過點A5,2，并且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線l有（

A．0 B．1 C．2 D．3【解題思路】根據(jù)直線過原點和不過原點，即可求解直線方程.【解答過程】若直線經(jīng)過原點，則y=2若截距均不為0，則設(shè)直線方程為xa+ya=1a≠0，將故選：C.【變式41】（2023秋·吉林·高二校聯(lián)考期末）過點(3,?6)且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線的方程是（

）A．2x+y=0 B．x+y+3=0C．x?y+3=0 D．x+y+3=0或2x+y=0【解題思路】由題意，分截距為0或不為0兩種情況，分別設(shè)對應(yīng)的直線方程，代入已知點，可得答案.【解答過程】顯然，所求直線的斜率存在．當(dāng)兩截距均為0時，設(shè)直線方程為y=kx，將點(3,?6)代入得k=?2，此時直線方程為2x+y=0；當(dāng)兩截距均不為0時，設(shè)直線方程為xa+ya=1,a≠0，將點故選：D．【變式42】（2023·全國·高二專題練習(xí)）若直線l過點A(?2,0),B(0,3)，則直線l的方程為（

）A．3x?2y+6=0 B．2x?3y+6=0 C．3x?2y?6=0 D．3x+2y?6=0【解題思路】已知直線l的過點點A(?2,0),B(0,3)，可通過直線方程的截距式得出其方程為3x?2y+6=0.【解答過程】由直線l過點A(?2,0),B(0,3)，則直線l的方程為x?2+y故選：A.【變式43】（2023秋·安徽六安·高二校考期末）已知直線l過A?2,1，且在兩坐標(biāo)軸上的截距為相反數(shù)，那么直線l的方程是（

A．x+2y=0或x?yC．x?y?1=0或x+y【解題思路】根據(jù)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距為相反數(shù)，可以分兩種情況來討論，兩坐標(biāo)軸上的截距都為0時和兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)且不等于0時，即可求解.【解答過程】（1）當(dāng)坐標(biāo)軸上的截距都為0時，直線過原點，設(shè)直線方程為y把點?2,1代入求出k=?1（2）當(dāng)坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)且不等于0時，設(shè)直線方程為xa把點?2,1代入求出a=?3，即直線方程為綜上，直線方程為x+2y故選：A.【知識點3直線的一般式方程】1．直線的一般式方程(1)直線的一般式方程的定義：在平面直角坐標(biāo)系中，任何一個關(guān)于x，y的二元一次方程都表示一條直線.我們把關(guān)于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同時為0)叫作直線的一般式方程.

對于方程Ax+By+C=0(A,B不全為0)：當(dāng)B≠0時，方程Ax+By+C=0可以寫成y=x，它表示斜率為，在y軸上的截距為的直線.特別地，當(dāng)A=0時，它表示垂直于y軸的直線.

當(dāng)B=0時，A≠0，方程Ax+By+C=0可以寫成x=，它表示垂直于x軸的直線.

(2)一般式方程的使用方法：

直線的一般式方程是直線方程中最為一般的表達式，它適用于任何一條直線.2．辨析直線方程的五種形式方程形式直線方程局限性選擇條件點斜式不能表示與x軸垂直的直線①已知斜率；②已知

一點斜截式y(tǒng)=kx+b不能表示與x軸垂直的直線①已知在y軸上的截距；②已知斜率兩點式不能表示與x軸、

y軸垂直的直線①已知兩個定點；②已知兩個截距截距式不能表示與x軸垂直、與y軸垂直、過原點的直線①已知兩個截距；②已知直線與兩條坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積一般式Ax+By+C=0

(A,B不全為0)表示所有的直線求直線方程的最后結(jié)果均可以化為一般式方程【題型5直線的一般式方程及辨析】【例5】（2023秋·高二課時練習(xí)）經(jīng)過點(0,?1)，且傾斜角為60°的直線的一般式方程為（

）A．3x?y?1=0 B．3x?y+1=0 C．x?3【解題思路】首先求出直線的斜率，再利用點斜式求出直線方程.【解答過程】由直線的傾斜角為60°知，直線的斜率k=3因此，其直線方程為y?(?1)=3(x?0)，即故選：A.【變式51】（2023·全國·高二專題練習(xí)）在直角坐標(biāo)系中，直線x?2y+3=0經(jīng)過（

）A．一、二、三象限 B．一、二、四象限C．一、三、四象限 D．二、三、四象限【解題思路】根據(jù)直線方程得到其與坐標(biāo)軸的交點，從而可得出結(jié)果.【解答過程】由x?2y+3=0，令x=0可得，y=32；令y=0可得即直線x?2y+3=0過點0,32，所以直線x?2y+3=0經(jīng)過一、二、三象限.故選：A.【變式52】（2023秋·北京西城·高二?？计谀┮阎本€l過點A(?3,1)，且與直線x?2y+3=0垂直，則直線l的一般式方程為（

）A．2x+y+3=0 B．2x+y+5=0 C．2x+y?1=0 D．2x+y?2=0【解題思路】由題意設(shè)直線l方程為2x+y+m=0，然后將點(?3,1)坐標(biāo)代入求出m，從而可求出直線方程【解答過程】因為直線l與直線x?2y+3=0垂直，所以設(shè)直線l方程為2x+y+m=0，因為直線l過點(?3,1)，所以?6+1+m=0，得m=5，所以直線l方程為2x+y+5=0，故選：B.【變式53】（2023秋·廣東江門·高二統(tǒng)考期末）直線Ax+By+C=0（A,B不同時為0），則下列選項正確的是（

）A．無論A,B取任何值，直線都存在斜率 B．當(dāng)A=0，且B≠0時，直線只與x軸相交C．當(dāng)A≠0，或B≠0時，直線與兩條坐標(biāo)軸都相交 D．當(dāng)A≠0，且B=0，且C=0時，直線是y軸所在直線【解題思路】結(jié)合直線的方程依次分析各選項即可得答案.【解答過程】解：對于A選項，當(dāng)A≠0，且B=0時，直線斜率不存在，故錯誤；對于B選項，當(dāng)A=0，且B≠0，C≠0時，直線只與y軸相交；當(dāng)A=0，且B≠0，C=0時，直線與x軸重合，故錯誤；對于C選項，當(dāng)A≠0，且B≠0時，直線與兩條坐標(biāo)軸都相交，故錯誤；對于D選項，當(dāng)A≠0，且B=0，且C=0時，直線方程為x=0，即y軸所在直線，故正確.故選：D.【題型6直線一般式方程與其他形式之間的互化】【例6】（2023秋·河南商丘·高二校考期末）經(jīng)過點(0,?1)且斜率為?23的直線方程為（A．2x+3y+3=0 B．2x+3y?3=0 C．2x+3y+2=0 D．3x?2y?2=0【解題思路】寫出點斜式，再化為一般式即可.【解答過程】由點斜式得y+1=?23x故選：A.【變式61】（2023秋·江蘇鹽城·高二?？计谀┤绻鸄B<0，BC<0，那么直線Ax+By+C=0不經(jīng)過（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解題思路】直線變換為y=?ABx?CB【解答過程】由Ax+By+C=0可得y=?ABx?因為AB<0，BC<0，故?AB>0故直線不經(jīng)過第四象限.故選：D.【變式62】（2023秋·四川雅安·高二統(tǒng)考期末）若直線x+ay?1=0的傾斜角為3π4，則實數(shù)a的值為（A．1 B．?1 C．2 D．?2【解題思路】將直線方程化為點斜式方程，再根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系求解即可.【解答過程】解：由題知a≠0，故將直線方程化為點斜式方程得y=?1因為直線x+ay?1=0的傾斜角為3π所以直線x+ay?1=0的斜率為?1，即?1a=?1故選：A.【變式63】（2023秋·甘肅蘭州·高二?？计谀┮阎本€l過點(2,4)，且在x軸上的截距是在y軸上的截距的2倍，則直線l的方程為（

）A．x+2y?10=0 B．x+2y+10=0C．2x?y=0或x+2y?4=0 D．2x?y=0或x【解題思路】當(dāng)截距為0時，設(shè)出直線的點斜式；當(dāng)截距不為0時，設(shè)出直線的截距式，進而將點代入方程解出參數(shù)，最后得到答案.【解答過程】當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距都為0時，設(shè)直線l的方程為y=kx，把點(2,4)代入方程，得2=k，即k=2，所以直線的方程為2x?y=0；當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距都不為0時，設(shè)直線的方程為x2b把點(2,4)代入方程，得22b+4b=1故選：D．【知識點4方向向量與直線的參數(shù)方程】1．方向向量與直線的參數(shù)方程除了直線的點斜式、斜截式、兩點式、截距式、一般式方程外，還有一種形式的直線方程與向量有緊密的聯(lián)系，它由一個定點和這條直線的方向向量唯一確定，與直線的點斜式方程本質(zhì)上是一致的.如圖1，設(shè)直線l經(jīng)過點，=(m,n)是它的一個方向向量，P(x,y)是直線l上的任意一點，則向量與共線.根據(jù)向量共線的充要條件，存在唯一的實數(shù)t，使=t，即()=t(m,n)，所以

①.

在①中，實數(shù)t是對應(yīng)點P的參變數(shù)，簡稱參數(shù).

由上可知，對于直線l上的任意一點P(x,y)，存在唯一實數(shù)t使①成立；反之，對于參數(shù)t的每一個確定的值，由①可以確定直線l上的一個點P(x,y).我們把①稱為直線的參數(shù)方程.【題型7求直線的方向向量】【例7】（2023·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）直線x?2y+1=0的一個方向向量是（

）A．2,1 B．1,2 C．2,?1 D．1,?2【解題思路】在直線上任取兩個不重合的點，可得出直線的一個方向向量.【解答過程】在直線x?2y+1=0上取點A?1,0、B故直線x?2y+1=0的一個方向向量為AB=故選：A.【變式71】（2023秋·廣東肇慶·高二統(tǒng)考期末）直線2mx+my?3=0的一個方向向量是（

）A．1,2 B．2,?1 C．2,1 D．1,?2【解題思路】直接根據(jù)方向向量的定義解答即可.【解答過程】明顯m≠0，直線2mx+my?3=0即為y=?2x+3所以直線2mx+my?3=0的一個方向向量是1,?2.故選：D.【變式72】（2023秋·北京豐臺·高二統(tǒng)考期末）已知經(jīng)過A0,2，B1,0兩點的直線的一個方向向量為1,k，那么k=（A．?2 B．?1 C．?12【解題思路】根據(jù)直線的方向向量與斜率的關(guān)系求解.【解答過程】由題意k1=2?0故選：A.【變式73】（2022秋·高二課時練習(xí)）已知直線l:mx+2y+6=0，且向量1?m,1是直線l的一個方向向量，則實數(shù)m的值為（）A．?1 B．1 C．2 D．?1或2【解題思路】根據(jù)題意得到直線l的一個方向向量為?2,m，再結(jié)合已知條件，利用向量共線求解即可.【解答過程】因為直線l:mx+2y+6=0，直線l的一個方向向量為?2,m，又因為向量1?m,1是直線l的一個方向向量，所以?2?m1?m=0，解得m=?1或故選：D.【題型8根據(jù)直線的方向向量求直線方程】【例8】（2023春·河南開封·高二統(tǒng)考期末）已知直線l的一個方向向量為2,?1，且經(jīng)過點A1,0，則直線l的方程為（

A．x?y?1=0 B．x+y?1=0C．x?